Form Reduction
對於一個 linear operator, 我們希望能找到適當的 ordered basis, 使其 representative matrix 為特殊的形式 (form). 在 matrices 來說指的就是要找到有特別 form 的 similar matrices. 我們希望得到 form 有的是所謂的 canonical form (將矩陣化為 canonical form 能 幫我們判斷哪些矩陣是 similar), 還有一些 form 在數學許多領域都有重要的應用. 不過在此 我們不去談論這些應用 (大家在研讀相關領域時自然會學到), 而專注於如何將一個矩陣化 為這些 forms.
前一章我們提到利用 Primary Decomposition Theorem, 我們可以將 linear operator 簡 化成只要考慮 characteristic polynomial 為 p(x)c 這種形式的 linear operator, 其中 p(x) 是 F[x] 上的 irreducible polynomial. 我們將逐步由 p(x) 的可能情形來得到各種 forms.
4.1. Diagonal From
這一節中, 我們將從最簡單的 T -invariant subspace 出發, 引進所謂的 eigenvalue 以及 eigenvector, 再說明哪些情形可以得到 diagonal form.
對於一個 linear operator T : V→ V, 除了 {O} 以外, 最簡單的 T-invariant subspace 自然 是 dimension 為 1 的 T -invariant subspace. 現若 U 為 T -invariant subspace 且 dim(U) = 1, 即 存在 v̸= OV 使得 U = Span({v}). 由 U 為 T-invariant 的假設, 我們得 T(v) ∈ U = Span({v}). 也就是說, 存在λ ∈ F 使得 T(v) = λv. 我們有以下的定義.
Definition 4.1.1. 假設 T : V→ V 為 linear operator, 若存在 λ ∈ F 以及 v ∈ V 且 v ̸= OV
使得 T (v) =λv, 則稱 λ 為 T 的一個 eigenvalue, 而 v 為 T 的一個 eigenvector.
注意, 對於 eigenvector v 我們要求 v̸= OV, 而對於 eigenvalue λ 我們並無要求 λ ̸= 0.
也就是說 OV 雖符合 T (OV) =λOV, 但我們不考慮這種 trivial 的情形, 故不稱 OV 為 eigenvector. 另一方面若 v̸= OV 滿足 T (v) = 0v = OV, 表示 v 為 Ker(T ) 的元素. 所以若 0 為 T 的 eigenvalue, 表示 Ker(T )̸= {OV}, 亦即 T : V → V 不是 one-to-one.
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Question 4.1. 假設 V 為 finite dimensional vector space 且 T : V → V 為 linear operator.
下列哪些是等價的?
(1) T is an isomorphism (2) T is one-to-one (3) T is onto (4) 0 is not an eigenvalue of T . 要找到一個 linear operator 有哪些 eigenvalue 和 eigenvector, 程序上是先找 T 有哪 些 eigenvalue, 再利用這些 eigenvalue 將其對應的 eigenvector 找出. 首先觀察若 λ 為 T : V → V 的 eigenvalue, 則必存在 v ̸= OV 使得 T (v) =λv, 得 λid(v) − T(v) = OV. 也就是 說 v∈ Ker(λid − T), 亦即 λid − T 這一個 linear operator 不是 isomorphism, 利用 Lemma 3.1.4 知 det(λid − T) = 0. 如何求 det(λid − T)? 回顧一下, 我們需先找 V 的一個 ordered basisβ, 再求 λid−T 對於 β 的 representative matrix [λid − T]β. 依定義 det(λid−T) 就是 det([λid − T]β). 然而若 dim(V ) = n, 則我們有
[λid − T]β = [λid]β− [T]β =λ[id]β− [T]β =λIn− [T]β.
因此若 λ ∈ F 是 T 的一個 eigenvalue, 則 det(λIn− [T]β) = 0. 又 T 的 characteristic poly- nomial 為 χT(x) =χ[T ]β(x) = det(xIn− [T]β). 得知, 若 λ ∈ F 是 T 的一個 eigenvalue, 則 χT(λ) = 0. 反之, 若 λ ∈ F 為 χT(x) = 0 之一根, 則 det(λid − T) = 0. 表示 λid − T 這一個 linear operator 不是 one-to-one, 亦即存在 v∈ V 且 v ̸= OV 使得 T (v) =λv. 因此我們有以 下之結果.
