河北工业大学 硕士学位论文
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究 姓名：刘志琴
申请学位级别：硕士 专业：电工理论与新技术
指导教师：张惠娟
2003.1.1
河北工业大学硕士学位论文
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
摘要
利用电磁场有限元法分析涡流场在不同电源激励下的分布，进而研究铁磁材 料中的温度及其分布可以大大提高对电磁场和对电热场的控制，其中电磁场和其 它物理场综合作用理论和计算的研究是相关磁技术应用的理论基础，也是近年来 电磁场计算应用的难点课题。本文在深入、系统总结现有文献的基础上，针对课 题相关的理论、数值算法，进行了较深入的研究工作。
文中通过对一个空心金属圆筒结构的电磁系统进行分析，以电磁场矢量位有 限元法为基础对磁场强度、涡流密度进行了计算求解，采用三角形单元建立了涡 流场数学模型，研究了电源频率对涡流密度、透入深度及集肤效应等场量的作用 影响。
本文建立了电磁加热系统的涡流场和温度场间接耦合的数学模型，分析了不同 频率下涡流和温度的分布情况，并以八节点六面体等参元为例给出了涡流场对应 的离散格式，通过计算涡流场获得温度场所需要的内热源强度，加热部件的温度 场以轴对称格式进行离散求解，并对瞬态温度场有限单元法的求解特点进行了分 析。
最后，本文对编制的软件进行了验证，与理论值相比，结果基本吻合，由此证 明了本文提出的论点、算法和程序的正确性。
关键词：感应加热，涡流场，温度场，有限元法，数值计算
墼丝墼童翌皇璧丝垒堡璧塑坌查璧窒塑丝塞
Ｔｈｅ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｏｗｅｒ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｅｆｆｅｃｔｓ
ｏｎｔｈｅ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ
Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ Ｆｉｅｌｄ ａｎｄ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ Ｆｉｅｌｄ
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Ｕｓｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｅｄｄｙ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｏｗｅｒｓｕｐｐｌｙ，ｔｈｅｎ ｔｏｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｎｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｍａｔｅｒｉａｌ
Ｃａｎ
ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃａｎｄ
ｅｌｅｃｔｒｏｔｈｅｒｍａｌ ｆｉｅｌｄ ｇｒｅａｔｌｙ．Ｔｈｅｒｅ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙａｎｄ
ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ
ｆｉｅｌｄ ａｃｔｏｎｏｔｈｅｒｐｈｙ’ｓｉｃａｌｆｉｅｌｄ ｉｓｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｇｎｅｔｉｃｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ａｎｄ
ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｏｎｅ ｏｆｔｈｅ ｈｏｔ－ｓｐｏｔ ｔｏｐｉｃｓ ｉｎ ｃｉｒｃｌｅｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ．Ｂａｓｅｏｎｔｈｅｅｍｂｅｄｄｅｄａｎｄ
ｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅ ｓｕｍｍａｒｉｚａｔｉｏｎｏｆ ｔｈｅ ｅｘｉｔｉｎｇ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ，ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｄｏｓｏｍｅ ｅｍｂｅｄｄｅｄｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｇ ｗｏｒｋｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ，ｎｕｍｂｅｒ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃａｂｏｕｔ ｔｈｅｓｕｂｊｅｃｔ．
Ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ
ａｎａｌｙｓｅｓ
ｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ
ｓｙｓｔｅｍｏｆ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｏｌｌｏｗ ｍｅｔａｌ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ｂｙｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ
ｖｅｃｔｏｒｐｏｔｅｎｔｉａｌ，ａｎ
ｅｄｄｙ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｍａｔｈ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｂｕｉｌｔ ｂｙｔｒｉａｎｇｌｅ
ｃｅｌｌ，ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｈａｓ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｄ ｐｏｗｅｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｏ ｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔ ｄｅｎｓｉｔｙ，ｐｅｒｍｅａｔｉｏｎ ｄｅｐｔｈ ａｎｄｔｈｅｅｆｆｅｃｔ ｏｆｓｋｉｎ ｅｆｆｅｃｔ．
Ｔｈｅ
ｐａｐｅｒ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｓ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ
ｈｅａｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｄｄｙ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄａｎｄ
ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ．ａｎｄ
ｇｉｖｅｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｓｃｒｅｔｅｆｏｒｍａｔ
ｗｉｔｌｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓａｓ ｅｉｇｈｔ ｎｏｄｅｓ，ｈｅｘａｈｅｄｒｏｎ ｅｑｕａｌ ｃｅｌｌ，ｔｈｒｏｕｇｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｅｄｄｙ—ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｔｏ ｇａｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｈｅａｔｓｏｕｒｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ ｎｅｅｄｅｄ，ｔｏｕｓｅｄｉｓｃｒｅｔｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆｉｎｄｕｃｔｉｏｎ—ｈｅａｔｉｎｇ ｐａｒｔ’Ｓｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄ ｂｙ ａｘｉａｌｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ
ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ，ａｎｄ
ｔｈｅｎ ｔｏａｎａｌｙｚｅ
ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ
ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｆｉｅｌｄ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍｓａｒｅｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔ ａｃｃｏｒｄ ｗｉｔｈｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｕｂｓｔａｎｃｅ．Ａｌｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｅｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ，ａｌｇｏｒｉｔｈｍ
ａｎｄ ｐｒｏｇｒａｍｓ
ａｒｅｃｏｒｒｅｃｔ．Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｈｅａｔｉｎｇ，ｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄ，ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｆｉｅｌｄ，ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ，
ｎｕｍｅｒｉｃａＪ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ
｝ｌ】『北工业大学顾Ｊ‘学位论文
第一章绪论
§ｌ－Ｉ电磁场数值计算的简要回顾
电磁场数值计算白二十世纪七十年代初开始应用于１．程实际，经过世界各国本行业优秀专家学者的 努力，已取得了丰硕的成果，在二维涡流场、＿二维瞬态场及＝维恒定场等许多方面的研究已日臻完善，
一些成熟的软件包相继问世，如ＴＯＳＣＡ，ＣＯＲＡＬ等。在国内，也涌现了一批电磁场数值计算方面的优 秀专著及软件。与此同时三维涡流场的研究也取得了突龟猛进的发展，取得了一些很有价值的研究成果。
但由于软硬件条件的限制，在三维涡流场的计算方面仍有许多问题尚待解决。特别是涡流场及其与其它 物理场的耦合问题的研究仍旧是电磁场学术界研究问题的热点。
电磁场数值计算的经典分析方法包括有限差分法、有限元法、有限积分法和边界元法等类型。其中，
有限元法应用最为广泛。有限元法最主要的特点是对于各种各样的电磁计算问题具有较强的适用性，通 过前处理过程能有效的形成方程并求解；能方便地处理非线性介质特性，如铁磁饱和特性等；所形成的 代数方程具有系数矩阵对称正定、稀疏等特点，所以求解容易、收敛性好、占用计算机内存量也较少，
这些特点使得有限元得到了广泛地应用。
二十世纪八十年代以来，国际电磁场数值计算界对三维涡流场的计算进行了仔细、深入的研究，
给出了描述涡流场的多种方法。所采用的方法为以场矢量为变量的直接法和以位函数为变量的间接法两 类。直接法指在方程求解中直接以电场强度矢量Ｅ和磁场强度矢量Ｈ等电磁场量为求解对象的方法，
如Ｂｏｓｓａｖｉｔ提出的Ｈ．ｏｒｉｅｎｔｅｄ和Ｅ—ｏｒｉｅｎｔｅｄ对偶解问题。在国内，程志光博士应用Ｅ４，方法于电力变压 器电磁场研究，很好地解决了工程实际中的问题。直接法的优点在于能保证解的唯一性，精度较高，缺 点是未知量较多，边界条件的处理比较复杂，方程计算量大。因此，对计算机的性能要求较高。
间接法以位函数为求解变量，具有灵活、方便的优点，是目前被广泛应用的方法。间接法的首次 提出是在１９８１年的ＣＯＭＰＵＭＡＧ会议上由Ｃｈａｒｉ，Ｂｉｄｄｌｅｃｏｍｂｅ和Ｍｏｒｉｓｕｅ等人分别提出的，其核心是 用磁矢量位Ａ来描述全部场域（包括涡流区和非涡流区），用电标量位ｖ来描述导体区涡流的Ａ．ｖ．Ａ 法，该方法最大的优点是不需要进行交界面的处理，但求解变量较大。在１９８３年的ＣＯＭＰＵＭＡＧ会 议上Ｅｍｓｏｎ、Ｒｏｄｇｅｒ等提出Ａ＋一咖模型。与Ａ、Ｖ－Ａ法相比，Ａ・．１｜，法省去了标量电位，并用标量磁位山 描述非涡流区的磁场，大大减少了求解变量。Ａ’被称为修正的矢量磁位，它耦合了标量电位ｖ的作用，
但该方法要求电导率ａ为常数，使其在非连通域问题的应用上受到了限制。此后Ｋａｍｅａｄ和Ｒｏｄｇｅｒ又提 出州在非导体孔中做切割面并由此引入位跳变的解决办法，以及在非连通域用一小的电导率。描述的
“填冲法”，即Ａ、Ｖ－Ａ．山法。这一方法使得方程组的形态变差，计算精度降低。
与基丁．矢量磁位Ａ的算法相对偶的是一种基于二矢量电位Ｔ的算法，与Ａ—ｖ－Ａ相对的算法为Ｔ、山
．山法。该方法既不需要进行交界面的处理，又可以节省计算机资源（在非涡流区采用了标量磁位ｌｌＩ），
是一种较好的方法。但它不适用于多连通域的情况。又提出用矢量磁位Ａ描述多连通域中的孔，由此 得到了耦合电和磁矢量位的Ｔ、山．Ａ．山方法。此外，还有Ｐｒｅｓｔｏｎ、Ｍｉｙａ、Ｎａｋａｔａ等提出的Ｔ－ｓｑ法．及Ｔ、
ｎ一∞法麓。
无沦采＿Ｌ｝ｊ哪种矢鼙位函数做求解变量，为保让解的唯一性，都必须定义规范。即除了Ａ的旋度外，
檄磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
