圓內接多邊形頂角的合分角正弦與餘弦函數值關係方程式(下)

圓內接多邊形頂角的合分角正弦

與餘弦函數值關係方程式

(下)

李輝濱

嘉 義 市 私 立 輔 仁 中 學 退 休 教 師 【(續 )科 學 教 育 月 刊 第 423 期 第 64 頁 之 後 】 2. 圓 內接 五 邊 形頂 角 的 合 分角 餘 弦 函 數值 關 係 方 程式 [2.1]. 展 示 圓 內接 五 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 函 數 值關 係 方 程 式 圖 16 圖 17 參 考 圖16.，取

n



5

並 根 據 歸 納 出 3 個 綜 合 法則 的 規 範 搜尋：由 法 則 [1]得 1 5 1

cos

V

V

A

項， 由 法 則[2] 得



14 5 4

cos

d

V





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



， 由 法 則[3] (3-1). 得 分 式 項 分 母 部 份 為 2 14 2 13 1 5

V

d

d

V

， 由 (3-2).得 分 子部 份 的 4 個組 合 模 式 ；[第 一 組 合 模式 ]裡 由

V

₅

V

₁乘 積 領 軍，此 模 式 下 有 (

n



4

)=5-4=1 種 情 況組 合，就 是 case 1.下 的 2 種 組 合，此 組 合 為

V

₅

V

₁ [

d

₁₃2+

d

₁₄2]。[第 二 組 合 模 式]裡 由

V

₅

V

₂乘 積 領 軍，此 模 式 下 有 (

n



4

)=1 種項 式 組 合， 此 組 合 為

V

₅

V

₂

V

₃

d

₁₄。[第 三 組 合 模 式]裡由

V

₁

V

₄乘 積 領 軍，此 模 式 下 有 (

n



4

)=1 種 項 式 組 合，此 組 合 為

V

₁

V

₄

V

₃

d

₁₃。[第 四 組 合 模 式]裡 由

V

₂

V

₄乘 積 引 領 的 單 一 項 為

V

₂

V

₄

d

₁₄ 13

d

。 將以 上 搜 尋 到的 所 有 項 式按 規 範 集 合起 來 ， 得 下式 ；

1 5 1

cos

V

V

A

=



14 5 4

cos

d

V





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



₂ 14 2 13 1 5 13 14 4 2 13 3 4 1 14 3 2 5 2 14 2 13 1 5

[

]

d

d

V

V

d

d

V

V

d

V

V

V

d

V

V

V

d

d

V

V











(3) 方 程 式 (3)式 為法 則 規 範 的圓 內 接 五 邊形 頂 角 的 合分 角 餘 弦 值關 係 方 程 式！ 檢 視 (3)式 的 毎一 個 別 項 式運 算 量 綱 都是 長 度 的 負 2 次 方 ！ [2.2]. 驗 證 證 明： 在 上 圖 17.中 ， 令 對角 線 長

A

₂

A

₄



d

₂₄； 見 上 圖17.， 先選 取 圓 內 接四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₄

A

₅， 並 引 用 方 程 式 (2)式 ， 得 1 5 1

cos

V

V

A

=



14 5 4

cos

d

V







1 14 2 3

)

cos(

V

d





2 14 1 5 4 24 1 5

d

V

V

V

d

V

V



， 再 選 取 圓 內 接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄， 得 1 14 2 3

)

cos(

V

d







13 14 3

cos

d

d





1 13 2

cos

V

d





₂ 13 1 14 3 2 1 14

d

V

d

V

V

V

d





， 代 入 前 式 ， 排 列 成 下 式 ； 1 5 1

cos

V

V

A

=



14 5 4

cos

d

V



13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





₂ 13 1 14 3 2 1 14

d

V

d

V

V

V

d





₂ 14 1 5 4 24 1 5

d

V

V

V

d

V

V





(3*) 這(3*) 式 的 末 項 裡 有

d

₂₄

V

₄的 乘 積 項 需 要 被 轉 換 ， 再 參 考 上 圖 17.的 圓 內 接 四 邊 形 4 3 2 1

A

A

A

A

， 引 用 托 勒 密 公 式 ， 得

d

₁₃

d

₂₄



V

₁

V

₃



V

₂

d

₁₄



13 14 2 3 1 24

d

d

V

V

V

d





， 則

V

₅

V

₁



d

₂₄

V

₄



V

₅

V

_{1 4} 13 14 2 3 1

_V

d

d

V

V

V







= 13 14 4 2 3 4 1 13 1 5

d

d

V

V

V

V

V

d

V

V





代 入(3*)式 ， 得 1 5 1

cos

V

V

A

=



14 5 4

cos

d

V



13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





₂ 13 1 14 3 2 1 14

d

V

d

V

V

V

d





13 2 14 1 5 14 4 2 3 4 1 13 1 5

d

d

V

V

d

V

V

V

V

V

d

V

V







=



14 5 4

cos

d

V





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



2 14 2 13 1 5 13 14 4 2 13 3 4 1 14 3 2 5 2 14 2 13 1 5

[

]

d

d

V

V

d

d

V

V

d

V

V

V

d

V

V

V

d

d

V

V











到 此 為 止 ， 已 完 成 證 明 方 程 式 (3)式 。其 等 號 右 側總 計 有

C

₂5



2



8

項 數。 3. 圓 內接 六 邊 形頂 角 的 合 分角 餘 弦 函 數值 關 係 方 程式 [3.1]. 展 示 圓 內接 六 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 函 數 值關 係 方 程 式

