3 三角形的邊角關係 3

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(1)

3 3 三角形的邊角關係

在國小時曾學過任意三角形三邊的關係,如 圖 3-25,如果我們用小寫英文字母 a、b、c 來表 示△ABC 三內角∠A、∠B、∠C 的對邊長,因為 兩點之間以直線距離為最短,我們可以得到:

a+b>c ... 1 b+c>a ... 2 c+a>b ... 3 也就是說,

由1式 a+b>c 可得 a>c-bb>c-a由2式 b+c>a 可得 b>a-c,

c>a-b由3式 c+a>b 可得 c>b-aa>b-c

整理後可得 a>c-ba>b-c即 a>∣b-c∣b>c-ab>a-c即 b>∣c-a∣c>a-bc>b-a即 c>∣a-b∣。 也就是說,

三角形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長。

三角形任意兩邊長的差的絕對值一定小於第三邊的長。

圖 3-25 B

A C

c a

b

三角形三邊長的關係

1

對應能力指標 8-s-09、8-s-12

(2)

3 3 三角形的邊角關係

長度關係 操作過程 結果

1.當 b+c<a 時

b、c 兩扣條沒有交 點,不能形成三角 形。

2.當 b+c=a 時

b 、 c 兩 扣 條 的 交 點剛好落在 a 扣條 上,不能形成三角 形。

3.當 b+c>a 時

b 、 c 兩 扣 條 有 交 點,且交點不在 a 扣條上,可以形成 三角形。

因此我們得到:

三角形任一邊長小於另兩邊長的和,大於另兩邊長的差的絶對值。即

∣另兩邊長的差∣< 三角形任一邊長 < 另兩邊長的和。

取長度為 a、 b、 c 的三扣條(依序稱為 a 扣條、 b 扣條、 c 扣條,其中 a 扣 條的長度最長),將 b、 c 兩扣條分別扣在 a 扣條的兩端點,並轉動 b、 c 兩扣 條,操作過程及結果如下表:

b c

a

b c

a

b c

a

(3)

1由於 4<6<7,且 4+6>7,

所以 4、6、7 可以作為三角形的三邊長。

2由於 3<4<7,且 3+4=7,

所以 3、4、7 不可以作為三角形的三邊長。

3由於 2<4<7,且 2+4<7,

所以 2、4、7 不可以作為三角形的三邊長。

下列各組數中,哪幾組可以作為三角形的三邊長?

1 4、6、7      24、7、3      34、2、7 三角形兩邊之和大於第三邊

1

下列各組數中,哪幾組可以作為三角形的三邊長?

A 5、6、7 B 10、20、30

C 4、5、 11 D 2a、3a、4a(a>0)

從前面的操作過程中我們發現:

三條線段中,

1 如果兩條較短線段長度的和小於或等於最長線段的長度,則這三條線段無法 形成一個三角形。

2如果兩條較短線段長度的和大於最長線段的長度,就可以形成一個三角形。

只須判斷較短的兩線段和 是否大於最長線段。

配合習作基礎題 1

A C D

A由於 5<6<7,且 5+6>7,

所以 5、6、7 可以作為三角形的三邊長。

B 由於 10<20<30,且 10+20=30,

所以 10、20、30 不可以作為三角形的三邊長。

C由於 11 <4<5,且 11 +4>5,

所以 11、4、5 可以作為三角形的三邊長。

D 由於 2a<3a<4a,且 2a+3a>4a,

所以 2a、3a、4a 可以作為三角形的三邊長。

(4)

7-4< a <7+4 所以 3< a <11

因為 a 是整數,所以 a 可以是 4、5、6、7、8、9、10,

滿足條件的 a 共有 7 個。

數學是科學不可動搖的基石,促進人類事業進步的豐富泉源。

—巴羅(Issac Barrow,1630-1677)

數學小語錄

設一個三角形的三邊長分別是 4 公分、7 公分、a 公分,若 a 是整數,

則滿足此條件的 a 共有多少個?

