平面凸五邊形兩交叉對角線長度乘積的
一般化方程式
李輝濱
壹、前言
平 面 凸 五 邊 形 圖 形 內 部 共 有 5 條 對 角 線 段 ， 這 5 條 對 角 線 段 恰 圍 成 一 封 閉 的 五 角 星 形 結 構 。 每 一 條 對 角 線 段 皆 與 其 餘 另 4 條 對 角 線 段 相 交 叉，以 對 角 線 段A
1A
3為 例 ； 見 下 圖 1。 圖 1 可 看 見 ， 有 線 段A
4A
1及 線 段A
3A
5恰 與 線 段A
1A
3 相 交 在 兩 端 點A
1與A
3的 位 置 上，而 另 2 條 對 角 線 段A
2A
4與A
5A
2 則 與A
1A
3相 交 在 線 段 兩 端 點 之 間 的 內 側 位 置 。 本 篇 論 文 的 目 標 是 選 定 如A
1A
3 與 4 2A
A
這 兩 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 類 型 為 主 ， 事 實 上 ； 推 論 的 結 果 全 都 適 合 於 所 有 相 交 在 線 段 兩 端 點 之 間 內 側 位 置 上 的 兩 交 叉 對 角 線 類 型 。 如 圖 2， 平 面 凸 四 邊 形 領 域 裡 有 一 個 遠 古 迄 今 的 著 名 定 理 ； 那 就 是 圓 內 接 四 邊 形 的 托 勒 密 定 理 (Ptolemy theorem)。見 下 圖 3， 一 個 圓 內 接 四 邊 形A
1A
2A
3A
4， 圖 2 圖 3 令 線 段A
1A
2 =V
1，A
2A
3 =V
2，A
3A
4 =V
3，A
4A
1=V
4，A
1A
3
d
1 ,A
2A
4
d
2，則 托 勒 密 定 理 公 式 型 式 為
d
1d
2
V
1V
3
V
2V
4 ··· (1) 再 看 下 圖 4， 一 個 平 面 凸 五 邊 形A
1A
2A
3A
4A
5， 令 線 段A
1A
2 =V
1，A
2A
3=V
2，A
3A
4 =V
3，A
4A
5 =V
4，A
5A
1 =V
5，A
1A
3
d
1，A
2A
4
d
2，則 由 本 文 論 證 所 得 到 的 平 面 凸 五 邊 形 兩 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 為)
cos(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 3 4 2 4 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1d
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
A
A
d
2
V
5V
1V
2V
3cos(
A
1
A
3)
2
V
22V
4V
5cos
A
5 ··· (2) 圖 4 比 較 這 兩 方 程 式 (1)與 (2)，可 清 楚 看 出 四 邊 形 及 五 邊 形 圖 形 上 的 所 有 邊 長 線 段 都 很 有 秩 序 地 分 別 出 現 在 方 程 式 的 對 應 項 數 中 ！ 並 且 更 看 得 出 由 本 文 論 證 出 的 平 面 凸 五 邊 形 一 般 化 方 程 式 (2) 完 全 涵 蓋 統 一 了 四 邊 形 公 式 型 態 (1)，使 托 勒 密 定 理 成 為 凸 五 邊 形 一 般 化 方 程 式 下 的 一 個 特 例 ， 此 一 般 化 方 程 式 (2) 也 正 是 托 勒 密 定 理 公 式 的 推 廣 ！ 眾 所 周 知 ， 托 勒 密 定 理 公 式 結 構 型 式 具 備 非 常 簡 潔 完 美 規 律 性 ， 而 五 邊 形 圖 形 雖 然 只 有 比 四 邊 形 多 出 一 邊 長 及 一 個 頂 角 ， 但 其 推 演 導 證 過 程 中 的 複 雜 程 度 與 難 度 可 謂 更 勝 一 籌 。 方 程 式 (2)雖 較 為 多 項 ， 但 仔 細 比 對 觀 察 公 式 中 的 各 項 量 綱 內 容 ， 它 們 也 都 能 在 邊 長 與 頂 角 的 組 合 上 依 序 呈 現 出 規 律 性 分 佈 ，並 與 平 面 凸 四 邊 形 公 式 型 態 內 涵 相 互 輝 映 ！ 自 托 勒 密 定 理 公 式 發 現 以 來 約 略 經 過 2000 年 久 遠 時 光，其 公 式 的 唯 美 精 緻 深 受 世 人 的 讚 嘆 傳 頌 ， 無 人 能 出 其 右 。 世 界 上 沒 有 人 繼 續 接 棒 研 究 推 廣 五 邊 形 及 六 邊 形 等 等 的 後 續 同 性 質 定 理 公 式 ， 今 天 作 者 有 幸 能 躬 逢 其 會 並 創 新 深 化 鑽 研 而 獲 得 這 平 面 凸 五 邊 形 一 般 化 推 廣 公 式 理 論 ， 盼 讀 者 諸 君 誠 心 參 考 察 驗 ， 期 望 能 獲 取 新 啟 示 並 展 開 更 寬 廣 領 域 的 研 發 應 用 ！ 以 下 是 作 者 精 心 規 劃 、 創 新 研 究 出 的 完 整 思 考 歷 程 ， 請 仔 細 閱 讀 、 品 味 、 模 擬 推 演 運 算 ， 以 充 分 理 解 本 文 創 作 的 實 質 內 涵 。貳、本文
