初 中 数 学 修 订 课 程 过 渡 期 学 与 教 材 料

中学数学科

学 与 教 资 源

初 中 数 学 修 订 课 程 过 渡 期 学 与 教 材 料

香 港 特 别 行 政 区 教 育 局

课 程 发 展 处 数 学 教 育 组 编 订

2 0 1 8

目 录

页 数

引 言 1

I 简 介

一 目 的 2

二 内 容 3

三 使 用 指 引 4

II 衔 接 关 注 事 项

一 数 学 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表 6

二 小 学 数 学 修 订 课 程 内 容 与 小 学 数 学 课 程

（ 2000） 内 容 的 比 较 7

III 教 学 及 评 估 示 例

示 例 一 ： 3 的 整 除 性 判 别 方 法 11 示 例 二 ： 质 数 与 合 成 数 的 概 念 15

示 例 三 ： 运 用 短 除 法 求 两 个 数 的 最 大 公 因 数 和

最 小 公 倍 数 20

示 例 四 ： 圆 面 积 公 式 26

示 例 五 ： 角 （ 度 ） 32

示 例 六 ： 圆 形 图 39

引 言

为 配 合 学 校 课 程 持 续 更 新 ， 回 应 于 2014 年 11 月 至 2015 年 4 月 期 间 在 「 新 学 制 中 期 检 讨 与 前 瞻 」中 所 收 集 的 意 见 ，及 进 一 步 加 强 数 学 课 程 之 纵 向 衔 接 和 与 其 他 学 科 间 的 横 向 连 系 ， 课 程 发 展 议 会 数 学 教 育 委 员 会 于 2015 年 12 月 成 立 三 个 专 责 委 员 会 检 视 及 修 订 小 一 至 中 六 数 学 课 程 ， 并 于 2017 年 11 月 公 布 《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引（ 小 一 至 中 六 ）》（ 2017）的 补 充 文 件 ，阐 明 修 订 后 的 小 一 至 中 六 数 学 课 程 的 学 习 内 容（ 下 称「 修 订 课 程 」）。是 次 数 学 课 程 学 习 内 容 的 修 订 是 建 基 于《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引（ 小 一 至 中 六 ）》（ 2017）中 订 明 的 数 学 教 育 的 课 程 宗 旨 、 课 程 设 计 和 评 估 的 主 导 原 则 。

本 资 料 册 旨 在 为 教 师 提 供 学 与 教 材 料 的 参 考 ， 帮 助 教 师 处 理 初 中 修 订 课 程 推 行 初 期 与 原 小 学 数 学 课 程 的 衔 接 。

欢 迎 各 界 人 士 就 本 资 料 册 提 供 意 见 和 建 议 。 来 函 请 寄 ︰

九 龙 政 府 合 署 4 楼 教 育 局 课 程 发 展 处

总 课 程 发 展 主 任 （ 数 学 ） 收 传 真 ： 34269265

电 邮 ： ccdoma@edb.gov.hk

I 简 介

一 目 的

课 程 发 展 议 会 在 2017 年 11 月 公 布 数 学 科（ 小 一 至 中 六 ）修 订 课 程 ，并 建 议 各 中 学 于 2020/21 学 年 起 在 中 一 逐 年 推 行 初 中 数 学 修 订 课 程 ， 并 于 2023/24 学 年 衔 接 高 中 数 学（ 必 修 部 分 ）修 订 课 程 。以 上 安 排 乃 回 应 教 师 的 整 体 意 见 ，期 望 修 订 课 程 尽 快 在 中 学 全 面 推 行 。

由 于 第 二 学 习 阶 段 （ 即 小 四 至 小 六 ） 的 小 学 数 学 修 订 课 程 亦 于 2020/21 学 年 起 在 小 四 逐 年 推 行 ， 在 此 安 排 下 ， 将 有 三 届 中 一 学 生 （ 即 于 2020/21、 2021/22 及 2022/ 23 学 年 升 读 中 一 的 学 生 ） 在 初 中 修 读 修 订 课 程 ， 但 于 小 学 修 读 载 于 《 数 学 教 育 学 习 领 域 － 数 学 课 程 指 引 （ 小 一 至 小 六 ）（ 2000）》 的 课 程 （ 下 称 「 2000 课 程 」），而 非 小 学 数 学 修 订 课 程 。因 应 以 上 情 况 ，学 校 有 需 要 在 首 三 学 年 的 过 渡 期 为 此 三 届 学 生 设 计 相 应 及 适 切 的 校 本 课 程 ， 让 他 们 能 顺 利 衔 接 至 初 中 数 学 修 订 课 程 。

本 资 料 册 是 依 据 2000 课 程 、《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引 补 充 文 件 ： 小 学 数 学 科 学 习 内 容 》（ 2017） 和 《 数 学 教 育 学 习 领 域 课 程 指 引 补 充 文 件 ： 初 中 数 学 科 学 习 内 容 》（ 2017）编 写 。目 的 是 为 教 师 提 供 小 学 数 学 修 订 课 程 与 2000 课 程 的 比 较 资 料 、 以 及 一 些 过 渡 期 相 关 的 学 与 教 资 源 示 例 ， 以 达 到 下 列 的 目 标 ：

(i) 让 教 师 了 解 数 学 科 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表 ；

(ii ) 协 助 教 师 理 解 小 学 数 学 修 订 课 程 与 2000 课 程 的 分 别 ； 及

(iii ) 提 供 载 于 小 学 数 学 修 订 课 程 而 不 在 2000 课 程 之 内 的 课 题 之 过 渡 期 学 与 教 资 源 示 例 ，协 助 教 师 于 上 述 过 渡 期 更 容 易 设 计 校 本 教 材 ，让 学 生 畅 顺 衔 接 初 中 数 学 修 订 课 程 的 学 习 。

二 内 容

本 资 料 册 的 内 容 包 括 ： 甲 、 衔 接 关 注 事 项

教 师 在 这 部 分 可 以 参 考 数 学 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表 ，及〈 小 学 数 学 修 订 课 程 内 容 与 小 学 数 学 课 程 （ 2000） 内 容 的 比 较 〉， 安 排 过 渡 期 所 需 的 校 本 衔 接 措 施 。

乙 、 教 学 及 评 估 示 例

教 学 及 评 估 示 例 为 本 资 料 册 的 主 要 内 容 ：

示 例 课 题

示 例 一 3 的 整 除 性 判 别 方 法 示 例 二 质 数 与 合 成 数 的 概 念

示 例 三 运 用 短 除 法 求 两 个 数 的 最 大 公 因 数 和 最 小 公 倍 数

示 例 四 圆 面 积 公 式

示 例 五 角 （ 度 ）

示 例 六 圆 形 图

每 个 教 学 及 评 估 示 例 均 包 括 课 题 基 本 资 料 、建 议 教 学 内 容 和 练 习 。课 题 基 本 资 料 包 括 学 习 范 畴 、学 习 重 点 、学 生 须 具 备 的 已 有 知 识 和 规 划 建 议 。建 议 教 学 内 容 包 括 一 些 相 关 的 探 究 活 动 、答 案 、教 学 资 源 和 教 师 注 意 事 项 。最 后 为 练 习 和 答 案 。教 师 可 因 应 学 生 的 学 习 情 况 ，修 改 示 例 中 的 活 动 和 练 习 以 配 合 学 生 的 学 习 需 要 或 设 计 其 他 适 当 的 教 学 及 评 估 活 动 。