三角形兩邊之和大於第三邊的應用

2

兩線段的長度分別為 5 公分、11 公分,下列哪幾個線段長可以和這兩線段 長圍成一個三角形?

6.9 公分、15 公分、20 公分、 29 3 公分

∣另兩邊長的差∣ < 三角形任一邊長< 另兩邊長的和

配合習作基礎題 2

設另一邊的長為 a 公分,利用「如果兩條較短線段長度的和大於最長線段 的長度,就可以形成一個三角形」的概念,

11+5>a

,即 a<16

,所以 6<a<16。

a+5>11 a>6 題目中,6.9 公分、15 公分、 29

3 公分皆在 6 公分與 16 公分之間,可以和 給定的兩線段圍成一個三角形。

而 20 公分大於 16 公分,故不可以和給定的兩線段圍成一個三角形。

(5)

△ABC 中,

AB+AC >BC ,

即 AB+AC >BD+CD。

又因為 AC=BD,

所以 AB>CD。

如右圖,△ABC 中,D 點在 BC 上,且 AC=BD,

試比較 AB 與 CD 的大小關係。

三角形兩邊之和大於第三邊的推理

3

如下圖,直線 L 是 BC 的中垂線, AC 與直線 L 交於 P 點,試由下列步驟比 較 AB 和 AC 的大小。(在下面的空格中填入 >、= 或 <)

1 PB PC (直線 L 是 BC 的中垂線),

2 PA+PB AB (三角形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長),

3 PA+PC AB,

4 AC AB。

B D C

A

三角形任意兩邊長的和,大於第三邊的長

L B

C

P A

配合習作基礎題 3

配合習作基礎題 4

(6)

外角大於任一內對角

4

如右圖,△ABC 為等腰三角形,AB=AC,

D 在 BC 的延長線上,試比較∠B、∠D 的 大小關係,並說明其理由。

圖 3-26

A

B C

1

如圖 3-26,△ABC 為任意三角形,

∠1 是 ∠ACB 的外角,因為外角等於兩 個內對角的和,所以 ∠1=∠A+∠B。

因為 ∠A、∠B 的度數都是正數,所以

∠1>∠A 且 ∠1>∠B。

也就是說,

三角形的外角大於任一內對角。

因為 ∠1 是 △PQC 的外角,所以 ∠1>∠2,

因為 ∠2 是 △ABQ 的外角,所以 ∠2>∠A,

因此 ∠1>∠2>∠A。

如右圖,△ABC 中,Q 點在 AC 上,P 點在 BQ 上,

試比較 ∠1、∠2 和 ∠A 的大小關係。

A

Q

B C

P 2 1

A

B C D

三角形的外角大於任一內對角

2

對應能力指標 8-s-12

因為 AB=AC,所以∠B=∠ACB,

又∠ACB 為△ADC 的外角,

所以∠D<∠ACB=∠B。

(7)

5

我們已學過等腰三角形兩底角相等,但是一個三角形,若有兩邊不相 等,那麼這兩邊的對角哪個比較大呢?

如圖 3-27,△ABC 中,AC>BC,那麼∠B 和∠A 這兩個角,哪一個比較 大?

在一個三角形中,若有兩邊不相等,則較長的邊所對的角比較大。

△ A B C 中 , 因 為 AC> BC> AB,

所以∠ B>∠A>∠C。

如右圖,△ABC 中,AB、BC、AC 的長度分別 是 11、13、15 ,試比較 ∠A、∠B、∠C 的大 小關係。

大邊對大角 因為 AC >BC,

我們可以在 AC 上找一點 D,使得 CD=BC,如圖 3-28,

連接 BD,則 △CDB 為等腰三角形,所以 ∠1=∠2。

因為 ∠1 是 △ADB 的外角,所以 ∠1>∠A。

又從圖形上可知 ∠CBA>∠2,所以 ∠CBA>∠2=∠1>∠A。

從上面的說明,我們得到:

△ABC 中,如果 AC >BC,則 ∠B>∠A。也就是說,

圖 3-28 C

D

A B

1

2

圖 3-27 C

A B

A

B

C 11

15

13

大邊對大角

大邊對大角

3

對應能力指標 8-s-16

配合習作基礎題 51

(8)

如右圖,△ABC 為正三角形,D 點在 AB 上,

試比較 ∠1、∠2 的大小關係。

6

如右圖,ABCD 為正方形,E 點在 AD 上。

1試比較 AB 和 AE 的大小關係。

2試比較 ∠1 和 ∠2 的大小關係,並說明其理由。

AB=BC,

且 BD<AB,所以 BD<BC。

在 △DBC 中,

因為 BC>BD,所以 ∠1>∠2。

大邊對大角的應用

A

B C

D 1

2

B C

D

A E

1 2

1 △ABC 中,AB=6,BC=7,AC=8,則 ∠A、∠B、∠C 哪一個角最小?

2 △PQR 中,PQ=11,QR=8,PR=8,則 ∠P、∠Q、∠R 哪一個角最大?

△ABC 為正三角形

大邊對大角

∠C

∠R

1因為 ABCD 為正方形,所以 AE<AD=AB。

2在△ABE 中,因為 AE<AB,

所以利用大邊對大角的性質,得∠1>∠2。

(9)

我們已學過,在一個三角形中,若有兩邊不相等,則比較大的邊所對的 角比較大。但是反過來說,在一個三角形中,若有兩個角不相等,那麼這兩 個角所對的邊哪一個比較大?

如圖 3-29,△ABC 中,若 ∠A>∠B,那麼 BC 和 AC 這兩個邊,哪一個 邊比較長?

在一個三角形中,若有兩角不相等,則較大的角所對的邊較長。

直角三角形中,哪一個角所對的邊最長?為什麼?

如圖 3-30,以 AB 為一邊作 ∠BAD 等於 ∠B,∠BAD 的另一邊交 BC 於 D 點。

因為 ∠BAD=∠B,所以 △DAB 為等腰三角形,因而 AD=BD。

在 △ACD 中,利用三角形任意兩邊長的和大於第三邊的關係得 AD+DC >AC,

所以 BC=BD+DC=AD+DC >AC。

從上面的說明,我們得到:

△ABC 中,如果 ∠A>∠B,則 BC >AC。也就是說,

圖 3-30 C

D

B A

圖 3-29 C

B A

大角對大邊

4

對應能力指標 8-s-16

直角。

因為直角三角形的三個內角中,直角最大。

(10)

7

B C

A

60°

62°

因為三角形的內角和等於 180°,

所以 ∠C=180°-60°-62°=58°,

三個內角由大到小為 ∠B>∠A>∠C。

利用大角對大邊的性質,它們對邊的長度由大到小為 AC>BC>AB。

△ABC 中,∠A=60°,∠B=62°,試比較 AB、BC、AC 三邊長的大小關係。

大角對大邊

如右圖,四邊形 ABCD 中,∠1=60°,∠2=55°,

∠3=60°,∠4=65°。

1比較 AB、DA 和 BD 的大小關係,並說明其理由。

2比較 BC、CD 和 BD 的大小關係,並說明其理由。

3綜合1、2,寫出 AB、BC、CD、DA 和 BD 的大小關係。

A

B

D

C 3

1 4

2

如圖 3-31,時鐘在 12 點時,時針與分針會重合在一起,此時兩針的夾角 為 0 度。從 12 點到 12 點 20 分的過程中,兩針的夾角會慢慢增加。而時針頂 端與分針頂端的距離也會慢慢增加。藉由這個觀察結果,我們來比較兩個三 角形中,第三個邊與夾角的關係。

圖 3-31

1因為∠A=180°-60°-55°=65°,所以 BD>DA>AB。

2因為∠C=180°-60°-65°=55°,所以 BC>CD>BD。

3 BC>CD>BD>DA>AB。

配合習作基礎題 52

配合習作基礎題 6

(11)

重點回顧

!三角形的三邊關係:

三角形中,

任意兩邊長之和一定大於第三邊的長,

任意兩邊長之差的絕對值一定小於第三邊的長,

∣另兩邊長的差∣< 三角形任一邊長 < 另兩邊長的和。

@三角形外角不等關係:三角形中,外角大於任何一個內對角。

#大邊對大角:三角形中,若有兩邊長不相等,則較長邊所對的角較大。

$大角對大邊:三角形中,若有兩角不相等,則較大角所對的邊較長。

在 △ ABC 與 △DEF 中,當 AB = DE、AC= DF 時,如果 ∠A=∠D,

則△ABC △DEF,可推得 BC= EF 。

可是如果 ∠A≠∠D ,如圖 3-32 與圖 3-33,當 AB= DE、AC= DF 時 , 按照前面兩針的夾角可以知道,如果 ∠A<∠D,則 BC< EF ,這個定理稱 為樞紐定理。

反過來說,△ABC 與 △DEF 中,當 AB=DE、AC=DF 時,

如果 BC< EF ,則 ∠A<∠D。

從前面的說明,我們發現,當兩個三角形的兩個邊對應相等時:

1若兩邊的夾角不相等,則夾角越大者,第三邊越大。

2若第三邊不相等,則第三邊越大者,所對夾角越大。

AB=DE AC=DF

∠A≠∠D

E F

D A

B

C

圖 3-32 圖 3-33

(12)

1下列各組數中,哪幾組可以作為三角形的三邊長?

 A 0.7、0.8、0.9 B 400、500、600

 C 6、8、 101 D a+2、a+3、2a+3(a>0)

2四根吸管長度分別是 2、3、4、5,任選三根吸管試著拼成三角形,請問:

1哪些組合可以拼成三角形?

2哪些組合不能拼成三角形?

3-3

四根吸管任選三根的情形有(2, 3, 4)、(2, 3, 5)、(2, 4, 5)、(3, 4, 5)四種。

1(2, 3, 4)、(2, 4, 5)、(3, 4, 5)可以拼成三角形。

因為 2<3<4,且 2+3>4,所以(2, 3, 4)可以作為三角形的三邊長。

因為 2<4<5,且 2+4>5,所以(2, 4, 5)可以作為三角形的三邊長。

因為 3<4<5,且 3+4>5,所以(3, 4, 5)可以作為三角形的三邊長。

2(2, 3, 5)不能拼成三角形。

因為 2<3<5,且 2+3=5,所以(2, 3, 5)不可以作為三角形的三邊長。

A 由於 0.7<0.8<0.9,且 0.7+0.8>0.9,所以 0.7、0.8、0.9 可以作為三角 形的三邊長。

B 由於 400<500<600,且 400+500>600,所以 400、500、600 可以作為 三角形的三邊長。

C 由於 6<8< 101,且 6+8> 101,所以 6、8、 101 可以作為三角形的 三邊長。

D 由於 a+2<a+3<2a+3,且(a+2)+(a+3)>2a+3,所以 a+2、

a+3、2a+3 可以作為三角形的三邊長。

A B C D

(13)

3設一個三角形的三邊長皆為整數,且周長為 13 公分。

1如果最長邊是 6 公分,則滿足此條件的三角形有哪些?(答案不只一個)

2如果最長邊是 5 公分,則滿足此條件的三角形有哪些?(答案不只一個)

4如右圖,每一小格皆為邊長 1 的正方形,

A、B、C 三點皆在格子點上。

1計算 AB、BC、CA 的長度,並比較其大小。

2 試比較 ∠A、∠B、∠C 的大小關係。

C

B

A

1 AB= 32+42 = 25=5 BC= 12+42 = 17 CA= 12+52 = 26 CA>AB>BC 2∠B>∠C>∠A 1最長邊為 6:

2最長邊為 5:

三邊長 理由

(1, 6, 6) 因為 1<6=6,且 1+6>6

(2, 5, 6) 因為 2<5<6,且 2+5>6

(3, 4, 6) 因為 3<4<6,且 3+4>6

三邊長 理由

(3, 5, 5) 因為 3<5=5,且 3+5>5

(4, 4, 5) 因為 4<4<5,且 4+4>5

(14)