圖 18 參 考 圖18.，取

n



6

並 根 據 歸 納 出 3 個 綜 合 法則 的 規 範 搜尋：由 法 則 [1]得 1 6 1

cos

V

V

A

項， 由 法 則[2]得



15 6 5

cos

d

V





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



，由 法 則[3] (3-1).得分 式 項 分母 部 份 為 2 15 2 14 2 13 1 6

V

d

d

d

V

，由 (3-2).得 分 子部 份 的 4 個 組 合模 式；[第 一 組 合 模式 ]裡 由

V

₆

V

₁乘 積 領 軍，此 模 式 下 有 (

n



4

)=6-4=2 種情 況 組 合，就 是 包 括：case 1.下 的(

n



3

)=6-3=3 項 組 合，相 加 的 3 項 組 合 式 為

V

₆

V

₁

(

d

₁₃2

d

₁₄2



d

₁₄2

d

₁₅2



d

₁₅2

d

₁₃2)。case 2.的 (

n



5

)=6-5=1 乘積 項 式 為

V

₆

V

₁

V

₃

V

₄

d

₁₃

d

₁₅ 。 總 計 有 4 項 式 。 [第 二 組 合 模 式]裡 由

V

₆

V

₂乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)=2 個 項 式 組 合 ， 此 組 合 為 2 6

V

V

[

V

₃

d

₁₄

d

₁₅2+

V

₄

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅] 。[第 三 組 合 模 式]裡 由

V

₁

V

₅乘 積 領 軍，此 模 式 下 有 (

n



4

)=2 個項 式 組 合，此 組 合 為

V

₁

V

₅[

V

₄

d

₁₄

d

₁₃2+

V

₃

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅] 。[第四 組 合 模 式 ]裡 由

V

₂

V

₅乘 積 引 領 的 單 一 項 式 為

V

₂

V

₅

d

₁₅

d

₁₃

d

142 。現 在，將 以 上 搜 尋 到的 所 有 項 式 按 規 範 集 合 起 來 如 下 ； 1 6 1

cos

V

V

A

=



15 6 5

cos

d

V





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





{

)

(

1

2 15 14 13 1 6

V

d

d

d

V

V

6

V

1

[(



2 14 2 13

d

d

2



15 2 14

d

d

d

₁₅2

d

₁₃2)+

V

₃

V

₄

d

₁₃

d

₁₅ ] +

V

₆

V

₂



[

V

₃

d

₁₄

d

₁₅2+

V

₄

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅] +

V

₁

V

₅[

V

₄

d

₁₄

d

₁₃2+

V

₃

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅]+

V

₂

V

₅

d

₁₅

d

₁₃

d

₁₄2} (4) 方 程 式 (4)式 為法 則 規 範 的圓 內 接 六 邊形 頂 角 的 合分 角 餘 弦 值關 係 方 程 式！

方 程 式 (4)式 其公 式 等 號 右側 總 計 有

C

₂6



2



13

項數 目 。 [3.2]. 驗 證 證 明： 略 。 請 參考 九 邊 形 的證 明 。 4. 圓 內接 七 邊 形頂 角 的 合 分角 餘 弦 函 數值 關 係 方 程式 [4.1]. 展 示 圓 內接 七 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 函 數 值關 係 方 程 式 圖 19. 參 考 圖19.，取

n



7

並 根 據 歸 納 出3 個 綜 合 法則 的 規 範 搜尋：由 法 則 [1]得 1 7 1

cos

V

V

A

項， 由 法 則[2]得



16 7 6

cos

d

V





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



， 由 法 則[3] (3-1).得 分 式 項 分 母 部 份 為

V

₇

V

₁

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2， 由 (3-2).得 分 子部 份 的 4 個組 合 模 式 ；[第 一 組 合 模 式]裡由

V

₇

V

₁乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)=7-4=3 種情 況 組 合， 就 是 包 括： case 1.下 的 (

n



3

)=7-3=4 項 組合 ， 相 加 的 4 項組 合 式為

V

₇

V

₁

[(

d

13

d

14

d

15

)

2



(

)

(

2 16 15 14

d

d



d

2 13 16 15

d

d

)

d

+

(

d

₁₆

d

₁₃

d

₁₄

)

2

]