在 下 列 撰 文 推 理 演 繹 的 運 算 過 程 中 ， 需 應 用 或 對 照 到 下 述 已 知 的 數 個 基 本 數 學 性 質 ；一、數學基本性質─引理
引 理1. 平 面 凸多 邊 形 的 向量 性 質 任 給 一 個 平 面 凸 n 邊 形A1A2A3A4An1An， 令 邊 長A
1A
2 =V
1的 向 量 為 1V
，A
2A
3 =V
2的 向 量 為 2V
,
,A
nA
1=V
n的 向 量 為 nV
， 則 此 平 面 凸 n 邊 形即 為此 n 個向 量 按 順 序箭 頭 接 箭 尾 相 加 而 成 的 封 閉 凸n 邊 形。 依 向 量 加 法 性 質 知 ；
n m 1V
m 0
=(
cos
)
(
sin
)
0
1 1
nmV
m
mi
nmV
m
mj
此 處 m
為V
m在 直 角 坐 標 平 面 上 的 方 位 角 。 i
為 正 X 軸 方向 的 單位 向 量 ， j
為 正 Y 軸 方 向的 單 位 向 量 ， 再 由 平 面 正 交 坐 標 系 性 質 知 ；0
)
cos
(
1
n mV
m
m 且
1(
sin
)
0
n mV
m
m 現 在 ， 將 頂 點A
1置 於 直 角 坐 標 平 面 上 的 原 點 O， 如 下 圖 5， 使A
1A
2 邊 完 全 重 疊 並 貼 置 於X 軸 ， 以 使 此 n 邊 形 完全 落 在 第 1 及 第 2 象 限區 域 內(含 X 軸)， 則 1V
+cos[(
1
)
]
0
2 2
m k k n mV
mm
A
··· (3) 且sin[(
1
)
]
0
2 2
m k k n mV
mm
A
··· (4) 圖 5、 凸 n 邊 形 證 明 ： 由 圖 5 知凸 n 邊 形 的內 角 依 次 為A
1,A
2,A
3,
,A
n,而V
1的 方 位 角
1為 零 ，V
2的 方 位 角
2為 π −A
2，V
3的 方 位 角
3為 (π −A
2) + (π −A
3)，V
4的 方 位 角
4為(π−2
A
)+(π−A
3)+(π−A
4),…,V
n的 方 位 角
n為(n−1)π−(A
2+A
3+A
4+· · · +A
n)。 將 這 n 個 方 位 角 全 部 代 入 以 下 方 程 式 中 ：0
)
cos
(
1
n mV
m
m 且
1(
sin
)
0
n mV
m
m ， 則0
)
cos
(
1
n mV
m
m=
V
1+V
2cos(π −A
2)+V
3cos(2π −A
2−A
3)+
+V
ncos[(n-1) π-
kn2A
k]
0
將 上 列 等 式 改 寫 成 下 式 ； 得V
1+cos[(
1
)
]
0
2 2
m k k n mV
mm
A
··· (3) 同 理 ， 再 得sin[(
1
)
]
0
2 2
m k k n mV
mm
A
··· (4) 證 明 完 成 。 引 理 1 的 一 組 方 程 式 (3)與 (4)所 顯 示 的 幾 何 意 義 是；方 程 式 (3)代 表 此 凸 多 邊 形 各 邊 長 在 X 軸 方 向 的 投 影 向 量 總 和 為 零，方 程 式 (4)則 表 示 凸 多 邊 形 各 邊 長 在 Y 軸 方 向 的 投 影 向 量 總 和 為 零 。 引 理 1 的 一 組 方 程 式 (3)與 (4)是 因 以 線 段A
1A
2 =V
1為 底，疊 置 在 水 平 方 向 X 軸 所 求 得 的 結 果，若 換 成 以A
2A
3 =V
2為 底，將 求 得 類 似 的 另 一 組 方 程 式；以 此 類 推， 總 共 會 得 出 n 組 。 這 n 組 方 程 式 是 非 常 好 應 用 的 ， 尤 其 用 在 多 邊 形 尋 找 邊 長 與 內 角 之 間 的 組 合 關 係 式 時 至 為 有 效 ！ 引 理 2. 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 n 邊 形 n nA
A
A
A
A
A
1 2 3 4....
