89 年度上學期期中考 A

(1)

大學物理期中考 A

每小題原則 1 分，每一 * 配分增加一分。

粗體字 A、B ... 均為 vectors﹔斜體字 A、B ... 等均為 scalars。

書寫 vectors 時請加箭頭，如 A，若為 vector 的 magnitude 請寫成 A 。

1. 暖身：vector 運算。vectors A = i + 2j – 2k，B = 2i – 3j + k（11 分） (1) A + B = ？ (2) 2A – B = ？ (3) A B？ (4) *A B？ (5) A = ？ (6) B = ？ (7) A 與 B 夾角的 cos 值 = ？ (8) A 與 B 的夾角 = ？（以 degree 為單位） (9) A 與 B 的夾角 = ？（以 radian 為單位） (10)(AB)B？ 2. 直線加速運動：（16 分）  印度豹（ cheetah ）可在 2s 內由靜止加速至 105 km/h ，並維持此 speed 15.0s。15.0s 之後印度豹必須停下來休息。  羚羊（antelope）可在 2s 內由靜止加速至 90.0 km/h，並維持此 speed 相當長時間。  印度豹開始奔跑突襲 100 m 外的羚羊，羚羊在 0.500s 後開始奔跑。  假設印度豹與羚羊開始奔跑時都成 constant acceleration，且二者都做直線運動。  令印度豹開始奔跑時 t = 0，印度豹位置為 x = 0 m，羚羊位置為 x = 100 m。 (1) 105 km/h 相當於多少 m/s？ (2) 90.0 km/h 相當於多少 m/s？ (3) 印度豹開始奔跑時的 acceleration 為何？ (4) 羚羊開始奔跑時的 acceleration 為何？ (5) 羚羊開始奔跑時，印度豹已跑了多遠？ (6) 印度豹達到最高 speed 時，已跑了多遠？ (7) 續上題，此時羚羊的的位置為何？ (8) 羚羊達到最高 speed 時，其位置為何？ (9) 續上題，此時印度豹的的位置為何？ (10) 續上題，此時 t = ？ (11) 續上題，此後印度豹位置 x 對時間 t 的關係為何？ (12) 續上題，此後羚羊位置 x 對時間 t 的關係為何？ (13) 若印度豹無法追到羚羊，印度豹停止追趕時 t = ？

(2)

 定義 x axis 朝飛機飛行之 horizontal 方向，y axis 朝下。座標原點位於飛機上。

 忽略空氣阻力。

(1) 燃料箱的 initial horizonatl speed v0x 為何？ (2) 燃料箱的 initial vertical speed v0y 為何？ (3) 燃料箱到達地面的 horizontal speed vx 為何？ (4) 燃料箱到達地面的 vertical speed vy 為何？ (5) 燃料箱落地時的 speed 為何？ (6) 燃料箱落地時，運動方向對地面夾角為何？ (7) 燃料箱落地所需時間為何？ (8) 燃料箱投擲到落地時的 horizonatal displacement 為何？  若飛機對水平方向以  的角度俯衝，並投擲燃料箱，其他狀況不變。

(9) 燃料箱的 initial horizonatl speed v0x 為何？ (10) 燃料箱的 initial vertical speed v0y 為何？ (11) 燃料箱到達地面的 horizontal speed vx 為何？ (12) 燃料箱到達地面的 vertical speed vy 為何？ (13) 燃料箱落地時的 speed 為何？ (14) 燃料箱落地時，運動方向對地面夾角為何？ (15) 燃料箱落地所需時間為何？ (16) 燃料箱投擲到落地時的 horizonatal displacement 為何？  令地面的 potential energy 為 0，燃料箱質量為 m。 (17) 燃料箱在開始投擲時的 potential energy 為何？ (18) 燃料箱在開始投擲時的 kinetic energy 為何？ (19) 燃料箱在開始投擲時的 mechanical energy 為何？ (20) 燃料箱在落地時的 mechanical energy 為何？ (21) 燃料箱在落地時的 kinetic energy 為何？ (22) 根據上題，燃料箱落地 speed 為何？ 4. H V T 靜力平衡：一人彎腰 90 準備抬舉一重 100 N 的物體，此人軀幹重 450 N。如圖，假 設軀幹脊椎長度為 d，手臂骨離脊椎底部 2d/3 與脊椎成 90，軀幹重心離脊椎底部 d。背部肌肉與脊椎成 12，肌肉拉力為 T。另骨盆對脊椎亦有作用力，其水平與垂直 分量分別為 H 與 V（方向如圖所示）。（13 分） (1) 肌肉拉力的 horizonatal component 為何？（先不必求解） (2) 肌肉拉力的 vertical component 為何？（先不必求解） (3) *寫出 force equilibrium equation in horizontal direction。 (4) *寫出 force equilibrium equation in vertical direction。 (5) **寫出以脊椎底部為轉軸的 torque equilibrium equation。 (6) 解出肌肉拉力 T。

(7) 解出 V。 (8) 解出 H。

(9) 脊椎底部受力方向與水平所成角度。 5.

