準基底 ε 的 representative matrix [T ]ε. 利用 Primary Decomposition Theorem, 我們可以 找到 Fn 的 ordered basis β 使得 [T ]β 為 block diagonal matrix. 然而
[T ]β = β[id]ε · [T]ε·ε[id]β = ε[id]−1β · A ·ε[id]β,
所以可以令 P = ε[id]β. 也就是說若將 ordered basis β 一個 column 一個 column (column by column) 的依序排成的 n×n matrix 就是我們想要的 P. 因此我們的步驟如下: 首先求得 µA(x) 並將之分解成相異的 monic irreducible polynomials 的乘積µA(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk. 接下來便是求每一個 pi(A)mi 的 null space N(pi(A)mi) (此即對應到 Ker(pi(T )◦mi)). 得到每 個 null space 的 basis 後, 將之 column by column 的依序排成矩陣 P 即可.
5. Diagonal From
這一節中, 我們將從最簡單的 T -invariant subspace 出發, 引進所謂的 eigenvalue 以及 eigenvector, 再說明哪些情形可以得到 diagonal form.
對於一個 linear operator T : V→V, 除了 {O} 以外, 最簡單的 T-invariant subspace 自然是 dimension 為 1 的 T -invariant subspace. 現若 U 為 T -invariant subspace 且 dim(U) = 1, 即 存在 v̸= OV 使得 U = Span({v}). 由 U 為 T-invariant 的假設, 我們得 T(v) ∈U = Span({v}).
也就是說, 存在 λ ∈ F 使得 T(v) =λv. 我們有以下的定義.
Definition . 假設 T : V → V 為 linear operator, 若存在 λ ∈ F 以及 v ∈ V 且 v ̸= OV 使得 T (v) =λv, 則稱 λ 為 T 的一個 eigenvalue, 而 v 為 T 的一個 eigenvector.
注意, 對於 eigenvector v 我們要求 v̸= OV, 而對於 eigenvalue λ 我們並無要求 λ ̸= 0.
也就是說 OV 雖符合 T (OV) =λOV, 但我們不考慮這種 trivial 的情形, 故不稱 OV 為 eigenvector. 另一方面若 v̸= OV 滿足 T (v) = 0v = OV, 表示 v 為 Ker(T ) 的元素. 所以若 0 為 T 的 eigenvalue, 表示 Ker(T )̸= {OV}, 亦即 T : V → V 不是 one-to-one.
要找到一個 linear operator 有哪些 eigenvalue 和 eigenvector, 程序上是先找 T 有哪 些 eigenvalue, 再利用這些 eigenvalue 將其對應的 eigenvector 找出. 首先觀察若 λ 為 T : V → V 的 eigenvalue, 則必存在 v ̸= OV 使得 T (v) =λv, 得 λid(v)− T(v) = OV. 也 就是說 v∈ Ker(λid− T), 亦即 λid− T 這一個 linear operator 不是 isomorphism, 因此得 det(λid− T) = 0. 如何求 det(λid− T)? 回顧一下, 我們需先找 V 的一個 ordered basis β, 再求 λid− T 對於 β 的 representative matrix [λid− T]β. 依定義 det(λid− T) 就是 det([λid− T]β). 然而若 dim(V ) = n, 則我們有
[λid− T]β = [λid]β− [T]β =λ[id]β− [T]β =λIn− [T]β.
因 此 若 λ ∈ F 是 T 的一個 eigenvalue, 則 det(λIn− [T]β) = 0. 又 T 的 characteristic polynomial 為 χT(x) =χ[T ]β(x) = det(xIn−[T]β). 得知, 若 λ∈ F 是 T 的一個 eigenvalue, 則 χT(λ) = 0. 反之, 若 λ ∈ F 為 χT(x) = 0 之一根, 則 det(λid− T) = 0. 表示 λid− T 這一個 linear operator 不是 one-to-one, 亦即存在 v∈ V 且 v ̸= OV 使得 T (v) =λv. 因此我們有以 下之結果.
Proposition . 假設 V 為 finite dimensional vector space 且 T : V → V 為 linear operator.
則 λ ∈ F 為 T 的 eigenvalue 若且唯若 χT(λ) = 0.
當 dim(V ) = n 時, 由於 χT(x)∈ F[x] 是一個次數為 n 的多項式, 它在 F 中根的個數最多 只有 n 個 (當然也可能沒有根), 所以 T 僅能有有限多個 eigenvalue. 若 λ ∈ F 為 χT(x) 的 一根, 則 (x−λ)|χT(x). 又 x−λ 為 F[x] 的 monic irreducible polynomial, 所以若將 χT(x) 分解成 monic irreducible polynomials 的乘積 χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck. 這些 pi(x) 中次數 為一次的多項式就給我們一個 T 的 eigenvalue. 我們對 x−λ 可整除 χT(x) 的最高次方有 興趣, 因此有以下的定義.