三 使 用 指 引

1. 本 资 料 册 适 用 于 在 2020/21、2021/22 及 2022/23 学 年 升 读 中 一 的 学 生 。教 师 可 透 过 本 资 料 册 的 过 渡 期 学 与 教 材 料 ， 协 助 学 生 学 习 相 关 课 题 。

2. 本 资 料 册 介 绍 的 学 与 教 材 料 包 括「 课 题 基 本 资 料 」、「 建 议 教 学 内 容 」及「 练 习 」 三 部 分 。「 课 题 基 本 资 料 」 列 出 有 关 课 题 的 概 略 ， 包 括 ： 学 习 范 畴 、 学 习 重 点 、已 有 知 识 及 规 划 建 议 ，以 供 教 师 参 考 。教 师 可 参 考 在 教 材 中 列 明 学 生 在 学 习 这 些 课 题 时 须 具 备 的 已 有 知 识 和 在 初 中 数 学 修 订 课 程 中 的 相 关 学 习 重 点 ，将 这 些 材 料 融 入 初 中 数 学 科 的 学 与 教 之 中 。一 般 而 言 ，本 资 料 册 所 载 的 过 渡 期 学 与 教 材 料 ， 并 不 要 求 教 师 按 册 子 的 编 排 次 序 独 立 地 一 次 过 教 授 。教 师 亦 可 因 应 学 生 的 学 习 情 况 ，自 行 设 计 或 修 改 在「 建 议 教 学 内 容 」中 的 探 究 活 动 / 课 堂 活 动 ， 以 及 「 练 习 」 的 题 目 。

3. 学 与 教 及 评 估 须 互 相 配 合 ，因 此 教 师 可 因 应 学 生 的 兴 趣 、能 力 和 需 要 ，以 及 学 校 的 环 境 ，把 本 资 料 册 示 例 的 建 议 内 容 、工 作 纸 及 评 估 的 活 动 调 适 ，灵 活 地 在 课 堂 运 用 ，以 发 挥 更 理 想 的 教 学 效 果 。在 设 计 学 与 教 活 动 前 ，教 师 宜 先 分 析 学 生 在 学 习 该 单 位 时 所 遇 到 的 困 难 和 常 犯 的 错 误 ，设 计 适 切 的 活 动 ，让 学 生 进 行 探 索 、 建 构 新 知 识 和 培 养 他 们 解 决 问 题 的 能 力 。

4. 有 关 照 顾 学 生 学 习 的 多 样 性 ，教 师 可 因 应 学 生 的 学 习 情 况 ，例 如 学 习 兴 趣 和 能 力 等 ，调 适 本 资 料 册 建 议 的 示 例 ，或 参 考 示 例 自 行 设 计 合 适 的 教 材 ，以 照 顾 学 生 的 多 样 性 。在 设 计 教 学 活 动 时 ，教 师 可 为 学 习 能 力 较 佳 的 学 生 设 计 较 具 挑 战 性 的 活 动 ，以 扩 阔 他 们 的 知 识 领 域 ，让 他 们 展 现 潜 能 ；另 一 方 面 ，教 师 亦 可 为 学 习 能 力 稍 逊 的 学 生 提 供 较 具 体 的 指 引 ， 给 予 他 们 充 分 的 时 间 思 考 、讨 论 和 探 索 ，并 提 供 足 够 的 鼓 励 和 支 援 ，帮 助 他 们 掌 握 基 本 知 识 和 提 高 他 们 的 学 习 兴 趣 。

5. 本 资 料 册 并 其 所 附 的 教 学 示 例 与 相 关 的 电 子 教 材 之 不 同 语 文 版 本 ， 可 于 数 学 教 育 组 网 站 下 载 ， 网 址 如 下 ：

（ 繁 体 中 文 ）

www.edb. gov.h k/t c/ curriculum -d ev el opm ent/ kla/ma/res/j s/t ransitional .htm l

（ 简 体 中 文 ）

www.edb. gov.h k/s c/ curriculum -dev el opm ent/ kla/ma/res/j s/t ransitio nal .htm l

（ 英 文 ）

www.edb. gov.h k/ en/ cu rri culum -develo pment/ kl a/m a/res/ js/t ransi tion al .html

II

衔 接 关 注 事 项

一 数 学 修 订 课 程 的 推 行 时 间 表

课 程 发 展 议 会 建 议 各 中 小 学 按 下 列 时 间 表 推 行 数 学 科 修 订 课 程 ︰

• 第 一 学 习 阶 段 （ 即 小 一 至 小 三 ） 的 小 学 数 学 修 订 课 程 于 2019/20 学 年 起 在 小 一 逐 年 推 行 。

• 第 二 学 习 阶 段 （ 即 小 四 至 小 六 ） 的 小 学 数 学 修 订 课 程 于 2020/21 学 年 起 在 小 四 逐 年 推 行 。

• 第 三 学 习 阶 段 （ 即 中 一 至 中 三 ） 的 初 中 数 学 修 订 课 程 于 2020/21 学 年 起 在 中 一 逐 年 推 行 。

• 第 四 学 习 阶 段 （ 即 中 四 至 中 六 ） 的 高 中 数 学 科 （ 必 修 部 分 ） 修 订 课 程 于 2023/ 24 学 年 起 在 中 四 逐 年 推 行 。

• 第 四 学 习 阶 段 （ 即 中 四 至 中 六 ） 的 高 中 数 学 科 （ 延 伸 部 分 ） 修 订 课 程 于 2019/ 20 学 年 起 在 中 四 逐 年 推 行 。

二 小 学 数 学 修 订 课 程 内 容 与 小 学 数 学 课 程 （ 2000） 内 容 的 比 较

下 表 列 出 修 订 课 程 与 小 学 数 学 课 程（ 2000）内 容 的 比 较 ，当 中 只 包 括 主 要 修 订 内 容 。建 议 教 师 在 阅 读 下 表 时 ，亦 应 阅 读 修 订 课 程 的 文 件 ，以 了 解 修 订 的 细 节 和 课 程 的 整 体 设 计 。

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 ^重组 /调整调动 一年级

1N5 加与减(一)





 1N4 加法和减

法(一)

- 新增「认识加法结合性质」

- 删去解三个数的加法应用题 - 删去「估计计算结果」

1M4 时间(一) * 1M4 时间(一) - 新增「以小时为单位，量度和比 较时间间隔」和「解有关时间间 隔的简单应用题」

* 由于 2000 课程二年级的学习内容已包含有关修订内容，故教师无须为这部分作衔接安排。

1S1 立体图形(一)  1S1 立体图形 (一)

- 删去「认识柱体和锥体」

1S1 立体图形(一) 1S3 平面图形



 1S3 方向和位 置(一)

- 调整有关物件的相对位置的学习 内容，组成新学习单位 1S3 - 新增相对位置「之间」

1S2 直线和曲线 1S3 平面图形

 1S2 平面图形 - 新增「认识点的直观概念」

二年级

2N2 加与减(二)  2N2 加法和减 法(二)

- 新增「运用加法交换性质和结合 性质进行加法运算」

2M2 时间(二)  6M4 速率 - 调动以「小时和分钟」求时间间 隔至 6M4

2M4 重量  3M5 重量 - 调动至 3M5 2S1 立体图形(二)  1S1 立体图形

(一)

