中華大學碩士論文

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中華大學碩士論文

矩形蓋驅動腔高寬比及傾斜角度對熱傳特性之影響分析

The Effects of Aspect Ratio and Inclination Angle on the Characteristics of Heat Transfer in

Lid-driven Cavity Flows

系所名：機械工程學系碩士班學號姓名：M09608013 柳文祥指導教授：鄭藏勝博士

中華民國九十九年七月

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摘要

混合對流是一種結合強制對流和自然對流的複雜交互作用，其在驅動腔內的熱傳問題已受到許多研究者的廣泛探討，類似的混合對流現象經常在工程和工業應用上遇到，因此本文將採用四階精度的緊密形式（Compact Scheme）數值方法解流線-渦度方程式，以提高計算精度及穩定性，並求得流場之流線及溫度分布，同時以流場總動能分析在不同理查森數、高寬比及傾斜角度下，矩形蓋驅動腔的穩定性。

本研究主要以改變理查森數(Ri = 0.01、1、100)、驅動腔之高寬比（AR = 0.2、1、

5）及傾斜角度（γ 0°～90°），來探討不同操作參數變化對流場結構與熱傳效應的影= 響，其物理模型為底部高溫壁面，上板為移動的冷卻壁面，且兩垂直壁面為絕熱壁面的蓋驅動腔，流體假設為空氣(Pr = 0.71)，上板移動的雷諾數固定為 100。

採用四階精度的緊密形式數值方法在穩定層流流場皆可得到穩定的收斂，在本研究所探討的三種高寬比驅動腔中，採用強制對流及傾斜驅動腔並未如想像中的對熱傳有較佳之增益效果，反而是自然對流具有較佳之熱傳增益，尤其是在方形或是深且窄的驅動腔內，若是將驅動腔傾斜至γ = 75°，則自然對流將具有最佳之熱傳增益，且在不同高寬比驅動腔，當流場為自然對流（Ri = 100）所主宰時，在特定的傾斜角度下，

流場從穩定層流區域轉換至不穩定渾沌流，其總動能呈現周期性或無週期性之震盪現象。

關鍵字：混合對流、緊密形式、流線-渦度方程式。

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ABSTRACT

Numerical simulations are performed to investigate the effects of aspect ratio (AR = 0.2、1、5), Richardson number (Ri = 0.01、1、100), and inclination angle (γ 0°～90°) on = the flow structures and heat transfer in a air-filled (Pr = 0.71), two-dimensional (2-D) cavity where the flow is induced by a shear force resulting from the motion of the cooled upper lid combined with buoyancy force due to bottom heating. The governing equations for the 2-D velocity and temperature fields are discretized spatially into a fourth-order accurate compact form. Numerical results indicate that among the three aspect ratios studied the increase of inclination angle does not affect the flow structures and heat transfer when the flow is in a forced convection dominated regime (Ri = 0.01). However, when the flow is in a pure natural convection dominated regime (Ri = 100), the increase of inclination angle enhances the heat transfer rate, especially for AR = 1 and 5. The maximum heat transfer rate occurs atγ 75° and Ri = 100. In addition, the flow changes = from a stable, laminar regime to an unstable, chaos regime under certain inclination angles.

At these conditions, the total kinetic energy appears to be in periodic or non-periodic oscillations.

Keywords：Mixed convection, compact scheme, streamfunction-vorticity

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誌謝

本論文得以順利完成，首要感謝指導教授鄭藏勝博士，在三年的論文指導期間不辭辛苦的用心教導，給予學生學習與磨練的機會，對於學術研究及待人處事方面均獲益良多，此外承蒙口試委員楊一龍博士及陳志鵬博士的指正，並提出許多寶貴的建議，使得本文內容更加充實完備，在此獻上無窮的敬意與感謝。

在三年的研究生活當中，感謝學長渝瑋、韋廷、永軒、中祺…等人，及學弟文建、

士勛及志凡在生活及研究上的幫助，以及同學志豪、守仁、廷旭、邦維、鵬宇…等人他們對我的勉勵與扶持，因為有你們的陪伴，使我的人生增添許多色彩，實驗室裡共同的生活點滴，佔了日常生活的大部分，感謝你們。

最後，感謝我親愛的父母親及我最愛的家人，感謝你們所給予的提攜教誨及支持鼓勵，還有經濟與精神上的支持，讓我能專心於課業研究中，使我可以順利完成學業，

願將本文獻給關心我的每一個人，共同來分享我的成果與喜悅。

(5)

目錄

中文摘要………...………….……….i

英文摘要………ii

誌謝………...iii

目錄………...iv

表目錄………...………vi

圖目錄……….……….vii

符號說明………..………...x

第一章緒論………1

1.1 前言………...1

1.2 文獻回顧………...1

1.3 研究動機………...5

第二章物理問題………6

2.1 物理模型………...6

2.2 基本假設………...6

2.3 統御方程式………...6

第三章數值方法………9

3.1 空間離散………...…9

3.2 時間積分………..……...10

3.3 霍普夫分歧（Hopf bifurcation）……….……...………..12

3.4 邊界條件……….13

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第四章數值模擬結果與分析………..14

4.1 程式驗證……….14

4.2 格點選擇……….15

4.3 數值模擬結果……….15

4.3.1 高寬比AR = 0.2、理查森數 Ri = 0.01………..16

4.3.2 高寬比AR = 0.2、理查森數 Ri = 1……….………..16

4.3.3 高寬比AR = 0.2、理查森數 Ri = 100.……….……….17

4.3.4 高寬比AR = 1、理查森數 Ri = 0.01……….………18

4.3.5 高寬比AR = 1、理查森數 Ri = 1….………...………..18

4.3.6 高寬比AR = 1、理查森數 Ri = 100.………...………..19

4.3.7 高寬比AR = 5、理查森數 Ri = 0.01………...………..19

4.3.8 高寬比AR = 5、理查森數 Ri = 1…….………...………..20

4.3.9 高寬比AR = 5、理查森數 Ri = 100.………...………..20

4.4 平均紐塞爾數………...………..21

第五章結論與展望………..23

5.1 結論……….23

5.2 未來展望……….24

參考文獻………..25

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表目錄

表4-1 上壁面平均紐塞爾數與文獻的模擬數值比較表。………27

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圖目錄

圖2-1 蓋驅動腔示意圖。………28 圖4-1（a）為 Iwatsu 等人[6]模擬之流線和等溫線分佈(Re = 1000，Gr = )，（b）

為本研究之數值模擬結果。………29 106

圖4-2 二階與四階能量項收斂殘差比較圖。………30 圖4-3 不同格點數之中心速度分佈比較圖，（a）為 V 速度分佈（b）為 U 速度分佈。…31 圖4-4 不同格點數局部紐塞爾數之比較圖，（a）高溫壁面（b）冷卻壁面。………..31 圖4-5 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之流線圖；Ψ = -0.17～1×10^-6、ΔΨ = 0.01214。………...32 圖4-6 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ =

0.0625。……….33 圖4-7 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫

壁面，（b）冷卻壁面。………34 圖4-8 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………35 圖4-9 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之流線圖；γ = 0°～30°：Ψ = -0.17～

0.00014、ΔΨ = 0.01144，γ = 45°～90°：Ψ = -0.06～0.08、ΔΨ = 0.01。………36 圖4-10 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.0625。…..37 圖4-11 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫壁

