初 中 数 学 修 订 课 程 过 渡 期 学 与 教 材 料

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(1)

中学数学科

学 与 教 资 源

初 中 数 学 修 订 课 程 过 渡 期 学 与 教 材 料

香 港 特 别 行 政 区 教 育 局

课 程 发 展 处 数 学 教 育 组 编 订

2 0 1 8

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目 录

页 数

引 言 1

I 简 介

一 目 的 2

二 内 容 3

三 使 用 指 引 4

II 衔 接 关 注 事 项

一 数 学 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表 6

二 小 学 数 学 修 订 课 程 内 容 与 小 学 数 学 课 程

( 2000) 内 容 的 比 较 7

III 教 学 及 评 估 示 例

示 例 一 : 3 的 整 除 性 判 别 方 法 11 示 例 二 : 质 数 与 合 成 数 的 概 念 15

示 例 三 : 运 用 短 除 法 求 两 个 数 的 最 大 公 因 数 和

最 小 公 倍 数 20

示 例 四 : 圆 面 积 公 式 26

示 例 五 : 角 ( 度 ) 32

示 例 六 : 圆 形 图 39

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引 言

为 配 合 学 校 课 程 持 续 更 新 , 回 应 于 2014 年 11 月 至 2015 年 4 月 期 间 在 「 新 学 制 中 期 检 讨 与 前 瞻 」中 所 收 集 的 意 见 ,及 进 一 步 加 强 数 学 课 程 之 纵 向 衔 接 和 与 其 他 学 科 间 的 横 向 连 系 , 课 程 发 展 议 会 数 学 教 育 委 员 会 于 2015 年 12 月 成 立 三 个 专 责 委 员 会 检 视 及 修 订 小 一 至 中 六 数 学 课 程 , 并 于 2017 年 11 月 公 布 《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引( 小 一 至 中 六 )》( 2017)的 补 充 文 件 ,阐 明 修 订 后 的 小 一 至 中 六 数 学 课 程 的 学 习 内 容( 下 称「 修 订 课 程 」)。是 次 数 学 课 程 学 习 内 容 的 修 订 是 建 基 于《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引( 小 一 至 中 六 )》( 2017)中 订 明 的 数 学 教 育 的 课 程 宗 旨 、 课 程 设 计 和 评 估 的 主 导 原 则 。

本 资 料 册 旨 在 为 教 师 提 供 学 与 教 材 料 的 参 考 , 帮 助 教 师 处 理 初 中 修 订 课 程 推 行 初 期 与 原 小 学 数 学 课 程 的 衔 接 。

欢 迎 各 界 人 士 就 本 资 料 册 提 供 意 见 和 建 议 。 来 函 请 寄 ︰

九 龙 政 府 合 署 4 楼 教 育 局 课 程 发 展 处

总 课 程 发 展 主 任 ( 数 学 ) 收 传 真 : 34269265

电 邮 : ccdoma@edb.gov.hk

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I 简 介

一 目 的

课 程 发 展 议 会 在 2017 年 11 月 公 布 数 学 科( 小 一 至 中 六 )修 订 课 程 ,并 建 议 各 中 学 于 2020/21 学 年 起 在 中 一 逐 年 推 行 初 中 数 学 修 订 课 程 , 并 于 2023/24 学 年 衔 接 高 中 数 学( 必 修 部 分 )修 订 课 程 。以 上 安 排 乃 回 应 教 师 的 整 体 意 见 ,期 望 修 订 课 程 尽 快 在 中 学 全 面 推 行 。

由 于 第 二 学 习 阶 段 ( 即 小 四 至 小 六 ) 的 小 学 数 学 修 订 课 程 亦 于 2020/21 学 年 起 在 小 四 逐 年 推 行 , 在 此 安 排 下 , 将 有 三 届 中 一 学 生 ( 即 于 2020/21、 2021/22 及 2022/ 23 学 年 升 读 中 一 的 学 生 ) 在 初 中 修 读 修 订 课 程 , 但 于 小 学 修 读 载 于 《 数 学 教 育 学 习 领 域 - 数 学 课 程 指 引 ( 小 一 至 小 六 )( 2000)》 的 课 程 ( 下 称 「 2000 课 程 」),而 非 小 学 数 学 修 订 课 程 。因 应 以 上 情 况 ,学 校 有 需 要 在 首 三 学 年 的 过 渡 期 为 此 三 届 学 生 设 计 相 应 及 适 切 的 校 本 课 程 , 让 他 们 能 顺 利 衔 接 至 初 中 数 学 修 订 课 程 。

本 资 料 册 是 依 据 2000 课 程 、《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引 补 充 文 件 : 小 学 数 学 科 学 习 内 容 》( 2017) 和 《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引 补 充 文 件 : 初 中 数 学 科 学 习 内 容 》( 2017)编 写 。目 的 是 为 教 师 提 供 小 学 数 学 修 订 课 程 与 2000 课 程 的 比 较 资 料 、 以 及 一 些 过 渡 期 相 关 的 学 与 教 资 源 示 例 , 以 达 到 下 列 的 目 标 :

(i) 让 教 师 了 解 数 学 科 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表 ;

(ii ) 协 助 教 师 理 解 小 学 数 学 修 订 课 程 与 2000 课 程 的 分 别 ; 及

(iii ) 提 供 载 于 小 学 数 学 修 订 课 程 而 不 在 2000 课 程 之 内 的 课 题 之 过 渡 期 学 与 教 资 源 示 例 ,协 助 教 师 于 上 述 过 渡 期 更 容 易 设 计 校 本 教 材 ,让 学 生 畅 顺 衔 接 初 中 数 学 修 订 课 程 的 学 习 。

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二 内 容

本 资 料 册 的 内 容 包 括 : 甲 、 衔 接 关 注 事 项

教 师 在 这 部 分 可 以 参 考 数 学 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表 ,及〈 小 学 数 学 修 订 课 程 内 容 与 小 学 数 学 课 程 ( 2000) 内 容 的 比 较 〉, 安 排 过 渡 期 所 需 的 校 本 衔 接 措 施 。

乙 、 教 学 及 评 估 示 例

教 学 及 评 估 示 例 为 本 资 料 册 的 主 要 内 容 :

示 例 课 题

示 例 一 3 的 整 除 性 判 别 方 法 示 例 二 质 数 与 合 成 数 的 概 念

示 例 三 运 用 短 除 法 求 两 个 数 的 最 大 公 因 数 和 最 小 公 倍 数

示 例 四 圆 面 积 公 式

示 例 五 角 ( 度 )

示 例 六 圆 形 图

每 个 教 学 及 评 估 示 例 均 包 括 课 题 基 本 资 料 、建 议 教 学 内 容 和 练 习 。课 题 基 本 资 料 包 括 学 习 范 畴 、学 习 重 点 、学 生 须 具 备 的 已 有 知 识 和 规 划 建 议 。建 议 教 学 内 容 包 括 一 些 相 关 的 探 究 活 动 、答 案 、教 学 资 源 和 教 师 注 意 事 项 。最 后 为 练 习 和 答 案 。教 师 可 因 应 学 生 的 学 习 情 况 ,修 改 示 例 中 的 活 动 和 练 习 以 配 合 学 生 的 学 习 需 要 或 设 计 其 他 适 当 的 教 学 及 评 估 活 动 。