还必须限定Ａ的敞度。Ｏ．Ｂｉｒｏ、Ｚｉｅｎｋｉｅｗｉｃｚ等提出将库仑规范以罚函数的形式加入到控制方程中，被 认为是比较有效的实现库仑规范的方法。另一常用的规范是由Ｂｒｙａｎｔ提出的Ｌｏｒｅｎｔｚ规范，适用于区域 内电导率不均匀的情况，Ｌｏｒｅｎｔｚ规范对矩阵的性态影响较大。目前国际上对有关规范的讨论和研究～
直方兴未艾。
在有限元离散方程的求解算法方面，有迭代法、ＬＤＬｌ分解法、共轭梯度法、预处理共轭梯度法、
ＩＣＣＧ法等，这些方法对于二维电磁场问题，无论从理论上还是从计算方法、计算技术上，均较成熟和 完善，对求解二维电磁场边值问题取得了满意的结果。与二维电磁场问题相比，三维情况下，由于所用 的方法不同，使得有限元方程的性态、结构和条件数均发生了较大的变化，因此对求解技术的要求越来 越高。目前，对大型稀疏系数矩阵的研究，尤其是非对称矩阵的有效求解仍是理论和算法上的研究课题，
通过对算法进行研究，以期获得能够降低计算机内存，并使各类问题具有较快的收敛速度的有效计算方 法。
在电磁场研究中，组合方法的研究与应用也越来越广泛，如有限元法与边界元法的组合、有限元 法与模拟电荷法的组合、有限元法与积分方程法的组合、有限元法与多重网格法的组合等。一些新的求 解偏微分方程的方法如小波法、无单元法等也逐渐发展起来。针对时变电磁场涡流及趋肤效应研究提出 的表面阻抗法比较适合于球面及柱面等物理模型。Ｂｏｓｓａｖｉｔ等提出的以场矢量沿单元棱边的线积分为求 解变量的棱边单元法，仅要求场量沿单元棱边的切向连续，无须引入标量电位，保证解的唯一性，近年 来受到了广泛的关注。
从当前电磁计算的发展前沿来看，有限元仍被认为是最有效、应用最普遍的一种数值计算方法。
有限元法不仅本身在应用方面具有很大的潜力，而且结合其它理论和方法有着广阔的发展前景，如自适 应网格剖分、耦合问题、开域问题、高磁性材料及具有磁滞及饱和非线性特性介质的处理等。新方法、
新技术的研究不断应用，进一步开拓了有限元法的应用范围，也适应了更复杂的、精度要求更高的问题 求解之需要。
§１－２感应加热技术的国内外研究现状
１－２．１感应加热技术的发展与应用
自十九世纪末期人们开始在工业中利用感应涡流进行加热以来，迄今无论在感应加热技术的研究或
是在感应加热的实际应用方面均已取得了显著进展【ｌｆ。１８９０年瑞典人发明了第一台感应熔炼炉～开槽式
有心炉，这种炉子由于受电动力的作用波动力太大，容量受到限制，阻抗变化也太大，功率不稳定，所 以现在基本上被淘汰。１９１６年美国人制造了闭槽式有心炉用于有色金属的冶炼。打下了今天有心炉结 构的基础。１９７２年无心炉在美国出现，采用火花式中频电源，后来又出现了中频机组电源以及现在的 晶闸管变频电源，工频无心炉的产生是在２０世纪３０年代。高频电源，倍频电源也由于不同的工艺要求 而相继实现，感应加热技术最早是应用于表面热处理以后普及到焊接领域和各种透热。现在感应加热技 术已Ｊ“泛应片ｊ到国民经济的各个领域。在国外，感应加热技术已日趋成熟，现在致力于开发人功率全固 态高频电源和开发高度自动化的热处理成套处理系统，在我国，随着电力系统的供应，感应加热也趋向２
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于高频化、大容量化发展彤Ｉ。目前在冶金机械制造、轻工化学实验研究以及尖端技术方面感应加热技 术的重要性日益明显ｌｌＩＰｌＰｌ．对电热场的研究分析和优化设计是提高感应加热效率关键所在，可以为感 应加热装置的设计和改进提供理论依据。
对加热技术的研究与改进。尤其在节约能源及防止工业污染等方面尤其重要。加热技术的发展主 要考虑如下几方面的问题：
（１）节约能量，减少消耗，降低成本：
（２）尽可能提高加热速度和加热效率以提高劳动生产率；
（３）充分保证加热质量：
（４）尽量减少和消除公害，发展无公害加热技术；
（５）加热过程的机械化、自动化和自动控制；
（６）操作、使用、维修方便，安全可靠。
就加热用能源及加热质量和效率比较而言，采用感应加热较之煤、石油产品、煤气等有如下优点：
据文献Ｈ记载一般利用煤气炉加热其效率在４０％左右，而直接利用电流过电阻产生热量的电炉，其
加热效率在５０％－－５５％２＿问，由于电磁感应加热避免了一般加热装置在热交换或热辐射过程中的热能损
失，所以效率可达８０％以上，电磁感应加热是把电能直接转变为热能，故加热速度极高，高频感应加 热速度可达到每秒几十度甚至几百度”】，而炉中加热只有每秒几度到几十度，并且由于电磁感应加热的 热惯性小，断电后马上断磁，停止加热，控温性能比较准确，并且可以采用自动进行加热温度的控制。电磁感应加热系统不产生明火。不产生任何废气，无空气污染。
在一般炉内间接加热时，由于加热速度慢，加热时间长，导致零件或毛坯表面氧化、炭化严重。
倘若加热过快，表面核心部温度过大，可能产生严重的热应力，导致零件表面甚至开裂，而加热时间过 长，则可能导致晶粒严重过大，给随后的热处理带来困难，丽感应加热时间短，加热温度均匀，可以克 服上述困难。
１－２．２感应加热技术的数值计算概述
对感应加热技术的研究，实际上就是对涡流场和温度场进行分析研究，温度场所需要的热源是有电 磁感应过程产生的涡流功率所提供的。在感应加热装置中，引导激磁电流的感应器及感应线圈起激励电 磁波和传递电磁功率的作用，是实现感应加热的核心部分。因此，直接影响感应加热装置运行性能的感 应器的设计和参数计算是整个装置设计的核心所在，而感应器的设计和参数的计算以及感应加热的热计 算（包括加热过程中的温度变化和分布、加热时间、热流量及热效率等）都要求在求解了感应加热涡流 场的基础上才能比较准确地进行。因此，感应涡流场的分析乃是感应加热整个工程设计计算的重要基础。
感应加热技术是一种先进的加热技术，目前在这方面的研究主要致力于加热电源的研究，而对电 磁场和温度场的研究却比较少。在无数感应加热问题中，需要解决两个系统方程～个是涡流场方程，一 个是温度场方程，这两个系统紧密耦合，由于磁场的介质特性随着温度、磁场强度的变化而变化，并且 热源依靠涡流分布，通常问题的求解需要很长的ＣＰＵ时间，随着维数的增加和变量的增多，所需的时 间更长，系统参数特性的变化将使耦合场成为非线性口”。用时间阶跃法解三维场，可以避免非线性耦 合场的内插计算¨…，从而节省大量的时间。在许多电力装置中，涡流引起的温度场是一个基本的设计
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激融频率对电磁场及温度场分布影响的研究
参数，电磁场和温度场的耦合在三维情况下比较困难，计算较复杂，尤其在暂态分析下。１９９４年Ｉｓｔｉｔｕｔｏｄｉ Ｅｎｅｒｇｅｔｉｃａ等人采用“Ｈｙｂｒｉｄ Ｉｎｔｅｇｒａｌ．ｆｉｎｉｔｅＤｉｆｆｅｒｅｎｃｅ”法，分析三维电磁场加热问题，这种方法不需 要求解非导电区域，并且通常由稳定的数值解【”Ｉ。到Ｉ＋Ｉ前为止。对电热场的计算通常是用边界元法求 解电磁场，根据涡流和焦耳效应，得到求解热场的源值，然后用有限元法求解热场，这两个场采用非直 接耦合来获得整个场的解。
１－２．３感应加热的机理
感应加热除常用工频、退火、回火之外，近几年来高频感应加热技术研究与应用也取得一定成就，
例如电磁灶。在高频条件下，磁介质中的最大磁通密度是相当小的，能够保证磁通密度和磁场强度及时 改变１２”，加热效率较高。
高频电磁场加热的机理，当导体处于变化的磁场中，或者相对于磁场运动时，在导体内部会产生 感应电流（涡流）当电流通过导体时会产生集肤效应，频率越高集肤效应和涡流越强，这样可以提高电 磁感应加热的效率。
