布朗粒子在狹窄通道中的傳輸行為－通道幾何形狀的影響

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(1)國立臺灣師範大學物理系研究所碩士論文布朗粒子在狹窄通道中的傳輸行為通道幾何形狀的影響. Transport of Brownian particle in narrow channel Effect of channel geometry. 研究生：曾煒軒指導教授：張宜仁博士共同指導：杜其永博士中華民國一百零八年六月.

(2) 摘要在非平衡態中，布朗粒子在有不對稱性與不均向性的通道中運動時，粒子的運動會出現往固定方向漂移的現象。我們以通道的寬度變化形成的腔室形狀不對稱來造成不對稱性，而不均向性則由通道底部溝槽產生。我們製作了風箏型與三角形腔室形狀的通道來比較型狀對漂移運動的影響。我們發現三角形相對於風箏型的通道反而使其中的粒子傳輸速度變慢。並且也較大程度的限制了粒子的隨機擴散，使擴散係數也較低。透過分析兩通道中粒子的瞬時速度分佈，我們發現能量在三角形通道中較難傳導到縱向的運動中。使得粒子的漂移與擴散都在三角形通道中都較慢。. 關鍵字布朗運動、布朗引擎、不對稱通道、不均向性通道. i.

(3) ii. 摘要.

(4) Abstract. In non-equilibrium system, the drift motion happens as a Brownian particle moving in the channel with asymmetry and anisotropy. The asymmetry was given by asymmetrical shape of cells form the channel. Anisotropy was given by grooves built along the channel. We made two channels with different cell shapes, kite shape and triangle, to compare the effect on drift motion caused by geometry of channel. We found particle in triangular channel had slower drift and diffusion than particle in kite shape channel with the same energy input. By analysing the instantaneous velocity distribution, We found that it was more difficult to transfer energy from transverse direction to longitudinal direction for particle in triangular channel. With less energy, particle drifted slower in triangular channel than particle in kite shape channel. iii.

(5) iv. ABSTRACT. Key Word Brownian motion, Brownian motor, Asymmetrical channel, Anisotropic channel.

(6) 感謝感謝指導教授杜其永博士，對我在研究中所聯想到的物理理論做了很多的指引。同時也對論文的寫作方法做了很多的指導，使我可以更有條理的敘述研究的內容。並感謝黃仲仁博士，在理論的想法上可能會有哪些問題總是可以直接提點出來，讓我在思考上可以更加的完備。. v.

(7) vi. 感謝.

(8) 目錄. 摘要. i. Abstract. iii. 感謝. v. 目錄. ix. 1 緒論. 1. 1.1. 狹窄通道中的布朗運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. 布朗引擎. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3. 研究回顧. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.4. 實驗簡介. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.5. 論文大綱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2 實驗方法 2.1. 9. 不對稱通道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 vii.

(9) 目錄. viii 2.1.1. 不對稱通道幾何形狀 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.1.2. 不均向性的底部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 2.2. 實驗架設. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 2.3. 實驗步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 2.4. 數據擷取與處理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.5. 2.4.1. 原始影像中的粒子位置擷取 . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.4.2. 漂移速度與擴散係數的測量 . . . . . . . . . . . . . . . 14. 2.4.3. 瞬時速度的測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 2.4.4. 位置分佈、逃脫時間的測量 . . . . . . . . . . . . . . . 15. 通道等效驅動力的測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. 3 實驗結果. 27. 3.1. 漂移速度、擴散係數與振動參數間對照關係 . . . . . . . . . . 29. 3.2. 橫向瞬時速度分佈與方均根速率與通道形狀無關. 3.3. 橫向方均根速度與最大加速度成對數關係 . . . . . . . . . . . 31. 3.4. 方均根速率與漂移速度、擴散係數無函數關係 . . . . . . . . . 33. 3.5. 漂移速度、擴散係數、方均根速率和粒子分佈的關係 . . . . . 34. 3.6. 逃脫時間的分佈符合馬可夫過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 3.7. 粒子在通道中所受驅動力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 4 討論與結論 4.1. . . . . . . . 31. 55. 造成粒子漂移的來源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.

(10) 目錄. ix. 4.2. 漂移速度和擴散係數對熱速度的關係 . . . . . . . . . . . . . . 58. 4.3. 通道形狀與其中布朗粒子的受力 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. 4.4. 結論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. 參考文獻. 60. A. 65 gif2png.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 png2xy7.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 cal2.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 xy2xyc.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 xyc2xyn.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 xyn2txyuv.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 txyuv2vd.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 txyuv2tx fluc.py. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. tx2msd.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 msd2D.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 get distribution.py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.

(11) x. 目錄.

(12) Chapter 1 緒論布朗粒子是指其運動主要受到四周圍的其他粒子碰撞[1]或是受到背景給予的隨機震盪(fluctuation)驅動，而使運動方式無法受到預測，並且滿足其方均位移正比於觀察間隔時間。布朗運動並不會因為受到單一次衝擊而向受力方向持續的移動，而是會因為受隨機震盪的影響而失去原有的運動方向性。由於這樣的特性，在隨機震盪主要影響粒子運動的系統中，要準確的控制粒子的運動是困難的。而要讓布朗粒子產生有方向性的移動就必須持續的輸入能量，例如持續對布朗粒子施力。或是利用人為方式破壞空間中的對稱性與均向性，在這樣的環境中，對布朗粒子施予無方向性的能量輸入，也可以驅動粒子使其往單一方向運動[2, 3]。將布朗粒子置於狹窄通道中會使布朗粒子的擴散受到通道的形狀影響。受限於通道的寬度，讓布朗粒子的擴散速度會與通道寬度的變化有關。雅各布(Jacobs)與Zwanzig的研究利用局部達成熱平衡的想法，引入熵位能的 1.

(13) CHAPTER 1. 緒論. 2. 概念進行推導[4]。推導指出粒子的擴散係數會與粒子在該位置的通道寬度變化。在非平衡的狀態下，一顆顆粒體布朗粒子在含有不對稱性與不均向性的狹窄通道中運動時所產生的傳輸效應。使這個系統成為一種布朗引擎，即為從無方向性的震盪能量輸入中提取能量以產生有方向性的運動。雖然此類的研究數目繁多，但大多專注於研究介觀尺度的粒子傳輸現象[5, 6, 7, 8]。彭政博士與杜其永博士便使用顆粒體布朗粒子研究在同時有不對稱與不均向性通道中的傳輸現象[9]。並且指出特殊設計的不均向性可以使在垂直於通道的瞬時速度(vy )分佈為高斯分佈。而縱向的瞬時速度分佈則否，並且兩方向的方均根速率不相等。代表通道底部的溝槽確實會使粒子在通道中的運動產生不均向性。以此為基礎，定義了熱速度（thermo speed）vy,T =. q. hvy2 i。發現了熱速度與漂移速度呈現正比；熱速度與擴散. 係數呈現單調成長函數。也發現了在通道兩端的粒子出現機率比與漂移速度成正相關。這樣的關係也透過簡化的碰撞模型推導出相符的結果。我們的研究中透過將文獻[9]中的通道做了改良，並且設計了不同形狀的通道藉以比較在不同的通道不對稱性對漂移速度與擴散係數的影響。同時我們因為做了更大幅度的實驗參數變化，發現在輸入能量強度更強時，粒子的漂移速度與擴散係數都表現的與小振幅時有完全不同的反應。在此章節中，會先對研究的背景做介紹，然後提及此研究與其他研究的不同之處，與所得到的結果。最後會對整篇論文做一大綱式的介紹。.