Definition . 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator 且 λ 為 T 的一個 eigenvalue. 我們稱 x−λ 可整除 χT(x) 的最高次方為 λ 的 algebraic multiplicity.
找到 T 所有可能的 eigenvalue 後, 我們就可以決定這些 eigenvalue 所對應的 eigenvector 了. 若 λ 為 eigenvalue, 前面提過所有滿足 v̸= OV 以及 T (v)−λv = OV 的元素 v 就是 eigenvalue 為λ 的 eigenvector. 也就是說 eigenvalue 為 λ 的 eigenvector 就是 Ker(T −λid) 中的非 OV 元素. 我們很自然會考慮以下的 vector space.
Definition . 假設 T : V → V 為 linear operator 且 λ 為 T 的一個 eigenvalue. 令 Eλ(T ) = Ker(T−λid) ={v ∈ V | T(v) =λv}.
稱之為 T 對應於 λ 的 eigenspace 且 dim(Eλ(T )) 稱為 λ 的 geometric multiplicity.
假設 v∈ Eλ(T ), 由於 T (T (v)) = T (λv) =λT (v), 我們得 T (v)∈ Eλ(T ). 得知 Eλ(T ) 是一 個 T -invariant subspace.
Algebraic multiplicity 並不一定會等於 geometric multiplicity, 然而雖然 T 的一個 eigen- valueλ 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 有可能不同, 不過它們之間仍有 著某種關係存在. 我們利用 Primary Decomposition Theorem 來說明. 利用前面所用的符 號, 假設
µT(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk and χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck
其中 p1(x), . . . , pk(x) 為相異的 monic irreducible polynomials 且因為 λ 為 T 的 eigenvalue, 我們令 p1(x) = x−λ. 若令 Vi= Ker(pi(T )◦mi), for i = 1, . . . , k, 則 Primary Decomposition Theorem 告訴我們
V = V1⊕ ··· ⊕Vk
且
µT|Vi(x) = pi(x)mi and χT|Vi(x) = pi(x)ci,∀i = 1,...,k.
因假設 p1(x) = x−λ, 我們有
V1= Ker((T−λid)◦m1)⊇ Ker(T −λid) = Eλ(T ).
由此知 λ 的 geometric multiplicity dim(Eλ(T ))≤ dim(V1). 另一方面, 依定義 c1 為 λ 的 algebraic multiplicity, 而又 χT|V1(x) = (x−λ)c1, 知 deg(χT|V1(x)) = c1. 因為一個 linear
operator 的 characteristic polynomial 的 degree 為此 operator 所在的 space 之 dimension, 故得 dim(V1) = c1. 因此我們知 dim(Eλ(T ))≤ c1, 得到以下的結果.
Lemma . 若 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator 且 λ 為 T 的 一個 eigenvalue, 則 λ 的 algebraic multiplicity 大於等於其 geometric multiplicity.
當 λ 是 T 的 eigenvalue 時, 由於 Eλ(T ) 存在著非 OV 的元素, 故知 dim(Eλ(T ))≥ 1, 也 就是說 λ 的 geometric multiplicity 必大於等於 1. 此時若 λ 的 algebraic multiplicity 是 1, 則由前一 Lemma 知 λ 的 algebraic multiplicity 等於其 geometric multiplicity (即 λ 的 geometric multiplicity 等於 1). 在一般的情形, 什麼時候 λ 的 algebraic multiplicity 會等於 其 geometric multiplicity 呢? 我們有以下的結果.
Proposition . 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator 且 λ 為 T 的一個 eigenvalue. 則λ 的 algebraic multiplicity 等於其 geometric multiplicity 若且唯若 x−λ |µT(x) 但 (x−λ)2-µT(x).
特 別 的, 假 設 χT(x) 可 以 完 全 分 解 成 F[x] 中 的 一 次 多 項 式 的 乘 積, 亦 即 χT(x) = p1(x)c1··· pk(x)ck, 其 中 每 一 個 pi(x) 皆 為 一 次 多 項 式 x−λi. 此 時 若 每 一 個 λi 的 al- gebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 皆相等, 則由前一 Proposition 知 µT(x) = p1(x)··· pk(x), 因此得 Vi= Ker(T−λiid) = Eλi(T ), ∀i = 1,...,k. 因此由 Primary Decompo- sition Theorem 知
V = Eλ1(T )⊕ ··· ⊕ Eλk(T ).