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三 使 用 指 引

1. 本 资 料 册 适 用 于 在 2020/21、2021/22 及 2022/23 学 年 升 读 中 一 的 学 生 。教 师 可 透 过 本 资 料 册 的 过 渡 期 学 与 教 材 料 , 协 助 学 生 学 习 相 关 课 题 。

2. 本 资 料 册 介 绍 的 学 与 教 材 料 包 括「 课 题 基 本 资 料 」、「 建 议 教 学 内 容 」及「 练 习 」 三 部 分 。「 课 题 基 本 资 料 」 列 出 有 关 课 题 的 概 略 , 包 括 : 学 习 范 畴 、 学 习 重 点 、已 有 知 识 及 规 划 建 议 ,以 供 教 师 参 考 。教 师 可 参 考 在 教 材 中 列 明 学 生 在 学 习 这 些 课 题 时 须 具 备 的 已 有 知 识 和 在 初 中 数 学 修 订 课 程 中 的 相 关 学 习 重 点 ,将 这 些 材 料 融 入 初 中 数 学 科 的 学 与 教 之 中 。一 般 而 言 ,本 资 料 册 所 载 的 过 渡 期 学 与 教 材 料 , 并 不 要 求 教 师 按 册 子 的 编 排 次 序 独 立 地 一 次 过 教 授 。教 师 亦 可 因 应 学 生 的 学 习 情 况 ,自 行 设 计 或 修 改 在「 建 议 教 学 内 容 」中 的 探 究 活 动 / 课 堂 活 动 , 以 及 「 练 习 」 的 题 目 。

3. 学 与 教 及 评 估 须 互 相 配 合 ,因 此 教 师 可 因 应 学 生 的 兴 趣 、能 力 和 需 要 ,以 及 学 校 的 环 境 ,把 本 资 料 册 示 例 的 建 议 内 容 、工 作 纸 及 评 估 的 活 动 调 适 ,灵 活 地 在 课 堂 运 用 ,以 发 挥 更 理 想 的 教 学 效 果 。在 设 计 学 与 教 活 动 前 ,教 师 宜 先 分 析 学 生 在 学 习 该 单 位 时 所 遇 到 的 困 难 和 常 犯 的 错 误 ,设 计 适 切 的 活 动 ,让 学 生 进 行 探 索 、 建 构 新 知 识 和 培 养 他 们 解 决 问 题 的 能 力 。

4. 有 关 照 顾 学 生 学 习 的 多 样 性 ,教 师 可 因 应 学 生 的 学 习 情 况 ,例 如 学 习 兴 趣 和 能 力 等 ,调 适 本 资 料 册 建 议 的 示 例 ,或 参 考 示 例 自 行 设 计 合 适 的 教 材 ,以 照 顾 学 生 的 多 样 性 。在 设 计 教 学 活 动 时 ,教 师 可 为 学 习 能 力 较 佳 的 学 生 设 计 较 具 挑 战 性 的 活 动 ,以 扩 阔 他 们 的 知 识 领 域 ,让 他 们 展 现 潜 能 ;另 一 方 面 ,教 师 亦 可 为 学 习 能 力 稍 逊 的 学 生 提 供 较 具 体 的 指 引 , 给 予 他 们 充 分 的 时 间 思 考 、讨 论 和 探 索 ,并 提 供 足 够 的 鼓 励 和 支 援 ,帮 助 他 们 掌 握 基 本 知 识 和 提 高 他 们 的 学 习 兴 趣 。

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5. 本 资 料 册 并 其 所 附 的 教 学 示 例 与 相 关 的 电 子 教 材 之 不 同 语 文 版 本 , 可 于 数 学 教 育 组 网 站 下 载 , 网 址 如 下 :

( 繁 体 中 文 )

www.edb. gov.h k/t c/ curriculum -d ev el opm ent/ kla/ma/res/j s/t ransitional .htm l

( 简 体 中 文 )

www.edb. gov.h k/s c/ curriculum -dev el opm ent/ kla/ma/res/j s/t ransitio nal .htm l

( 英 文 )

www.edb. gov.h k/ en/ cu rri culum -develo pment/ kl a/m a/res/ js/t ransi tion al .html

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II

衔 接 关 注 事 项

一 数 学 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表

课 程 发 展 议 会 建 议 各 中 小 学 按 下 列 时 间 表 推 行 数 学 科 修 订 课 程 ︰

• 第 一 学 习 阶 段 ( 即 小 一 至 小 三 ) 的 小 学 数 学 修 订 课 程 于 2019/20 学 年 起 在 小 一 逐 年 推 行 。

• 第 二 学 习 阶 段 ( 即 小 四 至 小 六 ) 的 小 学 数 学 修 订 课 程 于 2020/21 学 年 起 在 小 四 逐 年 推 行 。

• 第 三 学 习 阶 段 ( 即 中 一 至 中 三 ) 的 初 中 数 学 修 订 课 程 于 2020/21 学 年 起 在 中 一 逐 年 推 行 。

• 第 四 学 习 阶 段 ( 即 中 四 至 中 六 ) 的 高 中 数 学 科 ( 必 修 部 分 ) 修 订 课 程 于 2023/ 24 学 年 起 在 中 四 逐 年 推 行 。

• 第 四 学 习 阶 段 ( 即 中 四 至 中 六 ) 的 高 中 数 学 科 ( 延 伸 部 分 ) 修 订 课 程 于 2019/ 20 学 年 起 在 中 四 逐 年 推 行 。

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二 小 学 数 学 修 订 课 程 内 容 与 小 学 数 学 课 程 ( 2000) 内 容 的 比 较

下 表 列 出 修 订 课 程 与 小 学 数 学 课 程( 2000)内 容 的 比 较 ,当 中 只 包 括 主 要 修 订 内 容 。建 议 教 师 在 阅 读 下 表 时 ,亦 应 阅 读 修 订 课 程 的 文 件 ,以 了 解 修 订 的 细 节 和 课 程 的 整 体 设 计 。

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 重组 /调整调动 一年级

1N5 加与减(一)

 1N4 加法和减

法(一)

- 新增「认识加法结合性质」

- 删去解三个数的加法应用题 - 删去「估计计算结果」

1M4 时间(一) * 1M4 时间(一) - 新增「以小时为单位,量度和比 较时间间隔」和「解有关时间间 隔的简单应用题」

* 由于 2000 课程二年级的学习内容已包含有关修订内容,故教师无须为这部分作衔接安排。

1S1 立体图形(一)  1S1 立体图形 (一)

- 删去「认识柱体和锥体」

1S1 立体图形(一) 1S3 平面图形

 1S3 方向和位 置(一)

- 调整有关物件的相对位置的学习 内容,组成新学习单位 1S3 - 新增相对位置「之间」

1S2 直线和曲线 1S3 平面图形

 1S2 平面图形 - 新增「认识点的直观概念」

二年级

2N2 加与减(二)  2N2 加法和减 法(二)

- 新增「运用加法交换性质和结合 性质进行加法运算」

2M2 时间(二)  6M4 速率 - 调动以「小时和分钟」求时间间 隔至 6M4

2M4 重量  3M5 重量 - 调动至 3M5 2S1 立体图形(二)  1S1 立体图形

(一)

- 调动「认识角柱、圆柱、角锥、圆 锥的直观概念」至 1S1

(11)