- 调动「认识角柱、圆柱、角锥、圆 锥的直观概念」至 1S1

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 ^重组 /调整调动

2S1 立体图形(二)  --- - 删去「制作立体图形」

2S4 四边形(一)



 2S4 四边形(一) - 新增「认识线段的概念」和「认 识邻边的概念」

- 删去「认识梯形和菱形」

三年级

3N2 加与减(四)  3N4 四则运算 (一)

- 调整不超过四个位的数加法和减 法的学习重点，与加减混合运算 的学习重点合并，组成新学习单 位 3N4

3N4 除法(一)  3N3 除法(一) - 删去「用短除法进行基本除法计 算」

3N6 分数(一)  3N5 分数(一) - 新增「认识等值分数的概念」

- 新增「进行不多于三个同分母分 数的加法和减法运算」，其结果须 不大于 1 及解主要以图像阐述的 应用题

3M2 时间(三) 



6M4 速率 - 删去「以时、分和秒报时」

- 调动以「分钟和秒」求时间间隔 至 6M4

3S1 平行和垂直  2S2 角 - 调动有关垂直的学习内容至 2S2 3S3 角(二)  2S2 角 - 调动至小二，并与「角」合并，组

成新学习单位 2S2

3S4 三角形  3S2 三角形 - 新增「认识等腰直角三角形」、「认 识不同种类三角形之间的关系」

和「认识三角形任意两边长度之 和大于第三边的长度」

3D1 方块图  --- - 成为新增润课题 2E2 方块图

四年级

4N1 乘法(二)  3N2 乘法(一) - 调动「认识乘法结合性质」至 3N2 4N-E1 整除性  4N2 除法(二) - 调动「认识 3 的整除性判别方法」

至 4N2 4N3 现代计算工具

的认识

 --- - 删去此学习单位

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 ^重组 /调整调动 4N-E2 质数及合成

数

 4N3 倍数和因 数

- 调动至小四，并与倍数和因数合 并，组成新学习单位 4N3

4N5 公倍数和公因 数

 4N4 公倍数和

公因数

- 新增「运用短除法找出两个数的 最大公因数和最小公倍数」

4N6 四则计算(二)  4N5 四则运算 (二)

- 新增「认识乘法分配性质」

4S1 四边形(三)  3S1 四边形(二) - 调动「认识梯形的概念和性质」

至 3S1 4S1 四边形(三)  4S1 四边形

(三)

- 新增「认识不同种类四边形之间 的关系」

4S3 对称  6S1 对称 - 调动至 6S1

4D1 棒形图(一)  3D1 棒形图(一) - 调动「一格代表 1、2 和 5 个单位 的棒形图」至 3D1

五年级

5N1 多位数  4D1 棒形图(二) - 调动「认识近似值」至 4D1 5N4 小数(二)  4N8 小数(二) - 调动至 4N8

5N6 分数(五)



 5N5 分数(五) - 新增「认识分数可理解为两个整 数的比的概念」

- 删去涉及求一个数比另一个数大 或小几分之几的应用题和涉及当 一个数增至或减至另一个数时，

求其分数变化的应用题

5M1 面积(二)  5M1 面积(二) - 新增「认识四边形高的概念」

5M-E1 角(度)  6M1 角(度) - 成为新学习单位 6M1

5S1 八个方向  4S3 方向和位

置(三)

- 调动至 4S3

5D2 棒形图(二)  4D1 棒形图(二) - 调动「一格代表 50 和 100 个单位 的棒形图」至 4D1

5D1 象形图(二)  --- - 删去此学习单位

六年级

6N4 百分数(二)  6N4 百分数(二) - 删去涉及折扣、较复杂的百分数 和百分变化的应用题

2000 课程的 学习单位

主要修订

修订课程的

学习单位 修订说明

删去 新增 ^重组 /调整调动

6A1 简易方程(二)  5A2 简易方程 (一)

- 调动部分「两步计算的简易方程」

至 5A2，而运算只涉及整数 6A1 简易方程(二)  6A1 简易方程

(二)

- 新增 ax + bx = c 和 ax – bx = c 两 类方程

6S1 立体图形(四)



 5S2 立体图形 (三)

- 调动「认识立体图形的顶点和棱 的概念」、「认识角柱、圆柱、角锥 和圆锥中平行于底的截面」和「认 识球的截面」至 5S2

- 新增「认识圆柱的折纸图样」

6S1 立体图形(四)  --- - 调动「理解角柱/角锥中底的边 数、面的数目、棱的数目和顶点 的数目之间的关系」至新增润课 题 5E2 立体图形探究

6S2 圆  5S1 圆 - 调动至 5S1

6D2 棒形图(三)  5D1 棒形图(三) - 调动「一格代表 1000、10000 和 100000 个单位的棒形图」至 5D1

---  6M5 面积(三) - 新增学习单位(计算一个圆的面

积)，其学习内容是由中学调动至 6M5

---  6D3 圆形图 - 新增学习单位，其学习内容是由

中学调动至 6D3

---  6D4 统计的应

用和误用

- 新增学习单位

以 上 对 照 表 ， 教 师 亦 可 从 数 学 教 育 组 网 站 下 载 ， 方 便 参 阅 ， 网 址 如 下 ：

（ 繁 体 中 文 ）

www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_tc.pdf

（ 简 体 中 文 ）

www.edb.gov.hk/attachment/sc/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_sc.pdf

（ 英 文 ）

www.edb.gov.hk/attachment/en/curriculum-development/kla/ma/curr/CT_Pri_e.pdf

III 教 学 及 评 估 示 例

示例一

一、课题基本资料 学习范畴： 数与代数

学习重点： 认识 3 的整除性判别方法，包括一个正整数能被 3 整除和不能被 3 整除的条 件。学生不须认识其证明。

已有知识： 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N2「除法（二）」中认识整除性，

除数为 2、5 和 10。

[备注：部分学生可能曾在 2000 年版小学数学课程增润项目 4N-E1「整除性」

中学习 3 的整除性判别方法。]

规划建议： 教师可在教授初中数学修订课程学习重点 1.1「认识 4、6、8 和 9 的整除性判 别方法」或其他合适课题前，引入 3 的整除性判别方法。

二、建议教学内容

1. 教师可与学生重温小学所学有关整除性判别方法的知识。

 整除性：学生在小学阶段以一数除以另一数时没有余数（即余数为 0）来认识整除的 概念，例如由于 32 ÷ 2 = 16 没有余数，因此 32 可以被 2 整除。另外，学生亦认识倍 数和整除性的关系，例如由于 25 是 5 的倍数，因此 25 可以被 5 整除。

 在小学阶段，学生已学习有关 2、5、10 的整除性判别方法，即：

只有个位数是 2、4、6、8 或 0 的数可以被 2 整除。

只有个位数是 5 或 0 的数可以被 5 整除。

只有个位数是 0 的数可以被 10 整除。

2. 教师可引导学生发现 2、5、10 的整除性判别方法的共通点，即

若一正整数的个位数可以被 2、5 或 10 整除，则该数分别可以被 2、5 或 10 整除。

若一正整数的个位数不可以被 2、5 或 10 整除，则该数分别不可以被 2、5 或 10 整除。

但一个正整数的个位数可否被 3 整除，并不能用以判别该数可否被 3 整除。

3. 教师可与学生进行以下活动以探究 3 的整除性判别方法。

探究活动：

1. 请开启档案「3 的整除性判别方法.xlsx」，选取活页簿「两位数」，如下图。

2. 在储存格 A2−A11 输入任意 10 个 30 以内的正整数。

3. 把 A 栏的两位数中能被 3 整除的数（即 3 的倍数）的储存格填上浅蓝色，然后将对应的

「相加」储存格填上黄色。如下图。

4. 看看显示十位及个位之和的「相加」栏，你有甚么发现？在 A12−A16 输入更多两位数，

看看有没有类似结果？将发现写在下面：

若一个两位数能被 3 整除，则该数的十位数和个位数相加的结果必定______________。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果______________，则该数能被 3 整除。

