4 微分的應用

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4 微分的應用

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4.5 函數作圖的要點整理

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函數曲線的作圖要點

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函數曲線的作圖要點

在了解函數的一階與二階導數對函數圖形的影響以後,我們 便可以用來描繪函數圖形,以下是整理函數圖形作圖的要點。

注意到實際上我們可能遇到不同種類的函數,所需要的工具 也可能不一樣,也不一定能夠繪製的非常精準,只能描述出 大概的走向。

(1) 確認函數的定義域、值域

如果函數是由基本函數所組成,至少需要注意:分式函 數分母會等於 0 的地方、根式與對數函數在根號對數內不能 有負值等等;另一方面函數的值域需要注意:正餘弦函數的

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函數曲線的作圖要點

(2) 與參考的座標軸交點

有些情況我們需要知道在特定參考時間點的數值。

與 y 軸的交點便是 (0,f(0)) 需要計算 f(0) 。

與 x 軸交點便要求解 y = f(x) = 0 的點,但有時候不一定 能夠直接解,需要勘根。

(3) 函數的對稱性

(a) 若在定義域中有 f(–x) = f(x) ,則表示 f 是偶函數,其函 數圖形會對 y 軸對稱。

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函數曲線的作圖要點

在這個情況下我們便只需要知道 x>0 的圖形即可得知整個實 數上的函數圖形。

例如 y = x2, y = x4, y = |x| 以及 y = cos x ,這些都是偶函數。

偶函數:對 y 軸左右對稱

圖三(a)

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函數曲線的作圖要點

(b) 若 f(–x) = –f(x) 則 f(x) 為一奇函數,其函數圖形為對原點 對稱。同樣也是只需要知道 x>0 的部分便可以知道在實數上 的情形。

[對原點對稱,便是根據原點旋轉 180 圖形,如下圖所示]

奇函數的例子例如: y = x, y = x3, y = x5 以及 y = sin x.

奇函數:對原點對稱

圖三(b)

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函數曲線的作圖要點

(c) 若 f(x + p) = f(x) 對所有 x 以及一正數 p 。則此時 f 為一 週期函數,其週期為 p 。此時我們只需要知道在某個特定區 間 (a, a+p) 上的圖形,便可以知道在所有實數上的圖形。

常見的週期函數例如 cos(x), sin(x) ,其週期為 2π 。

週期函數:平移對稱性 (或者說平移不變性)

圖四

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函數曲線的作圖要點

(4) 漸近線

(a) 水平漸近線

若 limx∞ f(x) = L 或者 limx(-∞) f(x) = L ,則 y = L 為函數圖 形在 x 趨近無窮大或者負無窮大時的漸近線。

但若 limx∞ f(x) = ∞ (或 – ∞ ),則此時這個漸近並不是很有 意義,但至少可以幫助我們了解函數在無窮遠處的行為。

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函數曲線的作圖要點

(b) 鉛直漸近線

在有下列情況的時候,

我們稱 x = a 為 y = f(x) 圖形的一條鉛直漸近線。

常見具有鉛直漸近線的函數,例如:有理函數在分母等於 0 的地方,或者 tan(x) 在 π/2 的整數倍之處。

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函數曲線的作圖要點

(c) 斜漸近線

若 f(x) 可以寫成 ax + b + g(x) ,其中 g(x) 在 x 趨近正 無窮大時, g(x) 會趨近 0。則此時我們稱 y = ax + b 為 y = f(x) 圖形的一斜漸近線。

這算是一個 f 在無窮遠處趨近正負無窮大的特例,但也 可以幫助我們了解 f 的行為。

一個尋找斜漸近線的方法是,若 f(x) 可微分,且 f’(x) 在 無窮遠處會趨近 a ,則很可能 f(x) 有斜漸近線 ax + b 。

(5) 遞增與遞減的區間

若函數 f(x) 可微分,我們可以透過 f‘(x) 的正負來得知 f 圖形 分別在哪些區間遞增、遞減。

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函數曲線的作圖要點

(6) 局部極大值或極小值

求得一階導數後,可以解 f(x) 的臨界點,也就是 f’(c) = 0 或 者 f’(c) 不存在的點。

計算得臨界點後,利用遞增、遞減區間可以判斷在 x = c 時 會是極大或者是極小值。若在 c 前後, f’ 由負轉正,則 f(c) 為極小;反之 f‘ 由正轉負,則 f(c) 為極大。

