第 第
第 第 3 章 章 章 章 矩陣 矩陣 矩陣 矩陣
3-1 線性方程組與矩陣線性方程組與矩陣線性方程組與矩陣線性方程組與矩陣
重點一 高斯消去法 例題
例題 例題 例題 1
利用高斯消去法解方程組
3 1
3 2 0
x y z x y z
x y z
＋ ＋ ＝
－ － ＝－
－ － ＝ 解解
解解：：：：
3 1
3 2 0
x y z x y z
x y z
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
＋ ＋ ＝
－ － ＝－
－ － ＝
將×（－1）＋，×（－3）＋得 3
2 2 4
5 4 9
x y z y z y z
L L L L L L L L L L L L L L L L
＋ ＋ ＝
－ － ＝－
－ － ＝－
4 5 6 5× 5
2
－ ＋6得 3
2 2 4
1 x y z
y z z
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
＋ ＋ ＝
－ － ＝－
＝
7 8 9
由9得 z＝1，代入得 y＝1，再代入得 x＝1 故方程組的解為 x＝1，y＝1，z＝1
………
…………
…………
…………
………
………
…………..
………..
………..……….
重點二 矩陣的列運算 例題
例題 例題 例題 2
利用矩陣列運算解方程組
1 2 3 4 15
3 7 6 5
x y z x y z x y z
＋ － ＝
－ ＋ ＝
－ ＋ ＝
解解
解解：：：：原方程組改寫成增廣矩陣
1 1 1 1
2 3 4 15
3 7 6 5
－
－
－
→
1 1 1 1
0 5 6 13 0 10 9 2
－
－
－
→
1 1 1 1
0 5 6 13
0 0 3 24
－
－
－ －
原方程組成為
1 5 6 13
3 24
x y z y z z
L L L L L L L L L L L L L L L L L
＋ － ＝
－ ＋ ＝
－ ＝－
由得 z＝8，代入得 y＝7，再代入得 x＝2 故方程組的解為 x＝2，y＝7，z＝8
例題例題 例題例題 3
利用矩陣列運算解方程組
1
2 3 2
4 5 4
x y z x y z x y z
＋ ＋ ＝
＋ － ＝
＋ ＋ ＝
。（10 分）
解 解 解
解：：：：原方程組改寫成增廣矩陣
1 1 1 1 2 3 1 2 4 5 1 4
－
→
1 1 1 1 0 1 3 0 0 1 3 0
－
－
→
1 1 1 1 0 1 3 0 0 0 0 0
－
即原方程組與
1 3 0 0 0 x y z y z
＋ ＋ ＝
－ ＝
＝
有相同的解
此時，令 z＝t，t 為任意實數，可推得 x＝1－4t，y＝3t
可知方程組有無限多組解，其解為
1 4 3
x t
y t z t
＝ －
＝
＝
，t 為任意實數
×（－2）
×（－3）
×（－2）
×（－1）
×（－2）
×（－4）
………..
………..
………..
………..
例題 例題 例題 例題 4
利用矩陣列運算解方程組
2 2
2
3 2 4
x y z x z
x y z
－ ＋ ＝
＋ ＝－
－ ＋ ＝
解 解 解 解：：：：
2 1 1 2
1 0 1 2
3 2 1 4
－
－
－
→
2 1 1 2
1 0 1 2
1 0 1 0
－
－
－ －
→
2 1 1 2
1 0 1 2
0 0 0 2
－
－
－
原方程組成為
2 2
2
0 2
x y z x z
－ ＋ ＝
＋ ＝－
＝－
顯然第三個方程式無解，因此方程組無解
重點三 用高斯消去法來判斷三元一次方程組的解 例題例題
例題例題 5
解方程組
1 1 1 0 4 3 2
5 3 2 4
4 x y z
x y z
x y z
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝－
解 解 解
解：：：：令 a＝1
x，b＝1
y，c＝1
z，原方程組可寫成
0
4 3 2 5
3 2 4 4
a b c a b c a b c
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝－
利用矩陣列運算如下：
1 1 1 0 4 3 2 5 3 2 4 4
－
→
1 1 1 0
0 1 2 5
0 1 1 4
－ －
－ －
→
1 1 1 0
0 1 2 5
0 0 3 9
－ －
－
原方程組成為
0 2 5
3 9
a b c b c c
＋ ＋ ＝
－ － ＝
＝－
∴c＝－3，b＝1，a＝2
代入 a＝1
x，b＝1
y，c＝1 z中 得 x＝1
2，y＝1，z＝－1 3
×（－2）
×1
×（－1）
×（－4）
×（－3）
例題 例題 例題 例題 6
某一工程由甲、乙、丙三人合作需 10 天才能完成；若只由乙、丙合作需 15 天完成；如果只 先由甲工作 15 天後，再由丙繼續做要 30 天才能完成。試問甲、乙、丙三人單獨做完各需要 多少天才可完成？
解 解 解
解：：：：設甲、乙、丙單獨工作各需 x、y、z 天才可完成
依題意得方程組
1 1 1 1 10 1 1 1
15 15 30
1 x y z
y z
x z
L L L L L
L L L L L L L
L L L L L L L
＋ ＋ ＝
＋ ＝
＋ ＝
由－得1 x＝ 1
30 x＝30，代入得 z＝60 再代入得 y＝20
故甲、乙、丙三人單獨工作各需 30 天、20 天、60 天才可完成
例題例題 例題例題 7
若方程組
2 3
2 4
4 3 2
x y z a x y z b x y z c
－ ＋ ＝
＋ － ＝
－ ＋ ＝
有解，試求 a，b，c 之關係
解 解 解 解：：：：
1 2 3
2 1 4
4 3 2
a b c
－
－
－
→
1 2 3
0 5 10 2
0 5 10 4
a b a c a
－
－ －
－ －
→
1 2 3
0 5 10 2
0 0 0 2
a b a c b a
－
－ －
－ －
原方程組成為
2 3
5 10 2
0 2
x y z a y z b a
c b a
－ ＋ ＝
－ ＝ －
＝ － －
有解則為無限多組解，即 c－b－2a＝0
×（－2）
×（－4）
×（－1）
……….