(14) 1.1. 狹窄通道中的布朗運動. 1.1. 3. 狹窄通道中的布朗運動. 非平衡系統中，當布朗粒子在一個截面積會改變的通道內擴散，其擴散的範圍受到通道的幾何形狀限制。使得粒子的擴散係數與位置的分佈都會受到通道的幾何形狀影響，而與在自由擴散的狀態不同。雅各布研究粒子在對稱二維通道中的布朗運動的推導中，將系統簡化為一維問題，使系統可以被看作在一個有位能的環境中的擴散運動[4]。為了將二維系統簡化為一維的系統，雅各布假設了通道中的布朗粒子可以很快的擴散到通道的寬度[10]，使得系統在垂直通道的方向達成局部的熱力學平衡。雅各布引入熵屏障的概念，利用局部平衡的假設，讓我們在局部可以使用熱力學定理。也就是當粒子在通道x處時，等效的在x ± dx的範圍中達到平衡。因此在這個子系統含有的熵可以以子系統的體積做計算S = kB ln W (x)dx，此處W (x)為在x處通道的寬度。當粒子在通道中移動時需要作功∆w = ∆U − T ∆S，此處U 代表位能，而我們所研究的系統並無位能差。如此當粒子在通道中做布朗運動時，要通過通道較細小的部份就如同通過熵造成的屏障一般。以此解釋在不同位置的通道截面積是如何影響布朗運動。不僅如此，當我們將通道的幾何形狀設計為不對稱並且在通道的中加入非均向性時，粒子開始會往固定的方向漂移，使得此系統可以作功將粒子向前移動，讓這個系統成為布朗引擎。此現象所產生的移動速率會受粒子的大小影響[11, 12]，因此可以應用在不同顆粒大小的分離。.

(15) CHAPTER 1. 緒論. 4. 1.2. 布朗引擎. 布朗引擎的概念在1962年被費曼所提出，原本的目的在於挑戰熱力學第二定律[13]。雖然之後費曼自己證明了這樣的裝置無法違反熱力學第二定律，這樣的裝置也引起了許多人的興趣。因為布朗引擎能將混亂無指向性的能量轉變為有方向性的能量作功。在非平衡的狀態下，透過限制條件將空間中的對稱性破壞，使得我們可以用一個嶄新的方法來驅動粒子或製造引擎。尤其是在微米與奈米的尺度下，我們無法用一般的方式來操作和控制如此小機械。在這個尺度下要做出稍微複雜的控制便會非常困難，因為我們無法精確的在如此小的範圍內調控位能的梯度或是以其他的方式輸入能量到如此小的機械中。並且在這個尺度下主要由分子的碰撞所產生的效應影響運動，所以必須施以持續的作用力才能使粒子與機械持續運動。也使我們無法分別控制兩種以上物體的運動方向。這兩種困境都可以利用布朗引擎中的棘輪效應解決。我們在自然界也發現了許多有地方有這樣的不對稱的構造。例如在驅動細菌鞭毛的的分子引擎[14, 15, 16, 17]、細胞膜上的蛋白質通道[18]等等。這樣的現象也可以應用於粒子分離[11, 12]、晶片實驗室中幫助粒子傳輸[19]的用途上。除了微觀尺度下布朗引擎的例子，我們也試著在宏觀尺度下實現布朗引擎。有些使用費曼所設想的機構，在受震動跳躍的顆粒體氣體碰撞中實現[20, 21]。有些是將目光專注在驅動力子，透過布朗粒子至於形狀不對稱.

(16) 1.3. 研究回顧. 5. 的通道中，並在輸入能量時給予粒子速度的不均向性，藉由粒子碰撞通道邊界將混亂的運動導向固定的方向[11, 12]。還有一些則是單純設計了不對稱的物體，使其在顆粒氣體的碰撞下產生定向移動[2, 3, 13]。從這些研究中我們了解到，在顆粒體系統中，布朗引擎除了需要不對稱性以外，還需要含有不均向性或耗散性的碰撞[2]，而尤其以不均向性的運動性質的改變可以有非常顯著的增強驅動布朗引擎的效果。我們的研究屬於利用通道的不對稱性與輸入能量具有不對稱性來驅動粒子的類型。. 1.3. 研究回顧. 在彭政與杜其永所做的研究[9]中。該研究中使用三個相同的風箏形腔室直線串接為一邊，並用四邊相接為正方形的不對稱通道。通道的底部刻有沿通道方向的溝槽以使粒子運動速度分佈有非均向性。在實驗中他們發現在垂直於通道的方向，速度份部呈現出高斯分佈，並且以此為根據以布朗粒子運動時垂直於通道方向上的方均根速率定義顆粒體熱速度（uT y ≡. q. h|u2y |i）與此系統中的顆粒體溫度（Tg ≡ mu2T y ）。透. 過比較在不同的熱速度下的粒子漂移速度與擴散係數，這篇研究指出：漂移速度與熱速度呈現正比關係；而擴散係數與熱速度雖然不成正比，但也呈現單調成長曲線。根據這個結果，他們認為橫向的熱速度是主要影響粒子的漂移與擴散的物理量。除了分析運動參數間的關係外，在該研究中也利用將通道傾斜使粒子所受到的等校驅動力與重力達成平衡，以此來測量.

(17) CHAPTER 1. 緒論. 6. 粒子在通道中的等效受力。讓我們知道可以利用此方法測量在通道中的粒子感受到的力。經過測量在振幅為0.5毫米、頻率40赫茲下，風箏型的通道會對在其中運動的布朗粒子造成24.6(±14%)微牛頓的等效受力。最後透過碰撞力學的分析的推導，提出布朗粒子在通道中驅動力的來源。使我們知道粒子在通道中的驅動力可以從粒子碰撞通道的邊界平均受力而來。並且也推導出漂移速度與擴散係數的比與腔室兩端開口粒子出現的機率比取對數成正比，並且也在實驗數據對比中得到相似的關係，表示這個理論在定性上可以符合實驗的數據。. 1.4. 實驗簡介. 以這篇研究為基礎我們在通道的設計上做了一些改變。我們這次使用環形的通道，如此便能避免在方形通道實驗中粒子會因為轉角處的邊界效應不同而影響運動的情況。並且我們製作了兩個腔室形狀不同的通道，另他們有不同的不對稱性。除了通道的串連形狀以外，我們還增加了實驗參數變化的範圍，做了更多不同的振幅的實驗，探討在更多的振動條件下，布朗粒子在這兩個通道中的運動特性。我們也使用同樣傾斜通道的手法來測量形狀不同的通道對粒子產生的等效驅動力，為此我們也製造了方形的通道。我們發現在文獻[9]中實驗所使用的振動參數範圍外，粒子的運動參數間的關係呈現很不一樣的關係。在參考資料[9]的實驗範圍中，漂移速度與垂直於通道方向的方均根速率成正比，並且擴散係數也與垂直於通道方向.

(18) 1.5. 論文大綱. 7. 的方均根速率正相關。但我們當我們繼續增加振幅，漂移速度與垂直於通道方向的方均根速率的關係表現變得不相關甚至呈現負相關。而擴散係數則是除了在特定的振幅下才會與頻率有正相關的關係，在其餘情形則不受振動頻率的影響。我們也發現：相對於垂直於通道方向的方均根速率，沿通道方向的方均根速率均與擴散係數和漂移速度成正相關。我們也比較了兩個不對稱通道的實驗結果。原以為較高的不對稱性可以使通道中粒子的漂移速度更快，但事實不然，實驗的結果顯示：置於有較高不對稱性通道的粒子在相同的能量輸入下，其漂移速度比在較低不對稱性的通道中的粒子還小。經過深入探討後發現，當通道同側牆面間的夾角縮小會使粒子沿通道運動的速度分佈往零收窄，造成沿通道方向的方均根速度下降。進而使粒子在高不對稱性通道中的漂移速度下降。而在驅動力測量的實驗中我們發現在相同的振動條件下，較大的不對稱性造成的驅動力沒有發現顯著的差異。. 1.5. 論文大綱. 本篇論文總共有四個章節。第二章將詳細說明實驗的儀器架設、不對稱通道的設計的詳細細節，與實驗的操作與實驗的步驟，並講述數據擷取方法來解釋我們如何取得我們後遇分析數據所使用的物理量。第三章我們探討實驗中振動振幅、頻率與漂移速度與擴散係數間的關係，也比較了通道橫向與縱向的瞬時速度分佈。然後展示我們所發現粒子運動相關的物理量之.

