報告題名：公共工程標價與標案規模之實證研究
-以支撐先進工法之橋樑為例
作者：賴學冠、宋睿綸、邱子瑜 系級：土木工程學系研究所 學號：M9522481 開課老師：林正紋老師 課程名稱：統計學應用與實務 開課系所：土木工程學系研究所 開課學年：九十五學年度 第一學期Summary
公共工程中工程標價是一項重要決策，本研究透過文獻回顧及蒐
集我國第二高速公路
20 個以「支撐先進工法」施工的工程案例，藉
由統計學的方法，建立一系統模型，用來預測工程標價。
利用 Multiple Regression 和冪級數預測工程標價(橋樑上構單位造
價)。以上構單位造價為 response variable y，廠商家數、橋樑長度、
橋樑跨徑、總面積分別為
explanatory variable x1 x2 x3 x4，觀察彼此
之間的相關係數，並繪製
scatter plots，接著進行線性與非線性之迴歸
分析，最後得到統計學推論以用來預測上構單位造價之變化，而提供
相關決策者之ㄧ參考數據。
Contents
Part I. Project Design 3
Part II. Data Collection and Organization 4
Part III. Data Analysis and Inference 6
Part IV. References 34
Part I. Project Design 一、研究動機 公共工程是國家建設發展的一項指標，與民眾生活息息相關。然而在其發包 過程中，工程標價是一項重要決策。如何讓業主能有效節省工程預算亦或讓廠商 方面提高得標機率，將是值得探討的問題。 本研究依據過去國內相關文獻研究[7]，蒐集交通部台灣區國道新建工程局興 建之第二高速公路工程案例，作其樣本分析。工程種類以高架橋樑工程為主，施 工方法則是以支撐先進工法為主，而工程合約總金額為新台幣 922,800,000~3,557,000,000 元之間。工程標價以橋樑工程之上構部份合約造價為 主。 各工法之經濟橋長說明如下： A. 橋長介於 0~200 公尺：場撐工法。 B. 橋長介於 200~600 公尺：節塊推進工法、懸臂工法。 C. 橋長介於 600~800 公尺：節塊推進工法。 D. 橋長介於 800~1200 公尺：支撐先進工法、預鑄節塊工法。 二、研究方法與項目 利用 Multiple Regression 預測橋樑工程上構單位造價，研究廠商家數、橋長、 跨徑平均、總面積與上構單位造價之間的關係再判斷各因素是否需要取捨。 (a) 計算各項的值(平均值、標準差、最大值、最小值)。 (b) 計算與比較各項之間的相關係數。
(c) Regress、predict hat、regression line (線性)。 (d) F 檢定。
(e) t statistic = β^i / SEb。 (f) 比較(P-value)。
(g) 重新 regress，並與之前比較、predict hat、regression line (線性)。 (h) 展開二次方項。 (i) 導入二次方項並計算各項的值(平均值、標準差、最大值、最小值)。 (j) 計算各項之間的相關係數。 (k) Regress。 (l) 展開三次方項。 (m) 導入三次方項並計算各項的值(平均值、標準差、最大值、最小值)。 (n) 計算各項之間的相關係數。 (o) Regress。 (p) 觀察結果與判斷決定。
(q) predict hat、regression line (非線性)。 (r) Correlate。
(s) 畫圖。 (t) 討論。
(u) Fitted value y 。 ^ (v)預測 三、樣本資料 本研究使用 20 個支撐先進工法施工的橋樑工程案例，民國八十七年到九十 年資料，其相關變數敘述如下[7]： 工程標價 (Y) ：為橋樑工程之上部結構單位造價(合約標價)，因為上部結構的 複雜性較低(下部結構時常會受到地質影響)，且規模對其影響 較為明顯，因此選定為本模式之依變數。 廠商家數 (X1)：係指橋樑工程案例各標段，參與競標之廠商家數總和。 橋樑長度 (X2)：係指橋樑工程案例之橋樑全長。 橋樑跨徑 (X3)：係指橋樑工程案例之選擇跨徑，因為每一座橋樑的跨徑長度都 不全然一致，因此本模式選擇橋樑跨徑之平均跨徑進行分析。 總 面 積 (X4)：係指橋樑工程案例之投影面積之總和。
Part II. Data Collection and Organization
本研究原有25 筆案例，為求客觀且精確的多元迴歸模型，將各項偏離 95%信賴 區間過多之數據逐一剔除，僅存20 筆資料。 (1) 8650.7 7916.8 9022.59080.4 10611.8 10182.8 12192.8 9748.2 9393.1 11770.2 10797.6 11905.6 10480.9 9791.9 8904.7 11075.2 10636.5 12099.9 16708.2 10586.2 11924.2 10980 10848.2 10124.7 10790.4 80 0 0 10 0 0 0 12 0 0 0 14 0 0 0 16 0 0 0