(3)

斜面上的圓周運動：一輛汽車在斜角為  的斜面坡道上以 radius r 等速行駛。汽車輪胎與坡面的 static frictional coefficient 為 s，汽車質量為 m，gravity acceleration 為 g。

令 x axis 朝圓心，y axis 朝上。（注意：與課本上的例題不同）（18 分）

(1) ** 繪出 free-body diagram ，包括 gravitational force W 、 normal force N 、 frictional force f、加速度 vector 與座標軸方向。

(2) frictional force f 的 x-component 為何？ (3) frictional force f 的 y-component 為何？ (4) normal force N 的 x-component 為何？ (5) normal force N 的 y-component 為何？

(6) frictional force f 與 normal force N 的關係為何？ (7) gravitational force W 與 m 的關係為何？

(8) 汽車加速度大小為何？

(9) *寫出 equilibrium equation in x axis。 (10) *寫出 equilibrium equation in y axis。

(11) *汽車 speed 為何（即 v 與其他參數的關係）？（提示：上兩題結果相除） (12) 汽車繞一圈所行駛的距離為何？ (13) 汽車行圓周運動的週期為何？ 6. 三度空間的靜力平衡問題：一重 2330 N 的容器由三根繩索吊掛（如圖），令沿繩索 AB、AC 與 AD 的張力分別為 T1、T2 與 T3。O 為原點。計算時以 m 為單位，取四位有效數字。（30 分） (1) vector OA 為何？ (2) vector OB 為何？ (3) vector OC為何？ (4) vector OD 為何？ (5) vector AB 為何？ (6) vector AC 為何？ (7) vector AD 為何？ (8) 繩索 AB 的長度為何？ (9) 繩索 AC 的長度為何？ (10) 繩索 AD 的長度為何？ (11) 沿繩索 AB 的 unit vector eAB 為何？ (12) 沿繩索 AC 的 unit vector eAC 為何？ (13) 沿繩索 AD 的 unit vector eAD 為何？ (14) 容器的重力 vector 為何？

(4)

（先不必求 T1、T2 與 T3） (19) **解出 T1、T2 與 T3 的值（先根據較簡單的平衡關係求出 T1 = ？T3，T2 = ？ T3，再代入最複雜的平衡關係中） (20) ******若繩索 AD 突然斷裂，容器會開始朝哪個方向擺動，以 unit vector 表 示（提示：擺動方向必然同時與繩索 AB 與 AC 垂直，合乎此條件的答案有 兩個，但正確的答案與繩索 AD 的夾角會大於 90）

(5)

大學物理期中考 A 解答

1. (1) A + B = (i + 2j – 2k) + (2i – 3j + k) = 3i – j - k (2) 2A – B = 2(i + 2j – 2k) - (2i – 3j + k) = 7j – 5k (3) A B(i + 2j – 2k)



(2i – 3j + k) = 2 + (2)(-3) + (-2)(1) = 2 –6 – 2 = -6 (4) k j i k j i B A 4 5 7 1 3 2 2 2 1        (5) _A_ 12_22___2_2 _ 9 _3 (6) _B_ 22__{ }_32_12 _ 14 (7) 14 2 14 3 6 cos cos 14 3 cos 6         B AB    A (8) _ 122 14 2 cos1 __          (9) 13 . 2 180 122           _  (10) (-4i –5j –7k )



(2i – 3j + k) = -8 + 15 –7 = 0 2. (1) m/s 2 . 29 km 1 m 1000 s 3600 h 1 km/h) 105 ( _            (2) m/s 25 km 1 m 1000 s 3600 h 1 km/h) 90 ( _            (3) 6 . 14 2 0 2 . 29  _ m/s2 (4) ₁₂_.₅ 2 0 25 _ m/s2 (5) 82 . 1 5 . 0 6 . 14 2 1 _ _ 2 _  x m (6) ₁₄_.₆ ₂ ₂₉_.₂ 2 1_ _ 2 _  x m (7) 1 . 114 ) 5 . 0 2 ( 5 . 12 2 1 100_ _ _ _ 2 _  x m (8) ₁₂_.₅ ₂ ₁₂₅ 2 1 100_ _ _ 2 _  x m (9) x 29.229.20.543.8 m (10) t = 2.5 s (11) x 29.229.2(t2) m (12) x 12525(t2.5)_m (13) t = 15 + 2 = 17 s (14) 29.229.2(t2)12525(t2.5)4.17t 91.7t22_s (15) 無法追到，因為 22 > 17 s (16) x29.229.2(172)467 m 3. (1) v0x = u (2) v = 0