(19) 8. CHAPTER 1. 緒論. 間的關係。最後第四章我們比較在本研究中我們的實驗結果與[9]的結果間的差異。以此來對照我們的實驗結果，並且將關係是的形式與熱力學的化學勢做連接來探討此種布朗引擎的作功動力是來源於熵屏障的兩端因為粒子分佈機率的不對稱而產生的化學勢差異。最後對目前的研究做一個總結，和討論未來的研究可以朝哪些方向邁進。.

(20) Chapter 2 實驗方法實驗是將塑膠球置於水平放置的通道中作為我們觀測的粒子，並以振動機在鉛錘方向做振動，使得塑膠球在通道中跳動。當塑膠球在通道中做布朗運動時，我們以高速相機拍攝並從照片中擷取塑膠球在通道的位置。透過分析這些位置隨時間的變化，我們測量了粒子的漂移速度、擴散係數、瞬時速度等等運動相關參數，我們也測量了粒子在通道中的分佈和統計粒子在單一腔室中所花費的時間。為了比較不同有不同幾何形狀的通道中粒子的運動情形。我們製作了兩個不同的通道，並將形狀設計通道的形狀具有不同的不對稱性。通道的不對稱性會使得塑膠球在通道中的分佈會有不對稱性。以及在通道的底部設計了方向與通道平行的溝槽，使得塑膠球在跳動撞擊通道底部時，振動所輸入的能量會因為溝槽的方向而先導向通道的橫向方向。使得球的速度在沿通道方向（縱向，x方向）與垂直通道方向（橫向，y方向）有不均向 9.

(21) CHAPTER 2. 實驗方法. 10. 性。透過比較粒子在這兩個通道中的運動情況，探討不同的通道形狀不對稱性如何影響粒子的運動。. 2.1. 2.1.1. 不對稱通道不對稱通道幾何形狀. 研究中我們設計了兩個幾何形狀不同的通道（風箏型通道、三角形通道），如圖2.1（a,b）。通道由十二個相同形狀的腔室組成圓環。在這兩個通道中，當我們以順時針和逆時針方向運動時，所經歷的通道寬度的變化是不同的。因此，我們稱這兩個通道在沿通道方向運動時有不對稱性。這兩個通道中的單元腔室的長度與寬度均相同，只有腔室最寬的部份位置不同。我們將單元腔室的形狀不同視為此兩通道有不同的不對稱性質。首先我們將風箏型通道的腔室形狀設計為與之前所做的研究[9]相同的風箏型（圖2.1c）。這個通道的腔室最寬的部份設定在四分之三倍腔室長度（L）的位置。並且腔室寬度轉折的地方設為九十度，以便我們的設計計算。我們可以以數學式寫出風箏型通道的邊界與沿通道方向軸上位置的關係： y={. a1,1 + b1,1 x,. 0 ≤ x ≤ xm . (2.1). a1,2 − b1,2 x, xm ≤ x ≤ L..

(22) 2.1. 不對稱通道. 11. 其中，L = 56 mm，xm = 3/4L，a1,1 = 5.6 mm，a1,2 = a1,1 +L/b1,1 ，b1,1 = tan(π/6)，b1,2 = −1/b1,1 。我們將三角形通道設計為等腰三角形（圖2.1d）。其邊界的數學式可以下列表示： y = a2 + b 2 x. (2.2). 其中，a2 = tan(0.47)，b2 = 5.6mm。我們使用與風箏型通道相同的腔室長度（56mm），並且將三角形通道最寬的寬度也設定與風箏型通道最寬的佈份的寬度相同。使得兩個通道的腔室所含的面積完全相同。為一在通道形狀上改變的只有通道最寬的位置，使兩通道有不同的不對稱性。從單元腔室中最寬部份的位置來看，三角形通道的不對稱性大於風箏型通道。. 2.1.2. 不均向性的底部. 除了不對稱的幾何形狀以外，我們還在兩個通道的底部增加半圓形的突起溝槽（2.1e）。由直徑6mm的辦圓柱每隔3mm在通道底部平行排開，且皆是沿著通道的方向。這些溝槽可以使跳動的球撞到這些溝槽時，給予往橫向跳動的動能。如此，當通道上下振動時，振動的能量就會先藉由碰撞溝槽導向橫向方向。而橫向上的能量主要就是以球碰撞到通道的牆面時從橫向向轉換到縱向方向。因此在通道中的運動，縱向與橫向上的速度分佈就會不同，就形成了非均向性的運動。.

(23) CHAPTER 2. 實驗方法. 12. 為了比較不同的不對稱性對於粒子在通道中運動的影響，實驗中所使用了兩個通道我們只改變了通道最寬的位置，其餘的設計皆完全相同。在這個控制條件下，我們預測不對稱的效果會在三角形通道中更顯著，應該會有更快的漂移速度。. 2.2. 實驗架設. 我們將我們設計製作的通道放置在振動機台(振儀科技VS100-V)上，並以水平儀校準通道水平。透過調整振動機台底下的四個氣壓墊，我們可以調整振動機台的水平，使振動機台與通道都可以達成水平。在通道的上方放置有一塊透明壓克力板，以避免塑膠球在通道中跳動時彈出通道外。完整裝置圖如圖2.2。實驗中我們使用高速相機（prosilica GE680）作為我們紀錄塑膠球位置的工具。高速相機可以最高每秒鐘拍攝100張相片，有利於我們分析球在彈跳運動中的瞬時速率。我們將相機架設在通道正上方，以鉛錘向下的方式拍攝整個通道。然後以IDL編寫的電腦程式[22]控制相機與儲存影像。. 2.3. 實驗步驟. 因為當塑膠球在碰撞的過程中，容易產生靜電。塑膠球表面的靜電會讓塑膠球與通道會互相吸引，或是通道內的灰塵吸附於塑膠球上。造成塑膠球.

(24) 2.4. 數據擷取與處理. 13. 的彈性與運動性質改變，使得實驗結果無法重複。因此實驗前需要先對塑膠球噴上抗靜電噴霧（BOTECH抗靜電噴劑），並以氮氣吹乾後再放入通道中。在塑膠球放入通道後，再將透明壓克力板放在通道上，以長尾夾夾緊，以避免在實驗的過程中塑膠球彈出通道。我們以振弦震盪的方式上下振動通道。我們改變振動台的振幅以及頻率，並且固定實驗時間兩小時。我們設定的振動台的振動頻率（f ）範圍從20赫茲到70赫茲之間、振幅（amp）範圍則是從0.5毫米到2.0毫米之間。當振動機振動使塑膠球在通道中跳動的同時，利用相機拍攝照片用以分析球的位置以及速度。利用IDL編寫的程式來控制相機的拍照模式。我們將相機的拍攝方式設定為有兩種時間尺度。一為以每秒100張（100FPS）的速度拍攝十張，用來分析在此0.1秒內的瞬時速度。二為每一秒重複上述的方式拍攝，以每一組的第一張照片來分析紀錄位置的變化。. 2.4 2.4.1. 數據擷取與處理原始影像中的粒子位置擷取. 利用python中的trackpy模組編寫擷取位置的程式來擷取相片中塑膠球的位置(圖2.3a)，取得每張照片中塑膠球的位置。因為我們是以環形的通道模擬無限長直的週期性通道。因此我們需要進一步將位置數據做一些轉換，把環形的通道排列成直線，讓球好像真的在無限長的通道中運動。首先我.