(2) 8650.7 7916.8 9022.59080.4 10611.8 10182.8 12192.8 9748.2 9393.1 11770.2 10797.6 11905.6 10480.9 9791.9 8904.7 11075.2 10636.5 12099.9 16708.2 10586.2 80 00 10 000 12 0 0 0 14 000 16 000 8000 10000 12000 14000 16000 y 95% CI Fitted values Fitted values 支撐先進工法(剔除後數據 20 例) 支撐先進工法之案例資料 上構單位造價 (元/平方公尺) 廠商家數 (家) 橋長 (公尺) 跨徑平均 (公尺) 總面積 (平方公尺) 個數 標段 日期 (Y) (X1) (X2) (X3) (X4) 1 C513 9006 8650.7 4 2598 42.5 80184 2 C515 9006 7916.8 6 3766 47.5 86653 3 C385 8809 9022.5 5 2014 42.5 51217 4 C311 8809 9080.4 5 2406 42.5 61406 5 C311 8702 10611.8 4 788 39.5 26866 6 C311 8702 10182.8 4 379 45 3795.6 7 C314 8702 12192.8 4 241 40.5 1807.5 8 C314 8703 9748.2 7 1294 42 39208.2 9 C314 8703 9393.1 7 798 45 24028 10 C314 8703 11770.2 6 520 37.5 5158.8 11 C314 8703 10797.6 6 395 37.5 3671 12 C314 8703 11905.6 6 228 35 1737 13 C314 8703 10480.9 6 626 37.5 15432 14 C326 8809 9791.9 6 1731 41.5 66900 15 C326 8809 8904.7 6 248 42 2828 16 C326 8809 11075.2 6 762 38.5 6353 17 C326 8809 10636.5 6 440 40 3750 18 C326 8809 12099.9 6 428 36 5681 19 C328 8809 16708.2 3 684 32.5 9581 20 C329 8807 10586.2 6 2990 35.5 91927
Part III. Data Analysis and Inference
(a) 計算各項的值(平均值、標準差、最大值、最小值)：
由於 Data 只有 20 組，15 n 40≦ ≦ 因此繪出各項的kernel density plot 以常態分 佈為底以觀察是否symmetry 及 no outliers，因為採用 histogram 太過敏感較不易 判斷。 0 .0 00 05 .0 001 .0 0015 .0 0 0 2 .0 00 25 D ens it y 8000 10000 12000 14000 16000 18000 y
Kernel density estimate Normal density 0 .1 .2 .3 .4 D ens it y 2 4 6 8 x1 Kernel density estimate Normal density .0 002 .0003 .0 0 0 4 D ens it y .0 4 .0 6 .0 8 .1 D ens it y
0 5. 0 0 0e -06 .0 0001 .0 0 0 0 1 5 D ens it y -50000 0 50000 100000 x4 Kernel density estimate Normal density
如果不是常態分佈的話 (有 outlier) t distribution 的誤差大，因而導致 Multiple Regression 的統計結果誤差也大。 (b) 計算與比較各項之間的相關係數： y 與 x1、x2、x4 的相關係數 r 分別為 -0.4078 -0.5082 -0.5216 為中度相關， 其中 以 y 與 x3 的相關係數為最高 其中以 x2 與 x4 的相關係數為最高 (比較不獨立)，所以此時還不能決定要刪除x2或x4，因此進一步地觀察。 下列為各項之間的相關分佈圖。 . scatter y x1 .scatter y x2 8000 10 0 0 0 12 00 0 14 00 0 16 0 0 0 y 3 4 5 6 7 x1 8000 10 0 0 0 12 00 0 14 00 0 16 0 0 0 y 30 35 40 45 50 x2
. scatter y x3 . scatter y x4 8000 10 0 0 0 12 00 0 14 00 0 16 0 0 0 y 0 20000 40000 60000 80000 100000 x3 8000 10 0 0 0 12 00 0 14 00 0 16 0 0 0 y 0 20000 40000 60000 80000 100000 x4 . scatter x1 x2 . scatter x1 x3 3 4 5 6 7 x1 0 1000 2000 3000 4000 x2 3 4 5 6 7 x1 30 35 40 45 50 x3 . scatter x2 x4 . scatter x3 x4 0 1000 2000 30 0 0 40 00 x2 0 20000 40000 60000 80000 100000 x4 30 35 40 45 50 x3 0 20000 40000 60000 80000 100000 x4
(c) Regress、predict hat、regression line (線性)。 . predict hat Regression [1]： x4 4 x3 3 x2 2 x1 1 0 y Line Regression ^ =β^ +β^ × +β^ × +β^ × +β^ × =27251.57+(-536.3313*x1)+(0.5506769*x2)+(-335.2841*x3)+(-0.0331036*x4) (d) F 檢定 F=MSM/MSE 當F>Fα (K-1,N-K)則 Reject H0 H0:β0^=β1^=β2^ =β3^=β4^ =0 Prob>F=0.0000 拒絕虛無假設，即至少有一個迴歸係數不為零，迴歸結果具統計顯著性。 (e) t statistic x1( t statistic ) =β^1/SEb =-536.3313/196.3344=-2.73 x2( t statistic ) =β^2/SEb =0.5506769/0.713089=0.70 x3( t statistic ) =β^3/SEb =-335.2841/61.94439=-5.41 x4( t statistic ) =β^4/SEb =-0.0331036/0.0254107=-1.30