Proposition 4.1.2. 假設 V 為 finite dimensional vector space 且 T : V → V 為 linear operator. 則λ ∈ F 為 T 的 eigenvalue 若且唯若 χT(λ) = 0.
當 dim(V ) = n 時, 由於χT(x)∈ F[x] 是一個次數為 n 的多項式, 它在 F 中根的個數最多 只有 n 個 (當然也可能沒有根), 所以 T 僅能有有限多個 eigenvalue. 若 λ ∈ F 為 χT(x) 的 一根, 則 (x−λ) | χT(x). 又 x−λ 為 F[x] 的 monic irreducible polynomial, 所以若將 χT(x) 分解成 monic irreducible polynomials 的乘積 χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck. 這些 pi(x) 中次數 為一次的多項式就給我們一個 T 的 eigenvalue. 我們對 x−λ 可整除 χT(x) 的最高次方有興 趣, 因此有以下的定義.
Definition 4.1.3. 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V→ V 為 linear operator 且λ 為 T 的一個 eigenvalue. 我們稱 x−λ 可整除 χT(x) 的最高次方為λ 的 algebraic multiplicity.
依此定義, 若χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck, 其中 p1(x), . . . , pk(x) 為相異的 monic irreducible polynomials 且 p1(x) = x−λ, 則 c1 是λ 的 algebraic multiplicity.
Question 4.2. 若 T : V → V 為 linear operator 且 dim(V) = n, 則 T 最多有多少個相異的 eigenvalue? 此時每個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 為多少?
找到 T 所有可能的 eigenvalue 後, 我們就可以決定這些 eigenvalue 所對應的 eigenvector 了. 若 λ 為 eigenvalue, 前面提過所有滿足 v ̸= OV 以及 T (v)−λv = OV 的元素 v 就是 eigenvalue 為λ 的 eigenvector. 也就是說 eigenvalue 為 λ 的 eigenvector 就是 Ker(T −λid) 中的非 OV 元素. 我們很自然會考慮以下的 vector space.
Definition 4.1.4. 假設 T : V→ V 為 linear operator 且 λ 為 T 的一個 eigenvalue. 令 Eλ(T ) = Ker(T−λid) = {v ∈ V | T(v) = λv}.
稱之為 T 對應於 λ 的 eigenspace 且 dim(Eλ(T )) 稱為λ 的 geometric multiplicity.
假設 v∈ Eλ(T ), 由於 T (T (v)) = T (λv) = λT(v), 我們得 T(v) ∈ Eλ(T ). 得知 Eλ(T ) 是一 個 T -invariant subspace.
Question 4.3. 你能用 Lemma 3.5.3 說明 Eλ(T ) 為 T -invariant subspace 嗎?
如何得到 Eλ(T ) 呢? 我們仍是利用 ordered basis β 得到 [T − λid]β= [T ]β−λIn 這一個 matrix, 再求 [T ]β−λIn的 null space N([T ]β−λIn) ={x ∈ Fn| ([T]β−λIn)·x = O}. 再利用β 將 N([T ]β−λIn)中的元素還原回 V 中的元素, 就是 Eλ(T ) 的元素, 而且 dim(N([T ]β−λIn)) = dim(Eλ(T )) 就是 λ 的 geometric multiplicity.
Example 4.1.5. 考慮 T : M2(F)→ M2(F) 定義為 T
( a b c d
)
=
( a c b d
)
.考慮 M2(F) 上 的 ordered basis β = (
( 1 0 0 0
) ,
( 0 1 0 0
) ,
( 0 0 1 0
) ,
( 0 0 0 1
)
), 則 T 對於 β 的 repre- sentative matrix 為
[T ]β=
1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
.
求得 χT(x) =χ[T ]β(x) = (x− 1)3(x + 1). 所以 1 和 −1 為 T 的 eigenvalue, 它們的 algebraic multiplicity 分別為 3 和 1.