。 case 2. 的 (

n



5

)=7-5=2 乘 積 項 式 為

V

₇

V

₁

V

₃

V

₄

d

₁₃ 2 16 15

d

d

+

V

₇

V

₁

V

₃

V

₅

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆ 。 case 3.的 (

n



6

)=7-6=1 乘 積項 式 為

V

₇

V

₁

V

₄

V

₅

d

₁₄ 16

d

d

132 。 此 [第 一 組 合 模 式] 裡總 計 有 7 項 式。 [第 二 組 合 模 式]裡 由

V

₇

V

₂乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)=3 個 項 式 組 合 ， 此 組 合 為

2 7

V

V

[

V

₃

d

₁₄

( d

d

15 16

)

2+

V

4

d

13

d

14 2 16 15

d

d

+

V

₅

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₃

d

₁₄2] 。 [第 三 組 合 模 式]裡 由 6 1

V

V

乘 積 領 軍 ， 下 有 (

n



4

)=3 個 項 式 組 合 ， 此 組 合 為

V

₁

V

₆[

V

₅

d

₁₅

(

d

₁₃

d

₁₄

)

2 + 16 15 14 2 13 4

d

d

d

d

V

+

V

₃

d

₁₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅2] 。 [第 四 組 合 模 式 ]裡 由

V

₂

V

₆乘 積 引 領 的 單 一 項 式 為

V

₂

V

₆

d

₁₆

d

₁₃

(

d

₁₄

d

₁₅

)

2 。將 以 上 搜尋 到 的 所 有項 式 按 規 範集 合 起 來 如下 ； 1 7 1

cos

V

V

A

=



16 7 6

cos

d

V





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





{

)

(

1

2 16 15 14 13 1 7

V

d

d

d

d

V

V

7

V

1

[(



2 15 14 13

d

d

)

d

(

)

2

(

16 15 14

d

d



d

2 13 16 15

d

d

)

d

+

(

d

₁₆

d

₁₃

d

₁₄

)

2



(

V

₃

V

₄

d

₁₃

d

₁₅

d

₁₆2+

V

₃

V

₅

d

₁₃ 16 15 14

d

d

d

)+

V

₄

V

₅

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₃2] +

V

₇

V

₂[

V

₃

d

₁₄

( d

d

15 16

)

2+

V

4

d

13

d

14 2 16 15

d

d

+ 5

V

d

₁₅

d

₁₆

d

13

d

142] +

V

1

V

6[ 2 14 13 15 5

d

(

d

d

)

V

+

V

₄

d

₁₃2

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆+

V

₃

d

₁₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅2] +

V

₂

V

₆

d

₁₆

d

₁₃

(

d

14

d

15

)

2} (5) 方 程 式 (5)式 為法 則 規 範 的圓 內 接 七 邊形 頂 角 的 合分 角 餘 弦 值關 係 方 程 式！ 方 程 式 (5)式 其公 式 等 號 右側 總 計 有

C

₂7



2



19

項數 目 。 [4.2]. 驗 證 證 明： 略 。 請 參考 九 邊 形 的證 明 。 5. 圓 內接 八 邊 形頂 角 的 合 分角 餘 弦 函 數值 關 係 方 程式 [5.1]. 展 示 圓 內接 八 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 函 數 值關 係 方 程 式 同 理 ， 參 考 圖 20.， 取

n



8

並 根 據 歸 納 出3 個 綜 合 法 則的 規 範 搜 尋， 得 下 式 ； 圖 20

1 8 1

cos

V

V

A

=



17 8 7

cos

d

V





16 17 6

cos

d

d





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





₂ 17 16 15 14 13 1 8

(

)

1

d

d

d

d

d

V

V

{

V

₈

V

₁

[(

d

13

d

14

d

15

d

16

)

2



(

)

(

2 17 16 15 14

d

d

d



d

2 13 17 16 15

d

d

d

)

d

+

(

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₃

d

₁₄

)

2





2 15 14 13 17

)

(

d

d

d

d

V

₃

V

₄

d

₁₃ 2 17 16 15

(

d

d

)

d

+

V

₃

V

₅

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇2+

V

₃

V

₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₅2+ 5 4

V

V

d

₁₄

d

₁₆

(

d

₁₃

d

₁₇

)

2+

V

₄

V

₆

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₃2+

V

₅

V

₆

d

₁₅

d

₁₇

(

d

₁₃

d

₁₄

)

2] + 2 8

V

V

[

V

₃

d

₁₄

(

d

15

d

16

d

17

)

2+

V

4

d

13

d

14 2 17 16 15

(

d

d

)

d

+

V

₅

d

₁₃

d

₁₅

d

₁₆

(

d

₁₄

d

₁₇

)

2+ 6

V

d

₁₃

d

₁₆

d

₁₇

(

d

₁₄

d

₁₅

)

2] +

V

₁

V

₇[

V

₆

d

₁₆

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

)