(f) P-value R-squared = 0.8060 = 80.06% > 80% =>雖然很好，但 H0:β^i =0 ; i=1…4 x1(P-value)：0.015 =1.5% < 5% =>保留 x2(P-value)：0.492 = 49.2% > 5% =>reject H0 對依變數沒有貢獻，因此刪除 x3(P-value)：0.000 = 0% < 5% =>保留 x4(P-value)：0.212 = 21. 2% > 5% =>觀察
(g)重新regress，並與之前比較、predict hat、regression line (線性)。
. predict hat Regression [1]： x4 4 x3 3 x1 1 0 y Line Regression ^ =β^ +β^ × +β^ × +β^ × =27112.13+(-544.1199*x1)+(-327.305*x3)+(-0.01593*x4) R-squared=0.7995=79.95% 與之前的 80.06%差異很少，且 x1(P-value)：0.012 = 1.2% < 之前的 1.5% x3(P-value)：0.000 = 0.0% = 之前的 0% x4(P-value)：0.039 = 3.9% < 之前的 21.2% 所以刪除 x2 是 O.K 的。
(1)殘差圖常態分析 0 .00 0 1 .000 2 .000 3 .000 4 .000 5 De n s it y -2000 -1000 0 1000 2000 3000 Residuals
Kernel density estimate Normal density Symmetry =>(OK) (2)殘差圖與 Normal Quantile . predict r,resid . qnorm r -1 0 0 0 0 10 00 20 00 R e s id ual s -2000 -1000 0 1000 2000 Inverse Normal 45 度 =>(OK)
(3)殘差圖與預測值 . rvfplot, yline(0) -10 0 0 0 10 00 2 000 R e s id ual s 6000 8000 10000 12000 14000 Fitted values No pattern =>(OK)
一個Root MSE 內含約 68%的 date
(h) 展開 2 次方項 冪級數展開[4] ⇒
∑
(a1*x1+a3*x3+a4*x4)2 =a1*x1+a3*x3+a4*x4+a5*x1^2+a6*x1*x3+a7*x1*x4+a8*x3^2+a9*x3*x4+a10*x4^ 2 (i) 導入二次方項並計算各項的值(平均值、標準差、最大值、最小值) 刪除x2 的 data，並導入 x5(=x1^2)、x6(=x1*x3)、x7(=x1*x4)、x8(=x3^2)、 x9(=x3*x4)、x10(=x4^2)。(j) 計算各項之間的相關係數。 (k) Regress。 此時的 R-squared = 0.9591。 試著導入三次方項觀察結果。 (1)殘差圖殘差分析 . kdensity r,normal (n() set to 20) 0 .00 0 2 .00 0 4 .00 0 6 .00 0 8 .00 1 De n s it y -1000 -500 0 500 1000 Residuals
Kernel density estimate Normal density
(2) 殘差圖與 Normal Quantile -1 0 0 0 -5 0 0 0 50 0 10 00 R e s id ual s -500 0 500 Inverse Normal
45 度且 Root MSE 由 917 降到 523 =>(OK) (3) 殘差圖與預測值 -1 0 0 0 -5 0 0 0 50 0 R e s id uals 8000 10000 12000 14000 16000 Fitted values
Root MSE 縮小 NO Pattern =>(OK)
(l) 展開 3 次方項
(m) 導入三次方項並計算各項的值(平均值、標準差、最大值、最小值)
導入x5(=x1^2)、x6(=x1*x3)、x7(=x1*x4)、x8(=x3^2)、x9(=x3*x4)、x10(=x4^2)、 x11(=x1^3)、x12(=x1^2*x3)、x13(=x1^2*x4)、x14(=x1*x3*x4)、x15(=x3^3)、 x16(=x3^2*x1)、x17(=x3^2*x4)、x18(=x4^3)、x19(=x4^2*x1)、x20(=x4^2*x3)。
(o) Regress。 (p) 觀察結果與判斷決定。 雖然 R-squared = 0.9964，但由於 x1 的係數 dropped，可能是因為三次方項的值 太大而把較小值的係數給吸收掉，所以找slop 小的β^ 值開始刪，試著先刪除 x13(=x1^2*x4)、x14(=x1*x3*x4)、x17(=x3^2*x4)、x18(=x4^3)、x19(=x4^2*x1)、 x20(=x4^2*x3)並觀察結果，並且其 F 值>0.05。
(q) predict hat、regression line (非線性)。
R-square 為 98.39%些許降低但修正複判定係數 Adj R-square 提升到 95.62%，Root MSE 降低到 393.46，停止刪除步驟。
. predict hat
