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丘成桐教授日前出版自傳, 並於近日演講摘要其中精華。 本刊很榮幸能刊登丘 教授的講稿。 他概述自己的成長背景、 求學歷程, 回顧證明 Calabi 猜想的曲折過 程, 解說日後 Calabi-Yau 流形在弦論的重要性。 事實上, 他提出 Calabi 猜想之 後耗時八年, 物理學家才終於找到 Calabi-Yau 流形與弦論的關聯, Calabi-Yau 流形隨即躋身弦論核心。 其後的鏡對稱 (mirror symmetry) 理論, 促發重大物理、
數學成果, 至今仍蓬勃發展。
丘教授長年在美國及兩岸三地奔波, 深切體會東西文化的差異。 講稿中不時流 露他對故土的眷戀。 但如他所言, 他對數學的感情尤為深刻。 在講稿結尾, 他寫下他 對數學的感受、 對後輩的期許。
本期專訪幾何測度論領域的核心人物 Leon Simon 教授。 幾何測度論源自求 解高維 Plateau 問題 : 在具給定之 (k − 1) 維邊界 C 的所有 k 維曲面 S 中, 尋 找 k維面積最小者。 1930 年代, J. Douglas 和 T. Rado 在 R3 中解決 C 為簡單 曲線的古典 Plateau 問題。 Douglas 和 Courant 擴展此結果, 允許邊界 C 為有 限數量的曲線並限制 S 的 Euler 特徵值。 他們的方法本質上為二維, 且需事先給 定曲面的拓樸類型。 1950 年代後期, 明顯需要全新的思維和方法來研究 Plateau 問題的高維版本。 幾何測度論提供了一個框架, 可在 Rn 中的廣義 k 維 (k < n) 曲面上進行測量和積分, 而廣義曲面的概念涵蓋了具低維奇異點的定向 k 維流形。
再者, 對高維 Plateau 問題, 為證明極小曲面的存在性, 需在適當的拓樸中使用緊 緻定理。 Federer 及 Fleming 的 integral current 滿足所有這些需求。
1960 年代, 學者發展出強有力的方法, 建立了 Plateau 問題解的部分正則性 (partial regularity), 並將其推廣到其它變分問題, 但解的奇異點集合所具結構則 仍屬未知。 1983 年之後的一系列論文中, Leon Simon 教授開發新方法來分析這 種結構; 他推廣 Lojasiewicz 梯度不等式至無限維空間, 對能量泛函之梯度流非線 性演化方程, 證明解的大域存在性及收斂性。 於今該方法已被應用到其它諸多重大 問題。 訪談中他陳述了當年研發該方法的艱辛歷程。
在辛拓樸, 正則變換 (canonical transform) 通常會改變度量, 但總保持體積 不變。 邱聖夫先生 「範疇化」 這些體積恆定的形體, 從而獲知形體特徵的不變量。 他 也對 「範疇化」 的概念做了精采的介紹。
如何測量隨機物件上的距離及面積? 藉由菌落成長及盲人探險家路徑的等價 性, 數學家統合了兩個模型。 「隨機性的統一理論」 一文解說箇中奧妙。
17 世紀時笛卡兒及費馬開創解析幾何, 堪稱函數概念的先河。 林琦焜教授引 領讀者一覽函數發展的歷史, 本刊分兩期登載。
梁惠禎 2019 年 9 月
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