2+

V

₅

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

(

d

₁₃

d

₁₄

)

2+ 6

V

d

₁₃

d

₁₆

d

17

(

d

14

d

15

)

2] +

V

1

V

7[ 2 16 14 13 16 6

d

(

d

d

d

)

V

+

V

₅

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

(

d

₁₃

d

₁₄

)

2+ 2 16 13 17 15 14 4

d

d

d

(

d

d

)

V

+

V

₃

d

₁₇

d

₁₃

d

₁₄

(

d

₁₅

d

₁₆

)

2]+

V

₂

V

₇

d

₁₇

d

₁₃

(

d

14

d

15

d

16

)

2} (6) 方 程 式 (6)式 為法 則 規 範 的圓 內 接 八 邊形 頂 角 的 合分 角 餘 弦 值關 係 方 程 式！ 方 程 式 (6)式 其公 式 等 號 右側 總 計 有

C

₂8



2



26

項數 目 。 [5.2]. 驗 證 證 明： 略 。 請 參考 九 邊 形 的證 明 。 6. 圓 內接 九 邊 形頂 角 的 合 分角 餘 弦 函 數值 關 係 方 程式 [6.1]. 展 示 圓 內接 九 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 函 數 值關 係 方 程 式 圖 21. 參 考 圖21.， 取

n



9

並 根 據 3 個 綜 合法 則 的規 範 搜 尋 ：由法 則 [1]得 1 9 1

cos

V

V

A

項 ， 由 法 則[2]得



18 9 8

cos

d

V





17 18 7

cos

d

d





16 17 6

cos

d

d





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



，由 法 則[3] (3-1).得分 式 項 分母 部 份 為

V

₉

V

₁

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2，由 (3-2).得 分子 部 份 的 4 個 組 合 模 式；[第 一 組 合 模 式]裡 由

V

₉

V

₁乘 積 領 軍，此 模 式 下 有 (

n



4

)=9-4=5 種 情 況組 合，

就 是 包 括 ：case 1.下的 (

n



3

)=9-3=6 項 組 合 ，相 加 的 6 項 組 合式 為



1 9

V

V

( 172 2 16 2 15 2 14 2 13

d

d

d

d

d

+

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2 +

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2

d

₁₃2 + 2 14 2 13 2 18 2 17 2 16

d

d

d

d

d

+

d

₁₇2

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2+

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2)。 case 2.的 (

n



5

)=9-5=4 乘 積 項 式 相 加 為

V

₉

V

₁



(

V

₃

V

₄

d

₁₃

d

₁₅



d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₃

V

₅

d

₁₃ 14

d

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₃

V

₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₇



d

₁₈2

d

₁₅2+

V

₃

V

₇

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₅2

d

₁₆2)。 case 3. 的 (

n



6

)=9-6=3 乘 積 項 式 相 加 為

V

₉

V

₁



(

V

₄

V

₅

d

₁₄

d

₁₆ 182 2 17

d

d

+

V

₄

V

₆

d

₁₄

d

₁₅ 2 13 2 18 17 16

d

d

d

d

+

V

₄

V

₇

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₆2)。 case 4.的 (

n



7

)= 9-7= 2 乘積 項 式相 加 為

V

₉

V

₁



(

V

₅

V

₆

d

₁₅

d

₁₇

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2+

V

₅

V

₇

d

₁₅ 2 14 2 13 18 17 16

d

d

d

d

d

)。 case 5.的 單 一 乘積 項 式 為

V

₉

V

₁

V

₆

V

₇

d

₁₆

d

₁₈ 152 2 14 2 13

d

d

d

。此 [第 一 組合 模 式 ] 裡總 計 16 項 式 。 [第 二 組 合 模 式]裡 由

V

₉

V

₂乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)=5 個 項 式 組 合 ， 此 組 合 為 2 9

V

V

[

V

₃

d

₁₄

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₄

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₅

d

₁₃

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇2

d

₁₈2

d

₁₄2+

V

₆ 13

d

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈2

d

₁₄2

d

₁₅2+

V

₇

d

₁₃

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2] 。 [第 三 組 合 模 式]裡 由

V

₁

V

₈乘 積 領 軍 ， 此 模 式 下 有 (

n



4

)=5 個 項 式 組 合 ， 此 組 合 為

V

₁

V

₈[

V

₇

d

₁₇

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2+ 2 15 2 14 2 13 18 17 16 6

d

d

d

d

d

d

V

+

V

₅

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₇2 +

V

₄

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₆2

d

₁₇2 + 2 17 2 16 2 15 18 14 13 3

d

d

d

d

d

d

V

] 。 [第 四 組 合模 式 ]裡 由

V

₂

V

₈乘 積 引 領 的 單 一 項 式 為 8 2

V

V

d

₁₈

d

₁₃

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2 。 將以 上 搜 尋 到的 所 有 項 式按 規 範 集 合起 來 如 下 ；