(25) CHAPTER 2. 實驗方法. 14. 們將環形通道的每個腔室編號（圖2.3b）。再將擷取到球的位置依照編號進行對應的座標旋轉，取得以單一腔室作為參考座標的位置(圖2.3c)。最後從粒子所在腔室的編號的變化來判斷球的轉換腔室的方向，把以單一腔室作為參考座標的位置數據再加上轉換腔室的數目乘上腔室長度來獲得無限長直週期性通道的運動位置變化（圖2.3d）。. 2.4.2. 漂移速度與擴散係數的測量. 依照上述步驟，我們從圖片擷取出粒子沿通道的位置對時間關係圖（圖2.4黑線）。從圖2.4中，我們可以得知粒子的位置與時間成線性關係。也就是其飄移速度不隨時間變化，我們也以此斷定振動時此系統達到穩定態。我們對隨時間變化的位置與時間做線性回歸，取其斜率做為塑膠球在通道中運動的漂移速度（vd ）。而在測量擴散係數前，我們會先將位置隨時間變化減去漂移的影響，得到粒子在漂移運動中的位置隨時間變化的隨機震盪（圖2.4紅線）。對這個隨機震盪取方均位移（M SD =< δx2 >），我們得到方均位移隨時間的變化，我們以對數座標作圖（圖2.5a）。在此圖中，粒子做擴散運動時，方均位移與時間的關係會呈現斜率為一的直線。但我們發現，在延遲時間短時（10秒內），粒子的隨機震盪表現比一般布朗運動擴散要慢（斜率小於一），而在延遲時間長時，粒子的震盪就符合布朗運動的擴散。因此我們取延遲時間大於10秒並且所有實驗符合布朗運動擴散的時間範圍（10秒至30秒，圖2.5b），利.

(26) 2.4. 數據擷取與處理. 15. 用線性回歸取斜率除二作為擴散係數（D）。. 2.4.3. 瞬時速度的測量. 我們不僅測量了粒子運動的漂移速度與擴散係數，我們還測量了0.1秒內粒子的瞬時速度。利用以100FPS拍攝的十張照片所擷取出的位置後，分析平行（縱向）與垂直（橫向）通道的位置隨時間變化。在這個時間尺度下我們所看到的粒子運動特徵呈現彈道特徵與擴散的過渡，也就是我們可以看到粒子碰撞的過程。為了取得粒子在兩個方向的等速運動特徵，我們將位置對時間的關係以連續4個數據點做線性回歸，並取斜率誤差值最小的回歸線做為該時間所測量到在該方向的瞬時速度（圖2.6（a）紅線的斜率與（b）深藍色線的斜率）。. 2.4.4. 位置分佈、逃脫時間的測量. 為了可以了解粒子在腔室裡的分佈會如何影響運動。我們還依照以下定義測量了在一個腔室內粒子的分佈P (x)（圖2.7）。. P (x) =. n(x, ∆x) N ∆x. (2.3). 上式中，n(x, ∆x)是在x到x + ∆x區間內發現粒子的次數，N 則是我們所有位置數據的總數。.

(27) CHAPTER 2. 實驗方法. 16. 此外，我們也是著將個別的腔室當作座標單位，測量粒子從一個腔室跳到另一個腔室所需的時間（逃脫時間tesc ）（圖2.8）。. 2.5. 通道等效驅動力的測量. 由於我們需要借助地心引力來平衡粒子在通道內運動時等效受到的驅動力，我們在放置通道時將通道傾斜（圖2.9a）。這部份的實驗中我們使用方形的通道來做實驗，以方便我們可以單純的考慮粒子在通道中受力的方向。我們考慮沿通道傾斜的方向使之與通道的軸向項同，以此來使重力的分力與通道施予粒子的驅動力互相抵銷或是加成。透過傾斜通道角度我們可以計算粒子在通道中所受的重力的分力為(圖2.9b)：. Fg = mg sin(θ). (2.4). 我們透過觀察不同的傾斜角度與它對粒子分佈的影響來推測粒子所受驅動力是否與重力的分立達成平衡。.

(28) 2.5. 通道等效驅動力的測量. 17. 圖 2.1: 實驗中所使用的不對稱通道，圖（a）為風箏型通道；（b）為等腰三角形通道；（c）風箏型通道單元腔室的形狀與塑膠球的大小對比；（d）三角形通道單元腔室形狀與塑膠球大小對比，在風箏型通道與三角形通道間的虛線表示兩通道有相同的最大寬度與開口寬度；（e）通道底部溝槽示意圖，此圖取自參考資料[9]。.

(29) 18. CHAPTER 2. 實驗方法. 圖 2.2: 實驗儀器圖，我們將自製的不對稱通道置於振動台上，而高速攝影機架設於通道正上方，以垂直向下拍攝通道。.

(30) 2.5. 通道等效驅動力的測量. 19. 圖 2.3: 從照片擷取位置數據示意圖，以風箏型通道的數據為例，（a）原始照片擷取位置；（b）從所有照片擷取出塑膠球的位置；（c）粒子在單一腔室內的二維分佈圖。我們將所有位置資訊按照該位置所處腔室編號旋轉對應角度，使所有腔室的座標疊合在一起；（d）將腔室位置一起算入位置的變化中，我們得以直線展開粒子在通道中的運動軌跡。.

(31) CHAPTER 2. 實驗方法. 20. (a) 風箏型通道. (b) 三角形通道. 圖 2.4: 粒子位置與扣除漂移的位置隨機震盪對時間關係圖，此圖以風箏型通道實驗中，振幅為2毫米、頻率為30赫茲的實驗為例。黑線為粒子沿通道運動隨時間位置變化圖，我們對其做線性回歸並以測量到的斜率為此實驗條件下的漂移速度；紅線則為將漂移的影響減去之後，粒子在通道中的擴散運動。.

(32) 2.5. 通道等效驅動力的測量. 21. 圖 2.5: 方均位移對時間圖。(a)將圖2.4中的位置隨機震盪隨時間變化線（紅線）取方均位移，(b)透過取10到30秒之間的方均位移變化取線性回歸測量斜率，並以h∆x2 i = 2Dt + ∆x0 計算擴散係數。.

(33) CHAPTER 2. 實驗方法. 22. (a). (b). 圖 2.6: 瞬時速度測量示意圖，我們取得粒子在腔室中十分之一秒內的位置變化，我們取任意連續時間的四點做線性回歸，最後取回歸線斜率誤差最小的回歸線為該時間內的彈道軌跡速度。（a）為縱向，可以看出有最小的回歸線的斜率誤差為3.01，因此我們取該線斜率為此時的縱向瞬時速度-17.50（mm/s）。（b）為橫向，此方向上有最小的回歸線的斜率誤差為8.53，因此我們取該線斜率為此時的橫向瞬時速度-115.20（mm/s）。.

(34) 2.5. 通道等效驅動力的測量. 23. 圖 2.7: 粒子在兩個通道中的分佈圖，空心點是將腔室分割為40部份所計算出的分佈狀況，可以清楚看見在對數對線性的座標中，機率密度呈現線性分佈。實心則是以塑膠球直徑為統計寬度計算出的位置分佈，用於之後的數據分析。.

(35) 24. CHAPTER 2. 實驗方法. 圖 2.8: 測量逃脫時間示意圖，以頻率為40赫茲、振幅2毫米為例，我們可以測量粒子在各腔室間轉換隨時間的變化，以此我們就可以測量粒子每次逃脫一個腔室到鄰近腔室所需的逃脫時間tesc 。.

(36) 2.5. 通道等效驅動力的測量. 25. 圖 2.9: 傾斜通道實驗示意圖。（a）我們只傾斜通道，而不傾斜振動機，因此振動方向依舊是鉛直方向。（b）通道中的粒子受重力分力分析（c）為我們做傾斜通道實驗時所使用的方形通道，圖中的箭頭方向為通道傾斜的方向。.

(37) 26. CHAPTER 2. 實驗方法.

