Section 4.1 Maximum and Minimum Values

(1)

Section 4.1 Maximum and Minimum Values

EX.4

For each number a, b, c, d, r, and s, state whether the function whose graph is shown has an absolute maximum or minimum, a local maximum or minimum, or neither a maximum nor a minimum.

這一題看圖說故事就好了，那麼我們就逐點來看吧！

a 是 absolute maximum，不過不是 local maximum。

b 是 local maximum。

c 什麼也不是。（聽以來真可憐）

d 是 local minimum。

r 是 absolute maximum，也是 local minimum。

s 什麼也不是，因為極值在端點 (end point)

EX.5

Use the graph to state the absolute and local maximum and minimum values of the function.

這題也是看圖說故事，不過有些地方要小心。

Absolute maximum 為 f(4) = 5，而 absolute minimum 不存在。

另外，f(0) = 2、f(2) = 2 以及 f(5) = 3 都是 local minimum；而 f(6) 是 local maximum。

這題比較詭異的是 f(1)，同學要看仔細喔！

EX.9

Sketch the graph o a function f that is continuous on [1, 5] and has the given properties.

Absolute maximum at 5, absolute minimum at 2, local maximum at 3, local minima at 2 and 4.

由於題目沒有說 f 要可微分，因此隨便畫畫也行！圖片請參考 Figure 1。

EX.13

(a) Sketch the graph of a function on [−1, 2] that has an absolute maximum but no local maximum.

(2)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

Figure 1: 第9題的函數 f

(b) Sketch the graph of a function on [−1, 2] that is discontinuous but has both an absolute maximum and an absolute minimum.

(a) 小題令 y = x 即可（恆等函數），這樣只有在 x = 2 有最大值。

(b) 小題由於題目要求要不連續，因此普通的函數是行不通的。函數圖形請看 Figure 2。

EX.35

Find the critical numbers of the function. g(y) = y − 1 y²− y + 1

在開始做之前，我們先來確認一下這個函數的定義域 (domain)。分母是一個二次函數，其判別式為 −3，因此分母是恆正的，也就是說 g(y) 的定義域是整個實數 R。

要算出臨界點 (critical number)，就必須知道導函數。其導函數為

g⁰(y) = 1(y² − y + 1) − (y − 1)(2y − 1) (y²− y + 1)²

= − y²− 2y (y²− y + 1)² 令 g⁰(y) = 0，得到 y²− 2y = 0，算出 y = 0 或是 y = 2。

因為 g(y) 這個函數沒有邊界，因此臨界點就是 0 和 2。

(3)

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figure 2: 第13題的兩個函數，藍色是 (a)、綠色是 (b)

EX.49

Find the absolute maximum and absolute minimum values of f on the given interval.

f (x) = 2x³− 3x²− 12x + 1, [−2, 3]

我們知道最大值與最小值會發生在臨界點 (critical number) 或是端點 (end point)，故我們先求出臨界點的位置。

首先，f 的導函數為 f⁰(x) = 6x²− 6x − 12，令其為 0，我們得到

f⁰(x) = 6(x − 2)(x + 1) = 0

算出來是 x = 2 或 x = −1，正好這兩個答案都落在 [−2, 3] 裡面，因此它們都是臨界點。

我們比較一下，f(2) = −19、f(−1) = 8、f(−2) = −3 和 f(3) = −8，所以 absolute maximum 為 8，absolute minimum 為 −19。

EX.55

f (t) = t√

4 − t², [−1, 2]

(4)

方法同上，因此我們先試著找出其臨界點。把 f 微分後得到 f⁰(t) =√

4 − t²+ t · −t

√4 − t²

= 4 − 2t²

√4 − t² 令其為 0，得到 4 − 2t² = 0，算出來是 t = ±√

2。不過因為 −√

2 不在我們的定義域 [−1, 2] 裡面，因此只有 √

2 這個臨界點。

接下來就只剩把臨界點和端點帶進去算算看囉！f (−1) = −√

3、f (√

2) = 2 與 f (2) = 0，故absolute maximum 為 2，而 absolute minimum 為 −√

3。

EX.59

f (x) = xe^−x²^/8, [−1, 4]