1 ，則 此 凸 多 邊 形 所 有 內 角 總 和 為
2
....
1 4 3 2 1
A
A
A
A
A
n
A
n n 證 明 ： 略 。 引 理 3. 三 角 函數 角 度 的 和差 sin α β sinα cos β cos α sin β
cos α
β
cos α cos β ∓ sin α sin β
引 理 4. 在 平 面上 給 定 一 個凸 四 邊 形 4 3 2 1
A
A
A
A
， 如 圖 6。 圖 6令 線 段
A
1A
2 =V
1，A
2A
3 =V
2，A
3A
4 =V
3，A
4A
1=V
4， 則 此 凸 四 邊 形 的 面 積 型 餘 弦 公 式 為 2 4V
=V
12 +V
22 +V
32 － 2V
1V
2cos A
2 － 2 3 3 2V
cos A
V
+ 2V
1V
3cos
A
2
A
3
因 上 列 公 式 中 各 項 的 量 綱 都 是 邊 長 的 平 方 ， 故 稱 為 面 積 型 餘 弦 公 式 。 證 明 ： 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 1) 引 理5. 兩相 似三 角 形，其 所有 對 應 邊 長必 成 正 比 例 。 證 明 ： 略 。 引 理 6. 兩 相 異 三 角 形，其 對 應 的 兩 邊 長 成 正 比 例 且 此 兩 邊 長 所 夾 的 夾 角 又 相 等，則 這 兩 相 異 三 角 形 必 為 相 似 三 角 形 。 證 明 ： 略 。二 、 論 證 平 面 凸 五 邊 形 兩 交 叉 對 角
線長度乘積的一般化方程式
對 於 任 意 形 狀 的 平 面 凸 五 邊 形 而 言， 欲 完 整 清 晰 地 推 導 驗 證 出 本 主 題 的 一 般 化 方 程 式 (2)，須 遵 循 下 列 的 六 個 步 驟 依 先 後 次 序 來 進 行 ； (一 ) 作 輔 助 線 ； 先 求 出 這 五 邊 形 內 的 凸 四 邊 形 4 3 2 1A
A
A
A
中 兩 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 ， 請 參 閱 下 圖 7 任 意 形 狀 的 平 面 凸 五 邊 形A
1A
2A
3A
4A
5。 圖 7 (1) 選 取 四 邊 形A
1A
2A
3A
4，在 頂 點A
4處 對 圖形 內 側 作 一射 線A
4T
，使
A
1A
4T
=
A
2A
4A
3， 又 在 頂 點A
1處 對 圖 形 內 側 作 另 一 射 線A
1T
，使
A
4A
1T
A
4A
2A
3，此 兩 射 線 交 在 T 點；則
A
1A
4T
A
2A
4A
3(互 為 相 似 形 )且
A
4TA
1
A
4A
3A
2。並 繼 續 連 接 T 與A
3 兩 點 ， 使 形 成 線 段TA
3。 (2) 由 兩 相 似 三 角 形 對 應 邊 長 必 成 正 比 例 關 係 ， 得d
4:
d
2
A
1T
:
V
2
A
4T
:
V
3
可 得3 2 4 4
:
A
T
d
:
V
d
， 再 由
A
1A
4A
2 =
TA
4A
3 及 引 理 6. 得 知 相 似 形 關 係 3 4 2 4 1A
A
TA
A
A
， 因 此 可 得
A
4A
1A
2=
A
4TA
3， 且 有 另 ㄧ 組 正 比 例 關 係 為T
A
V
V
d
T
A
d
4:
4
2:
3
1:
3 。 (3) 對 作 圖 7 中 的
TA
1A
3言 ， 由 餘 弦 定 理 知d
12
(
A
1T
)
2
(
A
3T
)
2
2
(
A
1T
)(
A
3T
)
cos(
A
1TA
3)
，而 在 上 述 (2)的 兩 組 正 比 例 關 係 式 中 可 求 得A
1T
(
V
2d
4)
/
d
2及A
3T
(
V
1V
3)
/
d
2，將 此 兩 者 代 入 餘 弦 定 理 公 式 內 並 化 簡、 移 項 ， 可 得 下 列 新 方 程 式 (5)；d
12d
22
(
V
1V
3)
2
(
V
2d
4)
2
2
V
1V
2V
3d
4cos(
A
1TA
