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Study on Project Decision with Modified Multiple Fuzzy Objective
Linear Programming
doi:10.6132/JCM.2010.5.4.04
商業現代化學刊, 5(4), 2010
Journal of Commercial Modernization, 5(4), 2010 黃士滔(Shih-Tao Huang);邱威源(Wei-Yuan Chiu)
65-91
http://dx.doi.org/10.6132/JCM.2010.5.4.04
應用改良的模糊多目標線性規劃於專案決策之研究
Study on Project Decision with Modified Multiple Fuzzy
Objective Linear Programming
黃士滔(Shih-tao Huang)1、邱威源(Wei-Yuan Chiu)2
1國立高雄應用科技大學 工業工程與管理研究所碩士班
2國立高雄應用科技大學 工業工程與管理系 副教授
摘要
本 研 究 主 要 是 針 對 模 糊 多 目 標 線 性 規 劃(Multiple fuzzy objective linear programming, MFOLP)模式之專案總成本、總完工時間與總趕工成本三個極小化目標 函數以及限制式上作模糊化，並針對三個極小化目標函數加入交互作用方法作研究分 析，同時納入直接與間接成本、資源供需、產能及總預算等限制因素考量，發展一個 適於專案管理之交互作用方法所改良的模糊多目標線性規劃(Modified multiple fuzzy objective linear programming, MMFOLP)模式，最後再加入加權法，進一步求取改善目 標值之決策滿意度水準，目的在於解決傳統專案管理著重於總完工時間或總趕工成本 極小化的單一目標決策作法，缺乏財務、人力及生產資源投資之最適趕工及資源分配 決策考量的問題。
Study on Project Decision with Modified Multiple Fuzzy
Objective Linear Programming
Shih-tao Huang 1、Wei-Yuan Chiu 2
1 Associate Professor, Department of Industrial Engineering and Management, National Kaohsiung University of Applied Sciences
2 Master, Institute of Industrial Engineering and Management, National Kaohsiung University of Applied Sciences
Abstract
This study focuses on fuzzy multi-objective linear programming (Multiple fuzzy objective linear programming, MFOLP) model of the total project cost, total completion time and total crash cost minimization objective function and three constraints make fuzzy, and for three Minimizing the objective function by adding a method for interaction analysis, also include direct and indirect costs, resource supply and demand, capacity constraints and the total budget considerations, the development of a suitable project management methods improve the interaction of the fuzzy multi-objective linear Planning (Modified multiple fuzzy objective linear programming, MMFOLP) model, and finally joined the weighting method to further improve the target to obtain satisfaction level of decision-making aimed at solving the traditional project management focus on the total completion time and minimizing the total cost of crashing the single objective decision-making practices, lack of financial, human and production resources to the optimum time for investment in industrial and resource allocation decision making on the issue.