(38) Chapter 3 實驗結果本研究中我們測量了通道中布朗粒子的漂移速度、擴散係數與其瞬時速度的分佈。我們首先試著找出漂移速度、擴散係數與振動參數間的關係。但難以直接從振動的振幅與頻率直接看出和漂移速度與擴散係數間的關係。不過我們發現當振幅小（0.5毫米）時，風箏形通道與三角形通道中的粒子有相近的漂移速度，在較大振幅時（大於0.5毫米）在風箏型通道中粒子的漂移速度高於三角形通道中的粒子。而擴散係數則是三角形通道中的粒子普遍都小於風箏形的通道。值得注意的是，在特定的振幅下（1.0毫米），振動頻率與擴散係數呈現正相關，但在其他振幅下未見振動頻率影響擴散係數。當我們進一步檢視粒子的瞬時速度分佈時，我們發現橫向瞬時速度與通道的形狀無關，只與振動中的最大加速度與粒子跳動是否會碰撞通道頂部有關。而縱向的瞬時速度分佈則會因為通道形狀不同而改變。並且橫向 27.

(39) CHAPTER 3. 實驗結果. 28. 方均根速率與振動的最大加速度呈現對數關係。讓我們可以知道振動強度與通道內粒子的顆粒體運動溫度有明確關係。從縱向與橫向的方均根速率對漂移速度、擴散係數分別做圖中，我們發現，在振幅大的時候，漂移速度與擴散係數不再與方均根速率呈現函數關係。而縱向的方均根速率與漂移速度和擴散係數呈現了相較於橫向方向更高的相關性。由此我們知道相對於橫向方均根速率，縱向的方均根速率與粒子的在通道中縱向的漂移與擴散有較高的相關性。從這個結果我們推測了這個系統的能量傳輸是由振動使粒子在鉛錘方向運動透過碰撞溝槽傳道橫向運動中。而縱向運動則是由粒子橫向的運動碰撞到通道的牆壁造成的。根據這個推論，我們希望知道在兩個通道中粒子運動的能量從橫向運動傳至縱向的效率。我們發現三角形通道中粒子的橫向能量較難傳到縱向運動中，我們認為這是粒子在三角形通道中有較低的漂移速度與擴散係數。. 我們也將實驗的結果代入文獻[9]中所推導出運動物理量間的關係。我們發現數據結果雖然無法完美符合此關係式，但在定性上是符合的。在這個關係適中我們可以知道，粒子在腔室兩端出口的出現機率比取對數成正比。讓我們知道粒子在腔室出口兩端的出現機率不對稱也會影響粒子的漂移。. 另一方面我們也從粒子在腔室間的轉換來看這個運動。透過計算粒子脫離所在腔室所需要的逃脫時間分佈為指數衰減函數。這代表粒子在跳脫所在腔室可以被視為隨機事件，不與其先前所花時間有關係。.

(40) 3.1. 漂移速度、擴散係數與振動參數間對照關係. 29. 為了可以測量粒子的等效驅動力，我們觀察在不同傾斜角度下通道中粒子的分佈的改變。發現當重力分力往通道傳輸的相反方向時，隨著角度的上升會讓粒子分佈逐漸接近均勻分佈。我們以粒子分佈為完全均勻為標示，表示重力與通道所產生的驅動力達到力平衡。此時粒子在三個串連成直線的腔室出現的機率相等。我們以此為假設測量在不同傾斜角度下粒子在三個腔室內出現的機率。並測量出在傾斜角度為1.4度時，重力與通道產生驅動力達成立平衡。由此算得三角形通道對其中的布朗粒子產生的驅動立為26.87±2.4微牛頓。我們發現粒子在通道內的擴散係數與縱向的方均根速率成正比，且與粒子在通道中的分佈導數積分成反比。而這樣的關係不僅在小振幅的實驗中適用，大振幅的實驗也符合這個關係。但我們尚未有合理的解釋。我們也比較了漂移速度與擴散係數的關係，發現這兩個物理量在兩個不同形狀的通道都呈現了單調成長曲線。顯示了在此系統中漂移速度與擴散係數會互相影響，而非互相獨立的物理量。. 3.1. 漂移速度、擴散係數與振動參數間對照關係. 我們從實驗中測量出的粒子漂移速度隨我們調控的振動頻率與振幅變化如圖3.1所示。從圖3.1中，我們看到對於兩個通道來說，當振幅較小（0.5與1.0mm）的時候，漂移速度會隨振動頻率的上升而跟著上升；但在振幅大時，風箏型通道的實驗一樣表現出漂移速度會隨著振動頻率的增加.

(41) CHAPTER 3. 實驗結果. 30. 而上升，對於三角形通道則是漂移速度反而因為振動頻率上升而減緩。另一方面，若是相同頻率不同振幅的實驗會發現：凡是振幅大於1.0mm的實驗，漂移速度會因為振幅的增加而下降。我們也可以比較在相同的振動條件下，粒子在兩通道中運動的漂移速度。我們發現除了最小的振幅（0.5mm）通道中粒子的漂移速度相差不多以外，其餘實驗粒子在三角形通道中所運動的漂移速度均小於在相同條件下風箏型通道的實驗。這表示較大的不對稱性反而使粒子的漂移速度降低，與我們的預期有很大的不同。擴散係數隨振動與振幅變化圖如圖3.2，在此圖中我們看到不論是風箏型通道或三角形通道，僅有振幅為1.0mm的實驗中，擴散係數會隨著振動頻率增加而增加。其餘都呈現不隨頻率變化或是因頻率增加而稍微減少。若是相同頻率不同振幅的實驗會發現：當振幅大於1.0mm，擴散係數也會隨著振幅的增加而下降。在兩通道的比較中，也顯示了在有較大不對稱性通道中粒子運動的擴散係數較小。我們可以根據以上結果做最初步的結論：在振幅為1mm時，漂移速度最高，且漂移速度還會隨著輸入能量的增加（增加頻率）而提昇。不過依舊難以直接歸納出振動參數與漂移速度和擴散係數間的關係。不過我們在相同的振動參數底下比較粒子在兩個通道中的漂移速度與擴散係數後發現：粒子在有較大不對稱性的三角形通道中運動時，漂移速度相較於粒子在風箏型通道中要來得小，這結果與我們的預期完全相反。不僅是漂移速度，連連粒子的擴散係數在三角形通道中都相對較小，這表示在三角形通.

(42) 3.2. 橫向瞬時速度分佈與方均根速率與通道形狀無關. 31. 道中的粒子運動是比較有方向性的。這點值得我們更深入探討。. 3.2. 橫向瞬時速度分佈與方均根速率與通道形狀無關. 我們將測量到的瞬時速度做統計並繪製以瞬時速度的分佈圖（圖3.3）我們發現在橫向的瞬時速度分佈呈現高斯分佈，與文獻[9]中所得到的結果相同。不僅如此，在兩個不同腔室形狀的通道中，相同參數的實驗下，橫向的速度分佈完全相同。表示橫向的速度分佈主要是以粒子碰撞通道底部溝槽造成，不會因為腔室的形狀改變而受到影響。另一方面縱向上的速度分佈則會因為通道形狀改變受影響。我們認為，縱向上的速度主要是由粒子碰撞通道牆壁，將橫向速度藉由碰撞轉向至縱向。因此對於不同形狀的通道，縱向上的速度分佈不同。如此我們可以將橫向的運動看作在一個穩定且只與振動參數有關的熱庫，藉由粒子碰撞通道牆面將能量傳導至縱向。. 3.3. 橫向方均根速度與最大加速度成對數關係. 我們計算縱向方均根速率（vx,rms ）與橫向方均根速率（vy,rms ）並觀察這些物理量隨著實驗參數的變化如圖3.4、圖3.5。而縱向與橫向的方均根速率圖（圖3.4、圖3.5）中，我們看到在相通得振幅下vx,rms 與vy,rms 會隨著振動頻率的增加而跟著增加。而振幅為0.5mm的實驗則在vx,rms 與vy,rms 的表.