也就是說此時 V 就會是 eigenspaces 的 (internal) direct sum. 因為每個 eigenspace 中的非 OV 元素皆為 T 的 eigenvector, 所以 Eλi(T ) 中的任一組 basis Si 皆由 T 的 eigenvector 所 組成. 又因 V = Eλ1(T )⊕···⊕Eλk(T ), 我們得 S1∪···∪Sk 為 V 的一組 basis, 也就是說 V 有 一組 basis 是由 T 的 eigenvector 所組成. 現假設 {v1, . . . , vn} 為 V 的一組 basis, 其中 vi 為 T 的 eigenvector 且其對應的 eigenvalue 為 γi (這裡 γi 不一定相異), 此時考慮 V 的 ordered basis β = (v1, . . . , vn). 由於對所有 i = 1, . . . , n, 皆有 T (vi) =γivi, 我們得到
[T ]β =
γ1 O . ..
O γn
為一個 diagonal matrix (對角矩陣). 因此有以下之定義.
Definition . 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V → V 為 linear operator. 若 V 存 在一組 basis 是由 T 的 eigenvectors 所組成, 則稱 T 為一個 diagonalizable linear operator.
我們有以下等價的關係來判斷一個 linear operator 是否為 diagonalizable.
Theorem . 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V → V 為 linear operator. 則以下 是等價的.
(1) T 是一個 diagonalizable linear operator.
(2) 存在 V 的 ordered basis β 使得 [T ]β 為一個 diagonal matrix.
(3) T 的 characteristic polynomial χT(x) 可以完全分解成 F[x] 中的一次多項式之乘積, 且 T 的每一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 相等.
(4) T 的 minimal polynomial µT(x) 可以完全分解成 F[x] 中相異的 monic 一次多項式 之乘積.
雖然前面都是談 linear operator, 我們要強調這些性質對於 n× n 的方陣也有相對應的地 方. 首先若 A∈ Mn(F), 我們也有所謂的 eigenvalue 以及 eigenvector.
Definition . 假設 A∈ Mn(F). 若存在 λ ∈ F 以及 x ∈ Fn 且 x̸= O 使得 A · x =λx, 則稱 λ 為 A 的一個 eigenvalue, 而 x 為 T 的一個 eigenvector.
接下來利用 A 的 characteristic polynomial χA(x) 來 得 到 A 的 eigenvalues λ 以及求 N(A−λIn)來得到 A 相對於 λ 的 eigenvector, 還有關於 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity, ... 等性質, 我們就不再贅敘.
我們也可定義何謂 diagonalizable matrix 如下.
Definition . 假設 A∈ Mn(F). 若存在一組 Fn basis 是由 A 的 eigenvectors 所組成, 則稱 A 為一個 diagonalizable matrix.
我們也有如同 linear operator 來判斷矩陣 A 是否為 diagonalizable 的等價方法.
Theorem . 假設 A∈ Mn(F). 則以下是等價的.
(1) A 是一個 diagonalizable matrix.
(2) 存在 P∈ Mn(F) 為 invertible 使得 P−1· A · P 為一個 diagonal matrix.
(3) χA(x) 可以完全分解成 F[x] 中的一次多項式之乘積, 且 A 的每一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 和 geometric multiplicity 相等.
(4) µA(x) 可以完全分解成 F[x] 中相異的 monic 一次多項式之乘積.
當 A 為 diagonalizable, 前面 Theorem 中 P−1· A · P 這一個 diagonal matrix 就稱為 A 的 diagonal form. 我們特別說明一下如何找到 P 將 A 化為 diagonal form. 假設
P−1· A · P = D =
γ1 O . ..
O γn
,
且令 Pi∈ Fn 為 P 的 i-th column. 前面提過求兩個矩陣相乘其 i-th column 的方法, 我們 有 A· P 的 i-th column 為 A · Pi, 而 P· D 的 i-th column 為 γiPi, 所以利用 A· P = P · D 得 A· Pi=λPi, 也就是說 P 的 i-th column Pi 就是一個 eigenvalue 為 γi 的 eigenvector. 因此我 們只要將一個 diagonalizable matrix A 的 eigenvectors 所組成 Fn 的一組 basis, 按照順序一 個 column 一個 column 填入, 所得的 invertible matrix P, 就是可以將 A 對角化. 也就是說 P−1· A · P 為一個對角矩陣.