1 9 1

cos

V

V

A

=



18 9 8

cos

d

V





17 18 7

cos

d

d





16 17 6

cos

d

d





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





{

)

(

1

2 18 17 16 15 14 13 1 9

V

d

d

d

d

d

d

V

V

9

V

1



[( 2 17 2 16 2 15 2 14 2 13

d

d

d

d

d

+

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2+ 2 13 2 18 2 17 2 16 2 15

d

d

d

d

d

+

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2+

d

₁₇2

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2+

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2) +(

V

₃

V

₄

d

₁₃

d

₁₅



d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₃

V

₅

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₃

V

₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈2

d

₁₅2+ 7 3

V

V

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₅2

d

₁₆2) + (

V

₄

V

₅

d

₁₄

d

₁₆

d

₁₇2

d

₁₈2+

V

₄

V

₆

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈2

d

₁₃2+ 7 4

V

V

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₆2) + (

V

₅

V

₆

d

₁₅

d

₁₇

d

₁₈2

d

₁₃2

d

₁₄2+

V

₅

V

₇

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₄2) + 7 6

V

V

d

₁₆

d

₁₈ 152 2 14 2 13

d

d

d

] +

V

₉

V

₂ [

V

₃

d

₁₄ 182 2 17 2 16 2 15

d

d

d

d

+

V

₄

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆2

d

₁₇2

d

₁₈2+ 5

V

d

₁₃ 142 2 18 2 17 16 15

d

d

d

d

d

+

V

₆

d

₁₃

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈2

d

₁₄2

d

₁₅2+

V

₇

d

₁₃

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2] + 8 1

V

V

[

V

₇

d

₁₇

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2+

V

₆

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₅2+

V

₅

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₈

d

₁₃2

d

₁₄2

d

₁₇2+ 2 17 2 16 2 13 18 15 14 4

d

d

d

d

d

d

V

+

V

₃

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₈

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2] +

V

₂

V

₈

d

₁₈

d

₁₃

d

₁₄2

d

₁₅2

d

₁₆2

d

₁₇2} (7) 方 程 式 (7)式 為法 則 規 範 的圓 內 接 九 邊形 頂 角 的 合分 角 餘 弦 值關 係 方 程 式！ 檢 視 (7)式 的 毎一 個 別 項 式運 算 量 綱 都是 長 度 的 負 2 次 方 ！ 方 程 式 (7)式 其公 式 等 號 右側 總 計 有

C

₂9



2



34

項數 目 。 [6.2]. 驗 證 證 明： 6.2a). 先 證 明 ：圓 內 接

n

邉 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 (L1)式 。 i. 對 圓內 接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄言 ， 有 引 理 1.的 托 勒 密公 式 ：

d

₂₄

d

₁₃=

V

₂

V

₄



V

₃

V

₁，

由 引 理2.知

V

₂



2

R

sin



₂，

V

₃



2

R

sin



₃，

d

₂₄



2

R

sin

A

₁， 代 入 公 式 化 簡



d

₁₃

sin A

₁



V

₁

sin



₃



V

₄

sin



₂



1 4 1

sin

V

V

A

13 4 3

sin

d

V





1 13 2

sin

V

d





(8) 方 程 式 (8)式 就是 圓 內 接 四邊 形 頂 角 的合 分 角 正 弦函 數 值 關 係方 程 式 ！

方 程 式 (8)式 比 之 於 方 程 式 (2)式 的 餘 弦 值 方 程 式 更 要 簡 潔 漂 亮 得 多 ！ 兩 者 的 差 異 性 很 大 ， (2)式 多出 了 這 一 項； ₂ 13 1 4 3 2 1 4

d

V

V

V

V

V

V





。 ii. 對 圓內 接 五 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅言 ， 見 下 圖 22.與 23.， 應用 (8)式 可得 圖22. 圖 23 1 5 1

sin

V

V

A

14 5 4

sin

d

V





1 14 2 3

)

sin(

V

d









= 14 5 4

sin

d

V



+ 13 14 3

sin

d

d



1 13 2

sin

V

d





(9) 方 程 式 (9)式 就是 圓 內 接 五邊 形 頂 角 的合 分 角 正 弦函 數 值 關 係方 程 式 ！ 方 程 式 (9)式 也比 方 程 式 (3)式 的 餘 弦值 方 程 式 更要 簡 潔 漂 亮許 多 ！ iii. 繼 續依 樣 推 演 圓內 接 六 邊 形、 七 邊 形 、八 邊 形 、 … … … 直 到

n

邊 形 ； iv. 對 半徑

R

的 圓 內 接

n

邉 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄



A

_n2

A

_n1

A

_n言 ， 見 下 圖 24， 圖 24.