涡流功率的表达式：Ｐ＝九．ｆ．ＢⅢ．Ｖ 卜一为铁芯材料的电阻系数；
ｆ一交变电流的频率；
Ｂ。 工作时铁芯中最大的磁感应强度：
ｖ一所用铁芯材料的体积；
所以，涡流功率与电流频率的平方成正比，频率越高，功率越大，当激磁电流的频率达到１０ Ｋ赫兹到
几兆赫兹时，需要考虑磁场的渗入深度㈣∞１：６＝＠．ｆ．ａ．ｔｌｏ．曲“约为１毫米。
ｏ一是电导率：“Ｐ是自由空间的磁导率：
¨一是相对磁导率；卜是电源频率；
并且，未知量的分布集中在渗入深度内。越往导体内部，感应电流和磁通密度越小，当频率达到足够大 时，集肤效应可以将一三维问题转化成一壳体问题来进行求解【１５】，所以无论采用哪种方法， 剖分单元 在接近导体表面的涡流渗入区要求非常严格。
１．２－４高频感应加热技术的研究现状
在数值计算方面，对于高频场的处理有两种方法一类是类似于涡流场的情况，这时求解获得的是 对应某个频率下的磁场分量，另一类专门用于高频场的分析，即为特征值和特征矢量的计算。三维高频 场的计算仍处在发展中，用有限元法解高频电磁场有很高的计算要求口２ｔ，并且当频率超过１０”赫兹时，
位移电流不能忽略。近年来在此方面的研究都集中在二维问题上１２”，对于二维场的计算已发展起来了 一些可靠的计算程序。计算中要解决的是二维边值问题的亥姆霍兹方程，有两种方法可以得到这些偏微 分方程的数值解，一种是有限差分法，另一种是有限元法…’。
在高频电磁场计算方面最早取得有意义结果的是１９６９年ｓ．Ａｎｒｕｅｄ等人用有限元法计算波导取得 的成功。１９７６年ＬＢＬ的Ｈａｌｂａｃｈ等人用有限差分法计算轴对称系统的Ｒｆ谐振腔并编制了程序Ｓｕｐｅｒｆｉｓｈ
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作为二维高频场的计算至今仍具有普用性。１９８３年ＩＰＣＲ的Ｍ．Ｈａｒａ等人提出了六面体单元有限元素法 计算三维高频谐振腔，这种方法本身具有普适性。
近年来，高频感应加热技术发展很快，美国、德国、日本等对高频涡流场的计算进行了火鼍的研 究。例如，日本的Ｍ．Ｅｎｏｋｉｚｏｎｏ在１９９３年曾提出用近似边界元法解高频涡流场，在高频条件下，导体 内产生的感应电流（涡流）作面电流处理，并且边界元方程中涡流项采用表面积分法求得，这种方法与 通常的边界元法相比，近似的边界元法的优点是系数矩阵的维数大大的降低，且剖分单元可以疏一些。
这种方法适用ｒ简单的轴对称场，对于优化的高频感应加热系统也相当有效”’。同年，德国的 Ａ．ｍｕｈｌｂａｕｅｒ等人也采用边界元法计算三维高频磁场加热问题，同样把感应电流等效为面电流，引入矢 鼍电位Ｔ在导体的表面上定义旋度并进行离散，即ｒｏｔＴ＝Ｌ，，ｄ／ｖＪ＝０，这里Ｊ是面电流密度，根据
Ｂｉｏｔ
Ｓａｖａｒｔ定律得Ｂｎ＝ｕｏ，４删ｎ［ｒｏｔＴＩｒ・ｄｓ…。当涡流场的集肤效应相当严重时，用等效的边界阻抗
●Ｊ近似代替涡流场的对外作用的方法，使计算集中在恒定区域中进行，求出表面的场量以后再返回求涡流 区的损耗，这样可节省大量的内存和ＣＰＵ时间【ｌ”。除此之外，还有一些其它的方法，像用边界阻抗、
边界积分、边界元耦合法…及洛仑兹规范下的有限元法…’和ＦＩＴ（Ｆｉｎｉｔｅ
ＩｎｔｅｇｒａｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙ）法等㈣，以
上各种方法都是在某种假设和特定结构的场下求解的，并不是适合于任何情况。为了提高解涡流场的准 确度，未知量的选择、系数矩阵的解析计算以及采用高阶插值函数都是求解高频场关键所在，在这儿个 方面都有所研究‘１８－２１ｌ。我国在高频电磁场技术的理论和应用方面的研究开展的比较晚，但也取得了一定的成果。如西安
石油学院设计制作了一套高频电磁场加热流体的试验…，试验表明，其加热效率远远大于其它的加热
效率。从发表的论文来看，对高频感应加热的研究多为控制系统和高频感应加热电源的研究而较少有电 磁系统的研究。而磁系统的研究能为我国的磁技术应用提供理论依据，有重要的实际意义。§ｌ－３论文主要研究内容
本文以电磁场有限元为基础，研究不同频率对电磁场及相关物理场的作用影响，利用电磁涡流解 决特殊条件下的加热问题，主要内容包括：
１．感应加热的主要理论依据是电磁感应、集肤效应和热传导三项基本理论，因此对集肤效应的分 析与汁算是研究感应加热的基础，本文以轴对称场为例分析在不同的激磁频率下磁场的分布、场量的衰 减程度，以及频率对集肤效应的影响。
２．通过有限元法建立涡流场和温度场间接耦合的数学模型，用单一复矢量爿唯一所满足的边界条 件，推导三维涡流场的有限元方程和有限元离散格式。通过涡流场计算单元内部热源强度，计算感应加 热零件的温度场。
３．利用本文所推导的涡流场和温度场的有限元离散格式编制相应的软件，并通过一个实例对所推 导的格式进行验证。
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
第二章集肤效应的分析与计算
§２－１引言
从电磁场方程组出发，分析导体中电场强度、磁场强度及电流密度的分布，发现它们有一个共同的 规律，导体表面的场量最大，愈深入导体内部，场量愈小。这种现象称为电和磁的集肤效应总称集肤效 应。随着激磁频率和导体电导率的不同，集肤效应不同，本章以轴对称有限元法对金属圆筒的电磁系统 进行分析，研究在不同的激磁频率下磁场的分布、场量的衰减程度。
§２－２集肤效应及透入深度
从能量的观点很容易理解产生集肤效应的原因，由于导体的电导率，，≠００即电阻率Ｐ≠０，所以其
中有能量损耗，即有一部分电磁能转变成热能。因此，当电磁波进入导体内部时，随着与表面距离的增 大能量逐渐减少，从而引起电磁场量的逐渐减弱。
集肤效应是由载流导体自身磁场所造成的，导体自身磁场在导体内建立反电动势，它的方向与外加 电动势相反，在导体内部几层穿透的磁通最多，反电动势也最大，在导体外部几层穿透的磁通较少，反 电动势也小。因此，导体表面的合成电动势比里面几层的合成电动势大，致使电流分布趋向表面，电流 从表面向里面近似按指数曲线迅速衰减，在距表面Ｘ处的电流密度可用下式列出：
Ｉ，＝ｌｏｅ一班
其中，，，一距离表面ｘ处的电流密度；
』。一表面电流密度：
ｅ一自然对数底；
万一电流透入深度：
场量在导体内的衰减快慢又可用导体的渗入深度占表示，因此，集肤效应与透入深度之间有着密切 的关系，当电磁波从导体表面向导体内部传播时，经过距离占后，其值衰减到表面值的ｌｉｅ（即为表面 值的Ｏ．３６８倍），占为该导体的透入深度。
根据定义，对于均匀平面波ａ８＝１
６
Ｊ：土：
口
ａ为电磁波的传播常数的实部。
河北工业人学硕．｛：学位论文
对于良导体，ｊ冬＞＞ｌ，有占。
∞２占‘
（２．２）
由此得出：（１）电导率、磁导率及频率这三个物理量的值越大透入深度越小，透入深度和它们每 个罩的平方根成反比。（２）透入深度仅表示场强或电流密度在该处已衰减到表面值的１／ｅ，而在大于占的 区域内，场强和电流密度并不等于零，Ｊ越小表示电磁波衰减的越快。集肤效应在涡流场中应用非常 广，如电加热装置中针对不同的加热材料如何选择最佳频率以达到最佳效应，无损探伤中，对不同的试 ｒｌ：由于不同的阻抗特性，选择不同的探头：电屏蔽装置中的频率、材料的选择等等。由于干扰因素较多，
通过数值模拟、分离变量找出其变化规律为优化设计找到理论依据再与实际结合则是最有效的途径。
２－３—１微分方程和能量泛函
§２．３轴对称电磁场有限元分析