3)
··· (5) (4) 在 頂 點 T 處 四 周 圍 角 度 關 係 可 知 3 1TA
A
=2
A
4TA
3
A
1TA
4=2
A
4A
1A
2
A
4A
3A
2 =A
2(頂 角 )+
， 此 處 對 四 邊 形A
1A
2A
3A
4言 ， 其 四 個 頂 角 總 和 為2
， 並 令
A
1A
4A
3=
， 所 以 將 3 1TA
A
=A
2(頂 角 )+
代 入 方 程 式 (5)， 即 得 凸 四 邊 形 兩 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 ㄧ 般 化 方 程 式 為 下 方 程 式(6)；d
12d
22
(
V
1V
3)
2
(
V
2d
4)
2
2
V
1V
2V
3d
4cos(
A
2
)
··· (6) (二) 接下 來 ， 要將 四 邊 形 的方 程 式(6)推廣 至 ㄧ 般 化凸 五 邊 形 公式 ， 請 看 下 圖 8。 圖 8 圖 中 的 三 角 形
A
1A
4A
5有 下 式 關 係；d
42
V
42
V
52
2
V
4V
5cos
A
5，將 此 式 代 入 方 程 式 (6)中 即 得 出 下 列 方 程 式 (7)；)
cos(
2
cos
2
)
(
)
(
)
(
2 4 5 5 1 2 3 4 2 2 2 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 2 1d
V
V
V
V
V
V
V
V
V
A
V
V
V
d
A
d
··· (7)(三 ) 接 著 要 將 方 程 式 (7)內 的 最 後 一 項 有
d
4cos(
A
2
)
的 成 份 代 換 成 五 邊 形 的 某 些 邊 長 與 頂 角 的 適 當 組 合 。 這 需 應 用 到 引 理 1.與 角 度 修 正參 數 法 及 幾何 作 圖 分 析法 。 (1) 應 用 引 理 1. 取 n=5 代 入 一 組 方 程 式 (3)與 (4)， 並 化 簡 可 得
V
1=V
2cos A
2-V
3cos
A
2
A
3
+V
4cos(
A
2
A
3
A
4)
+V
5cos A
1 ··· (3-p)V
2sin A
2-V
3sin
A
2
A
3
+V
4sin
A
2
A
3
A
4
-V
5sin A
1= 0 ··· (4-p) (2) 將 此 五 邊 形 的 內 角 分 成 兩 組 ；A
1,A
4為 一 組 ， 而A
2,A
3,A
5為 另 一 組 ！ 將 平 面 凸 多 邊 形 所 有 內 角 分 成 兩 組 的 組 合 情 形 有 很 多 種，需 要 詳 盡 觀 察 比 對 才 能 找 到 最 適 合 的 兩 組 組 合 。 **角 度 修 正 參 數 法 **： 以 下即 為 角 度 修正 參 數 法 的應 用 ； 見 下 圖 9。 圖 9 平 面 凸 五 邊 形 內 角 總 和 為 3π， 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 並 設 定
2
3
4 1A
A
且
2
3
5 3 2A
A
A
， 將 這2 個 組 合代 入 方 程 式(3-p)及 (4-p)中 ； 得 1V
=V
2cos A
2-V
3cos
A
2
A
3
+V
4cos(
A
2
A
3
A
4)
+V
5cos A
1 ··· (3-p) 1V
=)
2
3
cos(
3 5 2A
A
V
-)
2
3
cos(
5 3A
V
+)
2
3
cos(
4 5 4A
A
V
+)
2
3
cos(
4 5A
V
=
V
2sin(
A
3
A
5)
-V
3sin(
A
5)
+V
4sin(
A
4
A
5)
-V
5sin(
A
4)
= sin
[
V
2cos(
A
3
A
5)
-V
3cos A
5+V
4cos(
A
4
A
5)
-V
5cos
A
4]
+cos
[
V
2sin(
A
3
A
5)
+V
3sin A
5+V
4sin(
A
4
A
5)
-V
5sin
A
4]
··· (3-p-a) 另V
2sin A