最後我們說明為何兩個 diagonalizable matrices, 將其化成 diagonal form 後就可以判斷 其是否為 similar. 首先強調若 A 為 diagonalizable, 且 B∼ A, 則 B 必為 diagonalizable. 這
是因為假設 P 為 invertible 且 P−1· A · P = D 為 diagonal matrix. 由存在 Q 為 invertible 使 得 B = O−1· A · Q, 得
(Q−1· P)−1· B · (Q−1· P) = (P−1· Q) · (Q−1· A · Q) · (Q−1· P) = P−1· A · P = D.
又因 Q−1· P 為 invertible 得證 B 為 diagonalizable.
另一方面若 A, B 皆為 diagonalizable, 若 A∼ B, 表示它們有相同的 characteristic poly- nomial, 因此有相同的 eigenvalues 且 A 和 B 同一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 皆 相等. 而每一個 eigenvalue 的 algebraic multiplicity 又等於其 geometric multiplicity, 所以 將 A, B 化為 diagonal form 後同一個 eigenvalue 發生在的對角線上的次數會相同. 反之, 若將 A, B 化為 diagonal form 後同一個 eigenvalue 發生在的對角線上的次數相同, 表示將 diagonal form 對角線位置適當互換後, 兩個 diagonal form 會相等. 然而對角線位置互換只 是將 eigenvector 所形成的 ordered basis 做適當重新排序 (例如將 (i, i)-th entry 和 ( j, j)-th entry 互換只是將原來 P 的 i-th column 和 j-th column 互換), 所以得知 A∼ B.
6. Triangular Form
當 linear operator T 的 characteristic polynomial 可完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積時, T 不一定是 diagonalizable. 這一節中我們將探討在這種情形時 T 可以化成怎樣 的形式.
注意本節中我們仍假設 χT(x) 可以完全分解成一次的多項式的乘積 (即 χT(x) = (x− λ1)c1···(x −λk)ck). 這個假設當 V over 的 field F 是 algebraically closed (例如 F =C) 時自 然會成立. 利用 Primary Decomposition Theorem, 我們假設 T 的 minimal polynomial 為 µT(x) = (x−λ)m. 也就是說 (T−λid)◦m= O.
當一個 linear operator T : V → V 滿足 T◦m= O, 我們稱之為 nilpotent, 而最小的正整數 m 使得 T◦m= O, 稱為這個 nilpotent operator 的 index. 因為我們假設 T−λid 為 nilpotent 且 index 為 m. 我們來特別探討 nilpotent operator 的性質.
對於一個 linear operator T : V → V. 若 v ∈ Im(T◦i),表示存在 u∈ V 使得 v = T◦i(u), 因此 當 i≥ 2 時, 我們有 v = T◦i−1(T (u))∈ Im(T◦i−1). 所以我們自然有以下的 chain of subspaces
V ⊇ Im(T) ⊇ Im(T◦2)⊇ ··· ⊇ Im(T◦i−1)⊇ Im(T◦i)⊇ ··· . 特別的, 當 T 為 nilpotent of index m, 我們有以下情形.
Lemma . 假設 dim(V ) > 0, 若 T 為 nilpotent operator of index m, 則我們有以下的 chain of subspaces.
V ) Im(T) ) Im(T◦2)) ··· ) Im(T◦i−1)) Im(T◦i)) ··· ) Im(T◦m−1)) Im(T◦m) ={OV}.
接下來我們說明若 dim(V ) = n 且 T : V → V 為 nilpotent operator of index m, 如何將其 化為 triangular form. 首先選取 Im(T◦m−1) 的 ordered basis (v1, . . . , vk1), 注意此時我們有 T (vi)∈ Im(T◦m) ={OV}, 故
T (vi) = OV,∀i = 1,...,k1.
接著加入{vk1+1, . . . , vk2} 使得 (v1, . . . , vk1, . . . , vk2)為 Im(T◦m−2)的 ordered basis. 此時我們 有
T (vi)∈ Im(T◦m−1) = Span({v1, . . . , vk1}), ∀i = k1+ 1, . . . , k2,
而且利用 ordered basis (v1, . . . , vk1, . . . , vk2) 所得 T|Im(T◦m−2) 的 representative matrix 為 ( Ok1,k1 ∗
Ok2−k1,k1 Ok2−k1,k2−k1 )
,
其中 Oi, j 表示為 i× j 階的零矩陣, 而右上角的 ∗ 為一個 k1× k2− k1 階的非零矩陣. 接下 來加入 {vk2+1, . . . , vk3} 使得 (v1, . . . , vk1, . . . , vk2, . . . , vk3) 為 Im(T◦m−3) 的 ordered basis. 此 時我們有
T (vi)∈ Im(T◦m−2) = Span({v1, . . . , vk1, . . . , vk2}), ∀i = k2+ 1, . . . , k3,
而且利用 ordered basis (v1, . . . , vk1, . . . , vk2, . . . , vk3)所得 T|Im(T◦m−3) 的 representative matrix
為
Ok1,k1 ∗ ∗ Ok2−k1,k1 Ok2−k1,k2−k1 ∗ Ok3−k2,k1 Ok3−k2,k2−k1 Ok3−k2,k3−k2
.