(option xb assumed; fitted values) Regression [1]： x16 16 x12 12 .... x4 4 x3 3 x1 1 0 y : [3] line Regression ^ =β^+β^ × +β^ × +β^ × + +β^ × +β^ × =444277.6+78305.7*x1-37061.25*x3-0.5329362*x4-31780.41*x5+4139.27*x6+0.02 53283*x7+576.1512*x8+0.0076003*x9+1.02e-06*x10+728.6194*x11+473.2038*x1 2-107.3874*x16 (r) Correlate
(1)殘差圖常態分析 . kdensity r,normal (n() set to 20) 0 .001 .0 02 .00 3 De n s it y -1000 -500 0 500 Residuals
Kernel density estimate Normal density Symmetry 而且圖變的相當集中 =>(OK) (2)殘差圖與 Normal Quantile . predict r,resid . qnorm r -50 0 0 50 0 R e s id ual s
(3)殘差圖與預測值 . rvfplot, yline(0) -1000 -50 0 0 50 0 R e s id ual s 8000 10000 12000 14000 16000 Fitted values No pattern =>(OK) (s) 畫圖 以下為y 與各項(x1、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10、x11、x12、x16)之迴 歸線。
. twoway (qfit y x1) (scatter y x1) . twoway (qfit y x3) (scatter y x3)
80 00 10 000 12 000 14 000 1 6 000 3 4 5 6 7 x1 Fitted values y 80 00 10 000 12 000 14 000 16 00 0 30 35 40 45 50 x3 Fitted values y
. twoway (qfit y x4) (scatter y x4) . twoway (qfit y x5) (scatter y x5) 80 00 10 000 12 000 14 000 16000 0 20000 40000 60000 80000 100000 x4 Fitted values y 80 00 10 000 12 000 14 000 1 6 000 10 20 30 40 50 x5 Fitted values y
. twoway (qfit y x6) (scatter y x6) . twoway (qfit y x7) (scatter y x7)
80 00 10 000 12 000 14 000 16 000 100 150 200 250 300 x6 Fitted values y 80 00 10 000 12 000 14 000 1 6 000 0 200000 400000 600000 x7 Fitted values y
. twoway (qfit y x8) (scatter y x8) . twoway (qfit y x9) (scatter y x9)
80 00 10 000 12 000 14 000 16 000 1000 1500 2000 2500 x8 Fitted values y 80 00 10 000 12 000 14 000 1 6 000 0 1000000 2000000 3000000 4000000 x9 Fitted values y
. twoway (qfit y x10) (scatter y x10) . twoway (qfit y x11) (scatter y x11)
14 000 16 000 14 000 16 000
. twoway (qfit y x12) (scatter y x12) . twoway (qfit y x16) (scatter y x16) 80 00 10 000 12 000 14 000 1 6 000 0 2000 x12 Fitted values y 80 00 10 000 12 000 14 000 1 6 000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 x16 Fitted values y (t)討論 只用線性迴歸(x1、x3、x4) 所得 R-square=79.05% 導入二次方項 x5(=x1^2)、x6(=x1*x3)、x7(=x1*x4)、x8(=x3^2)、x9(=x3*x4)、 x10(=x4^2)所得 R-square=95.91% 導入三次方項x5(=x1^2)、x6(=x1*x3)、x7(=x1*x4)、x8(=x3^2)、x9(=x3*x4)、 x10(=x4^2)、x11(=x1^3)、x12(=x1^2*x3)、x16(=x3^2*x1)所得 R-square=98.39% 經分析刪除沒用的自變數，確定可用之自變數之後，進一步對依變數轉換，採取 的方式有三種[8]：(1)原值、(2)開根號轉換(3)對數轉換。分析結果如下： (1)依 變數為 原值 (2)依變 數作開根 號轉換 (3)依變數作 對數轉換 (4)依變數作 1/(y^2)轉換 (5)自變數作冪 級數展開 R-squared 0.800 0.821 0.837 0.8549 (本研究) 0.9839 (本研究) Root MSE 931.79 4.008 0.03106 1.29e-9 393.46
還原y ^ 847.8611 799.2260719 643.6749481
由於Root MSE 無法比較，所以本研究將依變數還原，自行計算 MSE，可明顯 看出Root MSE 明顯比開根號及對數來的小，R-square 有明顯的改善。