5 如右圖,四邊形 ABCD 中,AB=2,BC=2,CD=3.5,DA=3。

依序回答下列問題:

1試比較 ∠1 和 ∠2 的大小關係,並說明其理由。

2試比較 ∠3 和 ∠4 的大小關係,並說明其理由。

3綜合1、2,寫出 ∠ABC 和 ∠ADC 的大小關係,

並說明其理由。

6如右圖,ABCD 為正方形,BD 是對角線,

 E 在 BD 上,且 DE=DC。依序回答下列問題:

1試比較 ∠1 和 ∠2 的大小關係,並說明其理由。

2試比較 ∠2 和 ∠3 的大小關係,並說明其理由。

3綜合1、2 ,寫出∠1、∠2 和 ∠3 的大小關係。

A D

E B C

3 1 2 A

B

C

D

1 3

2 4

1因為 DA>AB,所以∠1>∠2。

2因為 CD>BC,所以∠3>∠4。

3由1 、2知,∠ABC=∠1+∠3>∠2+∠4=∠ADC。

1因為 DE=DC,所以∠1=∠2。

2因為∠2 是△BCE 的外角,所以∠2>∠3。

3由1 、2知,∠1=∠2>∠3。

(15)

正多邊形的鑲嵌圖案

裝飾圖案如牆頂、天花板、教堂鑲嵌玻璃、壁飾等,常常是用一些 相同的圖案來填滿一個相當大的平面,一個圖案緊接著一個,不留任何空 隙,這種藝術稱為鑲嵌圖案。

人們常用邊長相等的正多邊形地磚來舖地板或平面,這樣的圖案稱 為正多邊形的鑲嵌圖案。最簡單的鑲嵌方法就是都用正方形,因為用四個 邊長相同的正方形相連接,就可以完成簡單的鑲嵌圖案。至於用其他正多 邊形,鑲嵌方法會有多少種呢?我們來討論幾種漂亮又簡單的圖案。

1 三種正多邊形:假設這三種正多邊形分別是正 m 邊形、正 n 邊形、正 p 邊形,其每一個內角分別為 180°- 360

m

°、 180°- 360 n

°、 180°- 360 p

°。

因為(180°- 360 m

°)(180°- 360 n

°)(180°- 360 p

°)=360°,

得 1- 2

m +1- 2

n +1- 2

p =2,

2 m+ 2

n + 2

p =1,所以 1 m + 1

n + 1 p = 1

2 。

正多邊形(m, n, p),如(6, 6, 6)、 (5, 5, 10)、 (4, 5, 20)、 (4, 6, 12)、

(4, 8, 8)等,都是滿足這樣條件的正多邊形(共有 10 組)。其中部分圖 案如下:

(6, 6, 6) (4, 6, 12)

數學萬花筒

×÷

(16)

2 四種正多邊形:假設這四種正多邊形分別是正 m 邊形、正 n 邊形、正 p 邊形、正 r 邊形,其每一個內角分別為 180°- 360

m

°、 180°- 360 n

°、

180°- 360 p

°、 180°- 360 r

°。 因為(180°- 360

m

° ) + (180°- 360 n

° ) + (180°- 360 p

°

(180°- 360 r

° ) =360° 得 1- 2

m +1- 2

n +1- 2

p +1- 2

r =2,

2 m + 2

n + 2 p + 2

r =2,所以 1 m+ 1

n + 1 p + 1

r =1。

正多邊形(m, n, p, r),如(4, 4, 4, 4)、 (3, 3, 4, 12)、 (3, 3, 6, 6)、

  (3, 4, 4, 6)等,都是滿足這樣條件的正多邊形(共有 4 組)。其中部分圖 案如下:

(3, 3, 4, 12)

當然我們也可以用上面的方法來討論五種正多邊形與六種正多邊形 的鑲嵌,同學們也可以仿照上面的畫法畫出其他的鑲嵌圖案。

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