這樣一直下去我們可得到 Im(T ) 的 ordered basis (v1, . . . , vkm−1), 其中對於 j = 1, . . . , m− 1, 皆有 (v1, . . . , vkj) 為 Im(T◦m− j) 的 ordered basis 且
T (vi)∈ Im(T◦m−( j−1)) = Span({v1, . . . , vkj−1}), ∀i = kj−1+ 1, . . . , kj. 最後加入{vkm−1+1, . . . , vn} 使得 (v1, . . . , vkm−1, . . . , vn) 為 V 的 ordered basis, 此時
T (vi)∈ Im(T) = Span({v1, . . . , vkm−1}), ∀i = km−1+ 1, . . . , kn, 而且利用 ordered basis (v1, . . . , vkm−1, . . . , vn)所得 T 的 representative matrix 為
O ∗ ∗ ... ... ∗ O O O
.
這一個矩陣是對角線皆為 0 的 upper triangular matrix (上三角矩陣), 所以我們有以下的 結果.
Proposition . 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V → V 為 linear operator. 則 T 為 nilpotent 若且唯若存在 V 的 ordered basis β 使得 [T ]β 為 upper triangular matrix 且 [T ]β 的對角線皆為 0.
回顧一下, 對於 linear operator T : V → V, 要找到 Im(T), 我們可以利用 V 的 ordered basis β, 先得到 representative matrix [T ]β. 再求 [T ]β 的 column space C([T ]β) (我們用 C(A) 表示矩陣 A 的 column space). 接著將 column space 的元素用 τβ◦−1 還原成 V 的元素, 就得到 Im(T ) 的元素了.
現在我們回到 T 的 minimal polynomial 為 µT(x) = (x−λ)m 的情形, 此時 T−λid 為 nilpotent 所以由前一 Proposition 知存在 ordered basis β 使得 [T−λid]β = U 為一個 diagonal 皆為 0 的 upper triangular matrix
U =
0 ∗ ∗ ... ... ∗ 0 ··· 0
.
然而若 dim(V ) = n, 因 [T−λid]β = [T ]β−λIn, 故得 [T ]β =λIn+ U , 為一個 diagonal 皆為 λ 的 upper triangular matrix
λIn+U =
λ ∗ ∗ . .. ∗
O
λ
.
Theorem . 假設 V 為 finite dimensional F-space. 若 T : V → V 為 linear operator 其 characteristic polynomial 為
χT(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck,
其中 λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素, 則存在 V 的 ordered basis β 使得
[T ]β =
A
1 . ..O O Ak
,
其中每個 Ai 為 ci× ci 階的 upper triangular matrix
λi ∗ ∗ . .. ∗
O
λi
.
這一個 Theorem 告訴我們當 T 的 characteristic polynomial 可完全分解成 F[x] 中的一 次多項式乘積, 雖然 T 可能不能化成 diagonal form 不過一定可以化成 triangular form.
接著我們來看 linear operator 相對應到 n× n matrix 的結論.
Theorem . 假設 A∈ Mn(F) 且其 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 分別為 χA(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck,µA(x) = (x−λ1)m1···(x −λk)mk
其中 λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素. 則存在 invertible matrix P 使得
P−1· A · P =
A
1 . ..O O Ak
,
其中每個 Ai 為 ci× ci 階的 upper triangular matrix
λi ∗ ∗ . .. ∗
O
λi
.
假設 A∈ Mn(F) 且 χA(X ) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck, µA(x) = (x−λ1)m1···(x −λk)mk. 我們 說明如何找到 invertible matrix M 使得 M−1·A·M 為 upper triangular matrix. 首先我們利 用 primary decomposition 的方法找到 invertible matrix P 使得 P−1·A ·P 為 block diagonal
matrix
A1
O
. ..
O
Ak
,
接著考慮每一個 ci× ci matrix Ai. 因為 µAi(x) = (x−λi)mi, Ai−λiIci 是 nilpotent of index mi, 我們可以先找 (Ai−λiIci)mi−1 的 column space 的一組 basis, 然後擴大成 (Ai−λiIci)mi−2 的 column space 的一組 basis, 這樣一直下去直到擴大成 Fci 的一組 basis. 若令這組 basis 以 column by column 依序組成的 ci× ci 的 matrix 為 Qi, 則我們有 Q−1i · Ai· Qi 為 upper triangular matrix. 最後將這些 Qi 在 diagonal 的位置依序放入, 組成 n× n 的 invertible
matrix
Q1
O
. ..