(43) CHAPTER 3. 實驗結果. 32. 現都是普遍與其他振幅的實驗有一段差距。若是從固定頻率的角度看，在三角形通道中vx,rms 的表現就如同漂移速度隨振幅的改變：當振幅大於1.0mm時，vx,rms 會隨著振幅的增加而降低。而vy,rms 與振幅的上升呈現正相關且不論在風箏型通道或是三角形通道都是這樣的趨勢。另一方面，我們也比較兩個通道中的粒子的方均根速率，發現vx,rms 的表現與漂移速度和擴散係數相同，都是在三角形通道中測量到的較小，而在橫向上則是因為分佈相同所以vy,rms 也相同。除了直接觀察我們調控的實驗參數與測量到的數據關係外，我們也希望找到可以單獨描述我們所施予的振動強度。我們計算振動的強度為簡諧震盪時的最大加速度（γ = ω 2 a = 4π 2 f 2 a）。此物理量也代表在不同的振動參數設定底下，可以有相同的最大加速度。我們預測當我們設定的振動越強時，粒子的方均根速率也會隨著增加。我們將加速度對橫向的方均根速度（vy,rms ）作圖（圖3.6），我們首先可以發現確實方均根速率如我們預測隨振動最大加速度增加。並且在圖中的數據點分為兩組，並且vy,rms 較大的數據組正好是vy,rms 較小數據組的兩倍。當我們直接觀察實驗中粒子運動有何不同，發現圖3.6中vy,rms 較小的實驗中，因為輸入振幅較小，塑膠球跳動時均不會碰撞到通道上方蓋住的壓克力板。我們因此推斷，若是在一次的彈跳中，塑膠球跳動時撞到上方壓克力板反彈下來再次碰撞通道底部的溝槽，塑膠球在一次的振動中會獲得兩次碰撞的能量。使得有二次碰撞的實驗中，獲得能量的頻率會是單次碰重的兩倍，使vy,rms 也會是只有單次碰撞的兩倍。.

(44) 3.4. 方均根速率與漂移速度、擴散係數無函數關係. 33. 若是我們將二次碰撞的影響除去之後，我們發現兩組的數據點確實是疊合在同一曲線上（圖3.7）。並且發現可以用對數函數來擬合加速度與橫向上方均根速度的關係：. vy,rms = α ln(βγ). (3.1). 其中α = 0.0540 ± 0.0012，β = 2.73 ± 0.17。. 3.4. 方均根速率與漂移速度、擴散係數無函數關係. 在vx,rms 與vd 做圖中(圖3.8)，我們發現兩個物理量大致呈現正相關，但在振幅大的實驗中出現了漂移速度會低於其正相關趨勢的情形。因此我們也只能說，漂移速度的上限與vx,rms 成正相關。並且我們發現兩個通道的實驗的漂移速度的上線大致是落在同一條過零的直線上。而現在vx,rms 與擴散係數的比較中(圖3.9)，三角形通道中的粒子擴散係數則普遍低於風箏型通道中的粒子。在對比漂移速度與橫向的方均根速率時我們發現：不同於文獻[9]所得到vx,rms ∝ vd 的結果。我們得到的結果看起來像是vd 與vy,rms 的比值有一個極限值。在振幅小的實驗中，vd 與vy,rms 的比值可以接近這個極限，因此橫向的方均根速率與漂移速度大致呈現線性正相關。而在大振幅的實.

(45) CHAPTER 3. 實驗結果. 34. 驗中，粒子在通道中雖然達到了相同的橫向的方均根速率，但漂移速度就會比振幅小的條件小。對於擴散係數與兩個方向的方均根速率的關係（圖3.9和圖3.11），我們也了解到，兩個方向的方均根速率與擴散係數的關係不再是函數的對應關係。並且在相同的縱向方均根速率下，粒子在風箏型通道中的擴散係數比三角形通道中大。. 3.5. 漂移速度、擴散係數、方均根速率和粒子分佈的關係. 當我們同時考慮粒子在通道中的分佈狀況與漂移速度、擴散係數的關係。我們發現粒子分佈導數的積分與縱向方均根速率作為參數與擴散係數作圖（圖3.12）時，得知擴散係數與vx,rms /. 0 P (x) 成正比。. R L dx. 並且在圖中. 可以看到兩種形狀的通道實驗的數據都落於同一條線上。表示擴散係數和vx,rms /. 0 P (x) 間的比值是與通道的形狀無關的。. R L dx. 我們也發現漂移速度與擴散係數並非沒有關聯。從圖3.13中可以看出：漂移速度與擴散係數呈現正相關，並且風箏型通道與三角形通道的數據點都落在同一條曲線附近。當我們把粒子分佈的影響也一起考慮進漂移速度與擴散係數的關係中，我們發現可以經由將粒子出現在腔室兩端的機率比取對數（ln[ PP (L) ]），並 (0) 與擴散係數相乘。將這個參數與漂移速度作圖（圖3.14），發現漂移速度.

(46) 3.6. 逃脫時間的分佈符合馬可夫過程. 35. 與此參數成正比。. vd ∝ D ln[. P (L) ] P (0). (3.2). 但當我們將粒子分佈一起考慮進關係式後，兩個不同形狀的通道實驗的數據點就分別落於兩不同斜率的過零直線上。在本節中我們發現了擴散係數與vx,rms /. 0 P (x) 成正比，並且他們的比. R L dx. 值不會因為通道形狀的不同而改變。而我們也觀察到漂移速度與擴散係數間是有關係的。透過將粒子分佈一起考慮進去，我們發現漂移速度與D ln[ PP (L) ]成正比，並且他們的比值會與不同的通道形狀有所相關。 (0). 3.6. 逃脫時間的分佈符合馬可夫過程. 我們利用與計算位置分佈的相同方式（公式2.3）來計算逃脫時間的分佈圖（圖3.15）從圖3.15中我們可以看出，粒子待在通道中的時間分佈成指數衰減。並且我們可以用指數衰減分佈的公式做回歸線：. P (tesc ) =. 1 −tesc /t0 e t0. (3.3). 上式中t0 為平均逃脫時間。這表示對於粒子在一腔室中運動至其他腔室是一個符合馬可夫過程的隨機運動。由此可以知道粒子在腔室之間的跳躍是沒有記憶效應的。粒子在當下的腔室運動所需的逃脫時間並不會因為在先.

(47) CHAPTER 3. 實驗結果. 36 前的腔室中待的時間長短而受影響。. 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 我們選擇了與[9]中測量粒子在通道中所受等效驅動力所使用的振動條件（頻率40赫茲、振幅0.5毫米），以利我們與該實驗結果做比較。因為在該篇論文中所使用的通道形狀與風箏型通道完全相同，所以我們只需要測量了三角形通道。如此我們便可以比較兩種不同形狀的通道對於在其中運動的布朗粒子造成的驅動力會有和不同。直接從不同的傾斜角度時粒子在通道中的分佈如圖3.16，可以看到隨著傾斜的角度改變，粒子會往傾斜的方向集中。接著我們統計粒子在同一邊上三個腔室中出現的機率（圖3.17），並在半對數座標下我們發現粒子在三個腔室內出現的機率取對數（log[P (n)]）後排列開來時會呈線性關係。透過對這個關係做線性回歸取斜率（∆ log[P (n)]）後，我們觀察這個斜率隨著傾斜角度取正弦值的變化（圖3.18），也發現了在我們所變化的角度區間中，也接近線性關係。如此我們便可以用相同的線性回歸方式來求得可以使驅動力與重力分力達成平衡的角度。我們發現在1.4度時，驅動力與重力分力可以達成平衡。我們便可以由此得知三角形通道對其中的布朗粒子在振動頻率40赫茲、振幅0.5毫米的條件下的驅動力為26.9±2.4微牛頓。.

