3 微分

Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.

3 ^微分

3.11 ^雙曲函數

3

雙曲函數

指數增長與遞減的函數在應用上很常出現

e

, e ^–x

而它們組合出的新函數，意外地類似我們所認識的三角函數 關係，三角函數的組合 a sin θ, b cos θ 可以與橢圓上的點做 對應，新的函數也有這樣的關係。

雙曲函數

相對應的，由於這些函數可以跟雙曲線上的點做對應，所以 稱為雙曲函數，其中主要的奇組合稱為 hyperbolic sine 雙曲 正弦函數，偶組合稱為 hyperbolic cosine 雙曲餘弦函數。其 於類似的定義如下：

雙曲函數的定義

5

雙曲函數

雙曲函數有非常多類似於三角函數的恆等式，在這裡羅列如 下，證明就當作各位的練習。

雙曲函數的恆等式

範例一

證明 (a) cosh

² x

² x = 1 and

² x = sech ² x.

解:

(a) cosh

² x

² x =

=

=

7

範例一 / 解

(b) 從前面 (a) 得到的恆等式出發:

cosh

² x

² x = 1

² x ，有

也就是

cont’d

雙曲函數

雙曲函數的導數很容易從指數函數的微分求得：

9

雙曲函數

其他的微分公式我們列表如下：

雙曲函數的導數

範例二

利用連鎖率我們可以處理跟雙曲函數相關的合成函數，下為 一例：

11

反雙曲函數

反雙曲函數

雙曲函數 sinh(x), tanh(x) 為一對一函數，也因此可以定義反 函數 sinh

^–1

^–1

13

反雙曲函數

反雙曲函數 sinh

^–1

^–1

^–1

圖八

定義域 = 值域 =

圖九

定義域 = [1, ) 值域 = [0, )

反雙曲函數

圗十

定義域 = (–1, 1) 值域 =

15

反雙曲函數

由於雙曲函數是由指數函數所定義出來的，因此反雙曲函數 也非常恰巧可以從對數函數來表示：

推導的方法，我們舉其中一個例子計算如後。

範例三

證明 sinh

^–1 x =

令 y = sinh

^–1 x 。有

因此

e

^–y

17

範例三 / 解

這是一個 e^y 的二次方程式，

(e^y)

²

注意到 e^y > 0 ，而 x < (x^2+1)

^1/2

cont’d

範例三 / 解

符號取正，最後有

因此

cont’d

19

反雙曲函數

利用對數函數的微分，我們也就容易推導反雙曲函數的導數。

但另一方面，我們也可以利用連鎖率跟隱函數微分來求反函 數微分。

反雙曲函數的導數

範例四

證明 解:

令 y = sinh

^–1 x。則 sinh y(x) = x。

我們對等式兩邊同時取對 x 的導數：

21

範例四 / 解

根據雙曲函數的關係 cosh

² y

² y = 1 ，以及 cosh y 

cont’d