Keywords ： project management, Fuzzy multi-objective linear programming, interaction method, weighting method
壹、緒論
一、研究動機
多數研究所探討的專案趕工及資源分配決策，經常設定資源可以無限供應，並以 總完工時間或總趕工成本極小化形成單一目標的作法，也存在實務上多目標互換的應 用落差問題。就實務層面而言，趕工及資源分配決策不僅要尋求上述單一目標，也應 顧及總成本(直接與間接成本)、總人力水準、懲罰成本之極小化，或是利潤、設施利 用率之極大化等多目標決策因素的考量。再者，隨著企業組織內外環境變化程度的提 高，目標值也因之而具相當程度不確定性，使得決策者實際所面對者，常為一含多模 糊目標，而非單一目標之決策滿意解問題。舉例來說，專案總成本之年度目標值「大 約為一百萬元」，或總完工時間「大約為50 天或 50 天以內」，即屬不明確目標值，導 入模糊目標概念，利用模糊集理論及模糊決策概念作為解決此種因資訊不明確而產生 之多目標規劃問題，成為應有的考量。模糊多目標線性規劃(Multiple fuzzy objective linear programming, MFOLP)發展至 今已有多位學者提出改良之模式，其目的在於研究出最優良的模糊多目標線性規劃模 式來求解多目標專案管理決策問題。本研究希望能藉由歷年來文獻的參考以及研究過 程，嘗試提出加入交互作用方法所改良的模糊多目標線性規劃(Modified multiple fuzzy objective linear programming, MMFOLP)模式來求解多目標規劃問題，除在模糊多目標 線性規劃模式之專案總成本、總完工時間與總趕工成本三個極小化目標函數以及限制 式上作模糊化，並針對三個極小化目標函數加入交互作用方法作研究分析，最後再加 入加權法，以求取改善目標值之決策滿意度水準，相較於其他模式，以期能建構出一 較佳模式。
二、研究目的
本研究目的即在於發展一個考量成本預算、產能及資源之供需限制，同時兼顧直 接與間接成本因素，尋求整體專案趕工與資源分配之最適決策，並針對模糊多目標線 性規劃(MFOLP)模式之專案總成本、總完工時間與總趕工成本三個極小化目標函數以 及限制式作模糊化，並在三個極小化目標函數上加入交互作用方法作研究分析，發展 一個適於專案管理之交互作用方法所改良的模糊多目標線性規劃(MMFOLP)模式，最 後再加入加權法，以求取改善目標值之決策滿意度水準，進一步作改善，來解決模糊 環境下多目標專案管理(PM)決策問題。具體而言，藉著本研究模式的建構，可以有效 解決現有專案趕工及資源分配之相關研究，不再侷限於總完工時間或是總趕工成本極 小化單一目標，缺乏間接與懲罰成本，以及模糊化與相互取捨探討不足的多目標規劃 問題。綜合上述，本研究之研究目的如下： 1.探討模糊專案管理多目標數學規劃模式、模糊專案管理多目標之交互作用模式 及模糊專案管理多目標之加權模式等三個類別。 2.建構改良的模糊多目標線性規劃模式，並使用實際案例進行求解過程的說明與 結果分析。 3.本研究利用 LINGO 8.0 最佳化建模軟體來測試改良的模糊多目標線性規劃模 式，並與其他模式作比較，以作為往後研究者參考之用。
貳、文獻探討
有關專案管理及資源分配決策的研究探討，一直以來都有許多學者不斷的研究與 討論，形成的文獻報導也是非常可觀。若以研究內容歸納，可分為模糊專案管理多目 標數學規劃模式、模糊專案管理多目標之交互作用模式及模糊專案管理多目標之加權 模式等三個類別。一、模糊專案管理多目標數學規劃模式
在模糊專案管理多目標數學規劃文獻方面，Zimmermann(1976)率先將模糊理論引 入傳統線性規劃問題，將線性規劃中的目標式及限制式視為模糊子集，並建構成一個 模糊決策空間，而後兩年將其所發展之模糊線性規劃(FLP)模式及 Bellman and Zadeh(1970) 模 糊 決 策 概 念 延 伸 至 多 目 標 線 性 規 劃 (Multiple objective linear programming, MOLP)問題，主要以決策者已設定一個或多個「本質上將會小於或等於 某一特定值」之模糊目標為假設條件，並以線性隸屬函數型態表示模糊目標，利用小 中取大隸屬函數值之最小運算子方法結合各模糊目標函數，進而轉變為單一目標線性 規劃(LP)問題，成為單形法求解問題(Zimmermann, 1978)。 Bitran(1980)與 Steuer(1981)分別提出不同的演算法來解決模糊多目標線性規劃問 題，其中模式中的成本係數以區間值來表示，利用向量最大化理論來找出有效範圍的 端點值，然而這些演算法不易求解且難獲得非支配集合。Tong(1994)提出處理區間值 線性規劃問題的方法，藉由端點不等式找出最大與最小的區間範圍，儘管找出最佳的區間範圍，但是對於最後決策所決定的明確解依然未知。因此，Wang and Wang(1997)