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 重组 /调整调动

2S1 立体图形(二)  --- - 删去「制作立体图形」

2S4 四边形(一)

 2S4 四边形(一) - 新增「认识线段的概念」和「认 识邻边的概念」

- 删去「认识梯形和菱形」

三年级

3N2 加与减(四)  3N4 四则运算 (一)

- 调整不超过四个位的数加法和减 法的学习重点,与加减混合运算 的学习重点合并,组成新学习单 位 3N4

3N4 除法(一)  3N3 除法(一) - 删去「用短除法进行基本除法计 算」

3N6 分数(一)  3N5 分数(一) - 新增「认识等值分数的概念」

- 新增「进行不多于三个同分母分 数的加法和减法运算」,其结果须 不大于 1 及解主要以图像阐述的 应用题

3M2 时间(三) 

6M4 速率 - 删去「以时、分和秒报时」

- 调动以「分钟和秒」求时间间隔 至 6M4

3S1 平行和垂直  2S2 角 - 调动有关垂直的学习内容至 2S2 3S3 角(二)  2S2 角 - 调动至小二,并与「角」合并,组

成新学习单位 2S2

3S4 三角形  3S2 三角形 - 新增「认识等腰直角三角形」、「认 识不同种类三角形之间的关系」

和「认识三角形任意两边长度之 和大于第三边的长度」

3D1 方块图  --- - 成为新增润课题 2E2 方块图

四年级

4N1 乘法(二)  3N2 乘法(一) - 调动「认识乘法结合性质」至 3N2 4N-E1 整除性  4N2 除法(二) - 调动「认识 3 的整除性判别方法」

至 4N2 4N3 现代计算工具

的认识

 --- - 删去此学习单位

(12)

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 重组 /调整调动 4N-E2 质数及合成

 4N3 倍数和因 数

- 调动至小四,并与倍数和因数合 并,组成新学习单位 4N3

4N5 公倍数和公因 数

 4N4 公倍数和

公因数

- 新增「运用短除法找出两个数的 最大公因数和最小公倍数」

4N6 四则计算(二)  4N5 四则运算 (二)

- 新增「认识乘法分配性质」

4S1 四边形(三)  3S1 四边形(二) - 调动「认识梯形的概念和性质」

至 3S1 4S1 四边形(三)  4S1 四边形

(三)

- 新增「认识不同种类四边形之间 的关系」

4S3 对称  6S1 对称 - 调动至 6S1

4D1 棒形图(一)  3D1 棒形图(一) - 调动「一格代表 1、2 和 5 个单位 的棒形图」至 3D1

五年级

5N1 多位数  4D1 棒形图(二) - 调动「认识近似值」至 4D1 5N4 小数(二)  4N8 小数(二) - 调动至 4N8

5N6 分数(五)

 5N5 分数(五) - 新增「认识分数可理解为两个整 数的比的概念」

- 删去涉及求一个数比另一个数大 或小几分之几的应用题和涉及当 一个数增至或减至另一个数时,

求其分数变化的应用题

5M1 面积(二)  5M1 面积(二) - 新增「认识四边形高的概念」

5M-E1 角(度)  6M1 角(度) - 成为新学习单位 6M1

5S1 八个方向  4S3 方向和位

置(三)

- 调动至 4S3

5D2 棒形图(二)  4D1 棒形图(二) - 调动「一格代表 50 和 100 个单位 的棒形图」至 4D1

5D1 象形图(二)  --- - 删去此学习单位

六年级

6N4 百分数(二)  6N4 百分数(二) - 删去涉及折扣、较复杂的百分数 和百分变化的应用题

(13)

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 重组 /调整调动

6A1 简易方程(二)  5A2 简易方程 (一)

- 调动部分「两步计算的简易方程」

至 5A2,而运算只涉及整数 6A1 简易方程(二)  6A1 简易方程

(二)

- 新增 ax + bx = c 和 ax – bx = c 两 类方程

6S1 立体图形(四)

 5S2 立体图形 (三)

- 调动「认识立体图形的顶点和棱 的概念」、「认识角柱、圆柱、角锥 和圆锥中平行于底的截面」和「认 识球的截面」至 5S2

- 新增「认识圆柱的折纸图样」

6S1 立体图形(四)  --- - 调动「理解角柱/角锥中底的边 数、面的数目、棱的数目和顶点 的数目之间的关系」至新增润课 题 5E2 立体图形探究

6S2 圆  5S1 圆 - 调动至 5S1

6D2 棒形图(三)  5D1 棒形图(三) - 调动「一格代表 1000、10000 和 100000 个单位的棒形图」至 5D1

---  6M5 面积(三) - 新增学习单位(计算一个圆的面

积),其学习内容是由中学调动至 6M5

---  6D3 圆形图 - 新增学习单位,其学习内容是由

中学调动至 6D3

---  6D4 统计的应

用和误用

- 新增学习单位

以 上 对 照 表 , 教 师 亦 可 从 数 学 教 育 组 网 站 下 载 , 方 便 参 阅 , 网 址 如 下 :

( 繁 体 中 文 )

www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_tc.pdf

( 简 体 中 文 )

www.edb.gov.hk/attachment/sc/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_sc.pdf

( 英 文 )

www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_e.pdf

(14)

III 教 学 及 评 估 示 例

示例一

3 的整除性判别方法

一、课题基本资料 学习范畴: 数与代数

学习重点: 认识 3 的整除性判别方法,包括一个正整数能被 3 整除和不能被 3 整除的条 件。学生不须认识其证明。

已有知识: 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N2「除法(二)」中认识整除性,

除数为 2、5 和 10。

[备注:部分学生可能曾在 2000 年版小学数学课程增润项目 4N-E1「整除性」

中学习 3 的整除性判别方法。]

规划建议: 教师可在教授初中数学修订课程学习重点 1.1「认识 4、6、8 和 9 的整除性判 别方法」或其他合适课题前,引入 3 的整除性判别方法。

二、建议教学内容

1. 教师可与学生重温小学所学有关整除性判别方法的知识。

 整除性:学生在小学阶段以一数除以另一数时没有余数(即余数为 0)来认识整除的 概念,例如由于 32 ÷ 2 = 16 没有余数,因此 32 可以被 2 整除。另外,学生亦认识倍 数和整除性的关系,例如由于 25 是 5 的倍数,因此 25 可以被 5 整除。

 在小学阶段,学生已学习有关 2、5、10 的整除性判别方法,即:

只有个位数是 2、4、6、8 或 0 的数可以被 2 整除。

只有个位数是 5 或 0 的数可以被 5 整除。

只有个位数是 0 的数可以被 10 整除。

2. 教师可引导学生发现 2、5、10 的整除性判别方法的共通点,即

若一正整数的个位数可以被 2、5 或 10 整除,则该数分别可以被 2、5 或 10 整除。

若一正整数的个位数不可以被 2、5 或 10 整除,则该数分别不可以被 2、5 或 10 整除。

但一个正整数的个位数可否被 3 整除,并不能用以判别该数可否被 3 整除。

3. 教师可与学生进行以下活动以探究 3 的整除性判别方法。

(15)

探究活动:

1. 请开启档案「3 的整除性判别方法.xlsx」,选取活页簿「两位数」,如下图。

2. 在储存格 A2−A11 输入任意 10 个 30 以内的正整数。

3. 把 A 栏的两位数中能被 3 整除的数(即 3 的倍数)的储存格填上浅蓝色,然后将对应的

「相加」储存格填上黄色。如下图。

(16)

4. 看看显示十位及个位之和的「相加」栏,你有甚么发现?在 A12−A16 输入更多两位数,

看看有没有类似结果?将发现写在下面:

若一个两位数能被 3 整除,则该数的十位数和个位数相加的结果必定______________。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果______________,则该数能被 3 整除。

再观察试算表,

若一个两位数不能被 3 整除,则该数的十位数和个位数相加的结果必定____________。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果______________,则该数不能被 3 整除。

5. 选取活页簿「三位数」,在 A 栏输入一些三位数,并观察百位、十位和个位之和,看看有 没有类似两位数的结果。

6. 对于一个四位数或五位数,上述的结果是否成立?