(1)依變數為原值 0 .0 0005 .000 1 .000 15 .0 0 0 2 .000 25 De n s it y 8000 10000 12000 14000 16000 18000 y
Kernel density estimate Normal density
0 .01 .0 2 .0 3 .04 .05 De n s it y 80 90 100 110 120 130 yi
Kernel density estimate Normal density
對依變數y 轉換 sqrt 後的 kernel density，可看出比原數值更接近 normal。
(3)依變數作對數轉換[8] 0 .5 1 1. 5 2 2.5 De n s ity 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 yi Kernel density estimate Normal density
(4)依變數作 1/(y^2)轉換(本研究)
本研究除透過文獻[8]建議使用依變數取 log 及 sqrt，在採用 STATA 用 chi-square 找出transformation，使 y 更近似 normal。顯示出最適合的為 1/(y^2)。
我們使用指令 ladder 來觀察哪種 transformation 後擁有最小的 chi-square 值。
當中reciprocal square transform 擁有最小的 chi-square 值。 接下來證明轉換後的 圖表使用指令 gladder。 .gladder y 02. 0e-13 4 .0e-13 6. 0 e -1 3 8. 0e-1 3
0 1.00e+122.00e+123.00e+124.00e+125.00e+12 cubic 0 5. 0e-091. 0e-0 8 1. 5e-0 8
5.00e+071.00e+081.50e+082.00e+082.50e+083.00e+08 square 05. 0e-05 1. 0 e -0 4 1. 5e-04 2. 0e-04 2. 5e-0 4 8000 10000120001400016000 identity 0 .0 1.0 2.0 3.0 4.0 5 90 100 110 120 130 sqrt 0 .5 1 1. 5 2 2. 5 9 9.2 9.4 9.6 9.8 log 0 200 400 600 -.011 -.01 -.009 -.008 -.007 1/sqrt 01. 0e+0 4 2. 0e+0 4 3. 0e+0 4 -.00012 -.0001 -.00008-.00006 inverse 05. 0e+0 7 1. 0 e + 0 8 1. 5e + 0 8 2. 0e+0 8
-1.50e-08-1.00e-08-5.00e-09 0 1/square 02. 0 e + 1 1 4. 0e+1 1 6. 0 e + 11 8. 0e+1 1 1. 0e+1 2
-2.00e-12-1.50e-12-1.00e-12-5.00e-13 0 1/cubic De n s it y y Histograms by transformation
(a)轉換前 y 的 kernel density plot 0 .00005 .000 1 .000 15 .0 0 0 2 .000 25 De n s it y 8000 10000 12000 14000 16000 18000 y
Kernel density estimate Normal density
(b)轉換後 y 的 kernel density plot
20) set to (n() normal yi, kdensity . 1/(y^2) yi generate . = 0 50 000000 1.00 0e+ 0 8 1. 5 0 0e+0 8 De n s it y
0 5.000e-09 1.000e-08 1.500e-08 2.000e-08 yi
Kernel density estimate Normal density
經過轉換後可看出y 更近似常態分配。
依變數取1/y^2 的 R-square 為 85.49%，比依變數取 sqrt 的 82% 及依變數取 log 的83.72%都來的高。
(c)依變數作 1/(y^2)轉換y 的信心區間 ^
.twoway (lfitci hat y)(scatter hat y ,mlabel(y))
1.34e-08 1.60e-08 1.23e-08 1.21e-08 8.88e-09 9.64e-09 6.73e-09 1.05e-08 1.13e-08 7.22e-098.58e-09 7.06e-09 9.10e-09 1.04e-08 1.26e-08 8.15e-098.84e-09 6.83e-09 3.58e-09 8.92e-09 0 5 .00e -0 9 1 .00 e-0 8 1. 50 e -08
0 5.00e-09 1.00e-08 1.50e-08
y
95% CI Fitted values
Fitted values
由於R-square 為 85.49%，所以可看出 95%信心區間外仍有許多筆資料。
(a)冪級數展開y 信賴區間(本研究) ^
.twoway (lfitci hat y)(scatter hat y ,mlabel(y))
8650.7 7916.8 9022.59080.4 10611.8 10182.8 12192.8 9748.2 9393.1 11770.2 10797.6 11905.6 10480.9 9791.9 8904.7 11075.2 10636.5 12099.9 16708.2 10586.2 80 00 10 000 12 000 14 00 0 16 000 18 000 8000 10000 12000 14000 16000 y 95% CI Fitted values Fitted values 本研究冪級數展開後R-square 高達 98.39%，y 的 95%信心區間。由圖可看出 20^ 筆當中，僅有案例11 為 10797.6 不在信賴區間當中。
