99 4 四技二專 數學 C 卷解析

99-4 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十九學年四技二專第四次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

99-4-C

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B

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1. 設D(x,y)，利用 AC 中點=BD中點 ∴ ) 2 4 , 2 3 ( ) 2 3 3 , 2 2 0 ( − − = +x +y ∴x=0−2−3=−5 4 4 3 3− − =− = y 故D(−5,−4) 同理AB中點 CD= 中點 ∴x=0+3+2=5，y=3+4+3=10，∴D(5,10) BC 中點=AD中點 ∴x=3−2−0=1，y=4−3−3=−2，∴D(1,−2) ∴D 可以是(−5,−4)、(5,10)及(1,−2) 2. 原式 ] ) 2 )( 6 ( 2 3 6 4 [ lim 6 − + − − − − = → x x x x x x 8 7 ) 2 )( 6 ( ) 1 )( 6 ( lim ) 2 )( 6 ( 2 3 ) 2 )( 4 ( lim 6 6 − + = + − = + − + − + − = → → x x x x x x x x x x x 3. ∵ ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ < < ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ > − < 在第二或四象限 在第二或三象限 α α α α α α 0 tan 0 sec 0 tan 0 sec 在第二象限 α ⇒ 4. 由根與係數關係： ⎩ ⎨ ⎧ − = ⋅ − = + 5 tan tan 2 tan tan β α β α 3 1 ) 5 ( 1 2 tan tan 1 tan tan ) tan( =− − − − = ⋅ − + = + ⇒ β α β α β α 5. 利用ΔABC面積=r⋅s，其中 10 2 9 6 5+ + ₌ = s 2 10 ) 9 10 )( 6 10 )( 5 10 ( 10⋅ − − − = = ΔABC面積 2 10 2 10 = ⋅ ⇒ = ⇒ r r 6. ∵ ，又 3 8 1 3 1 6 9− × + = ⇒ = － = 8=2 2 7. 由餘式定理： f(7)即為 ) 7 ( ) (x ÷ x− f 的餘式，再 由綜合除法：如右算式 故f(7)=−15 8. i a bi i i i i ₌− + _{= +} + + × − + 2 3 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 − = − ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = ⇒ a b b a 9. 由換底公式： ₂ 3 2 3 3 3 25 5 log 5 3 2 log 25 log 60 log 60 log = = × × a b a 2 1 2 5 log 2 5 log 3 log 2 log 2 3 3 3 3 + + ₌ + + = 10. 20 1 5 4 25 1 5 1 1 ) 5 1 ( ) 5 1 ( ) 5 1 ( ) 5 1 ( 2 3 2 2 = = − = + + =

∑

∞ = L L k k 11. ∵ 3 5 4 15 ) 4 ( 3 1 4 6 3 ) , ( 2 2_{+ −} = ⇒ − − = + − − ⇒ = m m L P d 2 5 5 15 4 5− =± ⇒ =− 或 − ⇒ m m 但(−2,m)在第二象限，故m=−5不合，則 2 5 = m 12. 點在直線的異側 則將點代入直線所得之值的乘積<0 將(3,−2)及(−5,3)代入直線得二者乘積為 0 ) 3 12 10 )( 3 8 6 ( − − − + − > 將(3,−2)及(−5,2)代入直線得二者乘積為 0 ) 3 8 10 )( 3 8 6 ( − − − + − > 將(3,−2)及(4,−1)代入直線得二者乘積為 0 ) 3 4 8 )( 3 8 6 ( − − − − < 將(3,−2)及(3,−1)代入直線得二者乘積為 0 ) 3 4 6 )( 3 8 6 ( − − − − > 13. 點在圓的內部，則將(p+ p6, −2)代入圓方程式中； 令其值<20 即(p+6−4)2+(p−2+6)2<20 0 6 20 ) 4 ( ) 2 ( + 2+ + 2< ⇒ 2+ < ⇒ p p p p 0 6 0 ) 6 ( + < ⇒− < < ⇒p p p 但 p 為整數，故p=−5,−4,−3,−2,−1，共 5 個 14. 經由配方得： 1 8 ) 3 ( 9 ) 1 ( 2 2 = − + + y x 則a=3，b= 8⇒c=1，∵中心(−1,3) ⇒焦點為(−1±c,3)=(−1±1,3)=(0,3)或(−2,3) 15. ∵ 4 sin cos cos sin 4 cot tan + = ⇒ + = θ θ θ θ θ θ