总结:

把一个正整数的各个位数相加,若相加的结果___________,则该数能被 3 整除;且 若相加的结果___________,则该数不能被 3 整除。

参考答案

4. 若一个两位数能被 3 整除,则该数的十位数和个位数相加的结果必定能被 3 整除。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果能被 3 整除,则该数能被 3 整除。

若一个两位数不能被 3 整除,则该数的十位数和个位数相加的结果必定不能被 3 整除。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果不能被 3 整除,则该数不能被 3 整除。

5. 有 6. 是 7. 总结:

把一个正整数的各个位数相加,若相加的结果能被 3 整除,则该数能被 3 整除;且 若相加的结果不能被 3 整除,则该数不能被 3 整除。

教师注意事项:

1. 以上探究活动亦可以纸笔形式进行。以电脑试算表进行则可减少学生的计算量,让学生 集中观察结果,及探究更多不同的数。

2. 试算表中取得个位和十位等数字的公式如下:

百位 = MOD(INT(A2/100),10) 十位 = MOD(INT(A2/10),10) 个位 = MOD(INT(A2),10)

(17)

3. 教师可因应学生的能力,以例子解释上述整除性判别方法的原理,唯这解释并非课程所 需。例如

852 = 800 + 50 + 2

= 8×100 + 5×10 + 2

= 8×(99 + 1) + 5×(9 + 1) + 2

= 8×99 + 8 + 5×9 + 5 + 2

= (8×99 + 5×9) + (8 + 5 + 2)

= (8×99 + 5×9) + 15

3 的倍数 + 3 的倍数 = 3 的倍数

746 = 700 + 40 + 6

= 7×100 + 4×10 + 6

= 7×(99+1) + 4×(9+1) + 6

= 7×99 + 7 + 4×9 + 4 + 6

= (7×99 + 4×9) + (7 + 4 + 6)

= (7×99 + 4×9) + 17

3 的倍数 + 不是 3 的倍数 = 不是 3 的倍数

三、练习

1. 下面哪些数可以被 3 整除?把答案圈起来。

17 26 39 104 521 1077 2014 2. 写出三个可以被 3 整除的三位数。

3. 写出三个可以被 3 整除的四位数。

4. 写出三个可以被 3 整除的五位数。

5. 写出一个可以被 3 整除的最大四位数。

6. 写出一个可以被 3 整除的最小五位数。

7. 三位数 2#5 可以被 3 整除。#可以是哪些数字呢?

8. 设 # 代表 0, 1, …, 9 中的一个数字,将 2、#、5 三个数字排成一个可以被 3 整除的最大 三位数,# 是甚么数字?

参考答案 1. 39, 1077

2. 369, 582, 960 或其他合适答案 3. 1296, 2574, 6888 或其他合适答案 4. 11145, 43125, 60594 或其他合适答案 5. 9999

6. 10002 7. 2, 5, 8

8. 8,因为题目要求的最大三位数是 852。

(18)

示例二︰质数与合成数的概念

一、课题基本资料 学习范畴: 数与代数

学习重点: 1. 认识质数与合成数的概念。

2. 学生须判别一个 100 以内的正整数是否质数和运用爱氏筛找出 100 以 内的所有质数。

已有知识: 1. 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N2「除法(二)」中认识整除 性,除数为 2、5 和 10。

2. 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N4「倍数和因数」中认识因 数及找出一个数的所有因数。

[备注:部分学生可能在小学阶段经已学习有关课题:4N-E2「质数及合成数」

(增润项目)。]

规划建议: 教师可在教授初中数学科修订课程学习单位 1「基础计算」学习重点 1.3 「进 行正整数的质因数分解」或其他合适课题前,加入本课题的教学。

二、建议教学内容

1. 教师与学生重温因数的概念及求一个正整数的所有因数的方法,并且透过探究活动一(见 后页),介绍质数与合成数的概念。学生透过观察正整数的因数数量,按因数的数量把正 整数进行分类:

(1) 质数只有 2 个因数。

(2) 合成数有 3 个或以上的因数。

(3) 整数 1 只有 1 个因数,既不是质数,也不是合成数。

2. 教师让学生进行探究活动二(见后页),尝试运用爱氏筛求 100 以内的所有质数。

公元前 250 年,古希腊数学家爱拉托散尼(Eratosthenes)提出寻找 2 至 n 之间的质数 的步骤:

列出整数 2 至 n (例如 100)。

步骤 (1):从最小的整数开始。

步骤 (2):圈起最小的整数,然后删去该数的其他倍数。

步骤 (3):对剩下未加任何标记的数重复步骤 (2),直至所有数均有标记。

步骤 (4):所有圈起的数就是质数。

3. 教师可参考 ETV 节目:齐来找质数(https://www.hkedcity.net/etv/resource/441554750)。

(19)

探究活动一

1. 列出整数 1 – 20 的所有因数,观察整数的因数数目,完成下表,并按因数的数量将整数 进行分类:

整数 因数 因数数量 整数 因数 因数数量

1 1 1 11

2 1, 2 2 12

3 13

4 1, 2, 4 3 14

5 15

6 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 17

8 18

9 19

10 20

2. 试依各整数的因数数量分成三类:

(1) 第一类:只有 2 个因数:2, 。

(2) 第二类:有 3 个或以上的因数:4, 。

(3) 第三类:只有 1 个因数:__________。

1. 我们称只有 2 个因数的正整数为质数。质数的因数为 1 及该数本身。

2. 我们称有 3 个或以上因数的正整数为合成数。

3. 整数 1 只有 1 个因数,既不是质数,也不是合成数。

3. 练习:

(a) 把右方的数中的质数圈出来: 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的数中的合成数圈出来: 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考虑所有偶数,当中有多少个质数?试列出及解释。

(20)

参考答案

1. 列出整数 1 – 20 的所有因数,观察整数的因数数目,完成下表,并按因数的数量将整数 进行分类:

整数 整数的因数 因数数量 整数 整数的因数 因数数量

1 1 1 11 1, 11 2

2 1, 2 2 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6

3 1, 3 2 13 1, 13 2

4 1, 2, 4 3 14 1, 2, 7, 14 4

5 1, 5 2 15 1, 3, 5, 15 4

6 1, 2, 3, 6 4 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 1, 7 2 17 1, 17 2

8 1, 2, 4, 8 4 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 6

9 1, 3, 9 3 19 1, 19 2

10 1, 2, 5, 10 4 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 6 2. 试依各整数的因数数量分成三类:

(1) 第一类:只有 2 个因数:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。

(2) 第二类:有 3 个或以上的因数:4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20。

(3) 第三类:只有 1 个因数:1。

3. 练习:

(a) 把右方的数中的质数圈出来: 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的数中的合成数圈出来: 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考虑所有偶数,当中有多少个质数?试列出及解释。

答:所有偶数中只有 2 是质数,因为其他所有偶数的因数都最少包括 1、2 和该数,

即有 3 个或以上的因数,因此是合成数。

教师注意事项:

1. 质数和合成数的讨论只限于正整数。

2. 作为教学的延续和正整数质因数分解概念的引入,教师可因应学生能力向学生说明所有 合成数,不论因数数量,由于包含 1 和自身以外的因数,必能写成两个非 1 及自身的数 的积,例如 4 = 2 × 2,12 = 3 × 4。教师可进一步说明若写成该乘式中的数包含合成数,

该数可再分拆,例如 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2,直至数式中再没有合成数。

(21)

探究活动二

爱氏筛 (Sieve of Eratosthenes)

1. 运用爱氏筛找出 100 以内的所有质数。

寻找 2 至 100 之间的质数的步骤:

(1) 从最小的整数开始。

(2) 圈起最小的整数,然后删去该数的其他倍数。

(3) 对剩下未加任何标记的数重复步骤 (2),直至所有数均有标记。

(4) 所有圈起的数就是质数。

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2. 练习:

(a) 在 100 以内有多少个质数?在 100 以内最大的质数是甚么?

(b) 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 质数 = 质数 (ii) 质数 × 合成数 = 合成数

(22)

参考答案

1. 运用爱氏筛找出 100 以内的所有质数。把质数圈出来。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2. 练习:

(a) 在 100 以内有多少个质数?在 100 以内最大的质数是甚么?

答:25 个。最大 97。

(b) 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 质数 = 质数

答:不正确(因为质数只有两个因数,而两个质数相乘所得的积必定有多于两 个因数。)

(ii) 质数 × 合成数 = 合成数

答:正确(因为左手边的合成数本身已有 3 个或以上因数,所以其与质数之积 也是有 3 个或以上因数。)

三、练习

1. 写出 100 – 130 以内的所有质数。

2. 在 150 以内最大的质数是甚么?

3. 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 1 = 合成数

(ii) 合成数 × 合成数 = 合成数 参考答案

1. 写出 100 – 130 以内的所有质数。 答: 101, 103, 107, 109, 113, 127 2. 在 150 以内最大的质数是甚么? 答: 149

3. 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 1 = 合成数

答:不正确(因为任何数乘以 1 不影响其因数的数目,所以质数 × 1 后仍只有两个 因数。)

(ii) 合成数 × 合成数 = 合成数

答:正确(因为左手边的合成数本身已有 3 个或以上因数,所以其积也是有 3 个 或以上因数。)

(23)

示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数

一、课题基本资料 学习范畴: 数与代数

学习重点: 运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。学生不须认识其原理。

已有知识: 1. 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N5「公倍数和公因数」中,

学会透过列举两个数的倍数,求该两个数的公倍数及最小公倍数;以及 透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。学生已认识 最大公因数和最小公倍数简称分别为“H.C.F.”和“L.C.M.”。

2. 另外,学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N2「除法(二)」中 认识整除性,除数为 2、5 和 10。

3. 学生在初中数学修订课程学习单位 1「基础计算」的学习重点 1.1 中,

认识 4、6、8 和 9 的整除性判别方法。

4. 学生亦应已透过过渡期学与教材料,学习 3 的整除性判别方法。

5. 学生在初中数学修订课程学习单位 1「基础计算」的学习重点 1.3 中,

认识正整数的质因数分解。

[备注:部分学生可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因 数和最小公倍数。]

规划建议: 教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点 1.4「求最大公因数和最小公 倍数」的教学当中,教师亦可在其他合适地方引入此课题。

二、建议教学内容

1. 教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。

 例 1:运用列举法,求 12 和 18 的最大公因数。

首先由小至大,列举 12 和 18 的所有因数,并圈出 12 和 18 的所有公因数。

12 的因数:○1E AA2E AA3E A 4 A6E A 12 18 的因数:A1E AA2E AA3E A A6E A 9 18

从圈出的公因数中,可见 6 是 12 和 18 的最大公因数。

 例 2:运用列举法,求 12 和 18 的最小公倍数。

首先由小至大,列举 12 和 18 的首几个倍数,并圈出 12 和 18 的公倍数。

12 的倍数:12 24 A36EA 48 60 A72EA ……

18 的倍数:18 A36EA 54 A72EA ……

从圈出的公倍数中,可见 36 是 12 和 18 的最小公倍数。

2. 教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点,从而引入短除法。

(24)

3. 教师与学生进行以下活动,探究如何运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。

探究活动:

1. 运用整除性判别法,列出 30 和 42 的所有质数公因数(即同时为质数的公因数)。猜想 30 和 42 的最大公因数是甚么。

2. 进入网页https://www.geogebra.org/m/BKxeO3At。输入数值 a = 30,b = 42,向右拉动红 色滑杆一下,如下图。

图中用橙色圈着的数 2 与 30、42 有甚么关系?_________________

图中两对数 15、21 和 30、42 有甚么关系?__________________

3. 再次向右拉动红色滑杆一下,如下图。

图中用绿色圈着的数 3 与 15、21 有甚么关系?______________

(25)

4. 30 和 42 同时除以质数公因数 ____ 和 ____后,得到用蓝色圈着的数 ____和 ____。

由此可见,____ ×____ = _____是 30 和 42 的其中一个公因数。

用蓝色圈着的数 ____ 和 ____ 还有质数公因数吗?_______

我们有可能找到一个更大的 30 和 42 的公因数吗?(可能/不可能)

5. 尝试点选上图中的最大公因数(HCF)的勾选框,

30 和 42 的最大公因数 = ____________ = ________。

6. 尝试点选上图中的最小公倍数(LCM) 的勾选框,

30 和 42 的最小公倍数 = ____________ = ________。

7. 与同学讨论网页如何得到 30 和 42 的最大公因数及最小公倍数。

8. 利用上述网页,尝试找出其他两个数的最大公因数和最小公倍数。

参考答案

1. 30 和 42 的质数公因数为2 和 3。30 和 42 的最大公因数是2 × 3 = 6。

2. 用橙色圈着的数 2 是 30 和 42 的质数公因数。15 和 21 是 30 和 42 分别被 2 除的结果(商)。

3. 用绿色圈着的数 3 是 15 和 21 的质数公因数。

4. 30 和 42 同时除以质数公因数 2 和 3 后,得到用蓝色圈着的数 5 和 7 。 由此可见,2 × 3 = 6是 30 和 42 的其中一个公因数。

用蓝色圈着的数 5 和 7 还有质数公因数吗?没有。

我们不可能找到一个比 6 更大的 30 和 42 的公因数。

5. 30 和 42 的最大公因数 = 2 × 3 = 6。

6. 30 和 42 的最小公倍数 = 2 × 3 × 5 × 7 = 210。

(26)

教师注意事项:

1. 以上探究亦可以纸笔形式进行。使用 GeoGebra 网页版的课业可减少学生的计算量,让学 生集中认识短除法及其中的关系,及增加所探究的数的数量。唯无论以任何形式探究,

学生均须运用相关数的整除性判别方法,进行短除法。

2. 由于学生已学习正整数的质因数分解,教师可将例子中的 30 和 42 以质因数形式表示如 何求最大公因数及最小公倍数。

2 2 × 3 × 5 2 × 3 × 7 2 30 42 3 3 ×5 3 × 7 3 15 21

5 7 5 7

3. 教师须强调使用短除法时必须除尽所有公因数,即例子中的 2 和 3,直至两个商没有大 于 1 的公因数,如例子中的 5、7,短除法方为完成。教师可用更多例子说明此要求。

4. 教师可因应学生的能力,解释上述短除法的原理。唯解释并非课程所需。短除法是求两 个并非互质的正整数的最大公因数和最小公倍数的一种便捷方法。短除法可帮助学生不 须将两数进行质因数分解,也能求最大公因数及最小公倍数。其原理是将两数同时除以 质数公因数(即上述例子中的 2 和 3),直至两个数没有质数公因数为止(即上述例子中 的 5 和 7)。因为 5 和 7 互质,30 和 42 的最大的公因数是 2 × 3 = 6。学生亦可从2 × 3 × 5 和2 × 3 × 7 中,观察到2 × 3为两数的最大的公因数。对 30 和 42,即2 × 3 × 52 × 3 × 7,其最小公倍数为2 × 3 × 5 × 7 = 210。

5. 教师可向学生解释除数并非一定为质数,如上述例子中除数可以为 6,而非分别为 2 和 3。除数为质数的目的是令短除法可以扩展至求 3 个或以上正整数的最小公倍数。

6. 对于能力较佳学生,教师可与学生讨论除数 2、3(即 30 和 42 的公因数)的先后次序会 否影响结果,和若将 30 和 42 直接被公因数 6 除(而非分别被 2 和 3 除)时,对于计算 最大公因数和最小公倍数有没有影响。

7. 教师可比较短除法和列举法的优点和缺点。

(27)

三、练习

1. 运用短除法,求 a 和 b 的最大公因数和最小公倍数。

a b 最大公因数 最小公倍数 6 15

12 18 20 35 28 56

2. 凯玲运用短除法计算 60 和 90 的最大公因数和最小公倍数。请在适当位置填上合适数。

2 60 90 10 15

60 和 90 的最大公因数 = 2 × ___ × ___ = ______。

60 和 90 的最小公倍数 = 2 × ___ × ___ × ___ × ___ = _______。

3. 伟伦运用短除法计算 48 和 84 的最小公倍数。步骤如下:

2 48 84 2 24 42 12 21

48 和 84 的最小公倍数 = 2 × 2 × 12 × 21 = 1008。

伟伦的运算正确吗?若不正确,有甚么错误?请修正伟伦的错误。

4. 运用短除法,求 a 和 b 的最大公因数和最小公倍数。

a b 最大公因数 最小公倍数 30 45

48 60 72 120 110 165

(28)

参考答案 1.

a b 最大公因数 最小公倍数

6 15 3 30

12 18 6 36

20 35 5 140

28 56 28 56

2.

2 60 90 3 30 45 5 10 15

2 3

60 和 90 的最大公因数 = 2 × 3 × 5 = 30 。

60 和 90 的最小公倍数 = 2 × 3 × 5 × 2 × 3 = 180 。

3. 不正确。因为 12 和 21 还有公因数 3。正确步骤如下:

2 48 84 2 24 42 3 12 21

4 7

48 和 84 的最小公倍数 = 2 × 2 × 3 × 4 × 7 = 336。

4.

a b 最大公因数 最小公倍数

30 45 15 90

48 60 12 240

72 120 24 360 110 165 55 330

(29)

示例四︰圆面积公式

一、课题基本资料

学习范畴: 度量、图形与空间 学习重点: 1. 认识圆面积公式

2. 应用圆面积公式

已有知识: 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 6S2「圆」和 6M2「周界(二)」中,

认识圆周的公式及应用圆周的公式。

[备注︰「从一个圆的面积求它的直径或半径」不包括在小学数学修订课程中。

因此本学习材料并不涵盖有关内容。教师须在教授初中数学修订课程学习重点 16.2「理解圆的扇形面积公式」时加入有关内容。]

规划建议: 教师可在教授初中数学修订课程学习重点 16.2「理解圆的扇形面积公式」或其 他合适课题前,引入圆面积公式。

二、建议教学内容

1. 教师可与学生重温小学所学的圆周公式。

2. 教师与学生进行以下其中一个活动以探究圆面积公式。

探究活动 1:

1. 请进入网页http://m.geogebra.hk/?id=tmWgmahf&lang=1。点选「分割圆形为 8 等份」的勾 选框。向右拉动灰色滑杆至适当等份,如 40 等份。向右拉动紫色滑杆,如下图。

蓝色阴影部分近乎平行四边形,底长 ≈ ,高 ≈ 。(答案以 r 表示)

蓝色阴影部分的面积 ≈ 。(答案以 r 表示)

(30)

2. 可重新点选「分割圆形为 8 等份」的勾选框。选择其他数量的等份。蓝色阴影部分的估 计面积是否与 1 相同?_______

3. 根据观察所得,圆的面积应为 。(答案以 r 表示)

参考答案

1. 蓝色阴影部分近乎平行四边形,底长 ≈ πr ,高 ≈ r 。

2. 蓝色阴影部分的面积 ≈ πr2 。蓝色阴影部分的估计面积与 1 相同。

3. 圆的面积应为 πr2

探究活动 2:

1. 请进入网页https://www.geogebra.org/m/Hfk5waZN

点选 Start the show!按钮。待动画完成至,如下图。按 Pause。

(31)

2. 红色阴影部分近乎三角形,底长 ≈ ,高 ≈ 。(答案以 r 表示)

红色阴影部分的面积 ≈ = 。(答案以 r 表示)

3. 根据观察所得,圆的面积应为 。(答案以 r 表示)

参考答案

1. 红色阴影部分近乎三角形,底长 ≈ 2πr ,高 ≈ r 。 2. 红色阴影部分的面积 ≈ πr2

3. 圆的面积应为 πr2

教师注意事项:

1. 以上两个探究活动,是让学生直观认识圆面积公式,而非证明。

2. 教师在介绍圆面积公式 A = πr2时,须注意公式的证明并非课程所需。

3. 教师须提醒学生留意 π 的取值,如计算机的近似值,或为了方便计算时使用 22

7 作为 π 的近似值。

(32)

三、练习

1. 求下列圆形的面积。(答案以π表示)

(a) 半径 = 10 cm (b) 直径 = 24 m

2. 已知圆形的圆周为 12π cm。

(a) 求它的半径。

(b) 求它的面积。(答案以π表示)

3. 如下图,一个直径为 10 m 的圆形花圃外围被一条阔度为 1 m 的小径环绕。求小径的面 积。(答案以π表示)

10 m

1 m

10 cm 24 m

(33)

4. 求下列图形中阴影部分的面积。(答案须准确至三位有效数字)

(a) (b)

(c) 正方形边长 = 10 cm (d)

5. 伟明用一条长度为 2 m 的铁线围成一个半圆,如下图。求所围出半圆的面积。(答案须准 确至三位有效数字)