O
Qk
,
就會使得
(P· Q)−1· A · (P · Q) = Q−1· (P−1· A · P) · Q =
Q−11 · A1· Q1
O
. ..
O
Q−1k · Ak· Qk
,
為 upper triangular matrix 了.
7. Jordan Form
將矩陣化為 Triangular form 並不容易讓我們判斷兩個矩陣是否為 similar. 我們將挑選 更好的 ordered basis 將其化為所謂的 Jordan form. 本節中我們仍假設 χT(x) 可以完全分 解成一次的多項式的乘積 (即 χT(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck). 同樣的我們先討論 nilpotent 的情形.
對於一個 linear operator T : V → V. 這一次我們探討 T,T◦2, . . . 的 kernel 間的關係. 若 v∈ Ker(T◦i), 表示 T◦i(v) = OV, 故得 T◦i+1(v) = T (T◦i(v)) = OV. 所以我們自然有以下的 chain of subspaces
{OV} ⊆ Ker(T) ⊆ Ker(T◦2)⊆ ··· ⊆ Ker(T◦i−1)⊆ Ker(T◦i)⊆ ··· .
特別的, 當 T 為 nilpotent of index m, 我們有 Ker(T◦i+1)̸= Ker(T◦i), ∀i = 1,...,m − 1.
Lemma . 假設 dim(V ) > 0, 若 T 為 nilpotent operator of index m, 則我們有以下的 chain of subspaces.
{OV} ( Ker(T) ( Ker(T◦2)( ··· ( Ker(T◦i−1)( Ker(T◦i)( ··· ( Ker(T◦m−1)( Ker(T◦m) = V.
現假設 i≥ 2, 若 v1, . . . , vs∈ Ker(T◦i+1) 為 linearly independent 且 Span(v1, . . . , vs)∩ Ker(T◦i) ={OV}, 則 T (v1), . . . , T (vs)∈ Ker(T◦i) 亦為 linearly independent. 事實上若
r1T (v1) +··· + rsT (vs) = OV,
則由 T (r1v1+···+rsvs) = OV 得 r1v1+···+rsvs∈ Ker(T) ⊆ Ker(T◦i). 故由 Span(v1, . . . , vs)∩ Ker(T◦i) ={OV} 之假設得 r1v1+··· + rsvs= OV, 再由 v1, . . . , vs 為 linearly independent 得 r1=··· = rs= 0, 得證 T (v1), . . . , T (vs) 為 linearly independent. 另外我們也可得
Span(T (v1), . . . , T (vs))∩ Ker(T◦i−1) ={OV}.
這是因為若 v = r1T (v1) +··· + rsT (vs)∈ Ker(T◦i−1), 則
OV = T◦i−1(r1T (v1) +··· + rsT (vs)) = T◦i(r1v1+··· + rsvs),
即 r1v1+··· + rsvs∈ Span(v1, . . . , vs)∩ Ker(T◦i) ={OV}. 再由 v1, . . . , vs 為 linearly indepen- dent 得 r1=··· = rs= 0, 得證 v = OV. 我們有以下之結論.
Lemma . 假設 T : V → V 為 linear operator. 當 i ≥ 2 時, 若 v1, . . . , vs ∈ Ker(T◦i+1) 為 linearly independent 且 Span(v1, . . . , vs)∩Ker(T◦i) ={OV}, 則 T(v1), . . . , T (vs)∈ Ker(T◦i) 為 linearly independent 且 Span(T (v1), . . . , T (vs))∩ Ker(T◦i−1) ={OV}.
特別地, 若 V 為 finite dimensional F-space, 則
dim(Ker(T◦i+1))− dim(Ker(T◦i))≤ dim(Ker(T◦i))− dim(Ker(T◦i−1)).
接下來我們先說明何謂 Jordan form, 然後再說明如何得到 Jordan form.
Definition . 給定 λ ∈ F, 對於 1 × 1 matrix (λ) 以及如下形式的更高階 square matrix
λ 0 0 ··· 0 0 1 λ 0 ··· 0 0
0 1 λ 0 ··· 0
... ... ... ... ... ...