再观察试算表，

若一个两位数不能被 3 整除，则该数的十位数和个位数相加的结果必定____________。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果______________，则该数不能被 3 整除。

5. 选取活页簿「三位数」，在 A 栏输入一些三位数，并观察百位、十位和个位之和，看看有 没有类似两位数的结果。

6. 对于一个四位数或五位数，上述的结果是否成立？

总结：

把一个正整数的各个位数相加，若相加的结果___________，则该数能被 3 整除；且 若相加的结果___________，则该数不能被 3 整除。

参考答案

4. 若一个两位数能被 3 整除，则该数的十位数和个位数相加的结果必定能被 3 整除。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果能被 3 整除，则该数能被 3 整除。

若一个两位数不能被 3 整除，则该数的十位数和个位数相加的结果必定不能被 3 整除。

若一个两位数的十位数和个位数相加的结果不能被 3 整除，则该数不能被 3 整除。

5. 有 6. 是 7. 总结：

把一个正整数的各个位数相加，若相加的结果能被 3 整除，则该数能被 3 整除；且 若相加的结果不能被 3 整除，则该数不能被 3 整除。

教师注意事项：

1. 以上探究活动亦可以纸笔形式进行。以电脑试算表进行则可减少学生的计算量，让学生 集中观察结果，及探究更多不同的数。

2. 试算表中取得个位和十位等数字的公式如下：

百位 = MOD(INT(A2/100),10) 十位 = MOD(INT(A2/10),10) 个位 = MOD(INT(A2),10)

3. 教师可因应学生的能力，以例子解释上述整除性判别方法的原理，唯这解释并非课程所 需。例如

852 = 800 + 50 + 2

= 8×100 + 5×10 + 2

= 8×(99 + 1) + 5×(9 + 1) + 2

= 8×99 + 8 + 5×9 + 5 + 2

= (8×99 + 5×9) + (8 + 5 + 2)

= (8×99 + 5×9) + 15

3 的倍数 + 3 的倍数 = 3 的倍数

746 = 700 + 40 + 6

= 7×100 + 4×10 + 6

= 7×(99+1) + 4×(9+1) + 6

= 7×99 + 7 + 4×9 + 4 + 6

= (7×99 + 4×9) + (7 + 4 + 6)

= (7×99 + 4×9) + 17

3 的倍数 + 不是 3 的倍数 = 不是 3 的倍数

三、练习

1. 下面哪些数可以被 3 整除？把答案圈起来。

17 26 39 104 521 1077 2014 2. 写出三个可以被 3 整除的三位数。

3. 写出三个可以被 3 整除的四位数。

4. 写出三个可以被 3 整除的五位数。

5. 写出一个可以被 3 整除的最大四位数。

6. 写出一个可以被 3 整除的最小五位数。

7. 三位数 2#5 可以被 3 整除。#可以是哪些数字呢？

8. 设 # 代表 0, 1, …, 9 中的一个数字，将 2、#、5 三个数字排成一个可以被 3 整除的最大 三位数，# 是甚么数字？

参考答案 1. 39, 1077

2. 369, 582, 960 或其他合适答案 3. 1296, 2574, 6888 或其他合适答案 4. 11145, 43125, 60594 或其他合适答案 5. 9999

6. 10002 7. 2, 5, 8

8. 8，因为题目要求的最大三位数是 852。

示例二︰质数与合成数的概念

一、课题基本资料 学习范畴： 数与代数

学习重点： 1. 认识质数与合成数的概念。

2. 学生须判别一个 100 以内的正整数是否质数和运用爱氏筛找出 100 以 内的所有质数。

已有知识： 1. 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N2「除法（二）」中认识整除 性，除数为 2、5 和 10。

2. 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N4「倍数和因数」中认识因 数及找出一个数的所有因数。

［备注：部分学生可能在小学阶段经已学习有关课题：4N-E2「质数及合成数」

（增润项目）。］

规划建议： 教师可在教授初中数学科修订课程学习单位 1「基础计算」学习重点 1.3 「进 行正整数的质因数分解」或其他合适课题前，加入本课题的教学。

二、建议教学内容

1. 教师与学生重温因数的概念及求一个正整数的所有因数的方法，并且透过探究活动一（见 后页），介绍质数与合成数的概念。学生透过观察正整数的因数数量，按因数的数量把正 整数进行分类：

(1) 质数只有 2 个因数。

(2) 合成数有 3 个或以上的因数。

(3) 整数 1 只有 1 个因数，既不是质数，也不是合成数。

2. 教师让学生进行探究活动二（见后页），尝试运用爱氏筛求 100 以内的所有质数。

公元前 250 年，古希腊数学家爱拉托散尼（Eratosthenes）提出寻找 2 至 n 之间的质数 的步骤：

列出整数 2 至 n （例如 100）。

步骤 (1)：从最小的整数开始。

步骤 (2)：圈起最小的整数，然后删去该数的其他倍数。

步骤 (3)：对剩下未加任何标记的数重复步骤 (2)，直至所有数均有标记。

步骤 (4)：所有圈起的数就是质数。

3. 教师可参考 ETV 节目：齐来找质数（https://www.hkedcity.net/etv/resource/441554750）。

探究活动一

1. 列出整数 1 – 20 的所有因数，观察整数的因数数目，完成下表，并按因数的数量将整数 进行分类：

整数 因数 因数数量 整数 因数 因数数量

1 1 1 11

2 1, 2 2 12

3 13

4 1, 2, 4 3 14

5 15

6 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 17

8 18

9 19

10 20

2. 试依各整数的因数数量分成三类：

(1) 第一类：只有 2 个因数：2, 。

(2) 第二类：有 3 个或以上的因数：4, 。

(3) 第三类：只有 1 个因数：__________。

1. 我们称只有 2 个因数的正整数为质数。质数的因数为 1 及该数本身。

2. 我们称有 3 个或以上因数的正整数为合成数。

3. 整数 1 只有 1 个因数，既不是质数，也不是合成数。

3. 练习：

(a) 把右方的数中的质数圈出来： 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的数中的合成数圈出来： 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考虑所有偶数，当中有多少个质数？试列出及解释。