6. 一个运动场由长方形 PQRS 及两个半圆组成,如下图。若长方形 PQRS 的长度 PQ 为 100 m,运动场的周界为 400 m。求长方形 PQRS 的阔度 PS,及运动场的面积。(答案须 准确至三位有效数字)

7. 若将相同长度的铁线分别围成一个正方形及一个圆形,哪个图形的面积较大?解释你的 答案。

4 cm

4 cm 3 cm 16 cm

P Q

S R

100 m

(34)

参考答案

1. (a) 100π cm2 (b) 144π m2 2. (a) 6 cm (b) 36π cm2 3. 11π m2

4. (a) 101 cm2 (b) 18.8 cm2 (c) 21.5 cm2 (d) 9.42 cm2 5. 0.238 m2

6. PS = 63.7 m,面积 = 9550 m2 7. 圆形

(35)

示例五︰角(度)

一、课题基本资料

学习范畴: 度量、图形与空间 学习重点: 1. 认识「度」(°)。

2. 以度为单位,量度和比较角的大小。

- 使用符号「∠」命名角,诸如 ∠A 和 ∠ABC。

- 认识优角 / 反角、平角和周角。

- 使用量角器量度 360° 以内的角(不包括 0° 和 360°)。

3. 绘画指定大小的角。

已有知识: 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 2S2「角(一)」及 3S3「角(二)」

中认识角的概念,认识直角、锐角和钝角,亦能比较角的大小。

〔备注:部分学生可能在小学曾学习增润项目 5M-E1「角(度)」,内容包括 - 认识「度」(°)。

- 使用量角器量度 0° 至 360° 的角。

- 用量角器绘出指定大小的角。〕

规划建议: 教师可在初中数学科修订课程学习单位 19「角和平行线」,或其他合适学习单 位,加入本课题的教学。

二、建议教学内容

1. 教师与学生重温当两直线相交于一点时,便形成角,以及直角、锐角和钝角的概念,并 以弧「╮」来标示一般角和以符号「 」标示直角的记号。

2. 教师可在此引入角的命名方法,包括使用符号「∠」,以诸如 ∠A 和 ∠BAC 来命名下图 的角。

3. 教师介绍角的单位是「度」,以符号「°」表达。教师可考虑用量角器作解说:假设圆周可 以分成 360 个相等的部分,两个相邻半径将形成 1 度角,所形成的每一部分,于圆心的 角的大小都是一度,记作 1°。

4. 教师可以用度来描述三分一圆、四分一圆和六分一圆的圆心角的大小,以强化学生对度 A

B

C

(36)

5. 教师可进一步引导学生以度来描述锐角、直角和钝角,继而引入平角、优角 / 反角和周 角的名称和概念。

锐角 直角 钝角 平角 优角 / 反角 周角

大于 0º

且小于 90º 90º 大于 90º

且小于 180º 180º 大于 180º

且小于 360º 360º

6. 教师介绍量角器及其使用方法。学生须认识量角器的中心点,底边和度数标记。

使用量角器量度 0° 至 180° 的角的步骤:

(1) 把角的顶点对齐量角器的中心点;

(2) 把量角器的底边对齐角的其中一边,并使用该边所指向为 0 的那一组度数标记来 量度角的大小;

(3) 由角的另一条边所在位置的度数标记,读取该角的度数。如上图,∠BAC = 38°。

注意:学生亦可透过辨认所量度的角是锐角或钝角,从而推断出所量度角的度数的 范围,并在两组度数标记中选择正确的标记。

度数标记 底边 中心点 度数标记

A

B

C

(37)

7. 教师让学生进行探究活动一(见后页),尝试以半圆量角器量度反角。

8. 教师介绍如何以量角器绘画指定大小的角(0° 至 180°):

(1) 绘画或找出指定角的一边的线段;

(2) 把量角器的底边对齐该线段,并把中心点对齐线段的端点作为角的顶点;

(3) 使用该边所指向为零的那一组度数标记;

(4) 按指定角度的大小,在相应的度数标记位置作记号;

(5) 把角的顶点和记号连成一线,成为角的另一边;

(6) 标记该角,并写上角度。

9. 教师让学生进行探究活动二(见后页),尝试以半圆量角器绘画反角。

(38)

探究活动一

以量角器量度下列各题中所示的角的大小,把结果填写于横线上及标示于图上。

1.

∠ABC = ______________

2. (a) 量度 ∠ABC

∠ABC = ______________

(b) 反角 ABC = __________

3.

反角 PQR = __________

4.

反角 ABC = __________

探究活动二

以量角器绘画下列各题中所要求的角,并在图上标示角的大小。

1. ∠ABC = 130º 2. (a) ∠PQR = 145º (b) 反角 PQR = 215º

3. 反角 ABC = 250º 4. 反角 PQR = 300º A

B C

A

B C

Q

P

R A

B C

(39)

三、练习

用量角器量度以下角的大小,在图中标示角的大小,并填写角的大小和类别。

图 像 角 的 大 小 角 的 类 别

1.

∠AOB = ______

锐 角 / 直 角 / 钝 角 / 平 角 / 反 角 / 周角

2.

∠ABC = ______

∠BAC = ______

∠ACB = ______

___________

___________

___________

3. 量度三角形各顶点的角(自行用字母命名顶 点)

______________

______________

______________

___________

___________

___________

4. 量度三角形各顶点的角(自行用字母命名顶

点) 按角的大小,由

小至大排列 ______________

______________

______________

______________

______________

______________

5. 绘画指定大小的角。

∠PQR = 210° _____________

A

B O

A

B C

(40)

参考答案

探究活动一

以量角器量度下列各题中所要求的角的大小,把结果填写于横线上及标示于图上。

1.

∠ABC = _____ 110º _____

2. (a) 量度 ∠ABC

∠ABC = _____ 80º _____

(b) 反角 ABC = ___ 280º ___

3.

反角 PQR = _____ 240º _____

4.

反角 ABC = _____ 320º _____

探究活动二

以量角器绘画下列各题中所要求的角,须标示角的大小于图上。

1. ∠ABC = 130º 2. (a) ∠PQR = 145º (b) 反角 PQR = 215º

3. 反角 ABC = 250º 4. 反角 PQR = 300º 80º

240º

250º

130º

300º 110º

A

B C

320º

215º A

B C

Q

P

R A

B C

A

B C

B

A

C

145º Q

P

R

Q

P

R

(41)

练习︰

用量角器量度以下角的大小,在图中标示角的大小,并填写角的大小和类别。

角 角 的 大 小 角 的 类 别

1.

∠AOB = 30°

锐 角 /直 角/ 钝 角/平 角/ 反 角/周角

2.