要求 T 對於 1 的 eigenspace E1(T ), 我們先考慮 N([T ]β− I4), 即解聯立方程組
0 0 0 0
0 −1 1 0 0 1 −1 0
0 0 0 0
·
x1 x2 x3 x4
=
0 0 0 0
, 也就是解
0 = 0
−x2+ x3 = 0 x2− x3 = 0
0 = 0
解得 N([T ]β− I4) ={(x1, x2, x2, x4)t| x1, x2, x4∈ F}. 知 1 的 geometric multiplicity 為 3 且 E1(T ) ={
( x1 x2
x2 x4 )
| x1, x2, x4∈ F}.
同理, 對於 −1 的 eigenspace E−1(T ), 我們先考慮 N([T ]β− (−1)I4),即解聯立方程組
2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2
·
x1 x2 x3 x4
=
0 0 0 0
, 也就是解
2x1 = 0 x2+ x3 = 0 x2+ x3 = 0 2x4 = 0
解得 N([T ]β− (−1)I4) ={(0,x2,−x2, 0)t| x2∈ F}. 知 −1 的 geometric multiplicity 為 1 且 E−1(T ) ={
( 0 x2
−x2 0 )
| x2∈ F}.
Algebraic multiplicity 並不一定會等於 geometric multiplicity, 我們看一個簡單的例子.
Example 4.1.6. 考慮 T : P1(F)→ P1(F) 定義為 T (ax + b) = bx, 並考慮 P1(F) 的 ordered basis β = (x,1). 我們有 [T]β =
( 0 1 0 0
)
, 得 χT(x) = x2. 所以 0 是 T 唯一的 eigenvalue 且其 algebraic multiplicity 為 2. 要求 N([T ]β− 0I2) = N([T ]β) 即解
( 0 1 0 0
)
· ( a
b ) ( =
0 0
)
得 b = 0, 即 N([T ]β− 0I2) ={(a,0)t| a ∈ F}. 故 0 的 geometric multplicity 為 1 且 E0(T ) ={ax | a ∈ F}.
雖然 T 的一個 eigenvalueλ 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 有可能 不同, 不過它們之間仍有著某種關係存在. 我們利用 Primary Decomposition Theorem 來說 明. 利用 Theorem 3.5.8 的符號, 假設
µT(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk and χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck
其中 p1(x), . . . , pk(x) 為相異的 monic irreducible polynomials 且因為 λ 為 T 的 eigenvalue, 我們令 p1(x) = x−λ. 若令 Vi= Ker(pi(T )◦mi), for i = 1, . . . , k, 則 Primary Decomposition Theorem (Theorem 3.5.8) 告訴我們
V = V1⊕ ··· ⊕Vk
且
µT|Vi(x) = pi(x)mi and χT|Vi(x) = pi(x)ci,∀i = 1,...,k.
因假設 p1(x) = x−λ, 我們有
V1= Ker((T−λid)◦m1)⊇ Ker(T −λid) = Eλ(T ).
由 此 知 λ 的 geometric multiplicity dim(Eλ(T ))≤ dim(V1). 另 一 方 面, 依 定 義 c1 為 λ 的 algebraic multiplicity, 而又 χT|V1(x) = (x−λ)c1, 知 deg(χT|V1(x)) = c1. 因為一個 linear operator 的 characteristic polynomial 的 degree 為此 operator 所在的 space 之 dimension, 故得 dim(V1) = c1. 因此我們知 dim(Eλ(T ))≤ c1, 得到以下的結果.
Lemma 4.1.7. 若 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator 且 λ 為 T 的一個 eigenvalue, 則 λ 的 algebraic multiplicity 大於等於其 geometric multiplicity.
當 λ 是 T 的 eigenvalue 時, 由於 Eλ(T ) 存在著非 OV 的元素, 故知 dim(Eλ(T ))≥ 1, 也 就是說 λ 的 geometric multiplicity 必大於等於 1. 此時若 λ 的 algebraic multiplicity 是 1, 則由 Lemma 4.1.7 知λ 的 algebraic multiplicity 等於其 geometric multiplicity (即 λ 的 geometric multiplicity 等於 1). 在一般的情形, 什麼時候λ 的 algebraic multiplicity 會等於 其 geometric multiplicity 呢? 我們有以下的結果.