應 用 (8)式 可 得 1 1

sin

V

V

A

n 1( 1) 1

sin

 



n n n

d

V



1 ) 1 ( 1 2 3 3 2

)

sin(

V

d

_n n n   





















= ) 1 ( 1 1

sin

  n n n

d

V



+ ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2

sin

   n n n

d

d



+ 1 ) 2 ( 1 2 3 4 3

)

sin(

V

d

_n n n   

















_

= … … … … =



  ) 1 ( 1 1

sin

n n n

d

V





   ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 2

sin

n n n

d

d





   ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 3

sin

n n n

d

d



… +



14 15 4

sin

d

d





13 14 3

sin

d

d



1 13 2

sin

V

d



(L1) 圓 內 接

n

邉 形 頂 角 的 合 分 角 正 弦 函 數 值 關 係 方 程 式 (L1)式 敘 述 證明 完 成 。 方 程 式 (L1)式 比 之 於 方 程 式 (1)式 的 餘 弦 值 方 程 式 更 要 簡 潔 漂 亮 對 稱 ！ 兩 者 的 差 異 性 非 常 驚 人 。 而 兩 者 毎 一 個 別 項 式 的 量 綱 都 是 長 度 的 負 2 次 方！ 6.2b). 證 明 圓 內接 九 邊 形 頂角 的 合 分 角餘 弦 值 關 係方 程 式 (7)式 ： 見 圖 25.， 圖 25 圖 26 (b.1). 選 取 圓 內接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₈

A

₉， 引 用 方 程 式 (2)式 得 餘弦 值 關 係 方程 式 ； 1 9 1

cos

V

V

A

18 9 8

cos

d

V





1 18 2 3 6 7

)

cos(

V

d





















₂ 18 1 9 8 28 1 9

d

V

V

V

d

V

V





，再 選 取 圓 內 接 四 邊 形 8 7 2 1

A

A

A

A

， 圖 26.， 得











1 18 2 3 6 7

)

cos(

V

d









_

17 18 7

cos

d

d



+ 1 17 2 3 6

)

cos(

V

d







_





2 17 1 18 7 27 1 18

d

V

d

V

d

V

d





， 代 入 前 式 ， 得 1 9 1

cos

V

V

A

18 9 8

cos

d

V





+ 17 18 7

cos

d

d



+ 1 17 2 3 6

)

cos(

V

d







_





2 18 1 9 8 28 1 9

d

V

V

V

d

V

V





₂ 17 1 18 7 27 1 18

d

V

d

V

d

V

d





。 (b.2). 繼 續 這 同樣 的 推 演 運算 ， … … … ， 最 後 得下 列 方 程 式 (7.1)式 ； 1 9 1

cos

V

V

A

18 9 8

cos

d

V





+ 17 18 7

cos

d

d



+



16 17 6

cos

d

d





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d



2 18 1 9 8 28 1 9

d

V

V

V

d

V

V





2 17 1 18 7 27 1 18

d

V

d

V

d

V

d





₂ 16 1 17 6 26 1 17

d

V

d

V

d

V

d





₂ 15 1 16 5 25 1 16

d

V

d

V

d

V

d





₂ 14 1 15 4 24 1 15

d

V

d

V

d

V

d





₂ 13 1 14 3 2 1 14

d

V

d

V

V

V

d







1 9 1

cos

V

V

A

18 9 8

cos

d

V





+ 17 18 7

cos

d

d



+



16 17 6

cos

d

d





15 16 5

cos

d

d





14 15 4

cos

d

d





13 14 3

cos

d

d



1 13 2

cos

V

d





{

)

(

1

2 18 17 16 15 14 13 1 9

V

d

d

d

d

d

d

V

( 2 17 16 15 14 13 8 28 1 9

V

d

V

)(

d

d

d

d

d

)

V



+

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

)

2

d

₁₈

V

₉



)

(

d

₁₈

V

₁



d

₂₇

V

₇ +

(

d

₁₇

V

₁



d

₂₆

V

₆

)

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₈

)

2

d

₁₇

V

₉ +

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈

)

2

d

₁₆

V

₉



)

(

d

₁₆

V

₁



d

₂₅

V

₅ +

(

d

₁₅

V

₁



d

₂₄

V

₄

)

(

d

₁₃

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈

)

2

d

₁₅

V

₉ + 14 9



2 18 17 16 15

)

(

d

d

d

d

d

V

)

(

d

₁₄

V

₁



V

₂

V

₃ } (7.1) (b.3). 在 這 (7.1)式 中 請 注 意 末 項 最 大 分 式 項 的 分 子 部 份 ， 令 此 分 子 部 份 的 所 有 項 式 組 合 為 N； 經 展 開 運 算 後 ， 得 N =

V

₉

V

₁

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

)

2+

d

₂₈

V

₈

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

)

2+ 1 9

V

V

2 16 15 14 13 18

)

(

d

d

d

d

d

+

V

₉

V

₇

d

₂₇

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

)

2

d

₁₈+

V

₉

V

₁

(

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

)

2+ 26 6 9

V

d

V

2 ₁₇ 18 15 14 13

)

