4 微分的應用

4 ^{微分的應用}

4.5 _{函數作圖的要點整理}

函數曲線的作圖要點

函數曲線的作圖要點

在了解函數的一階與二階導數對函數圖形的影響以後，我們 便可以用來描繪函數圖形，以下是整理函數圖形作圖的要點。

注意到實際上我們可能遇到不同種類的函數，所需要的工具 也可能不一樣，也不一定能夠繪製的非常精準，只能描述出 大概的走向。

(1) 確認函數的定義域、值域

如果函數是由基本函數所組成，至少需要注意：分式函 數分母會等於 0 的地方、根式與對數函數在根號對數內不能 有負值等等；另一方面函數的值域需要注意：正餘弦函數的

函數曲線的作圖要點

(2) 與參考的座標軸交點

有些情況我們需要知道在特定參考時間點的數值。

與 y 軸的交點便是 (0,f(0)) 需要計算 f(0) 。

與 x 軸交點便要求解 y = f(x) = 0 的點，但有時候不一定 能夠直接解，需要勘根。

(3) 函數的對稱性

(a) 若在定義域中有 f(–x) = f(x) ，則表示 f 是偶函數，其函 數圖形會對 y 軸對稱。

函數曲線的作圖要點

在這個情況下我們便只需要知道 x>0 的圖形即可得知整個實 數上的函數圖形。

例如 y = x², y = x⁴, y = |x| 以及 y = cos x ，這些都是偶函數。

偶函數：對 y 軸左右對稱

圖三(a)

函數曲線的作圖要點

(b) 若 f(–x) = –f(x) 則 f(x) 為一奇函數，其函數圖形為對原點 對稱。同樣也是只需要知道 x>0 的部分便可以知道在實數上 的情形。

[對原點對稱，便是根據原點旋轉 180 圖形，如下圖所示]

奇函數的例子例如： y = x, y = x³, y = x⁵ 以及 y = sin x.

奇函數：對原點對稱

圖三(b)

函數曲線的作圖要點

(c) 若 f(x + p) = f(x) 對所有 x 以及一正數 p 。則此時 f 為一 週期函數，其週期為 p 。此時我們只需要知道在某個特定區 間 (a, a+p) 上的圖形，便可以知道在所有實數上的圖形。

常見的週期函數例如 cos(x), sin(x) ，其週期為 2π 。

週期函數：平移對稱性 (或者說平移不變性)

圖四

函數曲線的作圖要點

(4) 漸近線

(a) 水平漸近線

若 lim_x∞ f(x) = L 或者 lim_x(-∞) f(x) = L ，則 y = L 為函數圖 形在 x 趨近無窮大或者負無窮大時的漸近線。

但若 lim_x∞ f(x) = ∞ (或 – ∞ )，則此時這個漸近並不是很有 意義，但至少可以幫助我們了解函數在無窮遠處的行為。

函數曲線的作圖要點

(b) 鉛直漸近線

在有下列情況的時候，

我們稱 x = a 為 y = f(x) 圖形的一條鉛直漸近線。

常見具有鉛直漸近線的函數，例如：有理函數在分母等於 0 的地方，或者 tan(x) 在 π/2 的整數倍之處。

函數曲線的作圖要點

(c) 斜漸近線

若 f(x) 可以寫成 ax + b + g(x) ，其中 g(x) 在 x 趨近正 無窮大時， g(x) 會趨近 0。則此時我們稱 y = ax + b 為 y = f(x) 圖形的一斜漸近線。

這算是一個 f 在無窮遠處趨近正負無窮大的特例，但也 可以幫助我們了解 f 的行為。

一個尋找斜漸近線的方法是，若 f(x) 可微分，且 f’(x) 在 無窮遠處會趨近 a ，則很可能 f(x) 有斜漸近線 ax + b 。

(5) 遞增與遞減的區間

若函數 f(x) 可微分，我們可以透過 f‘(x) 的正負來得知 f 圖形 分別在哪些區間遞增、遞減。

函數曲線的作圖要點

(6) 局部極大值或極小值

求得一階導數後，可以解 f(x) 的臨界點，也就是 f’(c) = 0 或 者 f’(c) 不存在的點。

計算得臨界點後，利用遞增、遞減區間可以判斷在 x = c 時 會是極大或者是極小值。若在 c 前後， f’ 由負轉正，則 f(c) 為極小；反之 f‘ 由正轉負，則 f(c) 為極大。