針對矩形模糊數的模糊多目標線性規劃問題提出理論與求解過程，此時非支配集合不 但可獲得且可提供明確決策參考。
二、模糊專案管理多目標之交互作用模式
利用交互作用方法(Interactive method)求解多目標規劃問題是近年來應用日趨廣 泛的一種方法，交互作用方法的最大特點如下所示：(徐玖平、李軍, 2005；馬振華, 1998) 1.無需決策者在一開始就提供他可能無法提供的整體偏好信息。 2.決策者只需在每一個具體的方案結果上給出局部偏好信息。 3.由於決策者在交互式求解過程中可以對決策問題有越來越多與深刻的了解，因 此，最終求得的解比較符合決策者的偏好。 到目前為止，已有多種交互式決策方法，如權衡比替代法(Geoffrion 法)、滿意權 衡 方 法(Satisfying trade-off method) 、 逐 步 約 束 方 法 (Step method, STEM 法 ) 、 Zionts-Wallenius 法以及代理值置換法(Surrogate worth trade-off method, SWT 法)等(徐 玖平、李軍, 2005；馬振華, 1998)。儘管求解多目標規劃問題的途徑很多，但由於問題本身的複雜性，如何找到一種 較為簡單而又實用的方法，仍是值得探討的問題。
三、模糊專案管理多目標之加權模式
模糊加權平均方法(Fuzzy weighting average method, FWAM)最早由 Baas and
Kwakernaak(1977)提出，它可視為一種計算程序，即透過一些方案的模糊準則i比例 獲得，模糊準則為Cji， ，並且導出模糊環境下的每一項模糊權重 ， ，經由專家再賦予各準則的絕對模糊評比分數，運用模糊權重平均數，求 得統合各準則之評比分數，最後獲取該項方案的模糊數 {1, 2, , } i∈ K n n i W {1, 2, , } i∈ K j A ，相關定義如(1)式： 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 ( , , , , , ) n i ji j j n jn i j j jn n n n i i W C W C W C W C A f C C W W W W W W = = + + + = = = + + +
∑
∑
L K K L (1) 模糊加權Wi與模糊準則Cji分別為( ) [( ) , ( ) ] L R i i i W α = W α W α ，(Cji)α =[( ) , (ciL α ciR)α]；其中( ) L i c α 與( R) i c α分別表示模糊準則(Cji)α的左端點與右端點，而(WiL)α與(WiR)α分別表示模糊加 權(Wi)α的左端點與右端點。Liou and Wang(1992)提出下列兩個定理，建議區間模糊加權平均函數 f 的左右端
點值，可由fL與 fR方程式分別計算獲得，因此，某個方案(Aj)α的模糊加權平均方法 (FWAM)，分別如(2)式與(3)式： 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) (( ) , , ( ) , , , ) ( ) ( ) ( ) L L L n j jn L L L j j n jn n n f w w w f c c w w w c w c w c w w w α α α α α = + + + = + + + K K L L K (2)
1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) (( ) , , ( ) , , , ) ( ) ( ) ( ) R R R n j jn R R R j j n jn n n f w w w f c c w w w c w c w c w w w α α α α α = + + + = + + + K K L L K )] (3) 從上述的文獻中可發現，模糊多目標線性規劃(MFOLP)模式大多是直接應用居 多，因此，本研究希望能藉由歷年來文獻的參考及研究過程，嘗試提出改良的模糊多 目標線性規劃(MMFOLP)模式來求解多目標規劃問題，除在模糊多目標線性規劃模式 之專案總成本、總完工時間與總趕工成本三個極小化目標函數以及限制式上作模糊 化，並針對三個極小化目標函數加入交互作用方法作研究分析，最後再加入加權法， 以求取改善目標值之決策滿意度水準，以期能建構出一較佳模式，來解決專案管理決 策的不足之處。
參、研究方法
一、模糊多目標線性規劃模式