面，（b）冷卻壁面。………..38 圖4-12 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………...39 圖4-13 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之流線圖；γ = 0°～15°：Ψ = -1.2

～1.2、ΔΨ = 0.17143，γ = 30°～90°：Ψ = -0.014～1.1、ΔΨ = 0.07957。…………40

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壁面（b）冷卻壁面。………42 圖4-16 AR = 0.2、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………...43 圖4-17 AR = 1、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之流線圖；Ψ = -0.1～1×10^-6、ΔΨ = 0.00714。……….44 圖4-18 AR = 1、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.0625。…45 圖4-19 AR = 1、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫

壁面（b）冷卻壁面。………46 圖4-20 AR = 1、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之 TKE 圖。……….47 圖4-21 AR = 1、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之流線圖；γ = 0°～15°：Ψ = -0.13～1E-4、

ΔΨ = 0.00929，γ = 30°～90°：Ψ = -0.055～0.037、ΔΨ = 0.00657。………...48 圖4-22 AR = 1、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.0625。…….49 圖4-23 AR = 1、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫壁面

（b）冷卻壁面。………50 圖4-24 AR = 1、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………..51 圖4-25 AR = 1、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之流線圖；γ = 0°：Ψ = -0.4～0.4、ΔΨ

= 0.05，γ = 15°：Ψ = -0.04～0.87、ΔΨ = 0.03957，γ = 30°～45°：Ψ = -0.0009

～0.4、ΔΨ = 0.02864，γ = 60°、Ψ = -0.0009～0.32、ΔΨ = 0.02292，γ = 75°、

Ψ = -0.0009～0.25、ΔΨ = 0.01792，γ = 90°、Ψ = -0.0094～0.16、ΔΨ = 0.00892。……….52 圖4-26 AR = 1、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.0625。….53 圖4-27 AR = 1、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫壁

面（b）冷卻壁面。………54 圖4-28 AR = 1、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………..55 圖4-29 AR = 5、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之流線圖；γ = 0°：Ψ = -0.1～1×10^-7、 ΔΨ = 0.00625，γ = 15°～90°、Ψ = -0.1～9×10^-5、ΔΨ = 0.00626。……….56

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圖4-30 AR = 5、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.025。…..56 圖4-31 AR = 5、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫

壁面（b）冷卻壁面。………57 圖4-32 AR = 5、Re = 100、Ri = 0.01、γ = 0°～90°之 TKE 圖。……….58 圖4-33 AR = 5、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之流線圖；Ψ = -0.07～0.04、ΔΨ = 0.00786。……….59 圖4-34 AR = 5、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.025。……...59 圖4-35 AR = 5、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫壁面

（b）冷卻壁面。………60 圖4-36 AR = 5、Re = 100、Ri = 1、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………..61 圖4-37 AR = 5、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之 TKE 圖。………..62 圖4-38 AR = 5、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之流線圖；γ = 0°～30°、Ψ = -0.6～

0.5、ΔΨ = 0.07857，γ = 45°～60°、Ψ = -0.02～1.1、ΔΨ = 0.08，γ = 75°～90°、

Ψ = -0.009～0.35、ΔΨ = 0.02564。……….63 圖4-39 AR = 5、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之等溫線圖；θ = 0～1、Δθ = 0.025。…...63 圖4-40 AR = 5、Re = 100、Ri = 100、γ = 0°～90°之局部紐塞爾數比較圖。（a）高溫壁

面（b）冷卻壁面。………64 圖4-41 不同高寬比及傾斜角度之平均紐塞爾數比較圖（a）AR = 0.2（b）AR = 1（c）

AR = 5。……….………65

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符號說明

A 高寬比（=H L） g 重力加速度

Gr 葛拉斯赫夫數（Grashof number），

(

h c

)

²

3 T T

H g

Gr = β − ν

H 腔體高度 L 腔體寬度

Nu 紐塞爾數（Nusselt number）

Pr 普朗特數（Prandtl number），Pr =ν α

Ra 瑞理數（Rayleigh number），Ra= gβH³

(

T_h −T_c

)

αν Re 雷諾數（Reynolds number），Re=U₀H ν

Ri 理查森數（Richardson number），Ri=Gr Re² t 時間

T 溫度 U0 上蓋速度 u x 軸方向的向量

U x 軸方向的無因次向量 v y 軸方向的向量

V y 軸方向的無因次向量 x 水平座標

X 水平無因次座標 y 垂直座標

Y 垂直無因次座標

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希臘符號

α 熱傳導係數 β 熱膨脹係數 γ 傾斜角度

θ 無因次溫度，

(

T−T_c

) (

T_h −T_c

)

ν 動黏滯係數 τ 無因次時間 ψ 流線方程式

Ψ 無因次流線方程式，Ψ U₀H ω 渦度

Ω 無因次渦度，ωH U₀

下標符號

c 低溫壁面 h 高溫壁面

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第一章緒論

1.1 前言

混合對流是一種結合強制對流和自然對流的複雜交互作用，其在驅動腔內的熱傳問題已受到許多研究者的廣泛注意，類似的混合對流現象經常在工程和工業應用上遇到，例如：太陽能集熱器、冷卻電子設備、熱交換器、材料加工、晶體生長、浮法玻璃生產、金屬鍍層和鑄造等等。為了瞭解伴隨流體流動與熱傳而產生的複雜物理現象，在矩形或方形驅動腔內之混合對流熱傳研究已有不少文獻報告出現，數值模擬研究此類問題除了垂直或水平壁面溫差加熱外，大體上驅動腔之移動可分為垂直壁面或水平壁面移動。然而，過去的數值模擬受限於計算器的運算速度及數值方法的精準度，容易出現運算時間過長、過度預測或者是預測不足的現象。現在的電腦運算器越來越進步加上數值方法的演進，進而使得數值方法效率提高，且數值模擬所需成本也較低，因此數值模擬成為研究混合對流熱傳的有效方法之ㄧ，以下為與本研究有關之文獻回顧。

1.2 文獻回顧

對於如何模擬蓋驅動腔（Lid-driven cavity）內流體的流動及熱的傳遞，以及腔體角度變化對流場結構與熱傳效應的影響，本文參考了一些文獻，以下概略分為三部份：第一部份為有關如何模擬蓋驅動腔內流場結構、熱傳現象與角度變化之相關文獻，第二部份為數值方法之相關文獻，第三部份為有關流場穩定性分析及霍普夫分歧

（Hopf bifurcation）現象之相關文獻，簡要概述如下。

在蓋驅動腔內的熱傳研究方面，1972 年Torrance等人[1]和 2007 年Prasad和Das [2]

利用數值方法研究上下板壁具有溫差的蓋驅動腔，其中上壁面具有固定速度，其餘壁面為不移動的冷卻面，其控制參數為葛拉斯赫夫數(Grashof number) Gr = 0、±10⁴、

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106

0≤ Ra≤

±10⁶，雷諾數(Reynolds number) Re = 100，普朗特數(Prandtl number) Pr = 1 及高寬比 (Aspect ratio) AR = 0.5、1 及 2，其中Gr為正值表示熱的上壁面，負值表示冷的上壁面。