Proposition 4.1.8. 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V→ V 為 linear operator 且 λ 為 T 的一個 eigenvalue. 則 λ 的 algebraic multiplicity 等於其 geometric multiplicity 若 且唯若 x−λ | µT(x) 但 (x−λ)2-µT(x).
Proof. 我們用前面一樣的符號, 設µT(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk以及χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck, 其中 p1(x) = x−λ. 又令 V1= Ker((T−λid)◦m1). 若 x−λ | µT(x) 但 (x−λ)2-µT(x), 此即表 示 m1= 1, 故得 V1= Ker(T−λid) = Eλ(T ). 前面已知 dim(V1)為λ 的 algebraic multiplicity, 而依定義 dim(Eλ(T )) 為 λ 的 geometric multiplicity, 故得證它們相等.
反過來, 若λ 的 algebraic multiplicity 等於其 geometric multiplicity, 即表示 dim(V1) = dim(Eλ(T )), 故得 V1= Ker(T−λid). 換句話說, 對於任意 v ∈ V1, T (v)−λid(v) = OV. 這 告訴我們 T−λid 限制在 V1 上是一個 zero mapping, 即 (T−λid)|V1 = T|V1−λid|V1 = O.
也就是說, 若令 h(x) = x−λ, 得 h(T|V1) = O. 因此由 Lemma 3.3.5 知 T|V1 的 minimal polynomial µT|V1(x) 整除 h(x) = x−λ. 然而 Theorem 3.5.8 告訴我們 µT|V1(x) = (x−λ)m1,
故得證 m1= 1.
特 別 的, 假 設 χT(x) 可 以 完 全 分 解 成 F[x] 中 的 一 次 多 項 式 的 乘 積, 亦 即 χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck, 其 中 每 一 個 pi(x) 皆 為 一 次 多 項 式 x−λi. 此 時 若 每 一 個 λi 的 alge- braic multiplicity 和 geometric multiplicity 皆 相 等, 則 由 Proposition 4.1.8 知 µT(x) = p1(x)··· pk(x), 因此得 Vi= Ker(T−λiid) = Eλi(T ), ∀i = 1,...,k. 因此由 Primary Decomposi- tion Theorem 知
V = Eλ1(T )⊕ ··· ⊕ Eλk(T ).
也就是說此時 V 就會是 eigenspaces 的 (internal) direct sum. 因為每個 eigenspace 中的非 OV 元素皆為 T 的 eigenvector, 所以 Eλi(T ) 中的任一組 basis Si 皆由 T 的 eigenvector 所 組成. 又因 V = Eλ1(T )⊕ ··· ⊕ Eλk(T ), Proposition 3.4.6 告訴我們 S1∪ ··· ∪ Sk 為 V 的一組 basis, 也就是說 V 有一組 basis 是由 T 的 eigenvector 所組成. 現假設 {v1, . . . , vn} 為 V 的 一組 basis, 其中 vi 為 T 的 eigenvector 且其對應的 eigenvalue 為 γi (這裡 γi 不一定相異), 此時考慮 V 的 ordered basisβ = (v1, . . . , vn). 由於對所有 i = 1, . . . , n, 皆有 T (vi) =γivi, 我 們得到
[T ]β=
γ1 O
. ..
O γn
為一個 diagonal matrix (對角矩陣). 因此有以下之定義.
Definition 4.1.9. 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V → V 為 linear operator.
若 V 存在一組 basis 是由 T 的 eigenvectors 所組成, 則稱 T 為一個 diagonalizable linear operator.
我們有以下等價的關係來判斷一個 linear operator 是否為 diagonalizable.
Theorem 4.1.10. 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V → V 為 linear operator.
則以下是等價的.
(1) T 是一個 diagonalizable linear operator.
(2) 存在 V 的 ordered basis β 使得 [T]β 為一個 diagonal matrix.
(3) T 的 characteristic polynomial χT(x) 可以完全分解成 F[x] 中的一次多項式之乘積, 且 T 的每一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 相等.
(4) T 的 minimal polynomial µT(x) 可以完全分解成 F[x] 中相異的 monic 一次多項式 之乘積.