0 ··· 0 1 λ 0 0 0 ··· 0 1 λ
,
也就是說對角線 (i, i)-th entry 為 λ, 而對角線下方的位置即 (i, i− 1)-th entry 為 1, 其他位 置皆為 0 的矩陣, 我們稱為 elementary Jordan matrix associated with λ. 而由 associated with λ 的 elementary Jordan matrices 所組成的 block diagonal matrix, 即
J
1 . ..O O Jk
,
其中每個 Ji 皆為 elementary Jordan matrix associated with λ, 稱為 Jordan block matrix associated with λ.
注意有些書本的 elementary Jordan matrix 的定義為 1 在對角線的上方 (即 (i, i + 1) 的 位置), 不過只要將 ordered basis 順序前後對調, 不難發現這兩種矩陣為 similar.
下一個定理告訴我們 nilpotent linear operator 皆可找到 ordered basis 使其 representative matrix 為 Jordan block matrix associated with 0.
Proposition . 假設 V 為 finite dimensional F-space. 若 T : V → V 是一個 nilpotent linear operator of index m, 則存在 V 的 ordered basisβ 使得 [T ]β 為 Jordan block matrix associated with 0.
事實上我們只要知道 dim(ker(T◦i), 便能判斷 T 的 Jordan form 為何. 首先求出 n1= dim(ker(T )), 再令 n1+ d2= n2= dim(ker(T◦2)). 由前面 Lemma 知 d2≤ n1. 接著令 n2+ d3= n3= dim(ker(T◦3)). 同理有 d3≤ d2. 這樣一直下去, 令 ni= dim(ker(T◦i))且 di= ni−ni−1= dim(ker(T◦i))− dim(ker(T◦i−1)). 我們有 n1≥ d2≥ ··· ≥ dm. 接下來我們可以畫一個有 m 層的點所成的的圖. 最底下一層有 n1 個點, 再上一層靠左對齊有 d2 個點, 這樣依序往上 靠左對齊在第 i 層畫上 di 個點. 最後所得的圖形就像有好幾棟樓房, 如下圖就是 m = 3, n1= 4, d2= 3, d1= 1 的圖形
共有 4 棟樓, 第一棟樓有 3 層. 第二, 三棟樓有 2 層, 最後一棟有 1 層. 每一棟樓上 的點就表示一個 basis 中的向量, 其下面的點表示為該向量代入 T 所得的向量. 因此 每一棟樓代表一個 elementary Jordan matrix 且其上的點代表的就是它們所形成的 T - invariant subspace 的 basis, 因此該棟樓的層數就是此 elementary Jordan matrix 的階數.
因為共有 n1 棟, 所以 Jordan block matrix 中的 elementary Jordan matrix 的個數就是 dim(Ker(T )). 而 i-層樓的個數共有 di− di+1 所以 i× i 階的 elementary Jordan matrices 的 個數為 dim(Ker(T◦i))− dim(Ker(T◦i−1))− (dim(Ker(T◦i+1))− dim(Ker(T◦i))). 例如上圖中 所代表的 Jordan block matrix 為
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
1
現在我們回到 T 的 minimal polynomial 為 µT(x) = (x−λ)m 的情形, 此時 T−λid 為 nilpotent 所以存在 ordered basis β 使得 [T−λid]β = J 為一個 diagonal 皆為 0 的 Jordan block matrix J. 然而若 dim(V ) = n, 因 [T−λid]β = [T ]β−λIn, 故得 [T ]β =λIn+ J, 為一個 diagonal 皆為 λ 的 Jordan block matrix.
Theorem . 假設 V 為 finite dimensional F-space. 若 T : V → V 為 linear operator 其 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 分別為
χT(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck,µT(x) = (x−λ1)m1···(x −λk)mk 其中 λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素, 則存在 V 的 ordered basis β 使得
[T ]β =
J
1 . ..O O Jk
,
其中每個 Ji為 ci×ci階的 Jordan block matrix associated withλi, 而且組成 Ji的 elementary Jordan matrices 的個數就是 λi 的 geometric multiplicity, 即 dim(Ker(T−λiid)). 另外 Ji 中 最高階的 elementary Jordan matrix 為 mi× mi 階.
對於 n× n 的矩陣我們也有相對應的定理, 也就是說若 A ∈ Mn(F) 其 characteristic polynomial 可以完全分解成 F[x] 中的一次多項式乘積 χA(x) = (x−λ1)c1···(x −λk)ck, 則存 在 invertible matrix P∈ Mn(F) 使得
P−1· A · P =
J
1 . ..O O Jk
,
其中每個 Ji 為 ci× ci 階的 Jordan block matrix associated with λi. 這個 matrix 我們稱為 A 的 Jordan form.