Torrance等人[1]研究結果發現：當Gr = ±10⁴時，在矩形驅動腔高寬比較大時浮力比剪力對熱傳有比較明顯的影響，當Gr = ±10⁶時，在所有的高寬比下其流場結構及熱傳現象都是由浮力所主宰。Prasad及Das [2]研究結果發現，在所設定的Gr參數範圍內，高寬比為0.5 及 1 時流場穩定，當高寬比為 2 及Gr = -10⁵ 時發生霍普夫分歧現象。1992 年Moallemi和Jang[3]利用數值研究在底部為加熱壁面和側壁為絕熱面的上蓋驅動方形腔內，不同普朗特數對流場與熱傳的影響，他們發現在高普朗特數時，浮力對熱傳的影響較為顯著。1992、1994 年Mohamad及Viskanta [4,5]進行數值模擬和實驗研究二維和三維的層流混合對流，驅動腔底部為加熱壁面且充滿水或液態鎵，他們發現當 Gr/Re² < 1 時，二維的熱傳結果與三維模型相當。1993 年Iwatsu等人[6]進行方形蓋驅

動腔內混合對流的二維數值模擬，其研究範圍在和。當驅

動腔之驅動蓋為加熱壁面底部為冷卻壁面和側壁為絕熱時，流場為一個穩定的垂直溫度梯度，當

3000 0≤ Re≤

2 <<1 Re

Gr 時，流體流動主要是受強制對流主宰，在驅動腔中心區，流

體混合均勻，且溫度變化不大。當Gr Re² >>1時，驅動腔底部及中間區域，流體呈現靜止狀態，等溫圖幾乎呈水平分佈。1996 年Prasad和Koseff [7]進行一項深長的蓋驅動腔內混合對流實驗研究，其中上壁面為冷卻面且具有一固定速度，側壁為固定且絕熱的壁面，其操作參數為0≤ Re≤12000，10⁷ ≤ Gr≤5×10⁹，理查森數(Ri = Gr/Re²) 介於0.1 與 1000 之間，實驗量測之紐塞爾數（Nusselt number）和Re、Gr/Re²及高寬比有關，他們發現在研究範圍內，Gr/Re²的變化對熱傳的影響並不明顯。

對於側壁面移動的驅動腔而言，1999 年 Aydin [8]使用流線-渦度函數轉化的有限差分法去探討層流中剪切力和浮力相結合的驅動腔的熱傳機制，此研究主要在瞭解移

(15)

100 01

0

廣。2004 年 Oztop 及 Dagtekin [9]利用數值方法研究雙邊移動且具有溫差壁面及上下壁面絕熱之方形驅動腔，其控制參數為 . < Ri< 及Pr =0.7，研究結果發現，

當時，若兩壁面移動的方向相反時（不論那一邊向下或向上移動），移動壁面對熱傳的影響是相同的，但當兩壁面同時向上移動時，熱傳降低，當時，在浮力與剪力相反作用下的情形下，由於驅動腔中心有主漩渦及壁面有次渦卷，因此熱傳僅些微的增加。2007 年 Sharif [10]進行混合對流在具傾斜的長方形蓋加熱底部冷卻的驅動腔研究，其高寬比為10、、Re = 408.21、Pr = 6，傾斜角度的變化由0°到 30°，研究顯示隨著傾斜角度越大，其平均紐塞爾數（Average Nusselt number）

也隨之增大。

1 Ri<

1 Ri>

7

5 10

10 ≤ Ra≤

在研究熱傳所使用的數值方法方面，已有許多二階精度的數值方法被應用於熱傳研究，然而運用二階精度來解析熱對流主宰流場時，除非網格數目足夠精細不然通常無法得到高準確度。當瑞理數（Rayleigh number）增加至臨界值時，其流場變為不穩定且過度混亂，此時其接近壁面的流場速度和溫度梯度非常陡峭，因此，必須使用高階精度的數值方法來克服低階精度的限制。就高階精度的數值方法而言，高階緊密化

（High-order compact, HOC）有限差分法具有高精度和小模型的特色；例如，高階緊密化的方法在二維的九點的有限差分離散化的緊密模型上具有四階空間精度，這類的緊密公式化與傳統的四階公式化使用五點來做離散化的方法之不同在於靠近邊界的地方並不會產生複雜性。因此，發展與應用高階緊密化方法來解穩態或非穩態的對流擴散(convection-diffusion)和納維爾-史托克方程式(Navier-Stokes equation)於[11-13]文獻中已被廣泛地研究過，同時將納維爾-史托克方程式轉化成流線-渦度方程式

（Streamfunction-vorticity equation），不但可以自動滿足連續方程式，且可減少動量方程式中壓力項的計算，並具有穩定及收歛快速的優點。高精度、高效率、成本效益高及更容易處理穩態二維不可壓縮納維爾-史托克方程式的邊界條件等優點之高階緊密化方法已被許多研究所證實。1984 年 Gupta 等人[14]應用級數展開微分方程發展四階九點緊密有限差分公式化，並證明可得到高精度數值解。1995 年 Spotz 和 Carey [11]

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及2001 年 Li 和 Tang [13]也都推導出類似的高階緊密法，這些高階緊密法都需要一個方法來促進時間步階迭代至穩態解。2005 年 Erturk 等人[15]利用二階精度之有限差分法解流線-渦度方程式，以探討二維蓋驅動腔內不可壓縮流體之流場結構，其使用之均勻網格，其結果顯示當蓋驅動腔的雷諾數（Reynolds number, Re）高達 21000 時，收斂殘餘值設定為，仍能穩定運算並達到收斂。2006 年 Erturk 和 Gökçöl [16]再提出一種適合解流線-渦度方程式之四階精度的緊密化方法，這種高階緊密法不但可容易的將任何解流線-渦度方程式的數值方法修改為此方法，且其計算效率極高，研究結果顯示當雷諾數高達20000 時，程式運算仍能穩定且快速收斂。雖然高階緊密法可以成功解納維爾-史托克方程式，其中大多數都局限在研究流體力學方面的問題，只有少數運用在研究熱傳問題上。

601×601

10⁻10

在流場穩定性分析方面，流場總動能(Total kinetic energy, TKE)是一種可用來判斷流場是否穩定的方法之一，當流場是穩定時，其總動能隨時間的增加而趨於一穩定值，但當流場之雷諾數增加到某一定值時，其總動能隨時間的增加而趨於一週期性之震盪，此現象稱為霍普夫分歧。Gustafson與Halasi [17]、Goodrich等人[18]及Goyon [19]

曾研究蓋驅動腔之流場問題，他們發現當雷諾數增加到某一定值時，霍普夫分歧產生。1996 年Goyon [19]利用離散的納維爾-史托克方程式加上增量未知數（Incremental Unknowns）解渦度-流線變量（Vorticity-streamfunction variables），並利用流場總動能來判斷流場的穩定性。Goyon發現霍普夫分歧出現在一些關鍵性的雷諾數，當雷諾數介於7500 至 10000 之間，其觀察到週期性解，同時有週期漸近解（Periodic asymptotic solutions）出現在Re=10000與Re=12500。2007 年Prasad和Das [2]研究矩形腔體內的混合對流，他們使用SIMPLE算則與QUICK方法來減少對流項之數值擴散，其雷諾數固定為100，Pr=1，Gr = 0、±10⁴、±10⁶，高寬比（AR = height/width）= 0.5、1 及2，他們發現在高寬比AR = 2、Gr =−10⁵時有總動能週期震盪的現象，並推論此時

(17)