方法和前兩題都一樣，因此我們先把 f 微分求其導函數。

f⁰(x) = e^−x²^/8+ xe^−x²^/8·

−x 4

=

1 − x²

4

e^−x²^/8

接著我們令 f⁰(x) = 0。因為 exponential 函數恆正，因此化簡為 1 − x²/4 = 0，算出來是 x = ±2。不過因為 −2 不在我們的範圍 [−1, 4] 裡頭，故臨界點只有 x = 2。

由於 f(−1) = −e^−1/8、f (2) = 2e^−1/2 和 f (4) = 4e⁻²，因此 absolute minimum 為 −e^1/8。至於 f (2) 和 f (4) 誰比較大呢？由於

f (4) = 4e⁻² = 2e^{−2 ln 2}

< 2e^−1/2= f (2)

所以 absolute maximum 為 2e^−1/2。同學如果不會比較 f (2) 和 f (4) 的大小的話，先試試看比較 2 ln 2 和 1/2 的大小吧！

EX.75

Prove that the function

f (x) = x¹⁰¹+ x⁵¹+ x + 1

(5)

has neither a local maximum nor a local minimum.

這題的結果是很顯然的，因為 f(x) 的走勢主要受到 x¹⁰¹ 的影響，而 y = x¹⁰¹ 是沒有最大最小值的。不過即使結果如此清楚，我們還是來試著證明看看。

我們用反證法，假設 f(x) 有最大最小值，分別叫做 M 和 m。顯然地 M > 0，我們發現

f (M ) − M = M¹⁰¹+ M⁵¹+ 1 > 0 於是 f (M ) > M，這和 M 是最大值相牴觸！所以其實 f(x) 沒有最大值。

最小值的部分方法類似，因為很明顯地 m < −1，我們又發現

f (m) − m = m¹⁰¹+ m⁵¹+ 1

< (−1)¹⁰¹+ (−1)⁵¹+ 1

= −1 < 0

於是得到 f(m) < m，這和 m 是最小值相牴觸！因此 f(x) 也沒有最小值！證明完畢。

EX.78

A cubic function is a polynomial of degree 3.

(a) Show that a cubic function can have two, one, or no critical number(s). Give examples and sketches to illustrate the three possibilities.

(b) How many local extreme values can a cubic function have?

我們先從 (a) 小題開始吧！令

f (x) = x³− x g(x) = x³ h(x) = x³+ 3x 則

f⁰(x) = 3x²− 1 g⁰(x) = 3x² h⁰(x) = 3(x² + 1)

所以 f(x) 有兩個臨界點、g(x) 只有一個臨界點、而 h⁰(x) = 0 沒有實數解，因此 h(x) 沒有臨界點。三個函數的圖形請看 Figure 3。

至於 (b) 小題，從上面的三個函數可以看出一個三次多項式有可能有 2 個極值 (extreme value)、或是沒有

(6)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−15

−10

−5 0 5 10 15

f(x) = x³ − x

g(x) = x³

h(x) = x³+3x

Figure 3: 三個函數 f(x)、g(x) 及 h(x)

極值。不過有沒有可能只有 1 個極值呢？

其實是不可能有只有 1 個極值的狀況的，為何呢？一個三次多項式 P (x) 的導函數 P⁰(x) = 0 不是兩相異根、重根、在不然就是沒有實數解，而其中兩相異根和沒有實數解的狀況分別就是上面的 f 和 h，然而 P⁰(x) = 0 為重根的狀況卻沒有極值！（證明方法和第75 題類似）

所以結論是一個三次多項式的極值個數不是 2 個，在不然就是 0 個。