∠ABC = 90°

∠BAC = 53°

∠ACB = 37°

直角 锐角 锐角 3. 量度三角形各顶点的角(自行用字母命名顶

点)

∠ABC = 50°

∠BCA = 60°

∠CAB = 70°

锐角 锐角 锐角

4. 量度三角形各顶点的角(自行用字母命名顶

点) 按角的大小,由

小至大排列

∠BCA = 20°

∠CAB = 40°

∠ABC = 120°

锐角 锐角 钝角

5. 绘画指定大小的角。

∠PQR = 210° 反角 A

B O

A

B C

A

B C

30°

A

B C

210°

P

Q R

90° 37°

53°

70°

60° 50°

120°

40°

20°

(42)

示例六︰圆形图

一、课题基本资料 学习范畴: 数据处理

学习重点: 1. 认识圆形图。

2. 阐释圆形图。

- 学生不须自行量度圆形图中的圆心角以进行计算。

- 教师可让学生运用资讯科技制作圆形图。

已有知识: 学生应已透过过渡期学与教材料,学习「角(度)」。

规划建议: 教师可在初中数学科修订课程学习单位 29「数据的表达」,或其他合适学习单 位,加入本课题的教学。

〔备注 1:小学数学科修订课题有关圆形图的学习重点虽然只要求学生阐释涉 及简单计算的圆形图,例如每个扇形的圆心角须为 30º 或 45º 的倍数,但学 生在第三学习阶段应能处理较复杂的情况。因此,此教材并无依照上述限制,

唯教师在教学时可先由较简单的圆形图开始。〕

〔备注 2:学生在圆形图对扇形、圆心角等概念的认识可暂时停留在直观层面 上,因此在教学安排上,本课题并非必须安排在学习重点 16.2 之后。〕

二、建议教学内容

1. 教师介绍圆形图是其中一种常用的统计图,用以表达各项数据占整体的多少,其形状为 圆形,用各个扇形代表对应的各项数据。每个扇形之上或旁边一般会标示数据所对应的 项目及其占整体的百分比(如下图 *)。

在教学时我们亦可能在圆形图中标示各扇形的圆心角而非百分比。每项数据占整体的百 分比与代表该数据的扇形之圆心角成比例,例如占整体 25% 的数据,其扇形的圆心角

(43)

亦为一周角的 25%(即 360º × 25% = 90º)。以下算式可用作求代表该项目的扇形之圆心 角:

圆心角 = 360º × 项目所占的百分比 = 360º × 項目的頻數 總頻數

2. 教师可让学生运用资讯科技制作圆形图。教师亦可介绍以纸笔制作简单圆形图的步骤:

步骤 (1):计算各项数据占整体的百分比及对应扇形的圆心角。

步骤 (2):绘画圆形,并按各扇形的圆心角把圆形分割。

步骤 (3):标示各扇形所代表的项目及对应的百分比(或圆心角)。

步骤 (4):写出圆形图的标题。

3. 教师让学生进行探究活动一(见后页),制作圆形图以显示圣诞节联欢活动经费的分配,

并且与同学作课堂讨论。

4. 教师让学生进行探究活动二(见后页),讨论日常生活中圆形图的应用。教师可进一步阐 释圆形图,与学生讨论使用圆形图的优点和缺点,例如能藉由扇形的大小直观地显示不 同项目所占比例、项目太多时难以显示不同项目所占比例等。

(44)

探究活动一

1. 假设班会预算用 $720 的班会费作为圣诞节联欢活动的经费,你认为应如何使用?试以下 列 5 个项目(食物费用、饮品费用、奖品、场地布置和其他杂项)来描述你的意见,并填 写下表。

项目 金额 所占比例

(准确至一位小数)

圆心角

(准确至整数)

1 食物费用 2 饮品费用 3 奖品 4 场地布置 5 其他杂项

总开支: $720 100% 360º

2. 根据上表,利用量角器,以圆形图显示你的意见。

3. 与同学交换大家的圆形图,并从圆形图中讨论经费应主要花在哪些项目上。

(45)

探究活动二

下列圆形图是 2018-19 年度财政预算案所预算的政府总开支。

1. 求 x 的值。

2. 若教育的开支为 1100 亿元,则 2018 – 19 年度政府总开支是多少亿元?社会福利的开支 又是多少亿元?

解:

经济 4% 环境及食物 5%

保安 10%

衛生 14%

基础建设 15%

其他 16%

社会福利 x %

教育 20%

2018-19 年度政府总开支

(46)

经济 4% 环境及食物 5%

保安 10%

衛生 14%

基础建设 15%

其他 16%

社会福利 x %

教育 20%

2 0 1 8 -1 9 年度政府总开支

参考答案

探究活动一 (开放题)

1. 假设班会预算用 $720 的班会费作为圣诞节联欢活动的经费,你认为应如何使用?试以下 列 5 个项目(食物费用、饮品费用、奖品、场地布置和其他杂项)来描述你的意见,并填 写下表。

项目 金额 所占比例

(准确至一位小数)

圆心角

(准确至整数)

1 食物费用(例如) $360 $360

$720 × 100% = 50% 360 º× 50% = 180º 2 饮品费用

3 奖品 4 场地布置 5 其他杂项

总开支: $720 100% 360º

探究活动二 1. 因为全部项目的总百分数是 100 %

20% + 4% + 5% + 10% + 14% + 15% + 16% + x % = 100%

x % + 84% = 100%

x % = 16%

x = 16 2. 设 2018 – 19 年度政府总开支为 y 亿元。

y × 20% = 1100 y = 5500

∴ 2018 – 19 年度政府总开支为 5 500 亿元。

社会福利的开支:

5500 × 16%

= 880

∴ 2018 – 19 年度政府的社会福利开支为 880 亿元。

教师注意事项:

1. 本学与教材料主要针对制作和阐释圆形图,有关选用适当的统计图表达数据属初中数学 科修订课程学习单位 29「数据的表达」的学习重点。

2. 教师可向学生解释利用量角器作圆形图时,圆心角的准确度一般只可准确至整数,因此 在计算圆心角的总和时有机会要取近似值,令圆心角的近似值总和不一定是 360º,从而 指出运用资讯科技制作圆形图可更准确表达数据的优点。

(47)

三、练习题

1. 根据 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的资料来填写下表。

项目 金额(亿元) 所占比例

(准确至一位小数)

圆心角

(准确至整数)

1 利得税 1,600

2 薪俸税 500

3 印花税 1,000 4 投资收入 400 5 地价收入 1,200 6 其他收入 1,300

总收入: $6,000(亿元) 100% 360º

2. 根据上表,利用资讯科技或量角器制作 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的圆形图。

(48)

参考答案

1. 根据根据 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的资料来填写下表。

项目 金额(亿元) 所占比例

(准确至一位小数)

圆心角

(准确至整数)

1 利得税 1,600 1600

6000 × 100% = 26.7% 360º× 26.7% = 96º

2 薪俸税 500 500

6000 × 100% = 8.3% 360º× 8.3% = 30º 3 印花税 1,000 1000

6000 × 100% = 16.7% 360º× 16.7% = 60º

4 投资收入 400 400

6000 × 100% = 6.7% 360º× 6.7% = 24º 5 地价收入 1,200 1200

6000 × 100% = 20% 360º× 20% = 72º 6 其他收入 1,300 1300

6000 × 100% = 21.7% 360º× 21.7% = 78º 总收入: 6,000(亿元) 100% 360º

2. 根据上表,利用量角器或资讯科技制作 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的圆形图。

参考资料:2018 – 19 年度财政预算案 https://www.budget.gov.hk/2018/chi/index.html

利得稅 27%

薪俸稅 8%

印花稅 17%

投資收入 6%

520%

其他收入 22%

2018-19 年度政府总收入

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(51)
(52)
(53)

教育局数学教育组编订 政府物流服务署印

ISBN 978-988-8370-83-2

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