现对一空心金属圆筒结构的轴对称电磁场进行分析ｐｏＩ，载流线圈在圆筒内部如图２．１所示，求由带 正弦电流激励的空心圆柱导体内的涡流分布。
Ｊ Ｌ
豸
３０
’ｌ。广．
１ｒ
硎
Ｊ Ｌ
必
彩
ｒ
羽
ｒ／ｅｍ３０ １
２０ ｒ
彭
１ ｒ
图２．１空ｍ金属圆筒及其内部的载流线圈结构图
Ｆｉｇ．２．１ Ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｏｆｈｏｌｌｏｗｍｅｔａｌ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ａｎｄｉｎｎｅｒｃｕｒｒｅｎｔ－ｃａｒｒｙｉｎｇ ｃｏｉｌ
对于圆柱坐标系ｒ－ｚ平面的轴对称似稳交变电磁场，复向量磁位Ａ＝４。满足复数形式的扩散方程 其ｒ＿ｚ坐标系下的边值问题为：
Ｑ：导（矿＿＝ａＡ＿－）＋＝ａ。ｉｖ ａ（．ｒＡ）１．：一五＋ｊａｘｒ／ｔ
ｏｚ Ｏｚ Ｏｒ ｒ Ｏｒ
ｒｌ：ｊ三＝五
（２．３）ｒ：丝：０
＿［７ｎ
式中，丑复磁势位，了。复源电流密度，∞激励正弦电流的频率，盯试什的电导率，Ｖ试什的磁阻
率，ｊ。第一类边界磁势何已知值。
岳
墼璧墼耋翌皇璧丝垒堡塞丝坌耋矍塑竺丝圣
令Ａ一＝ｒＡ—
Ｖ’＝∥，， 仃’＝州，，并将坐标ｚ、ｒ变换为ｘ、ｙ，则上式可写成类似丁－平
面场方程的边值问题的形式，即
８
Ｑ：昙（Ｐ婴）＋晏（ｙ’ｉ０２＇）：一五＋ｊｏｘｒ。五 积Ｏ冀 钟 鲫
（２．４）
将微分方程写成类似于Ｐｏｉｓｓｏｎ方程的形式：Ｖ．ｖ’嘶。＝一－７，十ｊｃｏｃｒ’ｊ‘，用算子方程表示则为
Ｌ（２。、一ｆ＝０
式中：算子Ｌ＝一（Ｖ’ｙ
Ｖ）＋ｊｗｃｒ，／＝Ｊ，。
相应的泛函为：，（ｊ。）＝ｉ１ Ｌｊ’Ｌ（２’）加一Ｌ：２’加
＝告Ｊｎ亦一Ｖ・ｙ‘呖’）＋ｊｏＪｏ＂’ｊ。］ｄｎ—Ｊｎｔ７，ｊ。鼬
Ｇｒｅｅｎ变换：一『ｎ ｊ’Ｖ・Ｖ’嘶’地＝Ｊｎｙ’（嘶‘）２锄一『ｒＶ’ｊ１‰ａｎ
赃，（动＝ｆｎ三Ｖ’（嘶’）２扪＋『ｎ争∞盯彳２施一』ｎ五ｊ。扪一『ｒ争曩等出
代入第二边界条件，则得到相应的能量泛函为：
Ｉ（动＝￡［争’（Ｖ动２＋寻，∞盯刁２ ｔ动ｍ
＝儿｛争’［（芸）２＋（等）２】＋寻如一２ ｔ衲蚴 ㈦ｓ）
呵¨等价的蛮份问顾为．
砸’）＝ｆ『ｎ｛扣§２＋（等２】＋吉∥矛Ｉ动姗谢ｎ
１１ｌ：Ａ＝Ａｏ
（２．６）
４
如
肚
一丝锄
■
Ｒ
塑！！三些查耋堡圭兰堡篁圣
２＝３．２离散方程
将求解区域剖分成有限数量的单元，进行单元分析，把解函数向量位ｊ’用基函数Ｍ和节点函数
值互展开，既：
互‘＝∑互Ⅳ
式中ｎ为求解区域中币点的总数。
将（２．７）代入（２．５）泛函，并令
—ａ。／：０ 醐．
则得１１阶联立方程组
ＸｓｇＡＪ＝ＦＩ
舯，Ｓ Ｈ＝ｌｘｊ可Ｎｔ・可ＮｉｄＱ＋ｌｎｊ∞。ｊＮｔＮ｜ｄＱ
＝ｌｎ挚ＫⅥｄＱ＋ｂ专ＮｌＮｉｄＱ
Ｆｉ＝ｌｎｊ
ｓＮ。ｄＱ对于三角形单元。取场变量模型为：
ｊ’（ｘ，力＝∑Ｎ．。五
』
式中世，Ｍ，＾ｒ为三角形三个节点的编号。
基函数：Ⅳｊ＝去（ｐｆ＋吼ｘ＋，ｌｙ）
枢随懿
Ｓ；＝ｌ≈Ｖ飞Ｎ；・可Ｎ：ｄＱ＋ｌ≮ｊ∞。Ｎ；Ｎ：ｄＱ
（ｆ＝１，２，……，挖）
（ｆ√＝ｔ，２，……，以）
（ｉ＝Ｋ，Ｍ，Ⅳ）
＝儿号ｃ等等＋等等，姗＋儿／∞≯，一锄
由积分公式
ｎ、≥ｄ））＝，ｎ、蛐＝亏△
（２．７）
（２．８）
（２．９）
（２．１０）
（２．１１）
９
鍪丝墼童墼皇璧丝墨塑璧丝坌至墅塑墼竺耋
式中：歹一三角形重心处的半径，可取
歹＝１．５，（
＋ｙＫ＋ｙＭ ｙ¨＋ｙＮ
＋——Ｌ一） （Ｋ，Ｍ，Ⅳ均不在对称轴上）
ｙＮ＋ｙ‘
歹＝（Ｙｒ＋ｙ＾，＋ｙⅣ）／３ （Ｋ，Ｍ，Ｎ有两点在对称轴上）
ｎ抄Ⅳ；螂＝Ⅱ厩蔫》 Ｇ雕ＭⅣ，
上式积分可采用近似的二次数值积分。例如：
ｆ【百—等冬姗：垒（—Ｌ＋—Ｌ）
３她Ｎｔｙｘ＋Ｎ０ｙⅥ＋Ｎ★ｙＮ
ｊ６、ｙｘ＋Ｙｕ ＹＫ＋ｙ
ｖ。ＪＪｌ瓦《等而姗＝舍ｃ赢，
单元系数矩阵ｓ。中的元素西为：
跽２齿ｃ＂２《，＋会ｊｃｏｃｒｃ六十击）
％２齿（ｇ。＋乇）＋舍肛（爿瓦＋点）
ｓ知２齿（＂２瑶，＋舍如（＿≥＋击）
％邻知２齿（ｑｘｑｕ＋ｒｘｒｕ）＋舍ｊｃｏａ（赢）
％邻知２齿（ｑｕｑＮ＋～～）＋舍如（爿瓦）
％豁知２齿（ｑＫｑ”＋ｋ，Ⅳ）＋会ｊｏＪａ（击）
２－３—３场量的计算
在解出节点的ｊ１＝（ｊ：，互，……，ｊ：）７后，即可得节点向量磁位ｊ＝ｊ’／ｙ（ｙ—ｒ为节点的半径）
的离散值。
１．磁力线。等位线即等历值，不是等ｊ值，取不同时刻的国ｆ的值。代入求取：ｒＡ＝，。（ｒ爿ｅ ７“）
Ｏ
河北工业大学硕士学位论文
不同的时刻有不同的磁力线分布。
２．三角形单元内后的计算：
百：豆：ｔ＋后，‘：一（姿ｔ一＿０７４＇ｔ） 咖
ｏｘ
＝击靠五＋％无＋‰蜀砭一面１（鲰五＋％瓦＋ｇⅣ五）弓 ｃｚ．㈦
３．单元内的涡流计算：
ｔ＝ｆｆ△（一ｊｏｍｒｊ）ｄｘｄｙ＝儿（一，∞等）姗
ｊ∞鞑 Ｎ（Ａｘ＋ＮⅥＡＭ＋ＮＮＡＮ ＮＫＹ‘＋ＮＭＹＭ＋Ｎ ｖＹＮ
采用近似的二次数值积分，得：
≯，∞拿ｃ糕＋糕＋鬻，
§２－４计算结果
１．根据感应器和金属圆筒的对称性，有限元计算模型取结构的１／４进行分析，以铝为材料，电阻 率取为２．８３Ｅ．８ｆｔ・Ｍ，采用三节点三角形单元，剖分图如图２．２所示。
图２．２空。金属圆筒及其内部的载流线圈剖分图
Ｆｉｇ ２．２ Ｐｌｏｔ ｄｒａｗｉｎｇ ｏｆｈｏｌｌｏｗ ｍｅｔａｌ ｃｙｌｉｎｄｅｒ ａｎｄ ｉｎｎｅｒｃｕｒｒｅｎｔｃｏ
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
２．利川（２．６）式建立的求解格式，可以得到整个场域中各个节点的磁矢量位ｊ， 磁力线分布如
幽２ ３所示，从磁力线分布图中看出：频率越高，透入深度越小，集肤效应越明显。
图２．３．１频率：５０Ｈｚ导电率：３．５Ｅ＋７１１２・Ｍ
图２．３．２频率：４００Ｈｚ导电率：３．５Ｅ＋７／ｎ・Ｍ 图２．３不同频率下的磁力线分布图
Ｆｉｇ ２．３
Ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ
ｌｉｎｅｓｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ望些三些奎兰璧耋兰堡丝兰
３．电阻率等于２．８３Ｅ．８Ｑ－Ｍ的铝材，在激磁频率等于５０赫兹的激励源作用下，其涡流密度分布如 图２．４所示。由图可知离激励源越远，涡流密度越小，涡流变化越小。
２
图２．４涡流密度分布图 Ｆｉｇ２．４ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔｄｅｎｓｉｔｙ
表２．１不同半径处涡流分布
Ｔａｂｌｅ２．１Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒａｄｉｕｓ
层 半径（ｍｍ） 平均电密实部 虚部 层总电流实部 虚部
１ １１．０ ３８４．９６０４ —３５７．０４６８ ０．３５８９ ．０．３４５６
２ １３．Ｏ ２６７．０７８４ —３４２．５４２９ ０．２４６８ ．０．３３１１
３ １６．０ １３２．９７８０ －２９２．３６６４ ０．５９８４ ．０．９１１２
４ １１１．０ 一１５．２３４０ ．１８８．４７９ｌ Ｏ．１８９０ —０．８８３７
５ １３２．０ －４３．０７０７ ４９．５７７７ ＿０．１３４５ ．１．６４２７
６ １７５．０ ２．７８６ｌ ９．２８６９ －Ｏ．ｏＳ３５ —０．６７９０