(u)Fitted value
^
y
本研究藉由Fitted value y ，來觀察所建立 Model 資料的平均相對誤差。 ^
(1)依變數為原值 ^ y =27112.17-544.13*x1-327.31*x3-0.02*x4 個數 y Fitted value 相對誤差(%) 1 8650.7 9632.954 11.3546187 2 7916.8 7312.915 7.62789258 3 9022.5 9733.938 7.88515378 4 9080.4 9612.512 5.86000617 5 10611.8 11407.1 7.49448727 6 10182.8 10101.52 0.79820874 7 12192.8 11600.12 4.86090152 8 9748.2 8829.965 9.41953386 9 9393.1 8053.496 14.261575 10 11770.2 11576.01 1.64984452 11 10797.6 11556.42 7.02767282 12 11905.6 12366.69 3.87288335 13 10480.9 11294.3 7.7607839 14 9791.9 8857.887 9.53862887 15 8904.7 9994.603 12.2396375 16 11075.2 11334.46 2.34090581 17 10636.5 10740.38 0.97663705 18 12099.9 12010.98 0.73488211 19 16708.2 14805.34 11.3887792 20 10586.2 10734.41 1.40003023 平均相對誤差= 6.42465315
(2)依變數作開根號轉換後進行還原 ^ y =178.92-2.31*x1-1.54*x3-0.00008*x4 個數 y Fitted value ^ y 相對誤差(%) 1 8650.7 9567.829001 10.60178789 2 7916.8 7221.219695 8.786126765 3 9022.5 9569.268897 6.060062479 4 9080.4 9410.458937 3.63485639 5 10611.8 11385.04365 7.286621812 6 10182.8 10015.27623 1.645240583 7 12192.8 11484.42296 5.809776623 8 9748.2 9012.339803 7.548671651 9 9393.1 8377.330851 10.813999 10 11770.2 11427.03189 2.915652209 11 10797.6 11452.49275 6.065171189 12 11905.6 12325.67132 3.52832355 13 10480.9 11251.99897 7.357113121 14 9791.9 9177.256804 6.277058037 15 8904.7 10030.77564 12.64585234 16 11075.2 11080.03812 0.043638857 17 10636.5 10641.9856 0.051590329 18 12099.9 11917.11076 1.510585992 19 16708.2 14683.02195 12.12085945 20 10586.2 10616.38432 0.285052682 平均相對誤差= 5.749402048
(3)自變數作對數轉換後進行還原 ^ y ＝4.64-0.017*x1-0.013*x3-0.0000007*x4 個數 y Fitted value ^ y 相對誤差(%) 1 8650.7 9476.849855 9.550092601 2 7916.8 7496.680464 5.306683799 3 9022.5 9546.210355 5.804492645 4 9080.4 9391.068319 3.421306542 5 10611.8 11266.49945 6.16954203 6 10182.8 9963.868793 2.150009912 7 12192.8 11393.49589 6.555541862 8 9748.2 9128.722387 6.354789762 9 9393.1 8572.687644 8.734202313 10 11770.2 11431.09937 2.881009834 11 10797.6 11458.47971 6.120616666 12 11905.6 12361.03966 3.825423917 13 10480.9 11243.82299 7.279174497 14 9791.9 9214.016805 5.901645278 15 8904.7 10066.41892 13.04613198 16 11075.2 11082.12387 0.062516759 17 10636.5 10653.54145 0.16021682 18 12099.9 11930.81194 1.397433551 19 16708.2 14768.58885 11.60873791 20 10586.2 10538.04382 0.454895923 平均相對誤差= 5.33922323