Proof. 前面我們已知 (3)⇒ (1) 且 (1) ⇒ (2), 現要證明 (2) ⇒ (4). 假設 dim(V) = n 且β 為 V 的 ordered basis 使得
[T ]β=
γ1 O
. ..
O γn
為一個 diagonal matrix. 現假設λ1, . . . ,λk 皆相異且{γ1, . . . ,γn} = {λ1, . . . ,λk}. 亦即對任意γi
皆存在λj 使得γi=λj. 依定義 χT(x) =χ[T ]β(x) = (x−γ1)···(x −γk) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck, 其中 ci∈ N. 而且由 Theorem 3.3.7 (或 Theorem 3.3.9) 知 µT(x) = (x−λ1)m1···(x −λk)mk, 其中 mi∈ N. 現考慮 h(x) = (x −λ1)···(x −λk), 由 Lemma 3.2.1 得
h([T ]β) = ([T ]β−λ1In)···([T]β−λkIn)
=
γ1−λ1 O . ..
O γn−λ1
···
γ1−λk O . ..
O γn−λk
=
(γ1−λ1)···(γ1−λk) O . ..
O (γn−λ1)···(γn−λk)
然而每個 γi 皆存在 λj, j = 1, . . . , k 使得 γi=λj, 故得 h([T ]β) = O, 亦即 h(T ) = O. 所以 由 Lemma 3.3.5 得 µT(x)| h(x), 得證 µT(x) = h(x) = (x−λ1)···(x −λk), 亦即 T 的 minimal polynomial µT(x) 可以完全分解成 F[x] 中相異的 monic 一次多項式之乘積.
最後我們要證明 (4)⇒ (3). 假設 µT(x) = (x−λ1)···(x −λk), 其中 λi∈ F 且皆相異. 由 Theorem 3.3.7, 知χT(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck 其中 ci∈ N, 即χT(x) 可以完全分解成 F[x]
中的一次多項式之乘積. 然而λ1, . . . ,λk 為 T 的所有 eigenvalues, 且對於每一個 i = 1, . . . , k 皆有 (x−λi)|µT(x) 但 (x−λi)2-µT(x). 故 Proposition 4.1.8 告訴我們每個λi 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 皆相等. 得證本定理. Question 4.4. 假 設 dim(V ) = n, T : V → V 為 linear operator. 若 T 有 n 個相異的 eigenvalue, 則 T 是否為 diagonalizable?
Question 4.5. Example 4.1.5 和 Example 4.1.6 中哪一個 T 是 diagonalizable?
雖然前面都是談 linear operator, 我們要強調這些性質對於 n× n 的方陣也有相對應的 地方. 首先若 A∈ Mn(F), 我們也有所謂的 eigenvalue 以及 eigenvector.
Definition 4.1.11. 假設 A∈ Mn(F). 若存在 λ ∈ F 以及 x ∈ Fn 且 x̸= O 使得 A · x =λx, 則稱λ 為 A 的一個 eigenvalue, 而 x 為 T 的一個 eigenvector.
接下來利用 A 的 characteristic polynomial χA(x) 來得到 A 的 eigenvalues λ 以及求 N(A−λIn) 來得到 A 相對於λ 的 eigenvector, 還有關於 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity, ... 等性質, 我們就不再贅敘.
Question 4.6. 若 A∈ Mn(F), λ 為 A 的 eigenvalue, 你能定義 λ 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 嗎? 你能寫出 A 相對於 Lemma 4.1.7 以及 Proposition 4.1.6 的 定理嗎?
我們也可定義何謂 diagonalizable matrix 如下.
Definition 4.1.12. 假設 A∈ Mn(F). 若存在一組 Fn basis 是由 A 的 eigenvectors 所組成, 則稱 A 為一個 diagonalizable matrix.
我們也有如同 Theorem 4.1.10 判斷 A 是否為 diagonalizable 的等價方法. 因為證明就 如同 linear operator 的情形, 我們就不再重複.
Theorem 4.1.13. 假設 A∈ Mn(F). 則以下是等價的.
(1) A 是一個 diagonalizable matrix.
