直方圖
單維彰‧2013 年 4 月
本節複習統計數據的長條圖，然後介紹直方圖。但是本文講解的直方圖與絕大多 數國高中數學教材不同，是「面積的」直方圖。
我們以台灣人民的「年收入」當作範例，闡述統計資料與機率之間的基本關 係。民國 100 年全台灣約有 2300 萬人，其中約 1100 萬人為工作人口（含失業人 口，詳細的定義從略）。這些工作者的年收入（單位：新台幣萬元）在 40 以下者，
約佔 13%，在 40—80 者約佔 24%。忽略年收入 200 萬元以上者不計，簡單的統 計表格如下。
年收入（新台幣萬元） 0—40 40—80 80—120 120—160 160—200 佔工作人口比率 13% 24% 28% 21% 10%
按照以上統計數據，我們「差不多」可以說，在台灣任抽一名工作者，其年 收入在 40 萬元以下的機率是 0.13，其年收入在 40 至 80 萬元的機率是 0.24，…。
我們還可以說，一名工作者的年收入介於 120 至 200 萬元的機率是 0.21+0.10=0.31，而年收入超過 200 萬元的機率是
1 (0.13 0.24 0.28 0.21 0.10) 0.044%。
因為1100 4% 44，我們可以推論大約有 44 萬人的年收入超過 200 萬。但是，
我們無法推論收入在 90—100 萬元的機率，也不知道年收入不到 100 萬元的機 率。因為上述表格以四十萬元為一組，就好像籮筐 (bin) 一般，把收入落在那四 十萬範圍裡的相對次數全部丟在同一個籮筐裡；籮筐的寬度就稱為筐寬
(binwidth)，以上表格的筐寬是 40。在筐寬為 40 的資料表格裡，我們只能每 40 讀取一段資料，無法讀取更詳細的資料。
為了瞭解直方圖，我們從長條圖說起。以上表格所顯示的數據資料，可以轉 化為圖形。最常用的統計圖之一就是長條圖 (bar chart)。長條圖可以畫成橫的或 直的，如下（其實 bar 應該是橫的，直的稱為 column）。我們之後只談直的長條 圖。
長條圖的特色如下：
(1) 條條不相連，
(2) 橫坐標不是數線，通常在橫坐標下面以文字敘述每一條代表的意思，
(3) 每一條的寬度沒有意義，僅有其高度的坐標有意義。
在我們的例子中，長條圖的縱坐標就是表格內的比率（或機率）。畫圖並沒有增 加資訊，只是比較容易比較相對的大小而已。在表現數據的藝術上，我們常看到 不同狀態的同類資料畫成不同顏色的長條圖，以便交叉比較：例如將民國 80 年、
90 年、100 年的收入比率畫在同一張長條圖上，以便跨年比較。我們不再細數長 條圖的功能和作法，只用它來幫助理解直方圖。
根據同一份資料表格畫出來的直方圖 (histogram) 如下。
相對於長條圖，可觀察其特色有 (1) 一定畫成直的，
(2) 條條相連，
(3) 橫坐標就表示做統計的數據（年收入，單位「新台幣萬元」），
(4) 每一條的寬度有意義：其左右邊界的坐標就是數據分段點：0、40、80、120、
160、和 200，（為了製圖方便，我們把所有超過 200 萬的資料都併入 200—240 萬的區段內了）
(5) 每一條的高度，並不是表格中的比率（機率）。
相較之下，應該發現：長條圖比較「平易」，而直方圖比較「數學」。既然直 方圖的高度不再是機率，那麼機率的資訊到哪裡去了呢？答案就在：面積。面積 代表機率。直方圖上每一條長方形的面積，就是發生在那個區段內的相對次數，
也就是機率。例如，最左邊跨越 0—40 區段的長方形高度是 0.0035，寬度是 40，
相乘即為年收入低於 40 萬元的機率 0.13。因為機率的總和必須是 1，直方圖裡 的長方形面積和為 1。
如果我們能獲得更詳細的個人收入資料，以便將年收入的區段分得更細，比 如說每 20 萬元一個區段，則共分成十段，每段一條長方形，其直方圖如以下的 左圖。我們看見每條長方形的寬度變窄了，但是總面積仍然維持是 1（下圖僅顯 示 200 萬以下的部分，所以面積和略小於 1）。
同理，如果我們更詳細地將年收入的區隔切成每 10 萬元一段，共分成二十 段，如以上的右圖。當我們將資料的分段切得越來越細，則長方形變得越來越多，
但是它們的面積總和維持不變（是 1）。而且，每一條長方形的面積就是抽樣的 數據（一名工作者的年收入）落在該區段內的機率。
用面積當機率的好處是：當筐寬變小，分割變細的時候，圖形的總面積不變，
但每條長方形的高度略有增減。按照上述「切得越來越細」的趨勢，同學們可以 看出來，那些長方形的頂部依稀形成一條連續的曲線。事實上，就像「插值多項 式」一樣，我們的確可以為這些數據資料找到一個函數模型，如下圖中的紅色曲 線。