2-V
3sin
A
2
A
3
+V
4sin
A
2
A
3
A
4
-V
5sin A
1= 0 ··· (4-p))
2
3
sin(
3 5 2A
A
V
-)
2
3
sin(
5 3A
V
+)
2
3
sin(
4 5 4A
A
V
)
2
3
sin(
4 5A
V
= 0， 展 開 此 等 式 ， 得0= -
V
2cos(
A
3
A
5)
+V
3cos(
A
5)
-V
4cos(
A
4
A
5)
+V
5cos(
A
4)
= cos
[
V
2cos(
A
3
A
5)
+V
3cos A
5-V
4cos(
A
4
A
5)
+V
5cos
A
4]
+ sin
[
V
2sin(
A
3
A
5)
+V
3sin A
5+V
4sin(
A
4
A
5)
-V
5sin
A
4]
··· (4-p-a) 現 在 令P
5=V
2cos(
A
3
A
5)
-V
3cos A
5+V
4cos(
A
4
A
5)
-V
5cos A
4
Q
5=
V
2sin(
A
3
A
5)
+V
3sin A
5+V
4sin(
A
4
A
5)
-V
5sin A
4則 (3-p-a)式 變 成
V
1= sin
P
5+ cos
Q
5 ··· (3-p-b)(4-p-a)式 變 成 0 = cos
(
P
5)
+ sin
Q
5 ··· (4-p-b) 聯 立 解 (3-p-b)式 與 (4-p-b)式 ， 得V
1cos
=Q
5且V
1sin
=P
5而 cos(
A
1+A
4) = cos(
2
3
) =
sin
， 代入V
1sin
=P
5中 ， 得
V
1cos(A
1+A
4) =V
2cos(
A
3
A
5)
-V
3cos A
5+V
4cos(
A
4
A
5)
-V
5cos A
4 移 項 整 理 後 即 得 到 下 述 方 程 式 (8-1)了 ；5 3
cos A
V
-V
4cos(
A
4
A
5)
+V
5cos A
4=V
1cos(A
1+A
4)+V
2cos(
A
3
A
5)
··· (8-1) (3) 同 理，現 在 將 方 程 式 (3)與 (4)式 換 成 以A
4A
5 =V
4為 底，見 下 圖 10，再 仿 效 這 上 述 第 (2)節 的 運 算 即 可 得 到 同 類 型 的 下 列 方 程 式 (8-2)了 ； 3
1
cos A
V
-V
2cos(
A
2
A
3)
+V
3cos A
2=V
4cos(A
4+A
2)+V
5cos(
A
1
A
3)
··· (8-2)圖 10
觀 察 此 方 程 式(8-2)的 右 側 兩項
V
4cos(A
4+A
2)+V
5cos(
A
1
A
3)
，再 根 據
A
1A
4A
5圖 形 關 係 即 可 推 測(8-2)式 的 右 側兩 項 必 與d
4cos(
A
2
)
具 有 相 等 關 係 ！(四 ) 幾 何 作 圖 ； 利 用 輔 助 線 作 圖 法 以 理 解 方 程 式 (8-2)的 圖 形 意 義 ！ 請 看 下 圖 11。 圖 11 (1) 在 方 程 式 (8-2)的 左 側 第 2 項 裡 出 現
A
2
A
3的 角 度 差，令 頂 角 角 度A
2大 於A
3，這 不 失 為 作 圖 的 ㄧ 般 性。由 圖 11.中 自 頂 點A
2處 作 一 直 線A
2B
，使
A
1A
2B
A
3頂 角 角 度， 並 令
CA
2A
3
A
2
A
3。 (2) 通 過 頂 點A
4處 作 一 直 線DE
平 行 於 直 線A
2B
， 連 接 對 角 線A
4A
1
d
4， (3) 通 過 頂 點A
1處 作 一 直 線A
1F
平 行 於 直 線A
2B
與DE
， (4) 自 頂 點A
4處 對 直 線A
1F
作 一 垂 直 線A
4G
， 使G
點 為 垂 直 交 點 。 (5) 自 頂 點A
5處 對 直 線A
1F
與 直 線DE
作 一 垂 直 線A
5HK
， 使H
點 與K