1.3 研究動機

由上述文獻回顧可知，過去對於混合對流流場的研究大都著重在探討理查森數的改變對流場結構及熱傳效應的影響，同時數值方法皆採用二階精度。而四階精度的緊密化法大都應用於不可壓縮的流體力學研究，鮮少應用於具有熱傳的流場研究。同時有關蓋驅動腔傾斜角度對熱傳效應的影響研究方面，其傾斜角度的變化也僅由 0°到 30°，且高寬比固定為 10。此外，Prasad和Das [2]對於混合對流流場的穩定性研究雖然考慮的參數為Gr = 0、±10⁴、±10⁶及高寬比為0.5、1 和 2，但並未探討蓋驅動腔傾斜角度對熱傳效應的影響。因此本文將採用四階精度的緊密形式（Compact Scheme）

數值方法解流線-渦度方程式，以提高計算精度及穩定性，同時改變理查森數(Ri = 0.01、1、100)、驅動腔之高寬比（AR = 0.2、1、5）及傾斜角度（ =γ 0°～90°），來探討不同操作參數變化對流場結構與熱傳效應的影響。

(18)

第二章物理問題

2.1 物理模型

本文模擬研究之二維蓋驅動腔內的物理模型如圖 2-1 所示，本研究考慮三種不同的高寬比AR = 0.2、1、5，高寬比 AR = H/L，H 為腔體高度，L 為腔體寬度，腔體上 方的板蓋有一固定速度，以驅動腔體內之流體進而產生強制對流，重力加速度 g 為垂直向下，兩垂直壁面為絕熱壁面，下壁面為加熱壁面，上壁面為冷卻壁面， >

，由於上下壁面溫度差因而產生自然對流，γ 為腔體傾斜角度。

U0

Th

Tc

2.2 基本假設

本文係以納維爾 - 史托克方程式和包辛尼斯克近似假設（ Boussinesq approximation）來描述二維驅動腔內的流場與溫度分佈，對於流場特性，本文做了下列幾點基本假設：

（1）工作流體為空氣(Pr = 0.71)。

（2）流體假設為不可壓縮流。

（3）流體考慮溫度差所造成的浮力效應符合包辛尼斯克近似假設。

2.3 統御方程式

統御方程式是根據（2.2）節中所做的基本假設，再將納維爾-史托克方程式化為流線-渦度方程式的形式而得，對於蓋驅動腔內的流場與溫度分佈可由下列的流線-渦度方程式及能量方程式來描述。

流線-渦度方程式：

(19)

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

−∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂ sinγ

y cosγ θ x Ri θ Y Ω X

Ω Re

1 Y V Ω X U Ω τ Ω

2 2 2 2

（2）

能量方程式：

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

= ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

2 2 2 2

Y θ X

θ PrRe

1 Y

V θ X U θ τ

θ （3）

U Y

∂

= ∂Ψ

，V X

∂

−∂

= Ψ

（4）

本文求解流場及溫度分佈之統御方程式採無因次化分析，下列為定義本文所使用的無因次參數：

Pr 為普朗特數，Re 為雷諾數，Gr 為葛拉斯赫夫數，Ri 為理查森數。Ψ 為無因次流線方程式，Ω為無因次渦度，θ 為無因次溫度，U 為 X 軸方向的無因次速度，V 為 Y 軸方向的無因次速度，τ 為無因次時間，如（5）式所示。

H X = x ，

H Y = y ，

U0

U = u ， U0

V = v ， H tU₀ τ = ，

( )

(

T_h T^c_c

)

T T

−

= −

θ ，

U0

ωH

=

Ω ，

HU0

= ψ

Ψ （5）

u 和 v 分別為 x 和 y 的有因次速度，ω 為有因次渦度，ψ 為有因次流線函數，下標 h 為加熱壁面，下標c 為冷卻壁面，熱傳遞的紐塞爾數定義如下：

等溫壁面的局部紐塞爾數（Local Nusselt number）：

(20)

( )

1 ,

=0

∂

−∂

= Y Y

X

Nu θ

（6）

等溫壁面的平均紐塞爾數：

∫ ( )

= ¹

0Nu X dX

Nu （7）

計算（6）式為使用單邊逼近法，（7）式為使用 Simpson’s rule 的積分法。

(21)

第三章數值方法

3.1 空間離散

為了數值求解二維蓋驅動腔內之速度場與溫度分佈，公式（1）-（3）可以空間離散化成四階精度的緊密形式，如Erturk 和 Gökçöl [16]所使用的方法：

yy A

xx + + −

∂ =

∂ Ψ Ψ Ω

τ

Ψ （8）

( ) ( ) ( ) ( )

(

^θ

)

^γ

(

^θ

)

^γ

Ω Ψ

Ω τ Ω

Ω

sin H Ri

cos G Ri

F E

D Re C

Re B

y X

Y X

X Y

YY XX

−

− +

+

− +

+ +

− +

+ +

∂ =

∂ 1 1

1 1

（9）

( ) (

CC

) (

DD

) (

EE

)

FF

Re BB Pr

Re

Pr + ^XX + + ^YY − ^Y + ^X + ^X + ^Y −

∂ =

∂ θ θ Ψ θ Ψ θ

τ

θ 1 1

1 1

（10）

其中A、B、C、D、E、F 等係數分別為：

XXYY YY

XX

Y X

Y

A ΔX Ω Δ Ω Δ Δ Ψ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

= 12 12 12 12

2 2

Y Y XY

Re X Re X

B Δ Ψ Δ Ψ Ψ

12 6

2 2

2 +

−

=

X X XY

Re Y Re Y

C Δ Ψ Δ Ψ Ψ

12 6

2 2

2 +

=

YY X XY

Y XXY

Re Y Re X

Y

D ΔX Δ Ψ Δ Ψ Ψ Δ Ψ Ψ

12 12

2 2

2

2 ⎟⎟⎠ − +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

XY X XX

Y XYY

Re Y Re X

Y

E ΔX Δ Ψ Δ Ψ Ψ Δ Ψ Ψ

12 12

2 2

2

2 ⎟⎟⎠ − +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= (11)

(22)

XXYY

Y X XY

YY

XY XX XXY

X XYY

Y

Y X

Re

Y X

Y Re X

Y

X Y

F X

Δ Ω Δ

Ω Δ Ω

Ω Δ Ψ Δ Ψ

Ω Δ Δ Ψ

Ω Δ Ψ

Ω Δ Δ Ψ

Δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

12 12

1

12 12

6

6 12

12 12

12

2 2

2

2 2

2

( )

γ θ

Δ Ψ θ Δ Ψ

Δ θ θ Δ

Ψ θ Ψ θ Ψ θ Δ Ψ

cos Y Re

X Re

Y Re X

X Pr G

XY X XX

Y

XYY XY

X Y XX XX Y X XY

⎥⎦ + ⎤

−

⎢⎣

⎡ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

−

− +

−

=

12 12

12

2 2

2

( )

γ θ

Δ Ψ θ

Δ Ψ

Δ θ θ Δ

Ψ θ Ψ θ Ψ θ Δ Ψ

sin Y Re

X Re

Y Re X

Y Pr H

YY X XY

Y

XXY YY

X Y XY XY Y X YY

⎥⎦

− ⎤ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

⎢ +

⎣

⎡−

=

12 12

12

2 2

2

其能量項的係數BB、CC、DD、EE 和 FF 也是以同樣形式化成的係數，將 B、C、

D、E 和 F 係數內的 Re 和 Ω 代換成 PrRe 和 θ 即能量項上的係數。有限差分離散化後 的方程式（8）-（10）是四階精度的流線方程式、渦度和溫度方程式（1）-（3），如果將係數A，B，C，D，E，F，G，H，BB，CC，DD，EE 和 FF 都設成零，則有限 差分離散化後的方程式將成為二階精度的流線方程式、渦度和能量方程式。