(48) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 37. 圖 3.1: 漂移速度隨著振幅與頻率變化圖。漂移速度與振動頻率的關係在不同的振幅下會表現出不同的變化方式。例如在振幅為0.5毫米時，漂移速度不會因為頻率的變化而改變，而在振幅為1.0毫米時，兩通道中的粒子漂移速度都與頻率成正相關。但在振幅為1.5、2.0毫米時，兩通道中粒子的漂移速度與頻率的關係則有迥異的關係，風箏型通道成正相關，但三角形通道成負相關。.

(49) 38. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.2: 擴散係數隨著振幅與頻率變化圖。我們除了振幅為1.0毫米的實驗（空心圓）中，擴散係數與頻率成正相關。其他的振幅下粒子的擴散係數與頻率就無相關性。.

(50) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 39. 圖 3.3: 兩通道中粒子在相同時驗條件下（頻率30Hz，振幅1.5mm）的速度分佈圖。此圖中顯示在相同的振動條件下，橫向的粒子瞬時速度分佈與通道的腔室形狀無關，且都呈現了高斯分佈。但縱向的粒子瞬時速度分佈就會受到腔室形狀的影響。.

(51) 40. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.4: 縱向方均根速率隨著振幅與頻率變化圖。由此圖看出縱向方均根速率會隨著振動頻率的上升而跟著上升。同時我們也發現三角型通道中的粒子縱向方均根速率均低於相同振動參數下粒子在風箏型通道中的縱向方均根速率。.

(52) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 41. 圖 3.5: 橫向方均根速率隨著振幅與頻率變化圖。橫向的方均根速率在所有的振幅下都與振動頻率呈現正相關，並且不會因為不同的通道形狀而有所改變。.

(53) 42. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.6: 橫向方均根速率對振動最大加速度作圖，實心點為粒子在實驗過程中位碰撞到通道上方壓克力板的實驗我們通稱為狀態一，有碰撞到壓克力板的實驗則稱為狀態二。兩種狀態的實驗數據點分別構成了兩條相似的曲線，而狀態二下的粒子橫向方均根速率正好為狀態一的兩倍。.

(54) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 43. 圖 3.7: 除去多次碰撞後的橫向方均根速率對振動最大加速度作圖，狀態一與狀態二的數據點都疊合在同一條曲線上。我們發現可以用對數函數來擬合標準化橫向方均根速率與振動最大加速度的關係。.

(55) 44. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.8: 漂移速度對縱向方均根速率圖。在圖中我們可以看出漂移速度在隨縱向方均根速率改變時會有一上限值，其上限值與縱向方均根速率成正相關，且在兩個不同的通道中有相同的上限值。.

(56) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 45. 圖 3.9: 擴散係數對縱向方均根速率圖。圖中我們也觀察到縱向方均根速率改變時，擴散係數的變化也有一上限值，且與縱向方均根速率上限呈現單調成長關係。另一值得注意的是，擴散係數的上限與通道的形狀有關，這裡發現三角型通道的過散係數上限會小於風箏型的通道擴散係數上限。.

(57) 46. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.10: 漂移速度對橫向方均根速率圖。我們發現漂移速度在橫向方均根速率改變時漂移速度的變化有一上限，而這上限與橫向方均根速率成線性正相關。但在不同形狀的通道中這條線的斜率會有所改變，從圖中我們知道三角形通道中的漂移速度上限隨橫向方均根速率變化有較小的斜率。.

(58) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 47. 圖 3.11: 擴散係數對橫向方均根速率圖。這裡我們得到擴散係數與縱向方均根速率的關係3.9相似的結果。三角形通道中粒子的擴散係數普遍低於風箏型的通道。.

(59) 48. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.12: 擴散係數與縱向方均根速率和粒子分佈關係圖。我們發現當我們同時考慮縱向方均根速率（vx,rms ）與粒子在腔室中的分佈時，我們得到了擴散係數會與縱向方均根速率除粒子分佈機率密度函數倒數的積分成反比。且此關係是與通道形狀無關的，亦即兩通道的實驗計算結果會落於相同一條過零直線上。.

(60) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 49. 圖 3.13: 漂移速度對擴散係數關係圖。我們發現擴散係數與漂移速度呈現單調成長曲線，且兩通道中粒子的擴散係數與漂移速度關係落於同一條曲線上。.

(61) 50. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.14: 漂移速度與擴散係數和粒子分佈關係圖。當我們將文獻[9]中所推得的漂移速度與擴散係數間的關係式套入我們的實驗結果時，兩個通道的實驗數據分開了，並且各自形成斜率不同的正比直線。.

(62) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 51. 圖 3.15: 不同的通道中的逃脫時間分佈圖，圖中為在頻率為40赫茲、振幅為1毫米的條件下，粒子在風箏型與三角形通道中的逃脫時間分佈情形。可以由此看出兩個不同形狀的通道中，粒子的逃脫時間分佈均為指數衰減函數，因此粒子在通道間的運動符合馬可夫過程。.

(63) 52. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.16: 粒子在線性連接的封閉通道中呈現的分佈圖。並且當通道傾斜時，粒子的分佈機率會向傾斜的方向集中。.

(64) 3.7. 粒子在通道中所受驅動力. 53. 圖 3.17: 粒子出現在三個連續的腔室中出現的機率分佈。我們將圖3.16的腔室分佈密度個別做積分，得到了粒子在各個腔室中的出現機率（P (n)），並比取對數以利我們比較。從此圖可以知道力平衡的傾斜角度應於-1.4度至-1.9度之間。.

(65) 54. CHAPTER 3. 實驗結果. 圖 3.18: 線性回歸所取得的粒子在兩相連腔室間出現機率差對通道傾斜角度取正弦值作圖與回歸直線。我們從此線性回歸的x軸截距計算出在-1.4度左右時，重力與通道給予粒子的驅動力達成平衡。.

(66) Chapter 4 討論與結論在本論文中我們討論兩個不同形狀的通道間粒子運動的差異。首先我們在實驗中發現了三角形通道所表現的漂移速度與擴散係數均普遍低於風箏型通道。這與我們猜測的通道有越大的不對稱性會導致越大的漂移速度相反。我們試著從粒子的瞬時速度分佈和縱向、橫向的方均根速率探討此系統中的能量傳遞方式和傳遞效率。發現在三角形通道中，粒子的運動能量較難從橫向傳遞到縱向再進一步產生漂移運動。使三角形通道中的粒子因為縱向運動能量較少而使漂移與擴散較慢。另一方面，從文獻[9]中利用粒子碰撞模型所推導出漂移速度與擴散係數和粒子位置分佈間的關係與我們的實驗結果定性上相符。在這個關係式中指出粒子在腔室出口兩端出現的機率也是影響粒子漂移的重要參數。我們由這兩個線索推測，粒子在通道中漂移的原因是由在腔室出口兩端粒子分佈不對稱造成。 55.

(67) CHAPTER 4. 討論與結論. 56. 另外，在我們的實驗測量中有非常多與文獻[9]相同的測量，因此我們便希望比較兩者的實驗結果。我們將比較文獻中熱速度與漂移速度、擴散係數間的關係，對比我們實驗所得到的結果。發現我們的實驗結果在漂移速度、擴散係數與熱速度(橫向方均根速率)的關係與文獻中所示不同。進一步我們理解是大振幅的實驗結果與文獻中的結果不相同。我們以粒子碰撞到通道頂部使粒子運動的自由徑所短來解釋漂移速度與擴散係數在大振幅的實驗中反而無法提昇漂移與擴散的速度。在此章節中我們首先會討論從我們的實驗結果所提出的漂移效應的原因和主要影響的物理量。接著我們將實驗結果與文獻[9]做比較。並點出我們的實驗結果與其不同的地方以及討論原因。接著我們比較三角形通道與風箏型通道中粒子的受力，發現測量結果無法判斷在相同的振動條件下，粒子的受力是否不同。最後再將本研究的結果整理並提出結論。. 4.1. 造成粒子漂移的來源. 為了在為觀上瞭解通道的形狀如何影響粒子的運動狀態，我們分析了粒子運動在縱向與橫向的瞬時速度分佈。發現粒子在橫向速度分佈與通道的形狀無關，而縱向速度分佈則會因為通道形狀不同有所改變。由此我們認為粒子運動的能量以振動通道輸入後，先透過粒子碰撞通道底部溝槽將能量先傳到粒子在通道中的橫向運動。再透過粒子碰撞到牆壁將橫向運動的能量傳到縱向的運動中。在比較兩個通道中粒子的橫向與縱向方均根速率.