参考答案

1. 列出整数 1 – 20 的所有因数，观察整数的因数数目，完成下表，并按因数的数量将整数 进行分类：

整数 整数的因数 因数数量 整数 整数的因数 因数数量

1 1 1 11 1, 11 2

2 1, 2 2 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 6

3 1, 3 2 13 1, 13 2

4 1, 2, 4 3 14 1, 2, 7, 14 4

5 1, 5 2 15 1, 3, 5, 15 4

6 1, 2, 3, 6 4 16 1, 2, 4, 8, 16 5

7 1, 7 2 17 1, 17 2

8 1, 2, 4, 8 4 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 6

9 1, 3, 9 3 19 1, 19 2

10 1, 2, 5, 10 4 20 1, 2, 4, 5, 10, 20 6 2. 试依各整数的因数数量分成三类：

(1) 第一类：只有 2 个因数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。

(2) 第二类：有 3 个或以上的因数：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20。

(3) 第三类：只有 1 个因数：1。

3. 练习：

(a) 把右方的数中的质数圈出来： 23, 31, 39, 48, 51, 59 (b) 把右方的数中的合成数圈出来： 26, 37, 41, 49, 53, 60 (c) 考虑所有偶数，当中有多少个质数？试列出及解释。

答：所有偶数中只有 2 是质数，因为其他所有偶数的因数都最少包括 1、2 和该数，

即有 3 个或以上的因数，因此是合成数。

教师注意事项：

1. 质数和合成数的讨论只限于正整数。

2. 作为教学的延续和正整数质因数分解概念的引入，教师可因应学生能力向学生说明所有 合成数，不论因数数量，由于包含 1 和自身以外的因数，必能写成两个非 1 及自身的数 的积，例如 4 = 2 × 2，12 = 3 × 4。教师可进一步说明若写成该乘式中的数包含合成数，

该数可再分拆，例如 12 = 3 × 4 = 3 × 2 × 2，直至数式中再没有合成数。

探究活动二

爱氏筛 (Sieve of Eratosthenes)

1. 运用爱氏筛找出 100 以内的所有质数。

寻找 2 至 100 之间的质数的步骤：

(1) 从最小的整数开始。

(2) 圈起最小的整数，然后删去该数的其他倍数。

(3) 对剩下未加任何标记的数重复步骤 (2)，直至所有数均有标记。

(4) 所有圈起的数就是质数。

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2. 练习：

(a) 在 100 以内有多少个质数？在 100 以内最大的质数是甚么？

(b) 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 质数 = 质数 (ii) 质数 × 合成数 = 合成数

参考答案

1. 运用爱氏筛找出 100 以内的所有质数。把质数圈出来。

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2. 练习：

(a) 在 100 以内有多少个质数？在 100 以内最大的质数是甚么？

答：25 个。最大 97。

(b) 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 质数 = 质数

答：不正确（因为质数只有两个因数，而两个质数相乘所得的积必定有多于两 个因数。）

(ii) 质数 × 合成数 = 合成数

答：正确（因为左手边的合成数本身已有 3 个或以上因数，所以其与质数之积 也是有 3 个或以上因数。）

三、练习

1. 写出 100 – 130 以内的所有质数。

2. 在 150 以内最大的质数是甚么？

3. 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 1 = 合成数

(ii) 合成数 × 合成数 = 合成数 参考答案

1. 写出 100 – 130 以内的所有质数。 答： 101, 103, 107, 109, 113, 127 2. 在 150 以内最大的质数是甚么？ 答： 149

3. 判定以下是否正确。

(i) 质数 × 1 = 合成数

答：不正确（因为任何数乘以 1 不影响其因数的数目，所以质数 × 1 后仍只有两个 因数。）

(ii) 合成数 × 合成数 = 合成数

答：正确（因为左手边的合成数本身已有 3 个或以上因数，所以其积也是有 3 个 或以上因数。）

示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数

一、课题基本资料 学习范畴： 数与代数

学习重点： 运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。学生不须认识其原理。

已有知识： 1. 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N5「公倍数和公因数」中，

学会透过列举两个数的倍数，求该两个数的公倍数及最小公倍数；以及 透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。学生已认识 最大公因数和最小公倍数简称分别为“H.C.F.”和“L.C.M.”。

2. 另外，学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 4N2「除法（二）」中 认识整除性，除数为 2、5 和 10。

3. 学生在初中数学修订课程学习单位 1「基础计算」的学习重点 1.1 中，

认识 4、6、8 和 9 的整除性判别方法。

4. 学生亦应已透过过渡期学与教材料，学习 3 的整除性判别方法。

5. 学生在初中数学修订课程学习单位 1「基础计算」的学习重点 1.3 中，

认识正整数的质因数分解。

［备注：部分学生可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因 数和最小公倍数。］

规划建议： 教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点 1.4「求最大公因数和最小公 倍数」的教学当中，教师亦可在其他合适地方引入此课题。

二、建议教学内容

1. 教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。

 例 1：运用列举法，求 12 和 18 的最大公因数。

首先由小至大，列举 12 和 18 的所有因数，并圈出 12 和 18 的所有公因数。

12 的因数：○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E A} 4 ^A○^{6E A} 12 18 的因数：^A○^{1E AA}○^{2E AA}○^{3E A A}○^{6E A} 9 18

从圈出的公因数中，可见 6 是 12 和 18 的最大公因数。

 例 2：运用列举法，求 12 和 18 的最小公倍数。

首先由小至大，列举 12 和 18 的首几个倍数，并圈出 12 和 18 的公倍数。

12 的倍数：12 24 ^A○^36EA 48 60 ^A○^72EA ……

18 的倍数：18 ^A○^36EA 54 ^A○^72EA ……

从圈出的公倍数中，可见 36 是 12 和 18 的最小公倍数。

2. 教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点，从而引入短除法。

3. 教师与学生进行以下活动，探究如何运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。

探究活动：

1. 运用整除性判别法，列出 30 和 42 的所有质数公因数（即同时为质数的公因数）。猜想 30 和 42 的最大公因数是甚么。

2. 进入网页https://www.geogebra.org/m/BKxeO3At。输入数值 a = 30，b = 42，向右拉动红 色滑杆一下，如下图。

图中用橙色圈着的数 2 与 30、42 有甚么关系？_________________

图中两对数 15、21 和 30、42 有甚么关系？__________________

3. 再次向右拉动红色滑杆一下，如下图。

图中用绿色圈着的数 3 与 15、21 有甚么关系？______________

4. 30 和 42 同时除以质数公因数 ____ 和 ____后，得到用蓝色圈着的数 ____和 ____。

由此可见，____ ×____ = _____是 30 和 42 的其中一个公因数。

用蓝色圈着的数 ____ 和 ____ 还有质数公因数吗？_______

我们有可能找到一个更大的 30 和 42 的公因数吗？（可能／不可能）

5. 尝试点选上图中的最大公因数(HCF)的勾选框，

30 和 42 的最大公因数 = ____________ = ________。

6. 尝试点选上图中的最小公倍数(LCM) 的勾选框，

30 和 42 的最小公倍数 = ____________ = ________。

7. 与同学讨论网页如何得到 30 和 42 的最大公因数及最小公倍数。

8. 利用上述网页，尝试找出其他两个数的最大公因数和最小公倍数。

参考答案

1. 30 和 42 的质数公因数为2 和 3。30 和 42 的最大公因数是2 × 3 = 6。

2. 用橙色圈着的数 2 是 30 和 42 的质数公因数。15 和 21 是 30 和 42 分别被 2 除的结果（商）。

3. 用绿色圈着的数 3 是 15 和 21 的质数公因数。

4. 30 和 42 同时除以质数公因数 2 和 3 后，得到用蓝色圈着的数 5 和 7 。 由此可见，2 × 3 = 6是 30 和 42 的其中一个公因数。

用蓝色圈着的数 5 和 7 还有质数公因数吗？没有。

我们不可能找到一个比 6 更大的 30 和 42 的公因数。

5. 30 和 42 的最大公因数 = 2 × 3 = 6。

6. 30 和 42 的最小公倍数 = 2 × 3 × 5 × 7 = 210。

教师注意事项：

1. 以上探究亦可以纸笔形式进行。使用 GeoGebra 网页版的课业可减少学生的计算量，让学 生集中认识短除法及其中的关系，及增加所探究的数的数量。唯无论以任何形式探究，