點 各 為 相 異 的 兩 垂 直 交 點 。 以 上 作 圖 完 成。這 經 過 規 劃 設 計 完 工 的 圖 形 中 共 有 兩 組 平 行 輔 助 線；紅 色 的 ㄧ 組 有 3 條 平 行 線 ， 綠 色 的 另 一 組 有 2 條 平 行 線 ， 且 這 兩 組 平 行 線 是 互 為 垂 直 的 。 (五 ) 現 在 要 分 析 所 有 作 出 的 圖 形 輔 助 線 及 方 程 式 (8-2)的 圖 形 意 義 ， 及 其 與 重 要 的 一 項)
cos(
2 4A
d
之 間 的 相 連 結 關 係 ； 請 見 下 圖 12。 圖 12 ∠ 0 ∠ γ ∠ δ ∠(1) 對
CA
2A
3言 ， 因
CA
2A
3
A
2
A
3， 故 得
A
4CA
2
A
2頂 角 角 度 。 (2) 由 平 行 線 內 側 角 性 質 知
DA
4C
A
4CA
2
A
2頂 角 。 (3) 令
A
1A
4E
A
4A
1G
，在 頂 點A
4處 周 圍 可 知
DA
4C
A
2
，故)
cos(
2 4A
d
=d
4cos(
)
=
d
4cos
=
d
4cos(
A
4A
1G
)
，得d
4cos(
A
2
)
在 圖 形 上 的 值 等 於 線 段A
1G
長 度 的 負 值 ， 因
A
4A
1G
是 直 角 三 角 形(4) 又 在 頂 點
A
4處 周 圍 ， 頂 角 角 度 的 和A
2
A
4
， 此 處
A
5A
4E
。 由)
cos(
2 44
A
A
V
=V
4cos(
)
=
V
4cos
，得V
4cos(
A
2
A
4)
在 圖 形 上 的 值 等 於 線 段A
4K
=線 段GH
長 度 的 負 值 ， 因
A
4A
5K
是 直 角 三 角 形 。 (5) 在 頂 點A
1處 周 圍，由 平 行 線 同 位 角 性 質 知
MA
1H
A
1A
2B
A
3頂 角，故 頂 角 角 度 的 和A
1
A
3
， 此 處
A
5A
1H
。 由V
5cos(
A
1
A
3)
=V
5cos(
)
=
cos
5V
， 得V
5cos(
A
1
A
3)
在 圖 形 上 的 值 等 於 線 段A
1H
長 度 的 負 值 ， 因
A
1A
5H
是 直 角 三 角 形 。 (6) 現 在 由 (3) 、 (4) 、 (5) 的 敘 述 分 析 ， 可 比 較 出d
4cos(
A
2
)
在 圖 形 上 的 值 恰 等 於)
cos(
2 4 4A
A
V
+V
5cos(
A
1
A
3)
在 圖 形 上 的 值 ， 故 下 式 必 成 立 ；
d
4cos(
A
2
)
=V
4cos(
A
2
A
4)
+V
5cos(
A
1
A
3)
··· (8-3) (六 ) 現 在 要 將 等 式 (8-3)式 代 入 (二 )的 方 程 式 (7)中 ， 整 理 後 即 得 方 程 式 (2)如 下 ； 得證 平 面 凸五 邊 形 兩 交叉 對 角 線 長度 乘 積 的 一般 化 方 程 式為(
d
1d
2)
2
(
V
1V
3)
2
(
V
2V
4)
2
(
V
2V
5)
2
2
V
1V
2V
3V
4cos(
A
2
A
4)
2
V
5V
1V
2V
3cos(
A
1
A
3)
2
V
22V
4V
5cos
A
5 ··· (2)三、檢驗
(一 ) 若 令V
5
0
， 使 頂 點A
5趨 近 至A
1，則 平 面 凸 五 邊 形 退 化 成 平 面 凸 四 邊 形 ， 而 方 程 式 (2)也 退 化 成 平 面 凸 四 邊 形 兩 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 為(
d
1d
2)
2
(
V
1V
3)
2
(
V
2V
4)
2
2
V
1V
2V
3V
4cos(
A
2
A
4)
··· (9) 這 方 程 式 (9) 正 是 托 勒 密 定 理 的 推 廣 。 若 這 凸 四 邊 形 又 內 接 於 一 圓 ， 則
2 4A
A
，代 入 方 程 式 (9)內，再 化 簡 後，即 得 托 勒 密 定 理；d
1d
2
V
1V
3
V
2V