(68) 4.1. 造成粒子漂移的來源. 57. 後，我們發現在三角形通道中粒子運動的縱向方均根速率都低於在相同振動條件下風箏型通道中的粒子。代表在三角形的通道中粒子在橫向運動的能量較難傳到縱向的運動中。我們認為原因可能是當我們將腔室中最寬的部分改變後，通道牆壁與通道的軸向夾角也會跟著改變。而通道牆壁與通道軸向的夾角與粒子在碰撞牆壁時將橫向運動的能量傳至縱向的效率有直接相關。當牆壁與通道軸的夾角越小時，碰撞時就會越難將橫向運動的能量傳至縱向運動中，因為會將大部分的動能反彈回橫向的運動中。如此我們就能解釋三角形通道是因為牆壁與通道軸之間的夾角較少，所以粒子在縱向運動獲得能量較少而使擴散和漂移都比風箏型通道中的粒子要慢。另一方面，將實驗的結果代入文獻[9]中所推導出的運動參數間的關係式，雖然無法完全符合這個推導出來的關係，但在定性上可以符合。在此關係式中我們了解到除了粒子的漂移速度同時正比於擴散係數與粒子出現在腔室出口兩側的機率比取對數。表示粒子的漂移主要是由出現在腔室出口兩側的粒子擴散出原本所在腔室造成，因此粒子在出口兩側的出現機率不對稱也是重要影響粒子漂移的因素。這一點也解釋了在小振幅實驗中，三角形通道中的粒子在縱向運動能量較少的情形下，也能夠有與粒子在風箏型通道中相同的漂移速度。再考慮Einstein關係式，我們發現驅動不對稱通道中的布朗粒子的粒子來自於腔室兩端的化學勢的差。透過不對稱的通道將空間的對稱性和均勻性破壞，使得粒子在通道中運動時的分佈不對稱。而在腔室兩端（也可以看作在出入口兩側）的粒子出現機率的不同使得兩端有不同的化學勢。化學勢的差異驅動了粒子使其往化學勢較低的地.

(69) 58. CHAPTER 4. 討論與結論. 方移動，因此粒子就有往固定方向移動的動力。. 4.2. 漂移速度和擴散係數對熱速度的關係. 我們比較參考資料[9]中所測量得到的方均根速度與漂移速度和擴散係數間的關係（圖3.10、圖3.11）。我們發現在我們的研究中，這兩個運動參數與粒子的方均根速率不再呈現函數關係。在文獻中所所說的函數關係在我們的實驗結果中反而變成相對應的上限。我們從實驗中觀察到粒子在通道中跳動有兩種模式：一種為跳動時不會碰撞上板，和會碰到上板的狀況。以此推測是在較大的振幅驅動下，粒子因為碰撞到上方的壓克力板又再彈到底部，造成更快的碰狀頻率使得布朗粒子的自由徑變小。也使得碰撞通道邊界可以維持的慣性更難產生作用，這使得通道的不對稱性的影響變小，因此讓漂移速度下降。自由徑的縮短也使得粒子更無法彈出腔室，讓粒子需要花更長的時間逃脫，這也讓擴散係數下降。. 4.3. 通道形狀與其中布朗粒子的受力. 從文獻[9]中得知，在振幅為1.0毫米、頻率為40赫茲的振動下，風箏型通道對粒子產生的驅動力為24.6±3.4微牛頓。而我們使用三角形通道在相同的條件下所側得的粒子受力為26.9±2.4微牛頓。兩者間並沒有非常顯著的差異。我們原以為三角形的通道不會因為通道幾何形狀不對稱性較大而對布.

(70) 4.4. 結論. 59. 朗粒子造成的更大的驅動力。但根據實驗的結果，我們無法確定三角形通道會給予粒子更大的驅動力。. 4.4. 結論. 在本研究中，我們對在兩個有不同不對稱性的通道中的粒子以不同的振幅與頻率做震盪激發運動。我們首先發現針對改變通道的形狀來增加不對稱性並無法如我們預期的增加漂移速度。反而三角形通道內的粒子漂移速度與擴散係數都叫風箏型通道中的粒子要低。我們透過比較三角形通道內粒子的縱向方均根速率vx,rms 與橫向方均根速率vy,rms ，發現三角形通道中，粒子橫向運動的能量較難透過碰撞將能量傳至縱向的運動中。如此三角形通道中的粒子因為縱向運動動能較少而造成漂移速度相較於粒子在風箏型通道慢的情況。我們推論這是由於我們維持通道內的面積而只改變了通道中寬度最寬的位置，因而使通道牆面的角度改變，造成橫向的能量透過碰撞傳導至縱向的效率降低。在我們也將實驗結果帶入文獻[9]中以碰撞模型推導出的漂移速度與擴散係數和粒子位置分佈的關係式中。雖然推導的結果無法完全符合實驗的結果，但定性上符合實驗數據顯示漂移速度 ]成正比的關係。根據這個關係式，我們了解到除了粒子在縱向與D ln[ PP (L) (0) 的運動動能會影響粒子的漂移速度，粒子在腔室出口兩端的出現機率不對稱也是重要的影響因素。由此我們推論造成粒子漂移運動的主要原因便是由粒子在腔室出口兩側的擴散造成。.

(71) 60. CHAPTER 4. 討論與結論我們的實驗結果中還有許多值得去嘗試的部分，例如比較在不同的振動. 條件下在兩個通道中所測量到粒子的驅動力的變化，或是嘗試更多通道牆面的夾角來製作通道來了解通道牆面的夾角如何影響粒子的橫向運動與縱向運動間的能量傳輸效率和粒子分佈對漂移速度的影響。.

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(76) 附錄 A 數據處理與分析程式碼 gif2png.s 1 #! /. b i n / bash d i s c r i p e : u s i n g 10 cpu t o c o n v e r t g i f t o png images 3 # s c r i p : g i f 2 p n g . s −d [ g i f f i l e d i r e c t r y ] 4 # u s a g e : g i f 2 p n g . s −d i m a g e d a t a / f 3 0 a 3 0 / 5 w h i l e t r u e ; do c a s e $1 i n 6 −d ) f=$2 ; s h i f t 2 ; ; 7 ∗) break ; ; 8 e s a c ; done ; 2#. 9 10 11. cd $ f [ −d png ]. | | mkdir png. 12 13. f o r i i n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; do f n =‘ l s ∗ $ i . g i f ‘ ; f o r f i n $ f n ; do n=‘ basename $ f . g i f ‘ ; c o n v e r t $ f png / $n%01d . png ; done & done. png2xy7.py 1 #! /. u s r / b i n / python 2 #eg . . / png2xy7 . py −d 11 −m 20 −s 10 −e . 1 −g 1 −p png / 0 0 0 0 1 ∗ . png > x y f 3 #eg . . / png2xy7 . py −d 9 −m 5 −b i m a g e d a t a / f 3 0 a 1 0 / bg . png i m a g e d a t a / f 3 0 a 1 0 / png / 0 0 0 0 1 ∗ . png > x y f 4 #s c r i p : t r a c k p a r t i c l e ( s ) by g i v i n g p a r a m e t e r s from image f i l e s 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. im po rt m a t p l o t l i b a s mpl im po rt m a t p l o t l i b . p y p l o t a s p l t im po rt numpy a s np im po rt pandas a s pd from pandas i mp ort DataFrame , S e r i e s im po rt pims im po rt t r a c k p y a s tp im po rt s y s im po rt g e t o p t. 65.

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