§２－４小结
集肤效应是感应加热的主要理论依据之一，因此对集肤效应理论的研究是研究感应加热的基础，本 章采用轴对称有限元法对一个空心金属圆筒结构的电磁系统进行了分析，并对磁场强度、涡流密度进行 了计算，给出了两种频率下的磁场分布，随着激磁频率的增高，导线半径、磁导率和电导率的增大，场 量衰减越快，透入深度越小，集肤效应越明显。这是因为磁导率的增加使导线内部磁通增加，导线截面 半径和电导率的加大加强了感应电动式的影响。在相同加热功率的前提下，集肤效应越强，加热效率越 高。
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
第三章涡流场复矢量磁位有限元法
§３－１引言
对于Ｊ二程电磁场问题，当所分析的现象必须考虑电场或磁场随时间变动的特征时，例如计算大型 电机、变压器的电、磁屏蔽和导体、金属构件中的涡流损耗时，又如设计利用涡流效应来产生力和热的 直线感应电机、电动悬浮系统，感应加热设备时，都需对涡流场进行分析研究。当激励源频率较低时，
例如ｆ＝５０Ｈｚ时，传导电流密度与位移电流密度之比约为１０ ７数量级，故可忽略时间因子和位移电流的 影响。用复矢量磁位求解三维涡流场，在每一个离散点处均有三个未知量，虽然未知量个数较多，由于
矢量磁位４在不同的交界面上是连续的，不需要对交界厩的条件进行特殊处理，离散后的系数阵对称 等优点，况且在处理感应加热问题时，可以适当加大非导电区域（即空气域）的网格，从而减少总的未
知量个数。本章以矢量磁位一作为求解对象，推导涡流场所满足的微分方程，对矢量位４的唯一性进 行证明，并以八节点六面体等参元为例给出涡流场的离散格式。
§３－２涡流场矢量位微分方程
首先，为简化分析特作如下假设：
１．区域只有两部分：导电区域Ｉ，非导电区域ＩＩ；
２．导电材料均匀、连续，导电率ｄ，导磁率肛均为常数：
３．不存在自由电荷，忽略位移电流；
４．源电流随时间按正弦规律变化；
从电磁场基本方程组－－Ｍａｘｗｅｌｌ方程出发，推导由位函数４描述的正弦时变场的基本方程，
励源作正弦变化的时变电磁场，其Ｍａｘｗｅｌｌ方程为：
Ｖｘ程：ｊ｝堡
西
Ｖｘ豆：一塑
西
ｖ．雪＝Ｏ
Ｖ・Ｄ＝Ｐ
各场量之间的关系：Ｄ＝占Ｅ
Ｂ＝ｕ Ｈ
１４
馓
Ｄ
动
∞
ｍ
忏
限
ｎ
ｏ
ｐ
耳
河北工业大学硕｛二学位论文
ｊ＝ｏ宅七３；
ｓ是电容率，Ⅳ是磁导率，盯是电导率，当场域中存在局外电场啻。时，电流密度．７＝盯（Ｅ。＋雷）
ｔ７ ｓ＋盯豆，式中．７ｓ为激励源电流密度矢量，盯豆为感生电场强度产生的涡流。
度，即
由假设条件（３）忽略位移电流，其基本方程变为
ｖ×疗：了
ｖ。豆』一塑
西
Ｖ．Ｂ＝０
Ｖ．Ｄ＝０
引入矢量磁位ｊ．定义秀＝ｖ×ｊ，则Ｍａｘｗｅｌｌ第二方程可改为
（３．５）
（３．６）
（３．７）
（３．８）
Ｖ×豆＋昙（Ｖ×ｊ）＝Ｖ×（豆＋丝ｏｔ）＝ｏ，由于丘＋詈为无旋场，可表示为标量位函数‘Ｐ的负梯
豆＋丝：一ｖ口
ａｆ
将画＝ｖ×ｊ与之联立得
豆：一ｖ∞～丝
研
ｂ堕：一ｖ驴 Ｊ
西｜画＝Ｖ×ｊ
【
（３．９）
由此联立式，很容易看出：如果己知‘ｐ和ｊ，便能唯一决定场矢量豆和Ｅ，但是如果己知Ｂ一和豆
却不能唯一决定够和ｊ。因为如果令：
ｊ‘：ｊ＋ｖ、王，
． ａ甲
妒２妒一百
其中，甲为任意标量函数，则：ｖ×ｊ＋＝ｖ×ｊ＋ｖ×ｖ甲＝ｖ×ｊ＝豆
（３．１０）
（３．１１）
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
咖‘一等＝＿Ｖ＠＋－－优－Ｏ Ｖ甲一鲁一昙Ｖ—ｗ一堕Ｏｔ＝Ｅ
可见，对应～组后和Ｅ一，可以对应多组的∞和ｊ。我们将矢量位ｊ和标量位∞称作动态位函数
变换不同的ｊ—＇ｊ’，相应有变换妒—＇妒‘，可以得到相同的Ｂ一和Ｅ一。位函数的这种变换，我们称作
规范变换，Ｂ一和Ｅ一的这种不变性称作规范不变性。
如果我们选择：
甲＝［。伊出
账 ｐ‘＝妒一鲁ｆ。妒出＝。
相应的：
ｊ！＝ｊ＋［。Ｖ伊成
等ｔ＝堕０ｔ＋Ｖ伊
ａ毫无疑问，我们选择的这一组ｊ‘，妒’能得到同样的雪，豆值。
这时：雪＝ｖ×ｊ＋
；
撕’
Ｅ＝一一
ａｆ（３．１２）
（３ １３）
根据Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ理论，如果给定一个矢量函数的旋度，只有在它的散厦也确定时，这个矢量函数才 能被唯一确定。
由基本方程（３．８）式有：
Ｖ．ｊ‘＝０
可见这时我们只能选择库仑规范条件，这是由于选用的这一组ｊ‘，矽’导致的结果。
为方便起见，仍将ｊ‘记为ｊ，贝ｌＪ（３．１２）及（３．１３）变为：
后＝Ｖ×ｊ
ｆ３．１４）豆：一姿
ａｆ （３１５）由基本方程（３．５）得控制方程：
Ｖ×哇Ｖ硇ｔ吲一》
６
由基本假设（２）、（４）得：土ｖ×（ｖ×ｊ）＋，∞葫一五＝ｏ
芦
§３－３矢量位ｊ的唯一性证明
（３．１６）
为了不失一般性，我们设在区域内含有两种不同介质Ｉ和ＩＩ如图３．１，两种介质的交界面为Ｓｎ２－可 以证明如果在边界面上给定边界条件：
ＳＩ：Ａｆ＝Ａｆｏ
趾亓×咕Ｖ×ｊ）＝矾
（３．ｉ７）
（３．１８）
则复矢量磁位ｊ具有唯一性．
设在整个区域内，存在两个复矢量磁砬互和
ｊ２，它们都满足控制方程（３．１６），在边界上满足
（３．１７）和（３．１８）式，在ｉ、ｉｉ的交界面上ｓ１２
图３．１场域模型
Ｆｉｇ ３．１ ｍｏｄｅｌ ｏｆｆｉｅｌｄ ｒｅｇｉｏｎ
上满足Ｈｔ与Ｂ。的连续条件，且定义ｎ１２为Ｉ到ＩＩ的法线（Ｓ１２面上），Ａｌ组成的边值条件为
ｖ×（ｊ—ｖ×ｊ１）＋，舸ｌＡ。。一Ｊ’ｓ。＝０
，ｕｌ
１ 一 ．
Ｖ×（—ＬＶ×４ｌ＋／∞２Ａｌ—Ｊｓ２＝０
一咆
：Ａ¨‘Ａｔｏ
：元×（二Ｖ×４）＝日¨
％：ｊｉｌ：×去Ｖ锄氓×（击Ｖ×互）
Ｓ。。：ｊ沪互。
％：元×唛Ｖｘ互）＝鼠，
Ａ２所组成的边值问题，只要将４换成爿２即可。
令，Ａ。３＝Ａ’１～Ａ２ 则，丑组成的边值问题为
（３．１９）
■
％墨墨
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
８
ｆ巧：ｖ。（ｊ—ｖ。ｊ，）＋，∞盯．ｊ，：０
｜％：ｖ。（ｊ—ｖ。ｊ，）＋＿，脚盯：互：０
∥２
ｌｓ∥Ａ３。＝０
｛ｓ，２再。（土ｖ。ｊ，）：０
ｌＳｌ２焉：。（上ｖ。互）：元１２×ｏｖ。互）
ｐ１ ．ｕ２
ｌＳⅣｌ：Ａ３，＝０
｝酚：：再。一ｖ。互）：０
【 Ｐ２
利用矢量恒等式：曩卢×豆・亓凼＝Ｌ（Ｖ×声・Ｑ‘－ｅ‘・Ｖ×豆）ｄ矿
先考虑Ⅸ域Ｉ：
取，声：霉。Ｑ：上ｖ×丑，其中Ｚ为丑的复共轭，则
∥１
（３．２０）
（３．２１）
似×（去Ｖ幽谳２ Ｌ【Ｖ×夸唼Ｖ诅脚沁×（去Ｖ喝炒 ＠ｚｚ，
上式的左端为：
晏小（去Ｖ垴Ｍ凼２ Ｌ。霉×去Ｖ垴），础＋Ｌ：ｚ×吉Ｖ咀ｍ出
＋邸×（去Ｖ×互Ｍｚ凼
２珈五‘（去Ｖ×互肛Ｌ：－；ｉ×套×互）。霉出＋娣×去Ｖ×丑ｍ和
根据互的边值问题可知，上式右边前两项为零。故（３．２２）的左端为：
蜉×（去Ｖ喝ｍ西２娣×岳Ｖ锄啊：荪
２
Ｌ：啊：×去Ｖ确巾；出
再考虑区域Ｉｌ，在（３．２１）式中取Ｐ：墨，Ｑ：上ｖ×互，我们得到：
∥２
塑！！三些奎兰堡圭耋堡兰兰
一
晏墨×唛Ｖ×互ｍ凼＝Ｌ【ｖ×鸳‘唼Ｖ垴）－墨．ｖ×哇Ｖ×丑彤矿
这时：Ｓ＝ＳＩＩｌ＋Ｓ１１２＋Ｓｉ２ 可以推得（３．２３）式的左端项为：
蝣×咖蛹Ｍ丞＝姆×哇Ｖ诅巾：出
根据＂４３的边值问题，我们将（３．２２）Ｌｊ（３．２３）两式相加，得到：