3.2 時間積分

本文的時間積分參考 Erturk 和 Gökçöl [15、16]的方法來解公式（8）-（10），以公式（9）渦度方程式為例，從Ωⁿ_i,_j到Ωⁿ_i_,⁺_j¹的時間積分說明如下：

(23)

( ) ( )

γ sin Y H

Ri θ Δτ γ cos X G

Ri θ Δτ F Δτ Y Ω

E Ω X Δτ Ψ

Y Ω Re

C Δτ 1 X D Ω Y Δτ Ψ X

Ω Re

B Δτ 1 Ω

n n

i,j 1 n i,j n

2 1 n i,j n 2 1

n i,j n 2

1 n i,j n 2 1

n i,j

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

∂

− ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

∂ =

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

− ∂

∂ + ∂

∂ −

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

+

+ +

（12）

使用因式分解的公式(1 + a + b) = (1 + a) (1 + b) – ab，公式（12）可化為：

( )

iⁿ,j

n n

j , i

n j , i n

n

n n

E Y Y X

C Re

D X Y X

B Re

sin Y H

Ri cos

X G Ri F

E Y X Y

C Re

D X Y X

B Re

Ψ Ω τ Δ τ

Δ

τ Ψ Δ τ

Δ

θ γ τ Δ θ γ

τ Δ τ

Δ Ω

Ψ Ω τ Δ τ

Δ

τ Ψ Δ τ

Δ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

− ∂

∂ + ∂

−

⎥ ×

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

∂

− ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

− ∂

∂ + ∂

−

⎥ ×

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

+

2 2

1 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 1

（13）

公式（13）可以提出新的參數 g 定義成公式（14）

( )

^g

E Y X Y

C Re _iⁿ_,_j

n

n =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

− 1 ²₂ ⁺¹

1

1 Δτ Δτ Ψ Ω （14）

再將新的參數g 帶回公式（13）可得到

(24)

( )

i,jⁿ

n 2

n n

i,j

n 2

Y Ω X E

Δτ Ψ Y Re C 1 1 Δτ

D X Y Δτ Ψ X Re B 1 1 Δτ

γ sin Y H

Ri θ Δτ γ cos X G

Ri θ Δτ F Δτ Ω

X g Y D

Δτ Ψ X Re B 1 1 Δτ 1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

− ∂

∂ + ∂

−

⎥ ×

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂

− ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

∂

⎟ ∂

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

−

（15）

公式（15）中 g 是唯一未知的參數，將 g 帶入每一個格點可得到解三角形對角系統，

解完公式（15）得到 g 的值渦度（Ωⁿ⁺¹）再解公式（14）的三角形對角系統。

流線方程式和溫度方程式的時間積分方式與渦度的時間積分方式相同，本文求解的順序依序為先解流線方程式，其次為渦度方程式，最後再解溫度方程式，時間積分的方式則為每個方程式一次解兩個三角對角系統的方式進行，當系統達到穩態時，其前後解的最大殘餘量設定為

(

^max

( (

^ϕⁿ⁺¹⁻^ϕⁿ

)

^/^ϕⁿ

) )

^小於¹⁰⁻⁸^。

3.3 霍普夫分歧（Hopf bifurcation）

霍普夫分歧現象係以總動能（Total kinetic energy , TKE）是否呈現一週期性的震盪為判定準據，若總動能隨時間的增加而趨近於一固定值，則系統為穩態，若總動能隨時間的增加而呈現一週期性的震盪，則霍普夫分歧現象產生。總動能的表示式如下 [19]：

( ) [ ( ) ( )

( ) ( )

( ^, )

]

²¹

1 , 1 ,

2 , 2

, ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

×

∑

= ny nx

j i

n j i n

j

i v

u dt

n

E (16)

(25)

3.4 邊界條件

依據上述的數值方法，在此設定蓋驅動腔的邊界條件如下：

（1）上蓋速度U =1，下壁面速度U =0，垂直壁面速度V =0。

（2）所有壁面的流線函數Ψ =0。

（3）所有壁面的渦度 ₂

2

∂n

−∂

= Ψ

Ω 。

（4）高溫壁面θ=1，低溫壁面θ=0，絕熱壁面 0 nθ =

∂

∂ 。

(26)

第四章數值模擬結果與分析

本研究主要是改變理查森數(Ri = 0.01、1、100)、驅動腔之高寬比（AR = 0.2、1、

5）及傾斜角度（ =γ 0°～90°），來探討不同操作參數變化對流場結構與熱傳效應的影響，其物理模型為底部高溫壁面，上板為移動的冷卻壁面，且兩垂直壁面為絕熱壁面的蓋驅動腔，流體假設為空氣(Pr = 0.71)，上板移動的雷諾數固定為 100。數值方法採用四階精度的緊密形式方法解流線-渦度方程式，以求得流場之流線及溫度分佈，

同時以流場總動能分析在不同理查森數、高寬比及傾斜角度下，矩形蓋驅動腔的穩定性。

4.1 程式驗證

本研究為了確定所撰寫之程式是否正確，首先將模擬結果與Iwatsu等人[6]及 Sharif [10]所做的研究相互比較驗證，模擬之物理模型為上板驅動的加熱壁面與底部為冷卻壁面，兩垂直壁面為絕熱壁面的蓋驅動腔，高寬比AR = 1，且固定雷諾數為 1000 與Gr為 10⁶，模擬流體為空氣Pr = 0.71，其模擬結果如圖 4-1 所示。圖 4-1(a)為Iwatsu 等人[6]模擬之流線和等溫圖，圖 4-1(b)為本研究之計算結果。圖 4-1 顯示本研究之計算結果與文獻相比較具有很高的相似度。同時本研究計算在上蓋板之平均紐塞爾數與 Iwatsu等人[6]及Sharif [10]之計算結果列於表 4-1，而本研究計算之平均紐塞爾數與 Iwatsu等人[6]及Sharif [10]之計算結果最大誤差在 7.3%以內，值得注意的是本研究之數值方法採用四階精度，而Iwatsu等人[6]及Sharif [10]所採用之數值方法精度僅為二階。由以上之比較結果顯示，本研究所撰寫之程式是正確的。

圖 4-2 為本研究二階精度與四階精度數值方法之收斂殘餘值比較，疊代的時間步

(27)

4.2 格點選擇

格點的數目若太少容易形成預測不準確或無法正確模擬出流場之物理現象，而格點數目太多則容易造成計算時間上的浪費，因此格點的選擇需能充分表現模擬之物理現象且計算時間短，而本研究所使用的網格為均勻網格，所以選擇可充分表現模擬之物理現象的最少網格即為最有效率的網格。本文所用來比較網格效率的物理模型為高寬比AR = 1，底部為高溫壁面，上板壁為移動的冷卻面，且兩垂直壁面為絕熱壁面的 蓋驅動腔，模擬流體為空氣(Pr = 0.71)，Re = 316 與 Ri = 1。使用六種不同大小的網格分別為32 × 32、64 × 64、128 × 128、256 × 256、384 × 384 及 512 × 512 進行測試，

