射影平面六講一一第一講

(1)

射影平面六講一一第一講

王九逵

1999 年暑假, 中央大學數學系舉辦「中學教師暑期數學研習營」, 邀我以射影平面為題做了六次講演, 每次一小時, 這便是那次的講稿。其中前五講以解析幾何的立場介紹平面射影幾何的梗概, 只是沒有觸及二次曲線。第六講引進橢圓型的非歐幾何。

六講全是標準的題材。只有 Desargues 定理的證明是我自行做出的, 所以有可能是一個新的證明。

法國幾何學家 Jean-Victor Poncelet (1788-1867) 在拿破崙的軍中服役, 進攻俄國時被俘。於 1822-1824 年被關在俘虜營中, 無書可讀, 因此他可以讓思想自由奔放, 不受傳統幾何的拘束。於 1824 年返回法國後, 發表了一套新的幾何學, 便是我們要講的射影幾何學。

設想如圖一所示, Poncelet 站在窗前觀看室外的景物。忽略地球的曲率, 假設窗外地面在一個平面 G 上。把窗外地面上的任一點 P 和 Poncelet 的眼晴 E 連線, 這線和窗玻璃所在的平面 W 交於一點 Q。讓 Q 和 P 對應。這對應稱為以 E 為眼點從平面 G 到平面 W 的透視對應 (perspectivity)。以下我們用 σ 表示它, 於是在這對應下, Q 是 P 的像, 我們記作 Q = σP .

E W

Q P G

圖一

注意, 在透視對應 σ 之下, 不限於窗外的點才有像。依照上面 σ 的定義方法, 知位於 Poncelet 和窗間地面 G 上的點都對應到 W 在地面下的部分, 而在 Poncelet 背後 G 上的點, 則對應到 W 上比 E 更高的點。只有通過 Poncelet 立足點而平行於 W 的直線 i 上的點在 σ 對應下沒有像。

反之, 對 W 上的任一點 Q, 連接 EQ 交 G 於點 P 。則 Q = σP 。但若 EQ 和 G

64

(2)

射影平面六講

—

第一講

65

平行, 這項作圖便失敗了。所以 W 上和 E 等高的點都不是 G 上的點的像。這些點形成一直線 j。

令 l 為 G 上的一條直線。將 E 和 l 的各點相連, 便決定了一個平面。這平面與 W 交於一直線, 這直線便是 l 的像 σl。

若 m 是 G 上的另一條直線, P 是 l 和 m 的交點, 則 σP 也是 σl 和 σm 的交點。現在考慮 l 和 m 平行的情形。這時 σl 和 σm 仍然可能有一個交點。以下我們想把這交點找出來。過 E 作一條與 l 和 m 都平行的直線 n。則 n 上的點都和 E 等高。 E 和 l 決定的平面包含著 n, E 和 m 決定的平面也包含著 n。因此 σl 和 σm 的交點必是 n 和 W 的交點; 這交點在直線 j 上。反之, 若 l 和 m 的交點 P 落在直線 i 上, 則 σl 和 σm 是一對平行線。

現在設想 l 為 G 上的一定線, Q 為 G 上 l 外之一定點, P 為在 l 上的一動點。當 P 不斷向前移動 (即與 Poncelet 在窗之異側向遠離窗之方向移動) 時, σP 從直線 j 的下方向上移動。當 P 漸行漸遠之時, 直線 QP 漸漸接近於平行的位置, 而點 σP 也漸漸從直線 j 的下方接近於j。若令 P 向後移動, 則 σP 從直線 j 的上方向下移動。當 P 漸行漸遠之時, 直線 QP 和點 σP 的狀況也和上文所述的相當類似。這種考慮使 Poncelet 想到在平面上添加一些無限遠點 (points at in- finity), 作為平行線的交點, 便可把平行線的觀念統合在不平行線的觀念以內。添加無限遠點後, 歐氏平面便變成了射影平面 (projective plane)。以下我們不用 Poncelet 的

原始討論, 而改採解析幾何的立場, 介紹如何添加無限遠點的方法。

在歐氏平面中引入直角座標系。令 P = (x, y) 為平面上的一點。再設 (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) 為三實數, 其中 ξ

0

6= 0。若

x = ξ

1

ξ

0

, y = ξ

2

ξ

0

, (1) 我們便稱三維向量 ξ = (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) 為點 P 的一組齊次座標 (homogeneous coordi- nates)。對應於這名詞, 原來的 (x, y) 也可以稱為 P 的非齊次 (inhomogeneous) 座標。

顯然二向量 (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) 和 (η

0

, η

1

, η

2

) 為同一點的兩組齊次座標的充要條件是有一實數 λ 6= 0, 使

η

ⁱ

= λξ

ⁱ

, i = 0, 1, 2. (2) 以下我們將 ξ

1

和 ξ

2

固定, 而令 ξ

0

變化。以 (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) 為齊次座標的點 P 的非齊次座標為 (ξ