(

d

d

d

d

d

+

V

₉

V

₁

(

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈

d

₁₃

d

₁₄

)

2+

V

₉

V

₅

d

₂₅

(

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈

)

2

d

₁₆+

V

₉

V

₁ 2 13 18 17 16 15

)

(

d

d

d

d

d

+

V

₉

V

₄

d

₂₄ 15 2 18 17 16 13

)

(

d

d

d

d

d

+

V

₉

V

₁

(

d

14

d

15

d

16

d

17

d

18

)

2 +

V

9

V

2

V

3

d

14 2 18 17 16 15

)

(

d

d

d

d

。 在 N 的 12 項 式 中， 位 於 第 2、 第 4、 第 6、 第 8、 第 10 項 處 看 到 5 個 特 別 的乘 積 成 份 ；

d

₂₈

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇，

d

₂₇

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆，

d

₂₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅， 14 13 25

d

d

d

，

d

₂₄

d

₁₃ 。 因

d

₂₈,

d

₂₇,

d

₂₆,

d

₂₅,

d

₂₄這 5 個 長 度 不 是給 定 的 已 知量，要 被 轉 換 成 已 知 量 ， 接 下 來 的 敘 述 導 證 過 程 就 是 要 做 轉 換 推 演 ；

圖 27. 圖 28. i. 見 圖 27.， 由 四邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄可 得 出 ；

d

₂₄

d

₁₃=

V

₂

d

₁₄



V

₃

V

₁ (7.1.1) ii. 見 圖 28，取

n



5

， 由 五 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅及 引 理3.可 得 出； 1 15 2 1 5

sin

V

d

A

A

A





14 15 4

sin

d

d



+ 13 14 3

sin

d

d



1 13 2

sin

V

d





， 再 由 引 理 2.得



2 2

sin



V



3 3

sin



V

2 1 5 25 4 4

sin

2

sin

A

A

A

d

R

V











15 1 25

V

d

d



14 15 4

d

d

V

+ 13 14 3

d

d

V

1 13 2

V

d

V





d

₂₅

d

₁₃

d

₁₄=

V

₄

V

₁

d

₁₃



V

₃

V

₁

d

₁₅+

V

₂

d

₁₄

d

₁₅ (7.1.2) 圖 29 圖.30 iii. 見 圖 29.， 取

n



6

， 由 六 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆及 引 理 3.可 得出 ； 1 16 2 1 6

sin

V

d

A

A

A





15 16 5

sin

d

d



+ 14 15 4

sin

d

d



+ 13 14 3

sin

d

d



1 13 2

sin

V

d





，再 由 引 理 2.得



2 2

sin



V



3 3

sin



V

2 1 6 26 5 5 4 4

sin

2

sin

sin

A

A

A

d

R

V

V















1 16 26

V

d

d



15 16 5

d

d

V

+ 14 15 4

d

d

V

+ 13 14 3

d

d

V

1 13 2

V

d

V





d

₂₆

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅=

V

₅

V

₁

d

₁₃

d

₁₄



V

₄

V

₁

d

₁₃

d

₁₆+

V

₃

V

₁

d

₁₅

d

₁₆+

V

₂

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆ (7.1.3) iv. 見 圖 29.，取

n



7

， 由 七 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇及 引 理3.與 引 理 2.可 得 出 ；



1 17 27

V

d

d



16 17 6

d

d

V

+ 15 16 5

d

d

V

+ 14 15 4

d

d

V

+ 13 14 3

d

d

V

1 13 2

V

d

V





16 15 14 13 27

d

d

d

d

d

=

V

₆

V

₁

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅



V

₅

V

₁

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇



V

₄

V

₁

d

₁₃

d

₁₆

d

₁₇+

V

₃

V

₁

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇+

V

₂

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇ (7.1.4) v. 見 圖 30.取

n



8

， 由 八 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈及 引 理3.與 引 理 2.可 得 出 ；



1 18 28

V

d

d



17 18 7

d

d

V

+ 16 17 6

d

d

V

+ 15 16 5

d

d

V

+ 14 15 4

d

d

V

+ 13 14 3

d

d

V

1 13 2

V

d

V





17 16 15 14 13 28

d

d

d

d

d

d

=

V

₇

V

₁

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆



V

₆

V

₁

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₈



V

₅

V

₁

d

₁₃

d

₁₄

d

₁₇

d

₁₈



V

₄

V

₁

d

₁₃

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈+

V

₃

V

₁

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈+

V

₂

d

₁₄

d

₁₅

d

₁₆

d

₁₇

d

₁₈ (7.1.5) (b.4). 轉 換 完 成。 將(7.1.5)式 、(7.1.4)式 、(7.1.3)式、 (7.1.2)式 、(7.1.1)式 依序 代入 N 的 各 對 應 項 式 中 ， 再 運 算 組 合 ， 移 項 重 整 ， 按 順 序 排 列 好 ， 再 代 入 (7.1)式 中 末 項 最 大 分 式 項 的 分 子 部 份 ， 再 組 合 、 整 理 、 排 列 ， 最 後 即 得 證 出 (7)式 。 7. 圓 內 接 十 邊 形 以 後 (

n



10

)的 所 有 多 邊 形 都 能 仿 效 此 九 邊 形 的 驗 證 過 程 被 完 整 無 瑕 地 證 明 出 來 ， 縱 然 公 式 項 式 極 其 龐 大 ， 也 必 整 齊 規 則 有 序 地 被 排 列 出 來 ！

