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3.11 雙曲函數

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3

雙曲函數

指數增長與遞減的函數在應用上很常出現

e

x

, e –x

而它們組合出的新函數,意外地類似我們所認識的三角函數 關係,三角函數的組合 a sin θ, b cos θ 可以與橢圓上的點做 對應,新的函數也有這樣的關係。

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雙曲函數

相對應的,由於這些函數可以跟雙曲線上的點做對應,所以 稱為雙曲函數,其中主要的奇組合稱為 hyperbolic sine 雙曲 正弦函數,偶組合稱為 hyperbolic cosine 雙曲餘弦函數。其 於類似的定義如下:

雙曲函數的定義

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5

雙曲函數

雙曲函數有非常多類似於三角函數的恆等式,在這裡羅列如 下,證明就當作各位的練習。

雙曲函數的恆等式

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範例一

證明 (a) cosh

2 x

– sinh

2 x = 1 and

(b) 1 – tanh

2 x = sech 2 x.

解:

(a) cosh

2 x

– sinh

2 x =

=

=

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7

範例一 / 解

(b) 從前面 (a) 得到的恆等式出發:

cosh

2 x

– sinh

2 x = 1

同除以 cosh

2 x ,有

也就是

cont’d

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雙曲函數

雙曲函數的導數很容易從指數函數的微分求得:

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9

雙曲函數

其他的微分公式我們列表如下:

雙曲函數的導數

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範例二

利用連鎖率我們可以處理跟雙曲函數相關的合成函數,下為 一例:

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11

反雙曲函數

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反雙曲函數

雙曲函數 sinh(x), tanh(x) 為一對一函數,也因此可以定義反 函數 sinh

–1

與 tanh

–1

。而 cosh 雖然不是一對一,但若只看 [0, ) 上,也會是一對一函數。

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13

反雙曲函數

反雙曲函數 sinh

–1

, cosh

–1

以及 tanh

–1

的圖形如下所示

圖八

定義域 = 值域 =

圖九

定義域 = [1, ) 值域 = [0, )

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反雙曲函數

圗十

定義域 = (–1, 1) 值域 =

(15)

15

反雙曲函數

由於雙曲函數是由指數函數所定義出來的,因此反雙曲函數 也非常恰巧可以從對數函數來表示:

推導的方法,我們舉其中一個例子計算如後。

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範例三

證明 sinh

–1 x =

解:

令 y = sinh

–1 x 。有

因此

e

y – 2x – e

–y

= 0 通乘以 ey 可得

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17

範例三 / 解

這是一個 ey 的二次方程式,

(ey)

2

– 2x(ey) – 1 = 0 代入二次方程式公式解,可得

注意到 ey > 0 ,而 x < (x^2+1)

1/2

,因此取負號為負。

cont’d

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範例三 / 解

符號取正,最後有

因此

cont’d

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19

反雙曲函數

利用對數函數的微分,我們也就容易推導反雙曲函數的導數。

但另一方面,我們也可以利用連鎖率跟隱函數微分來求反函 數微分。

反雙曲函數的導數

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範例四

證明 解:

令 y = sinh

–1 x。則 sinh y(x) = x。

我們對等式兩邊同時取對 x 的導數:

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21

範例四 / 解

根據雙曲函數的關係 cosh

2 y

– sinh

2 y = 1 ,以及 cosh y

0 , 可知 cosh(y) =

cont’d

Figure

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