模糊多目標線性規劃模式係在總成本預算及產能限制為前提之考量下，尋求作業 活動程序及整個專案之最適完工時間，以達到總完工時間、專案總成本(含直接與間 接成本)、總趕工成本等三個模糊目標極小化為啟始模式。其假設條件有(1)目標函數 具模糊性質、(2)各目標函數及限制式皆為線性函數、(3)模糊集合之隸屬函數為線性 函數、(4)成本斜率為線性函數、(5)在規劃時程內，各作業之正常作業時間、最短可 能作業時間、正常作業成本、趕工作業成本及單位間接成本皆為確定性，且維持不變、 (6)總成本預算為一確知金額(Hannan, 1981；Hsu and Tzeng, 1990)。本研究所引用之模糊多目標線性規劃模式說明如(4)式：(Sakawa, 1988；梁添富等, 2003) (1) 1 ( 2 ) , 1 1 (3) , 1 1 , , , ( 2 ) [ ] [ ( . . ( ) 0 , , , , 0 , ij n n n D ij i j I n n c i j n n ij i j i j i ij i j j i j ij ij i j i j M in Z X X M in Z C k Y C m X T M in Z k Y S T X D Y X i j Y D d i j X X Y i j Z B = = = = ⎧ ⎪ ⎪ ≅ − ⎪ ⎪ ≅ + + + − ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ≅ ⎪ ⎩ + − − ≤ ∀ ∀ ⎧ ⎪ ≤ − ∀ ∀ ⎪ ⎨ ≥ ∀ ∀ ⎪ ≤ ⎪⎩
∑ ∑
∑ ∑
(4) 其中，Z(1)為總完工時間，Z(2)為專案總成本，Z(3)為總趕工成本，Xn為專案之最晚完 成時間，X1為專案之最早開始時間，Yi j, 為作業( , )i j 之實際縮短工時，CI 為正常作業] 情況下之總間接成本， 為作業 之單位間接成本， 為趕工後之專案總完工時 間， m ( , )i j Tnc , 1 1 [ ij n n D ij i j i j C k Y = = +
∑∑
為總直接成本，[CI +m X( n−Tnc)]為總間接成本，Xi為事件 之最 早開始時間， i j X 為事件 j之最早開始時間， 為總預算。 B二、解模糊多目標線性規劃模式
模糊多目標線性規劃模式亦可以表示如(5)式與(6)式：(Zimmermann, 1978；李柏 年, 2007) ¾ 目標函數： 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n r r r r n n z c x c x c x z c x c x c x M in z c x c x c x ≅ + + + ⎧ ⎪ ≅ + + + ⎨ ⎪ ≅ + + + ⎩ L L M L (5) ¾ 限制式： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 1 2 . . 0, 0, , 0 n n n n m m mn n n a x a x a x b a x a x a x b S T a x a x a x b x x x + + + ≤ ⎧ ⎪ + + + ≤ ⎪ ⎨ + + + ≤ ⎪ ≥ ≥ ≥ ⎪⎩ L L M L L m (6) 其中， 1 2 1 2 1 2 ( ) , 1, 2, , , 1, 2, , ( ) , 1, 2, , , 1, 2, , ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) hj m n ij r n T m T n T r A a h m j C c i r j n b b b b x x x x z z z z × × = = = = = = = = = L L L L L L L n 於是上述的模糊多目標線性規劃模式可以簡化為矩陣形式，如(7)式：{
. . 0 Min z Cx Ax b S T x ≅ ≤ ≥ (7) 通常，多個目標很難同時得到最佳解，因此設法求出各目標最佳解，盡可能接近 相對最佳解，為此可以將目標函數模糊化，從而可得解模糊多目標線性規劃的模糊最 佳解，步驟如下：(李柏年, 2007；蔡登茂, 2001) 1. 求出每一個目標函數[ ]
， 1, 2, , r 1 0,1 n i ij j j z c x = =∑
i= L ，在(6)限制式下的最佳解zi∗。 2. 根據各目標的最佳解zi∗，確定各目標的伸縮指標d ii( =1, 2,L, )r 。3. 對每個目標zi構造模糊目標，建立隸屬度函數。 ) 4. 轉化為明確線性規劃問題，於是求解模糊多目標線性規劃的模糊最佳解問題就轉 化如(8)式： [ ] 1 1 1 2 ( 1, 2, , ) . . ( 1, 2, , 0,1 , , , 0 n ij j i i i j n hj j h j n Max z c x d z d i r S T a x b h m x x x λ λ λ ∗ = = = ⎧ + ≤ + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ≤ = ⎪ ⎪ ∈ ⎪ ≥ ⎩
∑
∑