(2) 存在 P∈ Mn(F) 為 invertible 使得 P−1· A · P 為一個 diagonal matrix.
(3) χA(x) 可以完全分解成 F[x] 中的一次多項式之乘積, 且 A 的每一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 相等.
(4) µA(x) 可以完全分解成 F[x] 中相異的 monic 一次多項式之乘積.
當 A 為 diagonalizable, Theorem 4.1.13 (2) 中 P−1·A·P 這一個 diagonal matrix 就稱為 A 的 diagonal form. 我們特別說明一下如何找到 P 將 A 化為 diagonal form. 假設
P−1· A · P = D =
γ1 O
. ..
O γn
,
且令 Pi∈ Fn 為 P 的 i-th column. 前面提過求兩個矩陣相乘其 i-th column 的方法, 我們 有 A· P 的 i-th column 為 A · Pi, 而 P· D 的 i-th column 為 γiPi, 所以利用 A· P = P · D 得 A· Pi=λPi, 也就是說 P 的 i-th column Pi 就是一個 eigenvalue 為γi 的 eigenvector. 因此我 們只要將一個 diagonalizable matrix A 的 eigenvectors 所組成 Fn 的一組 basis, 按照順序一 個 column 一個 column 填入, 所得的 invertible matrix P, 就是可以將 A 對角化. 也就是說 P−1· A · P 為一個對角矩陣.
最後我們說明為何兩個 diagonalizable matrices, 將其化成 diagonal form 後就可以判斷 其是否為 similar. 首先強調若 A 為 diagonalizable, 且 B∼ A, 則 B 必為 diagonalizable. 這 是因為假設 P 為 invertible 且 P−1· A · P = D 為 diagonal matrix. 由存在 Q 為 invertible 使 得 B = O−1· A · Q, 得
(Q−1· P)−1· B · (Q−1· P) = (P−1· Q) · (Q−1· A · Q) · (Q−1· P) = P−1· A · P = D.
又因 Q−1· P 為 invertible 得證 B 為 diagonalizable.
另一方面若 A, B 皆為 diagonalizable, 若 A∼ B, 表示它們有相同的 characteristic poly- nomial, 因此有相同的 eigenvalues 且 A 和 B 同一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 皆 相等. 而每一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 又等於其 geometric multiplicity, 所以 將 A, B 化為 diagonal form 後同一個 eigenvalue 發生在的對角線上的次數會相同. 反之, 若將 A, B 化為 diagonal form 後同一個 eigenvalue 發生在的對角線上的次數相同, 表示將 diagonal form 對角線位置適當互換後, 兩個 diagonal form 會相等. 然而對角線位置互換只 是將 eigenvector 所形成的 ordered basis 做適當重新排序 (例如將 (i, i)-th entry 和 ( j, j)-th entry 互換只是將原來 P 的 i-th column 和 j-th column 互換), 所以得知 A∼ B.
4.2. Triangular Form
當 linear operator T 的 characteristic polynomial 可完全分解成一次的 monic polyno- mials 的乘積時, T 不一定是 diagonalizable. 這一節中我們將探討在這種情形時 T 可以化 成怎樣的形式.
注 意 本 節 中 我 們 仍 假 設 χT(x) 可 以 完 全 分 解 成 一 次 的 多 項 式 的 乘 積 (即 χT(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck). 這個假設當 V over 的 field F 是 algebraically closed (例如 F =C) 時自然會成立. 利用 Primary Decomposition Theorem, 我們假設 T 的 minimal polynomial 為 µT(x) = (x−λ)m. 也就是說 (T−λid)◦m= O.
當一個 linear operator T : V→ V 滿足 T◦m= O, 我們稱之為 nilpotent, 而最小的正整數 m 使得 T◦m= O, 稱為這個 nilpotent operator 的 index. 因為我們假設 T−λid 為 nilpotent 且 index 為 m. 我們來特別探討 nilpotent operator 的性質.