令一方面我們也可以利用二階導數判別，若 f



(c) < 0 則 f(c) 為局部極大。

函數曲線的作圖要點

(7) 函數圖形的凹向與反區點

若 f’’ 二階導數存在，則可以計算 f’’(x) 並了解 f(x) 圖形的凹

向。若在某一個區間上 f’’(x) ≥ 0 則有 f(x) 函數圖形為凹向上；

反之若 f’’(x) ≤ 0 ，函數圖形為凹向下。

若 f’’(c) = 0 ，需考慮 x = c 前後凹向是否有改變，若有改變 則代表 x = c 為反曲點。

(8) 描繪曲線 利用以上要點，先劃出 xy 平面以及座標軸，標 出漸近線、與 x 軸、 y 軸交點、局部極大值與極小值、反曲 點等等。接著在考慮遞增遞減區間，便可以將上述已知的點 依照走勢與凹向連接起來。同時讓圖形靠近漸近線。

範例一

試刻劃

(1). 函數的定義域為

{x | x² – 1 ≠ 0} = {x | x ≠ 1}

= ( , –1)  (–1, 1)  (1, ) (2). 顯然函數與兩軸的交點為 (0,0) 。

範例一

(4). 計算極限

可知 y = 2 為在正負無窮遠處的漸近線。

注意到在 x = 1 時，分母為 0 ，因此有：

cont’d

範例一

於是 x = 1 以及 x = –1 為鉛直漸近線

於是我們便可以先準備好做圖時可參考用的座標系與漸近線 如下：

cont’d

範例一

5. 計算一階導數

由於分母恆正，因此 f’(x) > 0 當 x < 0 (x ≠ –1) ，而 f



在 (0, 1) 以及 (1, ) 上遞減。

6. 臨界點 x = 0 (f’ = 0) 1 以及 -1 (f’ 不存在)

不過 f 在 1, -1 的值為正負無窮大，所以我們需要考慮 x = 0 是否為極值。考慮到 f



cont’d

範例一

7. 計算二階導數

由於 12x² + 4 > 0 ，我們便有

f

(x) > 0 x

同時有 f

(x) < 0 |x| < 1. 因此，函數在 (

但由於 f 在 -1, 1 沒有定義，此函數圖形沒有反曲點。

cont’d

範例一

8. 利用極值資訊，在底圖上刻劃出函數圖形

刻劃出函數 y =

圖六

cont’d

斜漸近線

斜漸近線

如前所述，有些曲線的漸進線並非水平或者鉛直線，考慮在 x 趨近無窮大 (或者負無窮大時)，若有

則我們稱直線 y = mx + b 為 y = f(x) 圖形的斜漸近線，也就是 y = mx+b 與 y = f(x) 的差距在 x 趨近無窮大 (或 者負無窮大) 時，會逐漸縮小至 0 。

如右圖所示。 _圖十二

斜漸近線

通常斜漸近線會出現在有理函數，其分子次數恰好較分母多 一次時。

在這個時候我們可以做長除法，將線性的部分分開，如下頁 範例。

範例六

試刻劃

1. 函數之定義域 = ( , ).

2. 函數與 x 軸 y 軸之交點均為 (0,0)

3. 由於 f(–x) = –f(x) ， f 為奇函數，對原點對稱。

4. x² + 1 恆正 0 ，此例並沒有鉛直漸近線。

由於 f(x)





範例六

觀察到此函數為有理函數，分子次數較高，我們使用長除法

cont’d

範例六

5. 計算一階導數

因此 f

(x) 恆非負， f(x) 在全域上為遞增。

6. 臨界點只有 f

(0) = 0 ，但 f 

cont’d

範例六

7.

有 f

(x) = 0 當 x = 0 或 x = ，此時我們分區間討論：

觀察凹向改變，反曲點有 (0, 0) 以及

cont’d

區間

凹向上 凹向下

凹向下 凹向上

範例六

8. 劃出背景的斜漸近線後，依照函數走向與凹向刻劃出圖形

cont’d

反曲點