………..…
………..…
例題 例題 例題 例題 8
下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成
1 2 3 6 0 0 1 1 0 1 2 3
？
(A)
1 2 3 6 0 1 2 3 0 2 3 5
(B)
1 3 1 0 1 1 1 0
3 1 7 0
－ －
－
－
(C)
1 1 2 5 1 1 1 2 1 1 2 5
－
(D)
2 1 3 6 1 1 1 0 2 2 2 1
－
－
(E)
1 0 2 3 0 1 1 2 0 1 0 1
解 解 解 解：：：：
1 2 3 6 0 0 1 1 0 1 2 3
寫成方程組為
2 3 6 1
2 3 x y z z
y z
＋ ＋ ＝
＝
＋ ＝
可得 x＝1，y＝1，z＝1，再將所有選項轉成方程組觀察之
(A)○：
2 3 6 2 3 2 3 5 x y z y z
y z
＋ ＋ ＝
＋ ＝
＋ ＝
，其解為 x＝1，y＝1，z＝1
(B)×：
3 0
0
3 7 0
x y z x y z x y z
－ ＋ － ＝
－ ＋ ＋ ＝
＋ － ＝
，此方程組有無限多組解
(C)：
2 5 2 2 5 x y z x y z x y z
＋ ＋ ＝
－ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
，此方程組有無限多組解
(D)：
2 3 6
0
2 2 2 1
x y z x y z
x y z
＋ ＋ ＝
－ ＋ ＋ ＝
－ ＋ ＋ ＝
，此方程組無解
(E)○：
2 3 2 1 x z y z y
＋ ＝
＋ ＝
＝
，其解為 x＝1，y＝1，z＝1
故選(A)(E)
例題 例題 例題 例題 9
試解方程組
2
2 1
3 2 x z
x y z x y az b
＋ ＝－
－ ＋ ＝
－ ＋ ＝
，並就 a，b 值討論之
解 解 解
解：：：：利用矩陣列運算如下：
1 0 1 2
2 1 1 1 3 2 a b
－
－
－
→
1 0 1 2
0 1 1 5
0 2 a 3 b 6
－
－ －
－ － ＋
→
1 0 1 2
0 1 1 5
0 0 a 1 b 4
－
－ －
－ －
(1) 當 a≠1 時，恰有一組解，可依序解出 z，y，x 得 z＝ 4
1 b
a
－
－ ，y＝ 5 9 1 a b
a
＋
－
－
－ ，x＝
1 2a 6
a
－ － ＋b
－ (2) 當 a＝1 且 b＝4 時，有無限多組解，令 z＝t
得方程組的解為
2 5
x t
y t
z t
－
－ －
＝ －
＝
＝
，t 為任意實數
(3) 當 a＝1 且 b≠4 時，方程組無解
例題 例題 例題 例題 10 設向量
v
a ＝（1 , 3 , 1），
v
b ＝（2 , 6 , 3），
v
c ＝（2 , 5 , －3），
v
d ＝（4 , 12 , 2）， 令
v
d ＝x
v
a ＋y
v
b ＋z
v
c ，試求序組（x , y , z）。（10 分）
解解
解解：：：：x（1 , 3 , 1）＋y（2 , 6 , 3）＋z（2 , 5 , －3）＝（4 , 12 , 2）
得方程組
2 2 4
3 6 5 12 3 3 2 x y z
x y z x y z
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
＋ － ＝
，利用矩陣列運算如下：
1 2 2 4 3 6 5 12 1 3 3 2
－
→
1 2 2 4 0 0 1 0
0 1 5 2
－
－ －
原方程組成為
2 2 4
0
5 2
x y z z y z
＋ ＋ ＝
－ ＝
－ ＝－
，解得 x＝8，y＝－2，z＝0
故序組（x , y , z）＝（8 , －2 , 0）
×（－2）
×（－3）
×（－2）
×（－3）
×（－1）