胂×省）・去Ｖ×互）一五．ｖ×唼Ｖ×互埘川拇×霉）．（∥ｉ：ｖ×五）
一霉．Ｖｘ二ｖ×互）Ｆ矿卸
，ｕ２
根据（３．２０）式有：
Ｌ【（ｖ×霉）（去Ｖ×互）＋＿，叼・五・五】∥＋Ｌ［（ｖ×ｚ）．（去Ｖ×互）
＋ｊｏｏ＂：霉．互］ｄｒ＝０
由于此式左边的４个积分项均恒大于或等于零，故我们有：ｊ，；０
于是有ｊ。＝ｊ２
因此，当我们在边界上给定边界条件（３．１７）和（３．１８）式时，控制方程（３．１６）具有唯一的解。
３４．１涡流场控制方程
§３－４感应加热中涡流闯题的控制方程
（３．２３）
（３．２４）
（３．２５）
（３．２６）
本文采用伽辽金进行求解，设有两个不同的导电区域Ｉ和ＩＩ如图（３．１），由（３．１６）其控制方程分别为
区域Ｉ：上ｖ×ｖ×ｊ＋，∞盯；ｊ一五。：０
∥１
区域ＩＩ：—Ｌｖ。ｖ。ｊ＋＿，何：ｊ—Ｙｓ２：０
Ｐ２
设误差残值（余量）为孟矢量，则：
望丝堡童墼皇丝丝垒塑矍塑坌查翼塑墼丝塞
ｊ｝２ Ｌ肌＿∥ｉ．ｖ×Ｖ×ｊ伽币也炒＋Ｌ矿（知×Ｖ×ｊ＋Ｊ６００＂２－－Ｌ炒
其中∥为权函数，由矢量关系式：
Ｖｘ（呖）＝ｕ（ｖ×ｊ）十Ｖｕ×ｊ
ＬＶ×勃ｙ＝靠×船
Ｊ矿 ３ｓ得：
ｊｉ
２Ｌ【Ｖ×（∥知×两一去Ｖ∥×（Ｖ×初ｄｙ＋Ｌ／珊仃，厕∥一Ｌ时ｓ—ｄ矿
＋Ｌ【ｖ×（∥｝确一去Ｖ嘲Ｖ确∥
＋０∞舯删一ｌｙ｜们ｓｚｄＶ
豆２矗疗×（∥知×乃一ＬＶ形×去Ｖ×ｊ）ｄ矿＋Ｌ＿，∞ｔ肠ｄ矿一Ｌ刃“ｙ
＋Ｌ引矿知确一ＬＶ矿×咖曲ｄｙ
＋＂∞廊ｙ—ｌｖ｜丽ｓ：ｄＶ
考虑到在耦合边界Ｈｔ的连续性，我们有
ｊｉ
２Ｌ元×（矿与，ｕｌ×两一ＬＶ∥×（知×ｊ）ｄ矿＋Ｌ，∞，肠ｄｙ—Ｌ时。．ｄ矿
＋￡。引∥旁锄一ＬＶ肌（ｉ∥：ｖ硇ｄ矿
＋”∞。２Ｗ７４ｄＶ—ｌ。咿ｓ２ｄＶ
３．４－２感应加热问题
（３．２７）
感应加热问题一般采用螺旋管加热如图３，２，当导线通过交变电流时，在加热零件中产生涡流，它 有两种区域，ｌ：加热零件，导磁率为斗，导电率为ｏ，ＩＩ：空气域，导磁率为№，导电率ｏｏ＝Ｏ。空气域 的外表面取到无穷远处，则在此处满足：
元×（上ｖ。ｊ）：０
／１０
河北工业大学硕士学位论文
在空气域中且有外加电流密度工２＝０，为了简化计算我们还假定加热零件是圆柱形的。
Ｉ
图３．２感应加热器结构图 Ｆｉｇ ３．２ Ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｄｕｃｔｏｒ－ｈｅａｔｉｎｇ 由（３．２７）式可得感应加热涡流问题的残值方程为：
ｊｉ＝一ＬＶ∥×（》×Ｊ）ｄ矿＋Ｌ－，国盯一Ｗｊ４ｄＶ—ｊ：，，，Ｗ３ｓｄＶ
—ＶＷｘ印抽∥
§３－５有限元方程
为方便起见，我们设所有单元均为８节点单元，取：
ｇ
ｊ＝∑Ｎ，ｊ，
Ｊ—ｌ
Ｎｊ为形状函数，Ａ，为节点上的值，权函数∥＝Ｎ。。
如图３．３所示为边长的标准８节点单元（在ｒ，Ｓ，ｔ三维自然坐标系中）。
阶吉（１＋ｒ）（１删（１＋ｆ）
Ｎ：＝；（１一，）（１＋占）（１＋ｆ）
Ｎ产吾（１一，）（１一一）（１＋ｒ）
№言（１州（１叫（１＋ｆ）
陋；（１州（１删（１－ｆ）
Ｎ６＝ｌ（１－ｒ）（１＋ｓ）（１一ｆ）
Ｎ，＝；（１一ｒ）（１一ｓ）（１一ｆ），
№；（１＋ｒ）（１叫（１＿ｆ）
（３．２８）
图３．３八节点六面体等参元
Ｆｉｇ ３．３ ｅｉｇｈｔ ｎｏｄｅｓ ｈｅｘａｈｅｄｒｏｎ ｅｑｕａｌ ｃｅｌｌ
２
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
准单元。
如果采用等参元，则变换式为：
ｘ：圭嵫也墨魄，ｙ：批¨，ｒ执，ｚ：氛（ｒ，品魄 ∽∞，
其中，ＸＩ，ＹＩ，ｚ女为单元节点ｋ的整体坐标值，孵（，，ｓ，ｔ）是节点ｋ的形状函数，（ｘ，Ｙ，ｚ）为单元
中任意一点的坐标。可以证明，坐标变换图形问一一对应的充分必要条件是：坐标变换函数偏导数组成 的雅可比行列式ｌＪＩ不等于零或无穷大。
ｌＯｘ砂ＯｚＩ
ｆＯｒ Ｏｒ Ｏｒｆ
…＝陪罢剖
隆Ｏｔ鱼Ｏｔ割Ｏｔ
其中由（３．２９）式可得：
妄＝砉警故，塞＝砉象，瓦Ｏｘ＝毫挚。
害＝浯，瓦＿一台占≯ｏＮｆ。，塑Ｏｔ＝著８争ｅ。
害＝罄，塞＝罄，砉＝捌Ｏ矿Ｎ；ｚ 务智勿¨西鲁穗¨ａｆ 捌ｕｌ‘
整体坐标系中的体积元在自然坐标系下的表达式：
ｄＶ爿ＪＩｄｒｄｓｄｔ， ＩＪＩ即为雅可比行列式。
令，扫，｝＝曲，，一。，４，Ｆ，由（３．２ｓ）式，残值方程的第一项：
豆一Ｌ册×（》幻）耖
将区域１的某单元中的这项离散写成矩阵形式・用符号【Ｋ。】ｌ表示系数矩阵。
其中：ｋ。ｌ—一Ｌ丢
堡苎三些奎茎竺圭兰堡丝兰
ＯＮ，ＯＮｊ ｃ３Ｎｊ ａＮｉ
砂砂
瑟瑟ＯＮ，ＯＮｊ
舐砂
ＯＮｊ ＯＮ，．．．．．．一—－－－－－－一 Ｏｘ＆
残值方程的第二项
８Ｎ？ＯＮ｜
●＿－－●＿－一＿＿＿＿＿＿＿＿一 砂苏
ＯＮ，ＯＮｊ ８Ｎ．ＯＮｊ瑟Ｏｚ
缸Ｏｘ
８Ｎ。ｃ３Ｎｊ。●＾●＿＿一。＿＿。，＾＿一
砂出
ｊｉ：＝Ｌ叨厕ｄｙ
掣掣 ］
垂ＯＮ，童ＯＮ Ｉｄ屹ａ ｌ…
∽赢ｙ，ＯＮｊＯＮ
捌。ａＮ
Ｊ＼
敏苏 Ｏｙ砂ｊ
ＮｔＮ，０
０｜
舯“卜∽１ ００繁时圪
ｏⅣｆⅣ，Ｊ
Ｂ＝一Ｊ。ｗ，ｄＶ
『Ⅳ．，。］
陋１乩。∽，。
残值方程的第四飘豆＝一ＬＶ形×印锄ｄ矿
将区域１１的某单元中的这项离散写成矩阵形式，用符号【ＫＦ】３表示系数矩阵。
舯嘞卜一Ｌ去
ＯＮ，ＯＮｊ ８Ｎ—ＯＮｊ
砂砂
瑟国８Ｎ？８ＮＪ
苏砂
ＯＮ，ＯＮｊ．觑瑟
ａＮ．ＯＮｊ
砂缸
８Ｎ？ＯＮｊ ａＮｔＯＮｊ瑟瑟
苏反
ＯＮ，ＯＮｊ
却ａｚ 墓Ｏｚ 出
ｌＯＮＪＯＮＯｚ ＯｘＯＮ ＯｙＯＮＯＮ，号ａＮＯｘ卜 乱却ｌ
Ｊｌ… ｆ。
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
综上所述，当单元在区域Ｉ内时，【Ｋｑ】２【彪Ⅱ】ｌ＋【Ｋ，】２
当单元在区域１１内时，［ＫＦ】２【Ｋ，】３
由（３．２８）式，令余量五＝ｏ，我们得到有限元方程：
其中
系数矩阵：
［七】。
此是一复数阵。
ｋｂ】＝园 ｋ】＝∑陆Ｌ
Ｍ＝∑帆
Ｉｘ］－－∑ｋＬ 陆。ｌ】 ｋ。：】
陆：。】 ｋ：：］
扯。．】 耻。：】
乩＝
［ｐｉｅ＝
Ａｈ Ａｌ，
４ｋ
●
●
４，
Ａ。，
４：
陆，。】
ｋ：。】
●●●●●
［七８。】
（ｎ是单元总数）
此为一复变量列阵。
（３．３０）
方程组（３．３０）为对称稀疏阵，本文采用１ＣＣＧ算法求解，非线性迭代采用牛顿一拉夫逊法。通过有
限元方程（３．３０）求得五．再求得加热零件的涡流（详见第五章）。
２４
ｈ．．．ｈ
—．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。．．．．．．．。Ｌ
河北工业大学硕士学位论文
§３．６小结
涡流电磁场的分析和计算一直是人们关注和努力解决的课题，但由于涡流场的性质比较复杂（如三 维特性、边界条件不确定等），所以工程界在进行感应加热设计计算时。往往回避对涡流场的分析，或 者把比较复杂的涡流场模型简化成理想的程度，这显然无法满工程的需要。本章对三维涡流场有限元法
进行了分析，用矢量磁位彳作为求解对象推导了含有两种区域的涡流场方程，对矢量磁位彳的唯一性 进行了证明。为了将涡流场方程应用到感应加热系统中，本文又以螺管结构感应加热器为例推导出了感 应加热涡流场的控制方程，并用八节点六面体等参元法对方程进行了离散求解。
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激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