(4)依變數作 1/y^2 轉換(本研究) ^ y =-1.39e-8+4.16e-10*x1+5.05e-10*x3+3.36e-14*x4 個數 y Fitted value ^ y 相對誤差(%) 1 8650.7 9128.709292 5.525671816 2 7916.8 8032.193289 1.457574892 3 9022.5 9365.858116 3.805576235 4 9080.4 9245.00327 1.812731492 5 10611.8 10752.06661 1.321798483 6 10182.8 9667.36489 5.061821007 7 12192.8 10963.22524 10.0844331 8 9748.2 9284.766909 4.754037578 9 9393.1 8908.708064 5.156891082 10 11770.2 11366.57232 3.42923379 11 10797.6 11403.4649 5.611107089 12 11905.6 12529.40028 5.239553452 13 10480.9 11117.97618 6.078449168 14 9791.9 9205.746179 5.986109141 15 8904.7 10030.13568 12.63867035 16 11075.2 10983.04428 0.832090754 17 10636.5 10564.42818 0.677589582 18 12099.9 11952.28609 1.219959724 19 16708.2 15579.42382 6.755821565 20 10586.2 10179.73197 3.839602774 平均相對誤差= 4.564436154
經由此種轉換方式，可看出明顯比log 及 sqrt 的 R-square 還來的大，Root MSE 來的小，透過chi-square 建議之最佳轉換，有明顯的改善。
(5)自變數作冪級數展開(本研究) regression line (非線性)[3]： ^ y =444277.6+78305.7*x1-37061.25*x3-0.5329362*x4-31780.41*x5+4139.27*x6+0. 0253283*x7+576.1512*x8+0.0076003*x9+1.02e-06*x10+728.6194*x11+473.2038* x12-107.3874*x16 個數 y Fitted value y ^ 相對誤差(%) 1 8650.7 8617.832 0.379946 2 7916.8 7941.909 0.317161 3 9022.5 8873.628 1.650008 4 9080.4 9190.648 1.214132 5 10611.8 10733.34 1.145329 6 10182.8 10207.25 0.240111 7 12192.8 12105.42 0.716652 8 9748.2 9764.294 0.165097 9 9393.1 9370.569 0.239868 10 11770.2 11426.14 2.923145 11 10797.6 11555.55 7.019615 12 11905.6 12029.65 1.041947 13 10480.9 10655.24 1.663407 14 9791.9 9750.694 0.420817 15 8904.7 8982.274 0.871158 16 11075.2 11002.33 0.657957 17 10636.5 10435.51 1.889625 18 12099.9 11618.56 3.978049 19 16708.2 16701.76 0.038544 20 10586.2 10593.4 0.068013 平均相對誤差= 1.332029044 將依變數取對數轉換後之平均相對誤差為5.33922323%，自變數作冪級數展開
(v)預測 由於本研究僅提供25 個案例，其中 20 個案例落入 95%信賴區間，作為 Model， 所以本研究，僅取兩個案例進行分析，透過依變數作對數轉換及自變數作冪級數 作之比較。 (1)依變數取對數 y x1 x2 x3 x4 預測值 ^ y 相對誤差 個數 標段 日期 上段單位造價 廠商數 橋長 跨徑平均 總面積 (元/平方公尺) (家數) (公尺) (公尺) (平方公尺) (%) 1 C326 8809 10848.2 6 240 35 1800 12070.91 11.271083 2 C326 8809 10124.7 6 208 33 1598 12819.804 26.619104 平均相對誤差= 18.945094 (2)自變數作冪級數展開 y x1 x2 x3 x4 預測值 ^ y 相對誤差 個數 標段 日期 上段單位造價 廠商數 橋長 跨徑平均 總面積 (元/平方公尺) (家數) (公尺) (公尺) (平方公尺) (%) 1 C326 8809 10848.2 6 240 35 1800 12022.63 10.826036 2 C326 8809 10124.7 6 208 33 1598 11673.02 15.292502 平均相對誤差= 13.059269 經由這兩個案例可看出，預測之由18.95%降低至 13.06%相對誤差有大幅的降低 6%。
Part IV. Reference
1. Moore DS，McCabe GP，Introduction to the Practice of Statistics，W.H. Freeman and Company，New York (2005)
2. Masri SF，”A Hybrid Parametric/Nonparametric Approach for the Identification of Nonlinear Systems ” Probabilistic Engineering Mechanics Vol. 9 pp.47-57 (1994) 4.Lin JW, Betti R, “ On-line Identification and Damage Detection in Non-linear