L L L (8) 計算(8)式的最佳解為( ,x1 x2, ,xn,λ ) ∗ ∗ ∗ ∗ L ，則(5)模糊多目標線性規劃模式滿足(6)限制 式的模糊最佳解為(x1,x2, , n ∗ ∗ ∗ L x )，最佳解為Z=Cx∗。 本研究依據(8)式，所引用之解模糊多目標線性規劃模式如(9)式：(李柏年, 2007； 潘南飛等, 2003) [ ] (1) (1) 1 1 1 1 (1) , 2 1 1 (1) , 3 3 3 1 1 , , , (1) (2) . . [ ] [ ( )] ( ) 0 , , , , 0 , 0,1 ij n n n D ij i j I n nc i j n n ij i j i j i ij i j j i j ij ij i j i j M ax S T X X d Z d C k Y C m X T d Z d k Y d Z d X D Y X i j Y D d i j X X Y i j Z B λ λ λ λ λ ∗ ∗ = = ∗ = = ⎧ − + ≤ + ⎪ ⎪ + + + − + ≤ + ⎪ ⎪ ⎪ + ≤ + ⎪⎪ ⎨ + − − ≤ ∀ ∀ ⎪ ⎪ ≤ − ∀ ∀ ⎪ ≥ ∀ ∀ ⎪ ⎪ ∈ ≤ ⎩∑ ∑
∑ ∑
⎪ ⎪ 2 2 (9) 其中，λ(1)(輔助變數, auxiliary variable)為決策者對目標值之滿意度水準， 1 Z∗為目標函 數Z(1)的最佳解，Z2∗為目標函數Z(2)的最佳解，Z3∗為目標函數Z(3)的最佳解， 為目 標函數 1 d (1) Z 的伸縮指標， 為目標函數d2 Z(2)的伸縮指標， 為目標函數d3 Z(3)的伸縮指標。三、模糊多目標與限制式均模糊化的線性規劃模式
本研究考量模糊多目標線性規劃模式(Multiple fuzzy objective linear programming, MFOLP)不足之處，首先把專案總成本、總完工時間與總趕工成本三個極小化目標函 數與限制式均作模糊化，求解模糊多目標線性規劃的模糊最佳解之後，再針對三個極 小化目標函數加入交互作用方法作研究分析，發展一個適於專案管理之交互作用方法 所改良的模糊多目標線性規劃(MMFOLP)模式，最後再加入加權法，以求取改善目標 值之決策滿意度水準，進一步作改善，來解決模糊環境下多目標專案管理決策問題(請 參閱3-4 節)。
四、交互作用方法用在模糊多目標線性規劃模式
Jiménez et al.(2000)指出，要改善目標函數值以及限制式的滿意水準這兩個問 題，必須以交互作用方法來解決。最好的方法就是反映決策者的喜好來表達他們的自 然語言，建立一個對應語意不同的可行性程度(Zadeh, 1978)。 決策者經常有主觀上的喜好，其主要目的是在妥協中找出盡可能“好”的解，對此 模糊多目標規劃法提供“顯示決策者主觀喜好”的解決方案，將決策者對每個目標函數 的評估透過模糊集合的方式顯示出來，並轉換為隸屬函數以表現之。針對一個多目標 規劃問題，如(10)式：(Jiménez et al., 2007) 1 2 [ , , , ] . . 0 S L U Max J J J Ax b S T x x x x ≤ ⎧⎪ ≤ ≤ ⎨ ≥ ⎪⎩ L (10) 由(3-7)式可以歸結出以模糊多目標規劃法求解的步驟，其進行步驟說明如下：(Jiménez et al., 2007) 1. 步驟一：分別對單一目標求取最適解 * i J 與最不適解Ji −，來作為目標函數 i J 之隸 屬函數基準點的上、下限，如(11)式： * i i i i Max J J Min J J− = = (11) 其中， * i J 為目標i之理想解(期望的水準)；Ji−為目標 之非理想解(不能接受的水 準)。 i 當上、下限不符合需求時，參考最適解 * i J 與最不適解Ji −，用經驗法則定出較符 合實際需求之理想解 * i J 與非理想解Ji−，來作為目標函數Ji之隸屬函數基準點的 上、下限。 為所有目標函數理想解的集合，而* I I−為所有目標函數非理想解的集 合，如(12)式： * * * * 1 2 1 2 { , , , } { , , ,SS} I J J J I− J− J− J− = = LL (12) 2. 步驟二：訂定各目標隸屬函數之形式，如(13)式： * * * 1 ( , , ) {1, 2, , } 0 i i i i i i i i i J i i J J F J J J J J J i S J J μ − − − ⎧ ≥ ⎪ =⎨ ≤ ≤ ∈ ⎪ ≤ ⎩ L (13) 其中，F為任意描述目標滿意度變化之單調遞增隸屬函數。 再依據(13)式，計算每個解的相容性指數 ( 0( )) i J K Z α ，如(14)式：* 0 * ( ( )) i i i J i i J J K Z J J α − − = − (14) 3. 步驟三：定義整體性決策滿意度(μD)，以作為評估是否同時滿足各目標函數的依 據，如(15)式： 1 1 2 2 ( [ ], [ ], , [ ] S D T J J J J J JS ) μ = μ% μ% L μ% (15) 其中，T表示任何t-基準(t-norm)運算子。一般兩種最常用的 t-基準(t-norm)為 與 。 min product 4. 步驟四：採用「兩階段法-相乘」求解，如此可將多目標最適化的問題轉換為單 目標最適化的問題。 (1) 階段一：先以min運算子求出隸屬函數的下限，如(16)式： 1 2 1 * ( , , , ) ( , , ) . . 0 S i D J J J i i i J L U Max min F J J J Ax b S T x x x x μ μ μ μ μ μ − = = ⎧ = ⎪⎪ ≤ ⎨ ≤ ≤ ⎪ ≥ ⎪⎩ % % % % L (16) (2) 階段二：在隸屬函數的最低限制下，以 運算子求取隸屬函數的最大乘 積，以便獲得平均且獲得補償的隸屬函數最大值，使各目標得到最佳的妥協， 如(17)式： product 1 2 1 * ( , , ) . . 0 S i i J J J J i i i J L U Max F J J J S T Ax b x x x x μ μ μ μ μ μ − × × × ⎧ ≥ ⎪ = ⎪⎪ ≤ ⎨ ⎪ ≤ ≤ ⎪ ≥ ⎪⎩ % % % % % L (17) 5. 步驟五：當所得的解不滿意時，可回到步驟一，調整理想解與非理想解，再重做 一次步驟一到步驟五。 因此本研究所提出之模糊多目標與限制式均模糊化的線性規劃模式如(18)式：(修 改自Jiménez et al., 2007；修改自 Shan et al., 2009)
[ ] (1) 1 ( 2 ) , 1 1 ( 3 ) , 1 1 , , , ( 2 ) [ ] [ ( )] . . ( )(1 ) ( ) 2 2 , , , 0 , 0, 1 ij n n n D ij i j I n n c i j n n ij i j i j R L i i j j ij ij i j ij ij i j i j M in Z X X M in Z C k Y C m X T M in Z k Y S T p p X Y X T m T m i Y D d i j X X Y i j Z B α α α = = = = ⎧ ⎪ ⎪ ≅ − ⎪ ⎪ ≅ + + + − ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ≅ ⎪ ⎩ ⎧ − − ≤ −⎡ + − + − ⎤ ∀ ∀ ⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ≤ − ∀ ∀ ⎪ ≥ ∀ ∀ ⎨ ∈ ≤
∑ ∑
∑ ∑
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ , j (18) 求出(18)式之後，依據本節的觀念，計算每個解的相容性指數 ( 0( )) i J K Z α 以及每個 解的整體性能指標 ( 0( )) D Z μ α ，找出哪個α 的可行性程度具有最大隸屬度。找到之後， 在限制式中，α 代入最佳的可行性程度，並求出解模糊多目標線性規劃模式。 因此本研究所提出(α 代入最佳的可行性程度)之解模糊多目標線性規劃模式，也 就是本研究所謂的“改良的模糊多目標線性規劃模式”，如(19)式：(修改自 Shan et al., 2009；修改自李柏年, 2007；修改自潘南飛等, 2003) ( 2 ) ( 2 ) 1 1 1 1 ( 2 ) , 2 1 1 ( 2 ) , 3 3 3 1 1 , , , ( . . [ ] [ ( )] ( )(1 ) ( ) 2 2 , , , 0 , ij n n n D ij i j I n n c i j n n ij i j i j R L i i j j ij ij i j ij ij i j i j M a x S T X X d Z d C k Y C m X T d Z d k Y d Z d p p X Y X T m T m i Y D d i j X X Y i j λ λ λ λ α α λ ∗ ∗ = = ∗ = = − + ≤ + + + + − + ≤ + + ≤ + ⎡ ⎤ − − ≤ −⎢ + − + − ∀ ∀ ⎣ ≤ − ∀ ∀ ≥ ∀ ∀∑ ∑
∑ ∑
[ ] [ ] 2 ) ( 2 ) 0, 1 0, 1 Z B α ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∈ ⎪ ⎪ ∈ ⎪ ≤ ⎪ ⎪⎩ 2 2 , j ⎥ ⎦ (19) 其中，λ(2)(輔助變數, auxiliary variable)為決策者對目標值之滿意度水準。 最後，本研究再加入加權法於交互作用方法所改良的模糊多目標線性規劃 (MMFOLP)模式，在三個目標函數(專案總成本、總完工時間、總趕工成本)上以不同 權重W1、W2、W3代入作分析，找出哪個λ(3)具有最大隸屬度，以求取改善目標值之決 策滿意度水準λ(3)(輔助變數, auxiliary variable)(請參閱 3-5 節)。五、加權模糊多目標線性規劃模式
模糊多目標線性規劃模式的求解是依次進行的，為保證解的有效性，考慮將各層 次的模糊目標加權而得到加權模糊多目標線性規劃模式，權重可以是確定的或者是模陸、參考文獻
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