1

/ξ

0

, ξ

2

/ξ

0

)。設 P

0

為以 (ξ

1

, ξ

2

) 為非齊次座標的點。連接原點和 P

0

成一直線 l。對一切 ξ

0

, P 點始終在直線 l 上。當 ξ

0

取負值, 且其絕對值很大時, P 很接近原點, 但和 P

0

在原點的異側。當 ξ

0

取負值時, P 仍維持和 P

0

在原點的異側, 而且隨 |ξ

0

| 變小而漸行漸遠。當它變成 0 時, 點 P 沒有定義。當它變成正數時, 它又有定義了, 成為和 P

0

在原點同側的 l 上的一點。 ξ

0

取很小的正值時, P 離原點很遠。當 ξ

0

增加到 1 時, P 便和 P

0

重合。當 ξ

0

增加超過 1 時, P 點逐漸靠近原點。這些想法提示我們在直線 l 上增加一點, 以(0, ξ

1

, ξ

2

) 為其齊次座標。

現在我們要用數學家嚴謹的要求, 仔細定義射影平面。在集合

^R ³

\ {0} 我

(3)

66

數學傳播

25

卷

1

期民

90

年

3

月

們定義同值關係 (equivalence relation) (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) ≈ (η

0

, η

1

, η

2

) 如下:

ξ

0

: η

0

= ξ

1

: η

1

= ξ

2

: η

2

.

換言之, 關係 ≈ 成立的充要條件是有一個實數 λ 6= 0 存在, 使 (2) 式成立。在這個同值關係下,

^R ³

\ {0} 便被劃分成很多同值類 (equivalence class), 兩點落在同一個同值類中的充要條件是它們滿足同值關係 ≈。在上述的同值關係 ≈ 下每個同值類是通過原點的一條直線 (但原點被剔除)。反之, 每條通過原點的直線都代表一個同值類。除原點外, 線上的每一點都將這同值類完全決定。我們定義射影平面 (projective plane)

^P

為同值關係 ≈ 的所有同值類的集合, 而將向量 (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) ∈

^R ³

\ {0} 所在的同值類稱為

^P

中以 (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) 為齊次座標的點, 向量 (ξ

0

, ξ

1

, ξ

2

) 稱為該點的一個齊次 (homogeneous) 座標向量 (coordinate vector)。

歐氏平面

^R ²

可以嵌入射影平面

^P

內, 方法是將點 (x, y) ∈

^R ²

對應到

^P

中由 (1, x, y) 所代表的點。這對應是一一對應。只有齊次座標呈 (0, ξ

1

, ξ

2

) 形的點不在像集合內。這些點便是前文所談的無限遠點。從射影幾何的觀點, 我們儘可能不把無限遠點特殊化 — 在

^P

中兩條相異的直線有且僅有一個交點, 這交點自然可以是自歐氏空間嵌入的點, 也可以是無限遠點。當然, 我們還沒有詳細討論有關直線的事。這是我們在下一講中要仔細討論的。

現在我們討論

P

的拓撲形狀。在

R ³

中取單位球 S。則通過原點的每條直線均為 S

的直徑, 和 S 交於直徑的兩端。這樣的兩個端點叫作 S 的對蹠點 (antipodal points)。

所以我們可以把

P

看成 S, 但把每對對蹠點都視成等同。

... .

.. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . . . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. ..

. .. . .. . ...

...

.. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. ... .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...

A B

C D

圖二

想像 S 由富彈性的薄膜製成。我們將 S 中赤道以下的半球剪掉, 保留赤道及上半球。則除赤道上相對的兩個點代表

P

的一個點外, 其他的點和

^P

的某些點間有一個一一對應。我們把半球壓到和赤道同一平面上, 再把赤道拉扯成正方形, 則如圖二將正方形的上下邊依箭頭的方向黏合, 左右邊也依箭頭的方向黏合 (當然這種黏合只能想像, 不能在歐氏空間裡做到), 便得到和射影平面同胚 (homeomorphic) 的一個圖形。

射影平面的觀念有種種的推廣。首先, 設 n 為正整數。在集合

^R ⁿ⁺¹

\ {0} 我們定義同值關係 (ξ

0

, ξ

1

, . . . ξ

ⁿ

) ≈ (η

0

, η

1

, . . . η

ⁿ

) 如下:

ξ

0

: η

0

= ξ

1

: η

1

= · · · = ξ

ⁿ

: η

ⁿ

. 我們定義 n 維射影空間 (projective n- space) 為同值關係 ≈ 的所有同值類的集合。

(4)

射影平面六講

—

第一講

67

.

... ..

.. .

... ..

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

• •

•

•...^....^.^.^.^.....^.^.^.^.....^.^.^....^....•...

圖三

其次, 實數體

^R

也可以用別的體來代替,

於是我們有在不同體上面的不同維數的射影空間。例如複數體

^C

上的 1 維射影空間便是複變數函數論中所講的 Riemann 球, 而只含 2 元素的體

^Z 2

上的射影平面是一個只含 7 個點和 7 條線的幾何結構, 其中的點和線見圖三。這只含 7 點的射影平面是 G. Fano 引進的。

—本文作者為國立中央大學數學系退休教授—

射影平面六講 一一 第一講