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5.林正紋、徐培哲、蔡岫霓、王澤穎，2005，Kilman Filter 與統計推論的模式應 用於公共工程決標價價格預測之研究，逢甲大學，ePaper。 6.黃志偉，2005，全國大專院校(大學與獨立學院)學生人數逐年變化之系統模型 建制與評估，逢甲大學，ePaper 7.呂宗懋，2004，公共工程標價與標案規模之實證研究-以橋樑工程為例，國立高 雄第一科技大學，碩士論文 8.陳景堂，2003，「統計分析 SPSS FOR WINDOWS 入門與應用」，儒林圖書。 9.趙耐青，Stata 軟體基本操作和資料分析入門。
Part V. Appendix ﹙1﹚C311 標﹙通宵段、大甲段及大甲溪收費站、大甲工務段工程﹚︰ 本標工程範圍包含通宵及大甲二段，通宵段自西湖鄉四湖村苗33鄉道南側起至通 宵鎮孫厝村縣道121 以北約300 公尺處﹙STA.36k+780~STA.45k+100﹚止，大甲 段自苑裡、大甲交界處北側約600 公尺起至台中日南鄉道中6 以北約30 公尺處 ﹙STA.54k+50 033~STA.57k+650﹚，此兩段合計主線全長約11,470 公尺，均為 六線道，南下北上線採合併式。主要橋樑工程長約2,700 公尺。主要工法為「節 塊推進工法」與「支撐先進工法」。訂約日期為民國87 年2 月9 號，施工期限 為1,210 個日曆天。工程合約總價為新台幣3,315,888,000 元整。 ﹙2﹚ C314 標﹙外埔段工程﹚︰ 本標工程起自STA.60k+970 大甲鎮鐵山村鄉道中24 以南約500公尺處至水美村 大甲溪北峰及本路段終點STA.65k+120 處止，主線全長約4,150 公尺，均為六線 道，南下北上線採合併式，並於STA.62k+620 處設置大甲交流道乙座。主要橋 樑工程長約1,31 234公尺。主要工法為「預鑄節塊推進工法」與「支撐先進工法」。 訂約日期為民國87 年3 月10 日，施工期限為1,180 個日曆天。工程合約總價為 新台幣1,596,000,000 元整。 ﹙3﹚C513 標﹙五結羅東段橋樑及羅東交流道工程﹚︰ 本標為高速公路主線，自宜蘭縣蘭陽溪南岸約1 公里處起，向南延伸至羅東鎮新 群北街南側20 公尺處止。本標包括北宜高速公路五結羅東段主線、羅東交流道 北側、羅東交流道南側，及匝道收費站等工程，五結羅東段主線全長約3,338 公 尺﹙STA.13k+882 STA.17k+220﹚，主線全線建高架橋，主要橋樑工程長約為 3,338公尺。主要工法為「支撐先進工法」。訂約日期為民國90 年6 月27 日， 施工期限為852 個日曆天。工程合約總價為新台幣2,775,000,000 元整。 ﹙4﹚C515 標﹙冬山蘇澳段橋樑工程﹚︰ 本標工程地點位於宜蘭縣冬山鄉境內，主線跨越冬山河交會茄苳路北側100 公尺 附近起，向南至一30-3 鄉道南側60 公尺處止。本標主要為冬山蘇澳段 ﹙STA.19k+219 STA.22k+985﹚主線高架橋工程，全長約3,766 公尺，主要橋樑 工程長亦約3,766 公尺。主要工法為「支撐先進工法」。訂約日期為民國90 年6 月13 日，施工期限為883 個日曆天。工程合約總價為新台幣1,688,000,000 元整。 ﹙5﹚C326 標﹙烏溪一號橋及彰濱交流道工程﹚︰ 本標工程包括主線和彰濱交流道。工程起點北銜第二高速公路大甲彰濱段第 C325A 標工程，位於龍井鄉烏溪右岸堤防處，沿河岸量距距下游台17 省道約1.8
公里，起點里程南下線為STA.87k+077，北上線為STA.87k+091，起點後約2 公 里路線跨越烏溪左岸待建和美堤防計劃堤線，由全興工業區東南隅之外緣通過， 自此路線沿烏溪左岸堤防後附近佈設直至終點，陸域段距水道治理計劃線最遠僅 約14 公尺，終點里程為STA.91k+970，路線長度南下線約為4,893 公尺，北上線 約為4,889 公尺，主要橋樑工程長約3,886 公尺。主要工法為「懸臂工法」與「支 撐先進工法」。訂約日期為民國88 年9 月29 日，施工期限為840 個日曆天。工 程合約總價為新台幣2,400,000,000 元整。 ﹙6﹚C328 標﹙彰化系統交流道工程﹚︰ 本標工程包括主線及彰化系統交流道。主線里程 ﹙STA.93k+840 STA.96k+595﹚，全線長約2,755 公尺。工程起點北銜C327 標 彰化二號高架橋，位在和美鎮中寮地區，終點銜接C327 標彰化四號高架橋，位 在彰化市寶寶里，路線大致沿烏溪左岸蔡公寮和寶寶堤堤後佈設。沿堤量距，起 點約在中山高西側2 公里，終點約在中山高東側0.8 公里。全線在和美鎮路段長 約0.6 公里，彰化市路段長約2.2 公里。雙Y 型彰化系統交流道銜繫本工程主線 與中山高。本標主線為以橋樑構築，是為彰化三號高架橋，主要橋樑工程長約 2,755 公尺。主要工法為「支撐先進工法」。訂約日期為民國88 年9 月27 日， 施工期限為840 個日曆天。工程合約總價為新台幣2,454,000,000 元整。 ﹙7﹚C329 標﹙快官交流道工程﹚︰ 本標工程位在彰化縣東北隅快官地區之台1 省道以東、台14 丙省道以北近烏溪 堤防處，工程起點﹙STA.98k+647﹚位於彰化市三村莊東北方300 公尺與田中央 一號堤防交會處，終點位於彰化市田中庄社區以南約400 公尺處，接二高後續計 劃快官草屯段，南下線終點﹙STA.101k+639﹚，北上線終點﹙STA.101k+621﹚。 本工程主線南下線全長約2,992 公尺，北上線全長約2,974 公尺，以位在主線與 彰濱台中線快速公路快官台中段之交叉點之快官交流道為主體。本標主線以橋樑 構築，即彰化五號高架橋，主要橋樑工程長約2,983 公尺。主要工法為「支撐先 進工法」。訂約日期為民國90 年7 月29 日，施工期限為900 個日曆天。工程合 約總價為新台幣2,248,000,000 元整。