4。 因 此 ， 方 程 式(2)完 美 涵 蓋 統 一 了 托 勒 密 定 理 與 方 程 式 (9)！ 方 程 式 (2)是 至 極 的 正 確 且 其 內 涵 用 途 比 公 元 100 年 時的 托 勒 密 定理 公 式 更 強大 ！(二 ) 若 是 圓 內 接 五 邊 形 ， 則 方 程 式 (2)將 作 如 下 變 換 ；
(
d
1d
2)
2
(
V
1V
3)
2
(
V
2V
4)
2[cos
2(
A
2
A
4)
sin
2(
A
2
A
4)]
(V2V5)2[cos2(A1A3)sin2(A1A3)]2V1V2V3V4cos(A2A4)
2
V
5V
1V
2V
3cos(
A
1
A
3)
2
V
22V
4V
5cos(
A
1
A
2
A
3
A
4)
=[
V
1V
3
V
2V
4cos(
A
2
A
4)
V
2V
5cos(
A
1
A
3)]
2 +[
V
2V
4sin(
A
4
A
2)
V
2V
5sin(
A
1
A
3)]
2 ··· (10-1) 在 圓 內 接 五 邊 形 中，V
2V
4sin(
A
4
A
2)
V
2V
5sin(
A
1
A
3)
= 0，(註：請 參 考 下 列 結 論 (一 )第(2)節敘 述 )，則 方 程 式(10-1)就 化 簡成 下 式 ；d
1d
2
V
1V
3
V
2V
4cos(
A
2
A
4)
V
2V
5cos(
A
1
A
3)
··· (10) 此 方 程 式(10)就 是圓 內 接 五 邊形 的 兩 交 叉對 角 線 長 度乘 積 公 式。可 看 出 與 圓有 關 聯 的 圓 內 接 五 邊 形 公 式 型 態 之 方 程 式(10)， 其 結構 真 的 很 簡潔 明 暢 。參、結論
(一 ) 事 實 上 ， 一 開 始 作 此 研 究 是 從 圓 內 接 五 邊 形 (見 下 圖 13) 的 特 例 出 發 的 ， 圖 13 (1) 觀 察 圖 形 中 的 圓 內 接 四 邊 形A
1A
2A
3A
4， 必 存 在 有 托 勒 密 定 理 公 式 為d
1d
2
V
1V
3
V
2d
4 ··· (9-1) (2) 對
A
1A
5A
4 言 ， 邊 長 線 段d
4 =V
4cos(
2
)
+V
5cos(
1
)
=V
4cos(
A
4
k
)
+)
cos(
1 5A
m
V
=V
4cos(
A
4 A
2
)
+V
5cos(
A
1 A
3
)
=–V
4cos(
A
4
A
2)
-V
5cos(
A
1
A
3)
， 將 此d
4代 入 (9-1)式 中 ， 得 角 度 1 ∠ 角 度 2 ∠ 角 度 m ∠ 角 度 K ∠
d
1d
2
V
1V
3
V
2V
4cos(
A
2
A
4)
V
2V
5cos(
A
1
A
3)
··· (10) 又 在
A
1A
5A
4中 ，V
4sin(
2
)
-V
5sin(
1
)
0
， 再 經 過 同 樣 的 角 度 轉 換 ， 可 得 0 =V
4sin(
A
4
A
2)
-V
5sin(
A
1
A
3)
··· (11) 將 (11)式 乘 上V
2， 即 得 0 =V
2V
4sin(
A
4
A
2)
V
2V
5sin(
A
1
A
3)
··· (12) (3) 由 方 程 式 (10)的 獨 自 平 方 再 加 上 方 程 式 (12)的 獨 自 平 方 ， 再 化 簡 ， 可 得(
d
1d
2)
2
(
V
1V
3)
2
(
V
2V
4)
2
(
V
2V
5)
2
2
V
1V
2V
3V
4cos(
A
2
A
4)
2
V
5V
1V
2V
3cos(
A
1
A
3)
2
V
22V
4V
5cos
A