對於一個 linear operator T : V → V. 若 v ∈ Im(T◦i), 表示存在 u∈ V 使得 v = T◦i(u), 因此當 i≥ 2 時, 我們有 v = T◦i−1(T (u))∈ Im(T◦i−1). 所以我們自然有以下的 chain of subspaces
V ⊇ Im(T) ⊇ Im(T◦2)⊇ ··· ⊇ Im(T◦i−1)⊇ Im(T◦i)⊇ ··· . 特別的, 當 T 為 nilpotent of index m, 我們有以下情形.
Lemma 4.2.1. 假設 dim(V ) > 0, 若 T 為 nilpotent operator of index m, 則我們有以下的 chain of subspaces.
V) Im(T) ) Im(T◦2)) ··· ) Im(T◦i−1)) Im(T◦i)) ··· ) Im(T◦m−1)) Im(T◦m) ={OV}.
Proof. 首先說明 Im(T◦m−1)) Im(T◦m) ={OV}. 因為 T◦m= O, 亦即對任意 v∈ V, T◦m(v) = OV, 所以 Im(T◦m) ={OV}. 另一方面, 若 Im(T◦m−1) = Im(T◦m) ={OV}, 則表示 T◦m−1= O, 此與 m 為最小的正整數使得 T◦m= O 相矛盾, 故知 Im(T◦m−1)̸= Im(T◦m).
接下來我們說明 V ) Im(T). 若 Im(T) = V, 表示對任意 v ∈ V 皆存在 v1 ∈ V 使得 v = T (v1). 而 v1∈ V, 故存在 v2∈ V 使得 v = T(v1) = T◦2(v2), 得 V = Im(T◦2). 如此一直 下去, 我們可證得 V = Im(T◦i), ∀i ∈ N. 因 V ̸= {OV}, 此與 T 為 nilpotent 相矛盾, 故知 V ̸= Im(T).
同理, 當 1≤ i ≤ m − 2, 因對於所有 v ∈ Im(T◦i+1) 皆存在 u∈ V 使得 v = T◦i+1(u) = T (T◦i(u)). 現若 Im(T◦i) = Im(T◦i+1), 則由 T◦i(u)∈ Im(T◦i) = Im(T◦i+1) 知存在 w∈ V 使得 T◦i(u) = T◦i+1(w). 亦即 v = T (T◦i(u)) = T◦i+2(w)∈ Im(T◦i+2), 得證 Im(T◦i+1) = Im(T◦i+2).
如此一直下去會推得 Im(T◦m−1) = Im(T◦m),此與前面所得 Im(T◦m−1)̸= Im(T◦m) 相矛盾, 故
知 Im(T◦i)̸= Im(T◦i+1),得證本定理.
Exercise 4.1. Letθ ∈ R and consider A =
( cosθ −sinθ sinθ cosθ
)
as a matrix overC. Find the eigenvalues of A in C and find its corresponding eigenspace.
Exercise 4.2. Let A =
( a b c d
)
∈ M2(F) with b̸= 0.
(1) Suppose that λ ∈ F is an eigenvalue of A. Prove that ( b
λ )
is an eigenvector of A.
(2) Suppose thatλ1,λ2 are distinct eigenvalues of A. Let P =
( b b λ1 λ2
)
. Show that P−1· A · P is a diagonal matrix.
Exercise 4.3. Let A∈ Mn(F) andλ ∈ F is an eigenvalue of A.
(1) Suppose that A is invertible. Prove thatλ−1 is an eigenvalue of A−1. (2) Let f (x)∈ F[x]. Prove that f (λ) is an eigenvalue of f (A).
Exercise 4.4. Suppose that A∈ Mn(R) is diagonalizable.
(1) Suppose that A is invertible. Prove that A−1 is also diagonalizable.
(2) Prove that there exists B∈ Mn(R) such that B3= A.
Exercise 4.5. Let T1, T2 be linear operators of P2(R) where
T1(ax2+ bx + c) = (−3a + b − c)x2+ (−7a + 5b − c)x + (−6a + 6b − 2c), T2(ax2+ bx + c) = (a− 3b + 3c)x2+ (3a− 5b + 3c)x + (6a − 6b + 4c).
Which operator is diagonalizable and find an ordered basisβ of P2(R) so that its represen- tative matrix with respect to β is a diagonal matrix.
———————————– 01 December, 2017