模擬結果如圖 4-3 及 4-4 所示。觀察圖 4-3（a）、（b）發現網格點數的多寡對中心速度分佈的預測並無明顯差異，但是在圖 4-4（b）為冷卻壁面 X 軸上的局部紐塞爾數 分佈，在128 × 128 以上的網格其紐塞爾數分佈無明顯差異，已能充分表現其物理現象，而128 × 128 以上的網格在計算上所消耗的時間較長，故高寬比 AR = 1 選用 128 × 128 的網格為主要的計算網格，高寬比AR = 0.2，使用的網格為 128 × 640，高寬比 AR = 5，使用的網格為 640 × 128，做為以下計算所使用的網格。

4.3 數值模擬結果

本文模擬研究結果的呈現將以蓋驅動腔在不同的高寬比之下，改變流場之理查森數及傾斜角度，以觀察流場之流場結構、溫度變化、冷熱壁面之熱傳效應及總動能。

其中流場結構、溫度變化及冷熱壁面之熱傳效應係分別以流線圖、等溫線圖及冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈圖表示，而總動能則用來判斷流場是在層流區域或是流場出現霍普夫分歧現象。整體而言，在計算的過程中，如果流線、渦度及溫度的變化達到收斂條件時，則程式停止運算並紀錄運算結果。而總動能則是隨著時間步階的增加隨時紀錄，因此紀錄檔案相當大，本文之結果將只呈現至無因次時間τ = 1000 為止。但若流場總動能出現週期性或無週期性震盪時，表示流場已由層流轉換至暫態流

τ

(28)

及冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈圖皆為τ = 1000 之結果。

4.3.1 高寬比 AR = 0.2、理查森數 Ri = 0.01

當AR = 0.2 及 Ri = 0.01 時，隨著蓋驅動腔傾斜角度(γ = 0°～90°)變化之流線分 佈、等溫線分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能如圖4-5 至圖 4-8 所示。由於Ri = 0.01 時，流場係由強制對流所主宰，因此雖然蓋驅動腔傾斜角度的增加，流 場中只有一主要渦流(Primary vortex)呈現(如圖 4-5 所示)。圖 4-6 為傾斜角度變化之溫度分佈圖，在強制對流下，傾斜角度的改變對流場溫度分佈並無明顯影響，較大溫度梯度出現在驅動腔之左上方及右下方，顯示在此處熱傳效果較佳。圖4-7 為冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈圖，在溫度梯度較大處其紐塞爾數亦較大，但傾斜角度的改變對紐塞爾數並沒有影響。圖 4-8 亦顯示流場總動能(TKE)不受傾斜角度變化的影響，且當τ = 1000 時仍呈現一定值，顯示流場仍為層流。

4.3.2 高寬比 AR = 0.2、理查森數 Ri = 1

當AR = 0.2 及 Ri = 1 時，隨著蓋驅動腔傾斜角度(γ = 0°～90°)變化之流線分佈、

等溫線分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能如圖4-9 至圖 4-12 所示。圖 4-9 為隨傾斜角度變化之流線圖，當傾斜角度為 0°時，流場因上板壁向右移動而產生一順時鐘旋轉之主要渦流，其形狀與Ri = 0.01 的流場相似，但隨著角度慢慢增大，在 下板壁的兩角落由浮力作用所產生的逆時鐘迴流也慢慢增大。當傾斜角達到45°時，

形成上下兩主要迴流，且位於驅動腔下方之迴流區域比位於上方之迴流區域大，此結果顯示當傾斜角達到45°時，浮力作用比剪力作用要來得大些。當傾斜角持續再增加時，流場並無多大變化。圖4-10 為隨傾斜角度變化之等溫線圖，當傾斜角度為 0°時，

(29)

效果，而上蓋板在左側有較佳的熱傳效果，但隨著傾斜角度的增加，熱傳效果會往相反方向移動，如圖 4-11 之局部紐塞爾數分佈所示。圖 4-12 顯示流場總動能(TKE)雖然受傾斜角度變化而其值有所變動，但當τ = 1000 時仍呈現一定值，顯示流場仍為層流。

4.3.3 高寬比 AR = 0.2、理查森數 Ri = 100

當Ri = 100 時，流場係由熱浮力所主宰，相對的自然對流作用也較明顯，隨著蓋 驅動腔傾斜角度(γ = 0°～90°)變化之流線分佈、等溫線分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能如圖4-13 至圖 4-16 所示。圖 4-13 為隨傾斜角度變化之流線圖，當傾斜角度為0°時，流場出現兩對旋轉方向相反的渦流，當傾斜角度增加至 15°時，由於浮力作用的增強，驅動腔右方的兩個渦流結合為一個逆時鐘方向旋轉的渦流。當傾斜角度增加至30°時，流場開始出現不穩定現象，且驅動腔內僅有一主要渦流出現，隨著傾斜角度持續增加，流場仍維持不穩定的暫態現象。圖 4-14 為隨傾斜角度變化之等溫線圖，當傾斜角度為 0°時，較大溫度梯度出現在兩對渦流相互衝擊處及渦流衝擊平板處，也就是在下底板之X = 1.3 及 3.4 與上蓋板之 X = 0.2、2.3 及 4.6 處，當傾 斜角度增加至15°時，較大溫度梯度出現在下底板之X = 0.3 及 2.4 與上蓋板之 X = 1.5 及4.6 處。當傾斜角度增加至 30°時，較大溫度梯度出現在下底板之X = 0.3 與上蓋板 之X = 4.6 處，隨著傾斜角度持續增加，較大溫度梯度出現的位置大致不再不變。圖 4-15 之局部紐塞爾數分佈圖顯示較佳熱傳效果之位置與圖 4-13 出現較大溫度梯度的位置相符。圖4-16 為隨傾斜角度變化之 TKE 圖，觀察 TKE 發現在傾斜角度 30°～90°

時TKE 產生無週期性的震盪，此結果顯示當傾斜角度增加到 30°以上時，流場從穩定層流轉換至不穩定之暫態流。

由以上的分析結果得知，當AR = 0.2 時，驅動腔傾斜角度的變化對強制對流(Ri = 0.01) 及混合對流(Ri = 1)流場的影響較小，也就是流場皆維持在穩定層流區域，但對

(30)

轉換至不穩定之暫態流。

4.3.4 高寬比 AR = 1、理查森數 Ri = 0.01

當AR = 1 時，驅動腔為正方形，且 Ri = 0.01 時，流場為強制對流主宰，在強制 對流主宰之下，流場呈現一個幾乎佔據整個驅動腔的主要渦流，由熱底板所產生之熱浮力效應僅造成在兩底部角落之小渦流，且傾斜角度的增加對於流場結構、溫度分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能並無影響如圖4-17 至圖 4-20 所示。

4.3.5 高寬比 AR = 1、理查森數 Ri = 1

當Ri = 1 時，強制對流與自然對流相當，隨著蓋驅動腔傾斜角度(γ = 0°～90°)變化之流線分佈、等溫線分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能如圖 4-21 至圖 4-24 所示。圖 4-21 之流線圖顯示，當傾斜角度為 0°時，流場因上板壁的移動而產生一主要渦流，而右下角之一小迴流係由熱浮力所產生。隨著傾斜角度的增加，右下方小迴流漸漸向上擴大，當傾斜角度增加至30°時形成各佔一半的上下兩大渦流，但當傾斜角度增加至60°時，流場結構不再隨傾斜角度的增加而改變。圖 4-22 之等溫線圖顯示，當傾斜角度為 0°時，較大溫度梯度發生在驅動腔左上及右下方之處，隨著傾斜角度的增加，較大溫度梯度往驅動腔之左下及右上方移動，當傾斜角度增加至30°