令一方面我們也可以利用二階導數判別,若 f

(c) > 0 則可知 f(c) 為局部極小;而若 f

(c) < 0 則 f(c) 為局部極大。

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函數曲線的作圖要點

(7) 函數圖形的凹向與反區點

若 f’’ 二階導數存在,則可以計算 f’’(x) 並了解 f(x) 圖形的凹

向。若在某一個區間上 f’’(x) ≥ 0 則有 f(x) 函數圖形為凹向上;

反之若 f’’(x) ≤ 0 ,函數圖形為凹向下。

若 f’’(c) = 0 ,需考慮 x = c 前後凹向是否有改變,若有改變 則代表 x = c 為反曲點。

(8) 描繪曲線 利用以上要點,先劃出 xy 平面以及座標軸,標 出漸近線、與 x 軸、 y 軸交點、局部極大值與極小值、反曲 點等等。接著在考慮遞增遞減區間,便可以將上述已知的點 依照走勢與凹向連接起來。同時讓圖形靠近漸近線。

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範例一

試刻劃

(1). 函數的定義域為

{x | x2 – 1 ≠ 0} = {x | x ≠ 1}

= ( , –1)  (–1, 1)  (1, ) (2). 顯然函數與兩軸的交點為 (0,0) 。

(15)

範例一

(4). 計算極限

可知 y = 2 為在正負無窮遠處的漸近線。

注意到在 x = 1 時,分母為 0 ,因此有:

cont’d

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範例一

於是 x = 1 以及 x = –1 為鉛直漸近線

於是我們便可以先準備好做圖時可參考用的座標系與漸近線 如下:

cont’d

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範例一

5. 計算一階導數

由於分母恆正,因此 f’(x) > 0 當 x < 0 (x ≠ –1) ,而 f

(x) < 0 當 x > 0 (x ≠ 1) 時,可知 f 在 ( , –1) 以及 (–1, 0) 上遞增,

在 (0, 1) 以及 (1, ) 上遞減。

6. 臨界點 x = 0 (f’ = 0) 1 以及 -1 (f’ 不存在)

不過 f 在 1, -1 的值為正負無窮大,所以我們需要考慮 x = 0 是否為極值。考慮到 f

在 x = 0 附近由正轉負 0 ,因此 f(0)

cont’d

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範例一

7. 計算二階導數

由於 12x2 + 4 > 0 ,我們便有

f

(x) > 0 x

2 – 1 > 0 |x| > 1

同時有 f

(x) < 0 |x| < 1. 因此,函數在 (

, –1) 以及 (1, ) 凹向上,在 (-1,1) 為凹向下。

但由於 f 在 -1, 1 沒有定義,此函數圖形沒有反曲點。

cont’d

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範例一

8. 利用極值資訊,在底圖上刻劃出函數圖形

刻劃出函數 y =

圖六

cont’d

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斜漸近線

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斜漸近線

如前所述,有些曲線的漸進線並非水平或者鉛直線,考慮在 x 趨近無窮大 (或者負無窮大時),若有

則我們稱直線 y = mx + b 為 y = f(x) 圖形的斜漸近線,也就是 y = mx+b 與 y = f(x) 的差距在 x 趨近無窮大 (或 者負無窮大) 時,會逐漸縮小至 0 。

如右圖所示。 圖十二

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斜漸近線

通常斜漸近線會出現在有理函數,其分子次數恰好較分母多 一次時。

在這個時候我們可以做長除法,將線性的部分分開,如下頁 範例。

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範例六

試刻劃

1. 函數之定義域 = ( , ).

2. 函數與 x 軸 y 軸之交點均為 (0,0)

3. 由於 f(–x) = –f(x) , f 為奇函數,對原點對稱。

4. x2 + 1 恆正 0 ,此例並沒有鉛直漸近線。

由於 f(x)

當 x  ,且f(x)

當 x  , 此例同樣也沒有水平漸近線。

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範例六

觀察到此函數為有理函數,分子次數較高,我們使用長除法

cont’d

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範例六

5. 計算一階導數

因此 f

(x) 恆非負, f(x) 在全域上為遞增。

6. 臨界點只有 f

(0) = 0 ,但 f 

在 x = 0 附近並沒有變號,因 此 f(0) 並非是局部極大或者極小值。

cont’d

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範例六

7.

有 f

(x) = 0 當 x = 0 或 x = ,此時我們分區間討論:

觀察凹向改變,反曲點有 (0, 0) 以及

cont’d

區間

凹向上 凹向下

凹向下 凹向上

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範例六

8. 劃出背景的斜漸近線後,依照函數走向與凹向刻劃出圖形

cont’d

反曲點

Figure

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