学生均须运用相关数的整除性判别方法，进行短除法。

2. 由于学生已学习正整数的质因数分解，教师可将例子中的 30 和 42 以质因数形式表示如 何求最大公因数及最小公倍数。

2 2 × 3 × 5 2 × 3 × 7 2 30 42 3 3 ×5 3 × 7 3 15 21

5 7 5 7

3. 教师须强调使用短除法时必须除尽所有公因数，即例子中的 2 和 3，直至两个商没有大 于 1 的公因数，如例子中的 5、7，短除法方为完成。教师可用更多例子说明此要求。

4. 教师可因应学生的能力，解释上述短除法的原理。唯解释并非课程所需。短除法是求两 个并非互质的正整数的最大公因数和最小公倍数的一种便捷方法。短除法可帮助学生不 须将两数进行质因数分解，也能求最大公因数及最小公倍数。其原理是将两数同时除以 质数公因数（即上述例子中的 2 和 3），直至两个数没有质数公因数为止（即上述例子中 的 5 和 7）。因为 5 和 7 互质，30 和 42 的最大的公因数是 2 × 3 = 6。学生亦可从2 × 3 × 5 和2 × 3 × 7 中，观察到2 × 3为两数的最大的公因数。对 30 和 42，即2 × 3 × 5和2 × 3 × 7，其最小公倍数为2 × 3 × 5 × 7 = 210。

5. 教师可向学生解释除数并非一定为质数，如上述例子中除数可以为 6，而非分别为 2 和 3。除数为质数的目的是令短除法可以扩展至求 3 个或以上正整数的最小公倍数。

6. 对于能力较佳学生，教师可与学生讨论除数 2、3（即 30 和 42 的公因数）的先后次序会 否影响结果，和若将 30 和 42 直接被公因数 6 除（而非分别被 2 和 3 除）时，对于计算 最大公因数和最小公倍数有没有影响。

7. 教师可比较短除法和列举法的优点和缺点。

三、练习

1. 运用短除法，求 a 和 b 的最大公因数和最小公倍数。

a b 最大公因数 最小公倍数 6 15

12 18 20 35 28 56

2. 凯玲运用短除法计算 60 和 90 的最大公因数和最小公倍数。请在适当位置填上合适数。

2 60 90 10 15

60 和 90 的最大公因数 = 2 × ___ × ___ = ______。

60 和 90 的最小公倍数 = 2 × ___ × ___ × ___ × ___ = _______。

3. 伟伦运用短除法计算 48 和 84 的最小公倍数。步骤如下：

2 48 84 2 24 42 12 21

48 和 84 的最小公倍数 = 2 × 2 × 12 × 21 = 1008。

伟伦的运算正确吗？若不正确，有甚么错误？请修正伟伦的错误。

4. 运用短除法，求 a 和 b 的最大公因数和最小公倍数。

a b 最大公因数 最小公倍数 30 45

48 60 72 120 110 165

参考答案 1.

a b 最大公因数 最小公倍数

6 15 3 30

12 18 6 36

20 35 5 140

28 56 28 56

2.

2 60 90 3 30 45 5 10 15

2 3

60 和 90 的最大公因数 = 2 × 3 × 5 = 30 。

60 和 90 的最小公倍数 = 2 × 3 × 5 × 2 × 3 = 180 。

3. 不正确。因为 12 和 21 还有公因数 3。正确步骤如下：

2 48 84 2 24 42 3 12 21

4 7

48 和 84 的最小公倍数 = 2 × 2 × 3 × 4 × 7 = 336。

4.

a b 最大公因数 最小公倍数

30 45 15 90

48 60 12 240

72 120 24 360 110 165 55 330

示例四︰圆面积公式

一、课题基本资料

学习范畴： 度量、图形与空间 学习重点： 1. 认识圆面积公式

2. 应用圆面积公式

已有知识： 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 6S2「圆」和 6M2「周界（二）」中，

认识圆周的公式及应用圆周的公式。

［备注︰「从一个圆的面积求它的直径或半径」不包括在小学数学修订课程中。

因此本学习材料并不涵盖有关内容。教师须在教授初中数学修订课程学习重点 16.2「理解圆的扇形面积公式」时加入有关内容。］

规划建议： 教师可在教授初中数学修订课程学习重点 16.2「理解圆的扇形面积公式」或其 他合适课题前，引入圆面积公式。

二、建议教学内容

1. 教师可与学生重温小学所学的圆周公式。

2. 教师与学生进行以下其中一个活动以探究圆面积公式。

探究活动 1：

1. 请进入网页http://m.geogebra.hk/?id=tmWgmahf&lang=1。点选「分割圆形为 8 等份」的勾 选框。向右拉动灰色滑杆至适当等份，如 40 等份。向右拉动紫色滑杆，如下图。

蓝色阴影部分近乎平行四边形，底长 ≈ ，高 ≈ 。（答案以 r 表示）

蓝色阴影部分的面积 ≈ 。（答案以 r 表示）

2. 可重新点选「分割圆形为 8 等份」的勾选框。选择其他数量的等份。蓝色阴影部分的估 计面积是否与 1 相同？_______

3. 根据观察所得，圆的面积应为 。（答案以 r 表示）

参考答案

1. 蓝色阴影部分近乎平行四边形，底长 ≈ πr ，高 ≈ r 。

2. 蓝色阴影部分的面积 ≈ πr² 。蓝色阴影部分的估计面积与 1 相同。

3. 圆的面积应为 πr² 。

探究活动 2：

1. 请进入网页https://www.geogebra.org/m/Hfk5waZN。

点选 Start the show!按钮。待动画完成至，如下图。按 Pause。

2. 红色阴影部分近乎三角形，底长 ≈ ，高 ≈ 。（答案以 r 表示）

红色阴影部分的面积 ≈ = 。（答案以 r 表示）

3. 根据观察所得，圆的面积应为 。（答案以 r 表示）

参考答案

1. 红色阴影部分近乎三角形，底长 ≈ 2πr ，高 ≈ r 。 2. 红色阴影部分的面积 ≈ πr² 。

3. 圆的面积应为 πr² 。

教师注意事项：

1. 以上两个探究活动，是让学生直观认识圆面积公式，而非证明。

2. 教师在介绍圆面积公式 A = πr²时，须注意公式的证明并非课程所需。

3. 教师须提醒学生留意 π 的取值，如计算机的近似值，或为了方便计算时使用 ²²

7 作为 π 的近似值。

三、练习

1. 求下列圆形的面积。（答案以π表示）

(a) 半径 = 10 cm (b) 直径 = 24 m

2. 已知圆形的圆周为 12π cm。

(a) 求它的半径。

(b) 求它的面积。（答案以π表示）

3. 如下图，一个直径为 10 m 的圆形花圃外围被一条阔度为 1 m 的小径环绕。求小径的面 积。（答案以π表示）

10 m

1 m

10 cm 24 m

4. 求下列图形中阴影部分的面积。（答案须准确至三位有效数字）

(a) (b)