參、結論

1. 上 述全 文 證 明 出的 結 果 顯 示正 弦 值 與 餘弦 值 關 係 方程 式 差 異 性極 大 無 比，最 鮮 明 差 異 就 是 餘 弦 值 關 係 方 程 式 增 多 出 一 巨 大 的 非 角 度 分 式 項 ；雖 然 多 項 繁 複 ，卻 也 能 有 規 律 地 被 逐 一 整 合、 完 美 歸 納 出 正 確 方 程 式 來 。本 文 也 因 此 得 到 兩 者 的 延 伸 推 廣 一 般 化 方

程 式 (L1)式 與 (1)式 ， 使 得多 邊 形 領 域裡 多 出 2 組 方 程式 。 2. 在 推理 演 繹 證 明過 程 中，須 注 意到 並 掌握 任 一 項 式的 運 算 總 量綱 概 念；巨 大 分式 項 的 分 子 內 任 何 單 一 項 的 運 算 量 綱 都 是 長 度 的 (

2

n



6

)次 方 ！ 而 分 母 的 運 算 量 綱 是 長 度 的 (

2

n



4

)次 方，組 合起 來 的 運 算總 量 綱 就 成為 負 2 次 方！ 有 量 綱 概念 在 演 算 歸納 過 程 中 始 能 推 理 搜 尋 到 毎 一 項 式 的 正 確 表 示 式 。 \ 3. 方 程式 (8)式 與方 程 式 (2)式 和托 勒 密 公式 都 是 最 基本 公 式，以 此 可適 度 地擴 充 推 廣 到 一 般 化 方 程 式 (L1)式 與 (1)式。所 以，(L1)式 與 (1)式必 涵 蓋 統 一了(8)式 與 (2)式 和 托 勒 密 公 式 ， 使 它 們 都 成 為 特 例 。 4. 原 本多 邊 形 裡 有遠 古 著 名 的圓 內 接 四 邊形 托 勒 密 公式，而 本 文推 證 出 的 一般 化 方 程 式 (L1)式 與 (1)式 及 (8)式 與 (2)式 更 是 豐 富 了 圓 內 接 多 邊 形 多 樣 化 內 涵 ， 再 為 多 邊 形 邊 長 與 角 度 關 係 補 進 兩 塊 拼 圖 ， 在 處 置 有 關 多 邊 形 問 題 時 ， 增 闢 了 多 個 思 考 引 證 路 線 。 多 邊 形 領 域 裡 潛 藏 的 內 涵 豐 盛 寬 廣 ， 有 待 挖 掘 探 索 ， 本 文 為 自 我 發 想 的 創 作 ， 期 盼 在 數 學 世 界 的 發 展 裡 能 讓 多 邊 形 的 星 空 多 一 點 燦 爛 ！

參考文獻

李 輝 濱 ， 平 面 凸 七 邊 形 內 中 央 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式 ， 科 學 教 育 月 刊 417 期 ， 2019 年 4 月 出 版 發 行 。 李 輝 濱，平 面 凸 七 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 一 般 化 方 程 式，科 學 教 育 月 刊 413 期 ， 31-50， 2018 年 10 月 出 版 發 行 。 李 輝 濱 ， 圓 內 接 奇 數 邉 數 多 邉 形 的 正 弦 定 理 ， 數 學 傳 播 季 刊 ，148 期 ， 2013 年 12 月 。 李 輝 濱，預 測 與 驗 證 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式，科 學 教 育 月 刊，398、399 期，2017 年 5、6 月 出 版 發 行 。 林 倉 億 數學 歸 納 法 專輯 ， HPM 通 訊 第 八 卷 第 二 、 三 期 ，2005 年 3 月 。 蔡 聰 明 ， 數 學 拾 貝---星 空 燦 爛 的 數 學 ， 2000，三 民 書 局 。 林 聰 源 ， 數 學 史---古 典 篇 ， 1995，凡 異 出 版 社。 項 武 義 ， 基 礎 幾 何 學 ，2011， 五 南 圖書 出 版 公 司。 項 武 義 ， 基 礎 分 析 學 ，2012， 五 南 圖書 出 版 公 司。

E.W. Hobson : A treatise on plane and Advanced trigonometry, Dover , 1957 . Z.A. Melzek : Invitation to geometry, John Wiley and Sons , 1983 .