99-4 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 4 1 cos sin 4 cos sin 1 _{= ⇒ ⋅ =} ⋅ ⇒ θ θ θ θ 又 θ θ θ θ θ θ θ θ 2 _{2 2} 2_{2 2}2 2 sin cos cos sin sin 1 cos 1 csc sec + = + = + 16 ) cos (sin 1 2 = = θ θ 16. ∵a、b、c 為相異自然數，又14=1×2×7 可令a=1，b=2，c=7，故原式為： ) 7 )( 2 )( 1 ( 14 2 3_{− + − = − − −} x x x nx mx x 14 23 10 2 3_{− + −} =x x x 故m=10，n=23⇒m−n=−13 17. ∵31 9 3 31 3 (1) 2 2 L x x_{= = ⇒ =} ) 2 ( 3 279 3 27 279 3 3 L y y_{= = ⇒ =} 2 2 3 3 9 3 3 31 279 ) 1 ( ) 2 ( 2 3 2 3 = − ⇒ = ⇒ = ⇒ ÷ − x y x y x y 18. L₁： 3x+y+6=0⇒斜率m₁=tanα =− 3 ° = ⇒α 120 ；L₂：x−7=0⇒斜率不存在⇒β=90° 故α−β =120°−90°=30° 19. 由算幾不等式： 3 ₂ 2 1 2 1 3 2 2 1 2 1 b a a b a a × × ≥ + + b a b a 3 2 3 2 2 1 3 2 1 3 9 ≥ ⇒ ≥ ⇒ ，則a2b≤54 故a2b最大值為 54 20. 利用：(任意分法)−(乙一張皆未得)的重複排列 175 3 44− 4= = 21. 由 h h f h f h a f h a f a f h h ) 2 3 ( ) 3 ( lim ) ( ) ( lim ) ( ' 0 0 − − + − + = → → ： h f h f f h f h )] 3 ( ) 2 3 ( [ )] 3 ( ) 3 ( [ lim 0 − − − − + = → h f h f h f h f h h ) 3 ( ) 2 3 ( lim ) 3 ( ) 3 ( lim 0 0 − − − − + = → → ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3 ( lim ) 2 ( ) 3 ( ' 0 2 _h f h f f h − − − − − = → − 12 ) 3 ( ' 3 ) 3 ( ' 2 ) 3 ( ' + = = = f f f 22.

∫

=

∫

+

∫

4 2 2 2 0 2 4 0 2 ) ( ) ( ) (xdx x f xdx x f xdx f x 4 2 3 4 2 0 4 4 2 2 2 0 2 4 1 2 1 ) 3 ( 2xdx x x dx x x x x ⋅ + − = + − =

∫

∫

12 4 8 )] 8 4 ( ) 64 64 [( ) 0 8 ( − + − − − = + = = 23. (1) 百位數字和：百位數字可為 1、2、3、4，而每一 個百位數字皆形成4×3=12個三位數，故總和為 12000 12 100 ) 4 3 2 1 ( + + + × × = (2) 十位數字和：十位數字可為 0、1、2、3、4，除 了 0，每一個十位數字皆形成3×3=9個三位數，故總 和為(1+2+3+4)×10×9=900 (3) 個位數字和：個位數字可為 0、1、2、3、4，除 了 0，每一個個位數字皆形成3×3=9個三位數，故總 和為(1+2+3+4)×1×9=90，故總和為 12990 24. y=x2−4x 如右圖所示 在3≤x≤4， x x y= 2−4 在 x 軸下方 在4≤x≤5， x x y= 2−4 在 x 軸上方 故所圍面積為

∫

− x − xdx+

∫

x − xdx 5 4 2 4 3 2 ) 4 ( ) 4 ( 5 4 2 3 4 3 2 3 ) 2 3 1 ( ) 2 3 1 (− x + x + x − x = )] 32 3 64 ( ) 50 3 125 [( )] 18 9 ( ) 32 3 64 [(− + − − + + − − − = 4 50 9 2 32 3 125 3 128 = − − × + + − = 25. (1) 取到黑球： 60 36 5 3_{× =} 元 (2) 取到紅球： 80 32 5 2 = × 元 故期望值為36+32=68元