(c) 正方形边长 = 10 cm (d)

5. 伟明用一条长度为 2 m 的铁线围成一个半圆，如下图。求所围出半圆的面积。（答案须准 确至三位有效数字）

6. 一个运动场由长方形 PQRS 及两个半圆组成，如下图。若长方形 PQRS 的长度 PQ 为 100 m，运动场的周界为 400 m。求长方形 PQRS 的阔度 PS，及运动场的面积。（答案须 准确至三位有效数字）

7. 若将相同长度的铁线分别围成一个正方形及一个圆形，哪个图形的面积较大？解释你的 答案。

4 cm

4 cm 3 cm 16 cm

P Q

S R

100 m

参考答案

1. (a) 100π cm² (b) 144π m² 2. (a) 6 cm (b) 36π cm² 3. 11π m²

4. (a) 101 cm² (b) 18.8 cm² (c) 21.5 cm² (d) 9.42 cm² 5. 0.238 m²

6. PS = 63.7 m，面积 = 9550 m² 7. 圆形

示例五︰角（度）

一、课题基本资料

学习范畴： 度量、图形与空间 学习重点： 1. 认识「度」（°）。

2. 以度为单位，量度和比较角的大小。

- 使用符号「∠」命名角，诸如 ∠A 和 ∠ABC。

- 认识优角 / 反角、平角和周角。

- 使用量角器量度 360° 以内的角（不包括 0° 和 360°）。

3. 绘画指定大小的角。

已有知识： 学生已在 2000 年版小学数学课程学习单位 2S2「角（一）」及 3S3「角（二）」

中认识角的概念，认识直角、锐角和钝角，亦能比较角的大小。

〔备注：部分学生可能在小学曾学习增润项目 5M-E1「角（度）」，内容包括 - 认识「度」（°）。

- 使用量角器量度 0° 至 360° 的角。

- 用量角器绘出指定大小的角。〕

规划建议： 教师可在初中数学科修订课程学习单位 19「角和平行线」，或其他合适学习单 位，加入本课题的教学。

二、建议教学内容

1. 教师与学生重温当两直线相交于一点时，便形成角，以及直角、锐角和钝角的概念，并 以弧「╮」来标示一般角和以符号「 」标示直角的记号。

2. 教师可在此引入角的命名方法，包括使用符号「∠」，以诸如 ∠A 和 ∠BAC 来命名下图 的角。

3. 教师介绍角的单位是「度」，以符号「°」表达。教师可考虑用量角器作解说：假设圆周可 以分成 360 个相等的部分，两个相邻半径将形成 1 度角，所形成的每一部分，于圆心的 角的大小都是一度，记作 1°。

4. 教师可以用度来描述三分一圆、四分一圆和六分一圆的圆心角的大小，以强化学生对度 A

B

C

5. 教师可进一步引导学生以度来描述锐角、直角和钝角，继而引入平角、优角 / 反角和周 角的名称和概念。

锐角 直角 钝角 平角 优角 / 反角 周角

大于 0º

且小于 90º 90º 大于 90º

且小于 180º 180º 大于 180º

且小于 360º 360º

6. 教师介绍量角器及其使用方法。学生须认识量角器的中心点，底边和度数标记。

使用量角器量度 0° 至 180° 的角的步骤：

(1) 把角的顶点对齐量角器的中心点；

(2) 把量角器的底边对齐角的其中一边，并使用该边所指向为 0 的那一组度数标记来 量度角的大小；

(3) 由角的另一条边所在位置的度数标记，读取该角的度数。如上图，∠BAC = 38°。

注意：学生亦可透过辨认所量度的角是锐角或钝角，从而推断出所量度角的度数的 范围，并在两组度数标记中选择正确的标记。

度数标记 底边 中心点 度数标记

A

B

C

7. 教师让学生进行探究活动一（见后页），尝试以半圆量角器量度反角。

8. 教师介绍如何以量角器绘画指定大小的角（0° 至 180°）：

(1) 绘画或找出指定角的一边的线段；

(2) 把量角器的底边对齐该线段，并把中心点对齐线段的端点作为角的顶点；

(3) 使用该边所指向为零的那一组度数标记；

(4) 按指定角度的大小，在相应的度数标记位置作记号；

(5) 把角的顶点和记号连成一线，成为角的另一边；

(6) 标记该角，并写上角度。

9. 教师让学生进行探究活动二（见后页），尝试以半圆量角器绘画反角。

探究活动一

以量角器量度下列各题中所示的角的大小，把结果填写于横线上及标示于图上。

1.

∠ABC = ______________

2. (a) 量度 ∠ABC

∠ABC = ______________

(b) 反角 ABC = __________

3.

反角 PQR = __________

4.

反角 ABC = __________

探究活动二

以量角器绘画下列各题中所要求的角，并在图上标示角的大小。

1. ∠ABC = 130º 2. (a) ∠PQR = 145º (b) 反角 PQR = 215º

3. 反角 ABC = 250º 4. 反角 PQR = 300º A

B C

A

B C

Q

P

R A

B C

三、练习

用量角器量度以下角的大小，在图中标示角的大小，并填写角的大小和类别。

图 像 角 的 大 小 角 的 类 别

1.

∠AOB = ______

锐 角 ／ 直 角 ／ 钝 角 ／ 平 角 ／ 反 角 ／ 周角

2.

∠ABC = ______

∠BAC = ______

∠ACB = ______

___________

___________

___________

3. 量度三角形各顶点的角（自行用字母命名顶 点）

______________

______________

______________

___________

___________

___________

4. 量度三角形各顶点的角（自行用字母命名顶

点） 按角的大小，由

小至大排列 ______________

______________

______________

______________

______________

______________

5. 绘画指定大小的角。

∠PQR = 210° _____________

A

B O

A

B C

参考答案

探究活动一

以量角器量度下列各题中所要求的角的大小，把结果填写于横线上及标示于图上。

1.

∠ABC = _____ 110º _____

2. (a) 量度 ∠ABC

∠ABC = _____ 80º _____

(b) 反角 ABC = ___ 280º ___

3.

反角 PQR = _____ 240º _____

4.

反角 ABC = _____ 320º _____

探究活动二

以量角器绘画下列各题中所要求的角，须标示角的大小于图上。

1. ∠ABC = 130º 2. (a) ∠PQR = 145º (b) 反角 PQR = 215º

3. 反角 ABC = 250º 4. 反角 PQR = 300º 80º

240º

250º

130º

300º 110º

A

B C

320º

215º A

B C

Q

P

R A

B C

A

B C

B

A

C

145º Q

P

R

Q

P

R

练习︰

用量角器量度以下角的大小，在图中标示角的大小，并填写角的大小和类别。

角 角 的 大 小 角 的 类 别

1.

∠AOB = 30°

锐 角 ／直 角／ 钝 角／平 角／ 反 角／周角

2.