(6)

(7) g h g gh g v v t_ y  oy _ 2 0_ 2 (8) g h u t v x  ₀_x  2 (9) v0x = u cos (10) v0y = u sin (11) vx = v0x = u cos (12) _v_y _v2_y ₂_gh _u2_sin2 ₂_gh _v_y _u2_sin2 ₂_gh 0 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ (13) v vx vy u cos u sin 2gh u 2gh 2 2 2 2 2 2 2_ _ _ _ _ _    (14)     2 2 2 1 2 2 1 1 cos 2 tan tan cos 2 sin tan tan u gh u u gh u v v x y _   _  _  (15) g u gh u g v v t_ y  oy _ 2sin22  sin (16) g u gh u u t v x x    sin 2 sin cos 2 2 0     (17) mgh (18) mu2_/2 (19) mgh + mu2_/2 (20) mgh + mu2_/2 (21) mgh + mu2_/2 (22) mv2/2_mgh_mu2/2_v_ u2_2gh 4. (1) Tcos12 0.978T (2) Tsin12 0.208T (3) H 0.978T 0H 0.978T (4) V 4501000.208T 0V 5500.208T (5) 0 292 139 . 0 0 225 7 . 66 139 . 0 0 450 2 100 3 2 208 . 0 3 2              T d d T T d (6) ₂_.₁₀ ₁₀3 139 . 0 292 _ _  T N (7) V 5500.208T 113 N (8) _H _₀_.₉₇₈_T _ ₂_.₀₆_₁₀3_N (9) _ 14 . 3 10 06 . 2 113 tan 1 ₃ _   5. (1) W N f x y a Ncos Nsin fcos fsin  W N f x y a Ncos Nsin fcos fsin  (2) fcos (3) -fsin (4) Nsin (5) Ncos (6) f = sN (7) W = mg (8) v2_/r

(9) sNcos + Nsin = mv2/r => N (scos + sin) = mv2/r

(7)

(11)             sin cos sin cos sin cos sin cos 2 s s s s _v _gr gr v        (12) 2r (13)                sin cos sin cos 2 sin cos sin cos 2 2       s s s s g r gr r v r 6. (1) OA = -0.6000j m (2) OB = 0.4500i m (3) OC = -0.3200k m (4) OD = -0.5000i + 0.3600k m (5) AB = OB – OA = 0.4500i + 0.6000j m (6) AC = OC – OA = 0.6000j - 0.3200k m (7) AD = OD – OA = -0.5000i + 0.6000j + 0.3600k m (8) _AB_ 0.452 _0.62 _0.7500 m (9) _AC_ 0.62 _0.322 _0.6800 m (10) _AD_ __0.5_2 _0.62 _0.362 _0.8600_m (11) eAB = (0.45i + 0.6j)/0.75 = 0.6000i + 0.8000j m (12) eAC = (0.6j - 0.32k)/0.68 = 0.8824j – 0.4706k m (13) eAD = (-0.5i + 0.6j + 0.36k)/0.86 = -0.5814i + 0.6977j + 0.4186k m (14) -2330j N (15) T1eAB + T2eAC + T3eAD = 2330j N (16) 0.6T1 – 0.5814T3 = 0 N => T1 = 0.9690T3 (17) 0.8T1 + 0.8824T2 + 0.6977T3 = 2330 N (18) -0.4706T2 + 0.4186T3 = 0 N => T2 = 0.8895T3 (19) (0.8)(0.969T3) + (0.8824)(0.8895T3) + 0.6977T3 = 2330 => 2.258 T3 = 2330 N => T3 = 1032 N T1 = 0.969T3 = 1000 N T2 = 0.8895T3 = 918.0 N (20) 同時與 AB 與 AC 垂直的向量： k j i k j i e e V 0.3765 0.2824 0.7059 4706 . 0 0 8824 . 0 0 8 . 0 6 . 0         AB AC m V 的大小：_V _ _0.37652 _0.28242 _(_0.7059)2 _0.8484_m 沿 V 方向的單位向量：eV  V/V 0.4437i0.3329j0.8320k 另一個同時與 AB 與 AC 垂直的向量：e_V 0.4437i0.3329j0.8320k



0.4437 0.3329 0.8320

 

 0.5 0.6 0.36



0.12210  AD i j k i j j e_V 二者間的夾角必然小於 90



0.4437 0.3329 0.8320

 

 0.5 0.6 0.36



0.12210   e_V AD i j k i j j 二者間的夾角必然大於 90 故 e_V 0.4437i0.3329j0.8320k_{為容器擺動的方向}