5 ··· (2) 因 為 圓 內 接 五 邊 形 的 任 意 兩 內 角 的 和 並 無 特 定 關 係 值，所 以 推 測 這 個 方 程 式 必 定 也 是 ㄧ 般 形 平 面 凸 五 邊 形 的 ㄧ 般 化 方 程 式 ！ 亦 即 先 有 了 這 假 設 的 特 例 雛 型 概 念，再 思 考 尋 求 理 論 的 有 效 推 證 方 法 ， 進 而 論 證 出 完 整 的 結 果 來 。 (4) 方 程 式 (10)就 是 圓 內 接 五 邊 形 的 兩 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 公 式，它 也 可 以 由 方 程 式 (2)被 逆 向 推 導 出 來 ！ 如 同 上 述 三 、 檢 驗 中 的 第 (二 )節 敘 述 。 (二 ) 若 僅 以 三 角 形 的 基 本 餘 弦 定 理 公 式 來 描 述 推 求 兩 對 角 線 長 度 乘 積 方 程 式，其 結 果 也 就 不 足 為 奇，無 法 達 到 方 程 式 (1)、(2)、(9)、(10)的 公 式 型 態，也 與 本 文 的 理 念 大 相 逕 庭， 無 法 比 擬 ！ 試 看 下 列 以 純 餘 弦 定 理 來 作 凸 五 邊 形 的 推 演 運 算 ； 圖 8 參 考 圖8d
12
V
12
V
22
2
V
1V
2cos
A
2
V
32
V
42
V
52
2
V
3V
4cos
A
4
2
V
4V
5cos
A
5
2
V
3V
5cos(
A
4
A
5)
且d
22
V
22
V
32
2
V
2V
3cos
A
3
V
12
V
42
V
52
2
V
4V
5cos
A
5
2
V
5V
1cos
A
1
2
V
4V
1cos(
A
5
A
1)
則d
12d
22相 乘 的 四 種 結 果 必 然 至 少 有 一 個 邊 長 不 會 出 現 在 各 公 式 中 ， 都 無 法 見到 邊 長 與 角 度 在 組 合 型 式 上 依 序 呈 現 出 完 整 規 律 性 分 佈 ！ 而 此 四 種 結 果 也 與 托 勒 密 定 理 公 式 型 態 無 關 ， 完 全 沒 有 感 受 見 到 托 勒 密 公 式 的 蹤 影 。 (三 ) 本 文 演 繹 敘 述 過 程 中 出 現 兩 個 亮 點 ； 第 一 個 是 角 度 修 正 參 數 法 ， 應 用 適 宜 角 度 組 合 的 特 徵 ， 求 得 所 需 要 之 邊 長 與 角 度 組 合 恆 等 式 。 因 為 角 度 組 合 的 方 式 多 樣 化 ， 充 分 利 用 可 達 成 意 想 不 到 的 效 果 ， 在 推 演 過 程 中 它 必 扮 演 著 重 要 且 決 定 性 的 任 務 ！ 第 二 個 亮 點 是 幾 何 作 圖 分 析 法 ， 它 提 供 了 一 個 清 晰 理 解 恆 等 式 各 項 線 段 圖 形 意 義 的 視 窗 ， 使 我 能 找 到 各 線 段 的 相 互 依 存 關 係 ， 並 應 用 於 解 決 難 度 較 高 的 問 題 ， 也 一 樣 執 行 著 艱 鉅 且 適 切 決 定 性 的 任 務 ！ (四 ) 創 作 者 須 抱 持 的 恆 常 一 貫 思 維 理 念 ， 就 是 對 所 有 選 定 主 題 論 證 都 要 合 理 精 確 地 尋 找 出 一 套 一 般 化 方 法 ， 藉 以 獲 得 完 美 奇 妙 廣 義 式 的 結 果 。 希 望 本 文 的 論 述 能 榮 獲 讀 者 的 青 睞 與 迴 響 ！
參考文獻
李 輝 濱 ， 平 面 凸 五 邊 形 面 積 研 究 。 數 學 傳 播 季 刊 141 期 ，2012 年 3 月 。 李 輝 濱 ， 圓 內 接 五 邊 形 面 積 研 究 。 數 學 傳 播 季 刊 144 期 ，2012 年 12 月 。 李 輝 濱 ， 預 測 與 驗 證 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 。 科 學 教 育 月 刊 398、 399 期 ， 2017 年 5、 6 月 出 版發 行 。 蔡 聰 明 ，數 學 拾 貝---星 空 燦 爛 的 數 學。三 民 書 局 。 林 聰 源 ， 數 學 史---古 典 篇，1995，凡 異出 版 社 。 項 武 義，基 礎 幾 何 學，五 南 圖 書 出 版 公 司。 E.W. Hobson : A treatise on plane andAdvanced trigonometry, Dover , 1957 .
Z.A. Melzek : Invitation to geometry, John Wiley and Sons , 1983 .