∠ABC = 90°

∠BAC = 53°

∠ACB = 37°

直角 锐角 锐角 3. 量度三角形各顶点的角（自行用字母命名顶

点）

∠ABC = 50°

∠BCA = 60°

∠CAB = 70°

锐角 锐角 锐角

4. 量度三角形各顶点的角（自行用字母命名顶

点） 按角的大小，由

小至大排列

∠BCA = 20°

∠CAB = 40°

∠ABC = 120°

锐角 锐角 钝角

5. 绘画指定大小的角。

∠PQR = 210° 反角 A

B O

A

B C

A

B C

30°

A

B C

210°

P

Q R

90° 37°

53°

70°

60° 50°

120°

40°

20°

示例六︰圆形图

一、课题基本资料 学习范畴： 数据处理

学习重点： 1. 认识圆形图。

2. 阐释圆形图。

- 学生不须自行量度圆形图中的圆心角以进行计算。

- 教师可让学生运用资讯科技制作圆形图。

已有知识： 学生应已透过过渡期学与教材料，学习「角（度）」。

规划建议： 教师可在初中数学科修订课程学习单位 29「数据的表达」，或其他合适学习单 位，加入本课题的教学。

〔备注 1：小学数学科修订课题有关圆形图的学习重点虽然只要求学生阐释涉 及简单计算的圆形图，例如每个扇形的圆心角须为 30º 或 45º 的倍数，但学 生在第三学习阶段应能处理较复杂的情况。因此，此教材并无依照上述限制，

唯教师在教学时可先由较简单的圆形图开始。〕

〔备注 2：学生在圆形图对扇形、圆心角等概念的认识可暂时停留在直观层面 上，因此在教学安排上，本课题并非必须安排在学习重点 16.2 之后。〕

二、建议教学内容

1. 教师介绍圆形图是其中一种常用的统计图，用以表达各项数据占整体的多少，其形状为 圆形，用各个扇形代表对应的各项数据。每个扇形之上或旁边一般会标示数据所对应的 项目及其占整体的百分比（如下图 ^*）。

在教学时我们亦可能在圆形图中标示各扇形的圆心角而非百分比。每项数据占整体的百 分比与代表该数据的扇形之圆心角成比例，例如占整体 25% 的数据，其扇形的圆心角

亦为一周角的 25%（即 360º × 25% = 90º）。以下算式可用作求代表该项目的扇形之圆心 角：

圆心角 = 360º × 项目所占的百分比 = 360º × 項目的頻數 總頻數

2. 教师可让学生运用资讯科技制作圆形图。教师亦可介绍以纸笔制作简单圆形图的步骤：

步骤 (1)：计算各项数据占整体的百分比及对应扇形的圆心角。

步骤 (2)：绘画圆形，并按各扇形的圆心角把圆形分割。

步骤 (3)：标示各扇形所代表的项目及对应的百分比（或圆心角）。

步骤 (4)：写出圆形图的标题。

3. 教师让学生进行探究活动一（见后页），制作圆形图以显示圣诞节联欢活动经费的分配，

并且与同学作课堂讨论。

4. 教师让学生进行探究活动二（见后页），讨论日常生活中圆形图的应用。教师可进一步阐 释圆形图，与学生讨论使用圆形图的优点和缺点，例如能藉由扇形的大小直观地显示不 同项目所占比例、项目太多时难以显示不同项目所占比例等。

探究活动一

1. 假设班会预算用 $720 的班会费作为圣诞节联欢活动的经费，你认为应如何使用？试以下 列 5 个项目（食物费用、饮品费用、奖品、场地布置和其他杂项）来描述你的意见，并填 写下表。

项目 金额 所占比例

（准确至一位小数）

圆心角

（准确至整数）

1 食物费用 2 饮品费用 3 奖品 4 场地布置 5 其他杂项

总开支： $720 100% 360º

2. 根据上表，利用量角器，以圆形图显示你的意见。

3. 与同学交换大家的圆形图，并从圆形图中讨论经费应主要花在哪些项目上。

探究活动二

下列圆形图是 2018-19 年度财政预算案所预算的政府总开支。

1. 求 x 的值。

2. 若教育的开支为 1100 亿元，则 2018 – 19 年度政府总开支是多少亿元？社会福利的开支 又是多少亿元？

解：

经济 4% 环境及食物 5%

保安 10%

衛生 14%

基础建设 15%

其他 16%

社会福利 x %

教育 20%

2018-19 年度政府总开支

经济 4% 环境及食物 5%

保安 10%

衛生 14%

基础建设 15%

其他 16%

社会福利 x %

教育 20%

2 0 1 8 -1 9 年度政府总开支

参考答案

探究活动一 （开放题）

1. 假设班会预算用 $720 的班会费作为圣诞节联欢活动的经费，你认为应如何使用？试以下 列 5 个项目（食物费用、饮品费用、奖品、场地布置和其他杂项）来描述你的意见，并填 写下表。

项目 金额 所占比例

（准确至一位小数）

圆心角

（准确至整数）

1 食物费用（例如） $360 $360

$720 × 100% = 50% 360 º× 50% = 180º 2 饮品费用

3 奖品 4 场地布置 5 其他杂项

总开支： $720 100% 360º

探究活动二 1. 因为全部项目的总百分数是 100 %

20% + 4% + 5% + 10% + 14% + 15% + 16% + x % = 100%

x % + 84% = 100%

x % = 16%

x = 16 2. 设 2018 – 19 年度政府总开支为 y 亿元。

y × 20% = 1100 y = 5500

∴ 2018 – 19 年度政府总开支为 5 500 亿元。

社会福利的开支：

5500 × 16%

= 880

∴ 2018 – 19 年度政府的社会福利开支为 880 亿元。

教师注意事项：

1. 本学与教材料主要针对制作和阐释圆形图，有关选用适当的统计图表达数据属初中数学 科修订课程学习单位 29「数据的表达」的学习重点。

2. 教师可向学生解释利用量角器作圆形图时，圆心角的准确度一般只可准确至整数，因此 在计算圆心角的总和时有机会要取近似值，令圆心角的近似值总和不一定是 360º，从而 指出运用资讯科技制作圆形图可更准确表达数据的优点。

三、练习题

1. 根据 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的资料来填写下表。

项目 金额（亿元） 所占比例

（准确至一位小数）

圆心角

（准确至整数）

1 利得税 1,600

2 薪俸税 500

3 印花税 1,000 4 投资收入 400 5 地价收入 1,200 6 其他收入 1,300

总收入： $6,000（亿元） 100% 360º

2. 根据上表，利用资讯科技或量角器制作 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的圆形图。

参考答案

1. 根据根据 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的资料来填写下表。

项目 金额（亿元） 所占比例

（准确至一位小数）

圆心角

（准确至整数）

1 利得税 1,600 1600

6000 × 100% = 26.7% 360º× 26.7% = 96º

2 薪俸税 500 500

6000 × 100% = 8.3% 360º× 8.3% = 30º 3 印花税 1,000 1000

6000 × 100% = 16.7% 360º× 16.7% = 60º

4 投资收入 400 400

6000 × 100% = 6.7% 360º× 6.7% = 24º 5 地价收入 1,200 1200

6000 × 100% = 20% 360º× 20% = 72º 6 其他收入 1,300 1300

6000 × 100% = 21.7% 360º× 21.7% = 78º 总收入： 6,000（亿元） 100% 360º

2. 根据上表，利用量角器或资讯科技制作 2018 – 19 年度财政预算案中政府总收入的圆形图。

参考资料：2018 – 19 年度财政预算案 https://www.budget.gov.hk/2018/chi/index.html

利得稅 27%

薪俸稅 8%

印花稅 17%

投資收入 6%

520%

其他收入 22%

2018-19 年度政府总收入

( 末 页 )

教育局数学教育组编订 政府物流服务署印

ISBN 978-988-8370-83-2