我們說明如何找到 invertible matrix P 使得 P−1· A · P 為 Jordan form. 首先注意我 們不必如得到 triangular form 的情形先把 A 化為 block diagonal matrix. 這是因為若 µA(x) = (x−λ1)m1···(x −λk)mk, 對於每一個 i = 1, . . . , k, 我們必須找到一組 (A−λiIn)mi 的 null space N((A−λiIn)mi) 的 basis, 而 N((A−λiIn)mi) 剛好是 primary decomposition 中 所考慮的 invariant subspace, 所以我們不必重複做變換 basis 的動作. 要找到 P 的步驟 如下: 對於每一個 i = 1, . . . , k, 先找到 N(A−λiIn) 的 basis S1, 再將之擴大成 S2 使之成 為 N((A−λi)2) 的 basis. 這樣一直下去直到得到 N((A−λi)mi) 的 basis Smi. 接下來令 Smi\ Sm1−1={v1, . . . , vk1}, 然後得 {Av1, . . . , Avk1}. 將之擴大成 {Av1, . . . , Avk1, vk1+1, . . . , vk2} 使之與 Smi−2 的聯集成為 N((A−λi)mi−1) 的 basis 並取代 Smi−1\ Smi−2. 這樣一直下去直到 將 S2\ S1 取代完畢. 最後將這些 bases 排序得到 P.
在前面我們提到當 A, B∈ Mn(F) 為 diagonalizable 時, 我們可以將其對角線位置的 eigen- value 適當的重排來判斷 A, B 是否為 similar. 同樣的若 A, B 的 characteristic polynomial 在 F[x] 可完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積, 我們可以將 A, B 化為 Jordan form 來判斷它們是否為 similar. 當然了先決條件是 χA(x) =χB(x) 且 µA(x) =µB(x). 若其中有 一個不相等便可知 A, B 不為 similar, 而若皆相等就需藉由 A, B 的 Jordan form 來確定. 對 於 A, B 的每一個 eigenvalue, 若將 A, B 對於 associated with λ 的 block Jordan matrix 中的 elementary Jordan matrices 做適當重排後會相同, 則知 A∼ B. 反之, 若 A ∼ B, 我們可將 A, B 視為某一個 linear operator T 用不同 ordered bases 所得的 representative matrices. 由
於 associatedλ 的 elementary Jordan matrices 的各個階數的個數告訴我們
. . . , dim(Ker((T−λid)◦i−1)), dim(Ker((T−λid)◦i)), dim(Ker((T−λid)◦i+1)), . . .
這些 dimensions 之間的關係, 而這些關係和 ordered basis 的選取無關, 所以 A, B associated λ 的 elementary Jordan matrices 的各個階數的個數會相同, 也就是 A, B 可以化為相同的 Jordan form. 因為 Jordan form 可以用來判定兩個 matrixes 是否為 similar, 所以 Jordan form 可以視為一種 canonical form.
最後我們談論 Jordan form 一個重要的應用. 回顧一下, 若 A∈ Mn(F) 則 A 和 A 的 transpose At 有相同的 characteristic polynomial 和 minimal polynomial. 這表示 A 和 At 有可能為 similar. 事實上當 χA(x) 可以在 F[x] 中完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積, 我們可得 A∼ At. 這是因為當 A ∈ Mn(F) 時, dim(N(A)) + dim(C(A)) = n. 又因 為 dim(C(A)) = dim(C(At)), 所以我們得 dim(N(A)) = dim(N(At)). 同理, 對於每一個 A 的 eigenvalue λ (也會是 At 的 eigenvalue), 我們有
dim(N((A−λIn)i)) = dim(N(((A−λIn)t)i)) = dim(N((At−λIn)i)).
所以將 A 化為 Jordan form, 每一個階數的 elementary Jordan matrix associated with λ 和 At 同階的 elementary Jordan matrix associated with λ 個數都相同, 也就是說 A 和 At 可以 化成同樣的 Jordan form. 我們有以下之結果.
Theorem . 假設 A∈ Mn(F). 若χA(x) 可以在 F[x] 中完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積, 則 A 的 transpose At 和 A 為 similar.
以後我們會提到若 A, B∈ Mn(F) 且存在一個比 F 大的 field ˜F 使得在 Mn( ˜F) 中 A∼ B (即存在 ˜P∈ Mn( ˜F) invertible 使得 B = ˜P−1·A · ˜P), 則在 Mn(F) 中 A∼ B (即存在 P ∈ Mn(F) invertible 使得 B = P−1· A · P). 所以事實上不需 χA(x) 可以在 F[x] 中完全分解成一次的 monic polynomials 的乘積之假設, 我們仍可得 A∼ At.