第四章温度场问题的有限元法
§４＿ｌ引言
在线圈中通有交流电时，铁芯中会感应出涡流，涡流所产生的焦耳热是温度场热传导数学模型中的 热源。热的传导是指物体各部分或不同物体之间直接接触产生的热传递现象，热量的传递是依靠物质的 分子、原子以及自由电子等微观粒子的热运动而进行的。本章利用ｇａｌｅｒｋｉｎ法推导非稳态有内热源的轴 对称温度场的有限元法的基本方程，根据不同的边界条件对单元的积分计算进行推导，并对瞬态温度场 有限单元法的求解特点进行分析。最后通过一个实例对温度场有限元法的基本方程进行验证。
§４．２轴对称温度场偏微分方程
对于平面问题，方程的形式为：
署＝去（窘＋等４ｋ）
ａｔ ｐｃ。、８ｘ１ ａｙｚ㈤，，
式中，Ｔ［．ｃ】为物体的瞬态温度；
ｔ【ｓ】为物体加热所用的时间；
ｋ【矿／（舯４Ｃ）］为材料的导热系数，作常数处理：
烈ｋｇ／聊３】为材料的密度，作常数处理；
ｃ。【，“瞎・。ｃ）］为材料的正定比热，作常数处理；
ｑ。［Ｗ／ｍ３】为材料的内热源强度：
ｘ［ｍ】和ｙｆｍ】为直角坐标；
对于轴对称问题，方程的形式为：
署＝去ｃ窘＋吾罟＋窘＋≯
ａｆ ｐｃ。、ａ，２‘，ａｒ’沈２
七７∽ｚ，
、…７式中，ｒｉｍ］和ｚ【ｍ】分别为半径和对称轴。
为了使平面问题与轴对称问题用一个计算机程序将上式改为：
鲁＝去ｃ等＋吾警＋窘＋≯
ａｔ ｐｃ。、０ｒｚ ｒａｒ ８ｘｚ ｋ。＠，，
、。实际上是把轴对称物体的对称轴ｚ改为Ｘ，这样，在轴对称问题中的对称轴就是平面问题中的横 坐标Ｘ，而轴对称问题中的半径ｒ就是平面问题中纵坐标Ｙ，他们是一一对应的。
为了得到固体导热偏微分方程的唯一解，必须附加边界条件和初始条件，统称为定解条ｆ，｝，与微
垫苎三些查耋堡圭兰堡堡兰
分万崔联立求解。
第一类边界条件：ＴＩ，＝％
第一类边界条件是指物体边界上的温度函数为已知，式中Ｆ为物体的边界，乃【。Ｃ】为已知温度。
第二类边界条件：一七丽ａＴ ｉｒ＝９２
第二类边界条件是指物体边界上的热流密度为已知，式中，ｑ２［Ｗ／ｍ２】为已知热流密度。
第三类边界条件：一‘丽ａＴ ｌ，＝ａ（ｒ一０）１ｒ
第三类边界条件是指与相接触的介质的温度乃和换热系数口为已知，式中口和０可以是常数。
也可以是随时间和位置变化的函数，在数值计算中经常分段取平均值作为常数。
§４－３轴对称场变分问题的推导
温度场有限单元计算的基本方程司以从泛函变分求得，也可以从微分方程出发用加权余量法求得。
在加权余量法中，Ｇａｌｅｒｋｉｎ法和最小二乘法都能得到良好的结果，但Ｇａｌｅｒｋｉｎ法得到更广泛的应用。下
面就用ｇａｌｅｒｋｉｎ法由式（４．３）推导非稳态有内热濂的轴对称温度场的有限元法的基本方程。
由式（４．３）得非稳态有内热源轴对称温度场的微分方程为：
印∽ｒ，ｒ糊ｒ窘＋，窘＋争＋ｑ，ｒ－吖詈＝ｏ ∽。，
应用Ｇａｌｅｒｋｉｎ法，可得
肛咄（ｒ窘＋，窘＋ａ卯Ｔ）＋ｑ，ｒ－Ⅳ争姗＝。
Ｕ＝１，２，．．…，拧）
（４．５）上式中％为加权函数，Ｔ代表温度试探函数，它是一个近似的函数多项式，为了取得边界条件，
要利用格林公式，为此把上式改写为：
Ⅱ丢（庀％ｒ鼍）＋斋（七％ｒ争］出咖一ｍｒ【％艘，詈一ｑ，％
＋七（孕婴＋掣婴）】撕：０
ｃ【ｘ ａＸ ０ｒＯｒ
“＝１，２，…，ｎ） （４．６）
激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
记：ｙ：ｋＷＩ，娶，Ｘ：一．｜｝％，＿ＯＴ 出
Ｏｒ
代入格林公式：儿（豢一等）蚴＝ｔ（ｘ奴＋脚），式中ｘｏ，ｙ）和ｌ，＠，ｙ）是定义在
区域Ｄ和边界ｒ上的两个任意连续函数。并应用一娶出＋—Ｏ；Ｔ一方：Ｏ。Ｔｄｓｌ３０ｌ，得： 卵 班 册
瓦ＯＤ＝儿［打‘１０Ｗ＿。瓦ＯＴ＋１０Ｗ７ｌ ｏ咖ｒ）＋胪，形，詈一日。％ｒ】ｄ胁
一正七％ｒ塑Ｏｎ幽＝ｏ
（４７）此式就是轴对称温度场整个区域变分计算的基本方程。
将温度场求解区域Ｄ剖分为有限数量的三角形单元，每个单元三个顶点都用ｆ，Ｊ，ｍ按逆时针方向
进行编号，在每一单元中温度函数Ｔ用基函数Ⅳｊ和节点函数Ｉ展开。然后推导出不同边界条件的单元
变分计算公式，最后总体合成得出求解整个场域的系数矩阵，通过解这个系数矩阵求出各个节点的温度 值。１．第一类边界单元、绝热单元和内部单元计算公式
篆＝肛（鲁塑Ｏｘ＋盟Ｏｒ璺Ｏｒ＋∥Ｐ％ｒ塑Ｏｔ飞酬黝
ａＴ． ｊ ３ｅ 、ａｘ 。 。 ”‘。（，＝ｆ，＿，，聊）
（４．８）将插值函数：ｒ＝Ⅳｆ正＋Ⅳ，弓＋＾ｒ。Ｌ和权函数彬＝瓦ＯＴ＝Ⅳ，的值代入，得：
等＝去【（６７＋ｃｍ＋（６，６产一）乃＋（６Ａ托ｕ乙】肛咖
堆Ｐ蜘删？面ｏｒ，＋Ｎｊ鼍＋Ｎ．等出ａｒ
—ｑ，ｎ！Ｎ｜ｄｘｄｒ
瓦ＯＤｅ＝砑ｋ【（６ｆ６，＋ｃ，ｃ鸬＋（６，２＋ｃ；）Ｉ＋（ｂｉｂｍ＋ＣｊＣｍ）乙】肛鼬
＋晦酗删ｔ等七Ｎｉ等＋Ｎ。警姗
（４．９）
一ｑｖｆ【呜蝴
（４ｌｏ）瓦０１９＂＝去№¨ｃｆｃ朋＋（。ｂｍ＋ｃＦ．）Ｔｊ＋（６Ｈ２：）叫肛
＋卵ｐ＂¨Ｎｉ等＋Ｎｉ等＋Ｎｍ警蛐
％Ｊｆ也姗
（４．１１）二重积分号中的计算都比较复杂，利用面积坐标可以求出这些结果如下：
ｆＩｒｃｂｃｄｒ＝了Ａ“＋。＋＿）
Ⅱ，Ⅳ，出咖＝舍（２‘＋。＋‰）
＂Ｎｊ捌ｒ＝会吼＋ｒｊ氓、
（ｆ，－，，ｍ轮换）
（ｆ，，，ｍ轮换）
ＪＩ ｒⅣｆＮｊｄｘｄｒ＝会（２‘＋２。＋‰） （ｆ＇加轮换）
把这些关系分别代入（４．９）、（４．１０）；ＴＨｔｌ（４．１１１式，最后得到
ａＤ８ ａｔ，
ａＤ。
８Ｔｉ
ａＤｃ ｏｒ．
式中
ｋ¨ ｋ４ ｋｉｍ
ｋｌｌ ｋ“ｋｊ．
ｋ。‰ｋＢ
ＮＨ Ｎ
ｑ Ｎ。
ｒｉ＼＋＼Ｎ＃Ｎ《Ｎ泓
Ⅳ。ｆ Ⅳ州
Ⅳ。
ｏｒ，
Ｏｔ
ａ乃
新
ｏｒ．
Ｏｔ
ｋ。＝矿‘（６ｆ２＋ｃ；） ％＝妒１孵＋ｃ；）
ｋ，＝妒’（ｂ２＋ｃ：） ｋＦ＝ｋ』＝妒’（６ｆｂ，＋ｃ，ｃＪ）
ｋｊ。＝ｋ畸＝母（ｂｐｍ＋ＣｊＣｍ、
Ｎ。＝丽Ａ
ｐｃＰ（３１－，＋ｒ Ｊ＋ｒ。、
虬。＝盒肛以＋。＋３ｋ）
Ｐｊ
ｐ。
（４．１２）
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激磁频率对电磁场及温度场分布影响的研究
％＝％＝丽Ａ肛，（２‘＋２，Ｊ＋。）
．Ⅳ，。＝心＝丽Ａ伊Ｐ（２‘＋。＋２‰）
≯。＝七（‘＋ｒＪ＋＿）“１２△）
只＝瓦Ａ ｇ，（２‘＋。＋＿）
ｐ。＝西Ａ ｑ，（‘＋。＋２。）
％＝‰＝舍∥以＋２。＋２。）
Ｐｊ＝西Ａ
ｑ，（，ｆ＋２－＋。）２．第二类边界条件的计算公式
对于第二类边界单元变分计算的基本公式为：
警＝ｎ鼢‘ｉａＷｔ百ａＴ＋百８Ｗｔ・ａｄＴｘ）＋ｐｃｐ∥，署鸭即】姗＋『ｒ啊ｚ凼
（，＝ｆ，Ｊ，坍）
（４．１３）在边界线积分量中出现了被积变量ｒ，ｒ在边界上的变化可以近似处理，为了简单，我们认为它是
线性变化的，由于在边界节点Ｊ和ｍ上半径ｒ具有ｒＪ和。的值，可以写出ｒ在边界上的线性插值函数 为：
，２（１一ｇ）ｒｊ＋ｇｒ，
式中ｏ≤ｇ≤ｌ为一参变量，乎司对应于节点ｊ，ｇ＝１对
应于节点ｍ，显然
Ｓ。＝厄■爵可而＝厢
ｎｌ图４．１边界插值函数的碉足 为ｊｍ的边长，是一个已知数，而曲线积分中的 Ｆｉ９４．１ Ｃｏｎｆｉｒｍｉｎｇｏｆｂｏｕｎｄａｒｙｆｕｎｃｔｉｏｎ
边界弧长变量Ｓ与ｓｉ间的关系就可利用ｇ联系起来，即：ｓ＝ｓ，・ｇ或出＝ｓａｇ，利用上式，可以容
易的求出（４．１３）式中的线积分项的结果如下：