以上時，較大溫度梯度的位置大致不再改變。圖 4-23 為冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈圖，當傾斜角度為0°時，高溫面之局部紐塞爾數最大值發生在X ＝ 0.62 處，冷卻 面之局部紐塞爾數由 X ＝ 0 處往 X ＝ 1 處驟降，當傾斜角度增加時，冷熱壁面之 局部紐塞爾數隨著降低，此結果顯示在強制對流與自然對流相當的流場中，傾斜角度的增加不但沒有提升熱傳效果，反而降低熱傳效應。圖4-24 之 TKE 圖顯示，無論傾

(31)

4.3.6 高寬比 AR = 1、理查森數 Ri = 100

當Ri = 100 時，流場係由熱浮力所主宰，相對的自然對流作用也較明顯，隨著蓋 驅動腔傾斜角度(γ = 0°～90°)變化之流線分佈、等溫線分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能如圖4-25 至圖 4-28 所示。圖 4-25 之流線圖顯示，當傾斜角度為 0°

時，流場有上下幾乎對稱的兩大渦流產生，上方渦流係由上板壁的移動剪力所造成，

而下方渦流係由底板熱浮力效應所產生。當傾斜角度增加時，熱浮力幾乎主宰整個流場，由剪力所造成之渦流變得極其微弱，且侷限在上蓋板下方之小區域。雖然傾斜角度從 15°增加到 75°時，流場結構、溫度分佈及局部紐塞爾數皆隨著傾斜角度的增加而改變，但流場還是保持在穩定層流區域。但當傾斜角度增加至90°時，流場總動能出現週期性的震盪（如圖4-28 所示），此結果顯示霍普夫分歧現象產生，流場進入渾沌流(Chaos flow)，若再增強浮力作用，流場將轉為紊流(Turbulent flow)。

4.3.7 高寬比 AR = 5、理查森數 Ri = 0.01

當AR = 5 時，驅動腔為一深且窄之腔體，雖然 Ri = 0.01 時流場為強制對流所主 宰，但驅動腔傾斜角度變化對流場結構及熱傳效應的影響可能不大。圖 4-29 為隨傾斜角度變化之流線圖，當傾斜角度為 0°時，流場受上蓋驅動而產生一較強之順時鐘渦流(Y ≈ 4~5)，而底部受熱浮力作用致產生較弱之三個次要渦流，圖中顯示雖然流場為強制對流所主宰，但主要渦流無法貫穿至驅動腔底部。隨著傾斜角度的增加，熱浮力作用也隨著增強，三個次要迴流混合成一個，主要渦流仍無法貫穿至驅動腔底部。

圖4-30 之溫線圖顯示，雖然傾斜角度增加，但溫度分佈幾乎不變，且從 Y ＝ 4 以下呈水平均勻分佈，此結果顯示熱傳效果不佳，其可從圖 4-31 之冷熱壁面局部紐塞爾數圖看出。圖4-32 之流場總動能亦顯示此流場皆在穩定層流區域。

(32)

4.3.8 高寬比 AR = 5、理查森數 Ri = 1

當Ri = 1 時，強制對流與自然對流相當，隨著蓋驅動腔傾斜角度(γ = 0°～90°)變化之流線分佈、等溫線分佈、冷熱壁面之局部紐塞爾數分佈及總動能如圖 4-33 至圖 4-36 所示。圖 4-33 流線圖顯示，當傾斜角度為 0°時，流場受上蓋驅動而產生一較強之順時鐘渦流(Y ≈ 4~5)，而底部受熱浮力作用致產生一較弱之次要渦流(Y ≈ 0~4)，惟因Ri = 1 時自然對流與強制對流效應相當，故不像 Ri = 0.01 時底部有三個較弱的次 渦流存在。當傾斜角度增加時，熱浮力作用增強，故腔體下方之渦流向上擴大，並擠壓上方之主渦流，當傾斜角度增加至45°後，再持續增加傾斜角度則流場結構並無太大改變。圖 4-34 之等溫線圖顯示，較大溫度梯度出現在接近上下壁面及兩渦流交會處，雖然在兩渦流交會處之較大溫度梯度隨著傾斜角度的增加而向上移動，但傾斜角度的增加對整體驅動腔之溫度分佈影響不大。圖 4-35 之局部紐塞爾數圖顯示冷熱壁面之最大紐塞爾數皆出現在X ＝ 0 處，且傾斜角度變化對紐塞爾數影響不大。圖 4-36 之總動能亦顯示不同之傾斜角度下，流場皆在穩定層流區域。

4.3.9 高寬比 AR = 5、理查森數 Ri = 100

當Ri = 100 時，流場係由熱浮力所主宰，相對的自然對流作用也較明顯，吾人為 了瞭解流場之穩定性如何，驅動腔隨著傾斜角度變化之流場總動能如圖 4-37 所示。

由圖4-37 可見，當傾斜角度為 0°時，流場經過初期的震盪之後轉變為週期性的震盪，

其週期為1.9492，顯示流場有霍普夫分歧現象產生，當傾斜角度增加至 15°～45°時，

流場產生無週期性之激烈震盪，當傾斜角度增加至 60°及 75°時，流場經過短暫震盪之後由回到穩定層流區域，但當傾斜角度增加至90°時，流場又回到週期性的震盪，

其週期為1.3666。此結果顯示，當Ri = 100 時，流場的特性受驅動腔傾斜角度的影響

(33)

得知，除了傾斜角度為 60°及 75°時之流場為穩定層流之外，其餘流場皆為不穩定流場，因此傾斜角度為 60°及 75°之流線圖、等溫線圖及局部紐塞爾數分佈圖皆為收斂條件下之結果，其餘為τ = 1000 之暫態結果。由圖 4-38 可見，當傾斜角度為 0°時，

流場呈現三對旋轉方向相反之渦流，且隨著傾斜角度的增加(15°～45°)渦流數目有所增減，此時之流場結構皆為暫態之結果，其可隨時間而改變。當傾斜角度增加至60°

及75°時，流場受熱浮力效應的影響更為明顯，整個驅動腔幾乎受熱浮力所產生之逆時鐘旋轉渦流所佔據。當傾斜角度增加至90°時，相當於驅動腔之低溫左壁面向上移動，右壁面為高溫，上下壁面為絕熱，靠近右壁面之高溫空氣往上升，當碰到上壁面之後沿著壁面往左邊移動至左壁面，由於左壁面之剪力效應比熱浮力效應小，因此當熱空氣碰到左壁面之後往下流動，並沿著底部壁面流回右壁面而形成一逆時鐘旋轉之渦流。

圖 4-39 為改變驅動腔傾斜角度之等溫線圖，由圖中可見較大溫度梯度發生在靠近上下壁面處及兩渦流之交會處，隨著傾斜角度的增加，靠近上下壁面之溫度梯度也隨著增大，此結果顯示傾斜角度的增加會增益上下壁面的熱傳效果，如圖 4-40 之局部紐塞爾數分佈圖所示。

4.4 平均紐塞爾數

改變驅動腔之高寬比（AR = 0.2、1、5）、理查森數(Ri = 0.01、1、100)及傾斜角度（γ = 0°～90°）等參數對流場熱傳效應的影響如圖 4-41 所示。當 AR = 0.2 時，改變理查森數及傾斜角度之加熱壁面平均紐塞爾數如圖 4-41(a)所示，由圖中可見，在強制對流主宰之下(Ri = 0.01)，傾斜角度的增加對熱傳增益並無太大影響，也就是平均紐塞爾數皆保持在一定值(Nu = 1.7)，當流場由強制對流主宰轉變至強制對流與自然對流相當時(Ri = 1)，平均紐塞爾數隨著傾斜角度的增加而降低，當γ = 45°時，平均紐塞爾數降至最低值(Nu = 1.2)，傾斜角度再增加平均紐塞爾數有些微的增加但不大。當流場由強制對流與自然對流相當轉變至自然對流主宰時(Ri = 100)，平均紐塞

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爾數最大值(Nu = 7.2)發生在γ = 0°，但隨著傾斜角度的增加而急速降低，傾斜角度增加到γ = 30°時，平均紐塞爾數降至最低值(Nu = 5.4)，傾斜角度再增加平均紐塞爾數跟著再增加，當γ = 90°時，平均紐塞爾數為 5.8。總之，當AR = 0.2 時，自然對流主宰 流場(Ri = 100)具有最佳之熱傳效果，且發生在γ = 0°。

圖4-41(b)為AR = 1 時之平均紐塞爾數比較圖，由圖中可見當 Ri = 0.01 時，傾斜 角度的改變對熱傳效果並無影響，其平均紐塞爾數幾乎保持在一定值(Nu = 2)。當 Ri = 1 時，傾斜角度從γ = 0°增加至γ = 30°，平均紐塞爾數則從Nu = 2.8 降低至 Nu = 1.5，

傾斜角度再增加平均紐塞爾數僅有些微的增加。當Ri = 100 時，傾斜角度從γ = 0°增加至γ = 75°，平均紐塞爾數也從Nu = 4.4 增加至最大值(Nu = 7.6)，傾斜角度再增加至 γ = 90°時，平均紐塞爾數隨著降低。總之，當AR = 1 時，自然對流主宰流場(Ri = 100) 具有最佳之熱傳效果，且發生在γ = 75°。

圖4-41(c)為AR = 5 時之平均紐塞爾數比較圖，由圖中可見當 Ri = 0.01 時，傾斜 角度的改變對熱傳效果並無影響，其平均紐塞爾數幾乎保持在一定值(Nu = 0.2)。當 Ri = 1 時，傾斜角度從γ = 0°增加至γ = 45°，平均紐塞爾數則緩慢從Nu = 0.7 增加至 Nu = 0.9，傾斜角度再增加平均紐塞爾數則有些微的降低。當 Ri = 100 時，傾斜角度 從γ = 0°增加至γ = 75°，平均紐塞爾數也從Nu = 1.5 增加至最大值(Nu = 6.1)，傾斜角 度再增加至γ = 90°時，平均紐塞爾數隨著降低。總之，當AR = 5 時，自然對流主宰 流場(Ri = 100)具有最佳之熱傳效果，且發生在γ = 75°。

總而言之，在本研究所探討的三種高寬比驅動腔中，採用強制對流並未如想像中的對熱傳有較佳之增益效果，反而是自然對流具有較佳之熱傳增益，尤其是在方形或是深且窄的驅動腔內，若是將驅動腔傾斜至γ = 75°，則自然對流將具有最佳之熱傳增益。

(35)

第五章結論與展望

5.1 結論

本研究採用四階精度的緊密形式數值方法解流線-渦度方程式，來探討改變驅動腔之高寬比（AR = 0.2、1、5）、理查森數(Ri = 0.01、1、100)及傾斜角度（ =γ 0°～90°）

之下，不同操作參數對流場結構與熱傳效應的影響，數值模擬結果得到下述結論：

1. 採用四階精度的緊密形式數值方法在穩定層流流場皆可得到穩定的收斂。

2. 以驅動腔之高寬比AR = 0.2 而言，在強制對流(Ri = 0.01)主宰之下，改變驅動腔傾 斜角度對流場結構與熱傳效應幾乎沒有影響，且所有流場皆在穩定層流區域。當強制對流與自然對流相當時(Ri = 1)，改變驅動腔傾斜角度會影響流場結構與熱傳效應，但當傾斜角度增加至γ = 45°以後，再增加傾斜角度對流場結構與熱傳效應 幾乎沒有影響，無論驅動腔是否傾斜，所有流場皆在穩定層流區域。當流場為自然對流(Ri = 100)所主宰時，改變驅動腔傾斜角度不但影響流場結構也影響熱傳效應，在傾斜角度γ = 0°及 15°時，流場為穩定層流區域，但當傾斜角度增加至 =γ 30°

以後，流場從穩定層流區域轉換至不穩定之渾沌流(Chaos flow)，其總動能呈現無週期性之震盪現象。

3. 以驅動腔之高寬比AR = 1 而言，在強制對流(Ri = 0.01)主宰之下，其結果與高寬 比AR = 0.2 時類似，改變驅動腔傾斜角度對流場結構與熱傳效應幾乎沒有影響，

且所有流場皆在穩定層流區域。當強制對流與自然對流相當時(Ri = 1)，改變驅動腔傾斜角度會影響流場結構與熱傳效應，但當傾斜角度增加至γ = 30°以後，再增 加傾斜角度對流場結構與熱傳效應幾乎沒有影響，無論驅動腔是否傾斜，所有流場皆在穩定層流區域。當流場為自然對流(Ri = 100)所主宰時，改變驅動腔傾斜角度不但影響流場結構也影響熱傳效應，在傾斜角度γ = 0°～75°時，流場為穩定層流區域，但當傾斜角度增加至γ =90°時，流場從穩定層流區域轉換至不穩定之渾

(36)

時流場出現霍普夫分歧現象。

4. 以驅動腔之高寬比AR = 5 而言，在強制對流(Ri = 0.01)主宰之下，其結果與高寬 比AR = 0.2 及 1 時類似，改變驅動腔傾斜角度對流場結構與熱傳效應幾乎沒有影 響，且所有流場皆在穩定層流區域。當強制對流與自然對流相當時(Ri = 1)，改變驅動腔傾斜角度對流場結構與熱傳效應僅有些微的影響，且所有流場皆在穩定層流區域。但當流場為自然對流(Ri = 100)所主宰時，改變驅動腔傾斜角度不但影響流場結構也影響熱傳效應及流場穩定性，在傾斜角度為γ = 0°時，流場總動能呈現週期性之震盪現象，震盪週期為1.9492，當傾斜角度增加為γ = 15°～45°時，流場總動能呈現無週期性之震盪現象，再增加傾斜角度至γ = 60°及 75°時，流場轉為為穩定層流區域，但傾斜角度增加至γ = 90°，流場又轉為週期性之震盪現象，震盪週期為1.3666。

5. 在本研究所探討的三種高寬比驅動腔中，採用強制對流並未如想像中的對熱傳有較佳之增益效果，反而是自然對流具有較佳之熱傳增益，尤其是在方形或是深且窄的驅動腔內，若是將驅動腔傾斜至γ = 75°，則自然對流將具有最佳之熱傳增益。

5.2 未來展望

未來研究方向可持續探討流場如何從週期性震盪轉變為無週期性震盪，又從無週期性震盪轉為一定值之後再轉為週期性震盪之路徑與機制，此外三維流場更為貼近實際工程上之應用，將目前之二維程式擴展至可模擬三維之流場將是值得一試的挑戰，

且改變網格結構為非均勻網格以加強對邊界層的計算準確度與減少計算所需的時間也是值得思考的方向。

中 華 大 學 碩 士 論 文