麼要讀科

(1)

發行人主編：蘇助理編輯編輯小組

創刊日網址：h

續前~

從此處除了一書中今在意的出一個大好妙招攻防機械集太陽光

基礎知拋物點所形準線 (記

以極座標則FP 在直角坐

：洪萬生（台蘇惠玉（西松輯：黃俊瑋（

組：蘇意雯（

葉吉海（

王文珮（青英家銘（

：1998 年 10 月 http://math.ntnu

出發，筆者了浮力原理

，介紹了這的是他對光

「令人聞之招時必定公械都派上用光來燒燬敵

知識物線定義為成之曲線」

記為L)，在 標觀點，令

PH   坐標上，對

灣師大數學系高中）副主編和平高中）

台北市立教育陽明高中）陳青溪國中）

台北醫學大學月 5 日每月

u.edu.tw/～horn

者為諸讀者理，拋物線這位天才利光學性質的之大快」的公諸於世。

用場，而後敵船。從這

為「平面上

，此定點稱在拋物線上

d (P , F

令Ｆ為原點 sin r r 

 

1 sin r l

   對○¹ 式兩端

退休教授）

：林倉億（台大學）蘇俊鴻彥宏（成功高

） 5 日出刊 ng

為什麼

台師細說拋物線線也是阿基米用「重心」

的研究，雖然方法，或者隨著時光推人加以揣測這裡出發，筆

與定點距離稱為焦點 (記上任意點P，

F) = d (P , L

，焦點到準

 l n 平方，得

南一中）

（北一女中）

中）

麼要讀科

吳允中師大數學系四

線的神奇力米德的一項

」的方法計然阿基米德者根本從未推移，當羅測，他造了筆者為諸讀

離和與定直記為F)，此

，滿足 L)

準線相距 l …………

…………

科普(II

四年級力量。

項大成就，在計算出拋物線德明白這件事未記載。我相羅馬軍隊入侵了一個巨大無讀者細說拋物

直線距離相等此定直線稱

…………○¹

…………○²



HPM 通訊

)

在《阿基米線含蓋的面事，不過在相信依照這侵敘拉古時無比的拋物物線的神奇

等的稱為

為什麼要讀科虛數i的引進

公案為例

訊第十九卷第

米德幹了什面積，這是後在其手稿可能這位神人的個時，阿基米德物面鏡，在港奇力量。

科普(II) 進：以三次方

第四期第一版

什麼好事》

後話。如能翻找不個性，有德所造的港口上聚

方程式的歷史版

史

(2)

HPM 通訊

若將座標任意點即用參數

Step 1 在準線

d (Si

代表S_i在然後我們 Step 2 過頂點令I 點座 如圖，

而PI 

PQ

故 sin

然後我們即

訊第十九卷第四

r²  

標原點設在 P 的 y 座標 數式可表為

：

上左右兩端 , F) = d (Si

在FS 的中_i 們希望這些

：

V 引一條水 座標( t , 0 )

∠QPH=θ 1 2

2 t

l ; P Q QH2 (t s)

 

( QH

PQ t

  

們對 sin 取求 lim sin

s t 



四期第二版

( sinr  l

 

1 2 2 y l

  

在拋物線頂標是x 座標 為P( ,t ^t²2l)

端一次取點

i , L) 且

中垂線上些中垂線，

水平線Γ ) ; 變動點

(為 s 的函 1 2

PI 2 s

 l

2 (

PH  1 ( t s)2

) 1 ( t s

s t



   取極限，將

lim 2 s t 4

 l



)2x²y 1 2

l x

點V，則○³ 標的平方倍

…………

Si、T_i（可 d (Ti , F) =

(T_i在FT 的_i 都是拋物線

I'座標 ( s , 函數)

2 1

( ) ( t s 2

  l / 4l 2

2 2

) / 4 s

s l

 

將會得到切線

2

2 ( )

l t s

  =

2 2

( ) y  yl

………

○³ 式的幾何

………

可不必等距

= d (Ti , L)

的中垂線上線上的切線

, 0 )

2 1 2 2

2 )

t s

l  l

2

2 4 (

l l t

  

線與垂直軸

= 2 2

1 l t

…………○³

何意義為

…○⁴

），由拋物

上) 線

2

)2

s 軸夾角的正弦

………

○

線定義知

弦值

……(*)

(3)

Step 3 如今對我令FJ 從而

則sin 故求得

Step 4 對拋物則入射且入射即 ∠ ∠2 又 ∠ 故 ∠1+

即 b



為

總於對稱絡，再計不可不

如果從數學

小明身不小明

：

我們所作的 J中點為N

FJ= FM

n NJ

 PJ  (*)、(**)兩

：

線上任意點 向量記為 a



角＝反射角 1≡∠ a



, N



2≡∠ a



_,



T 1+∠2=90⁰ +∠1+∠2+

為y 軸正向

體而言，在軸的光源，

計算猜測值謂之佳作！

果讀到這裡

「盲點」來明平日喜愛不對勁，縱明的手機，

的中垂線進

，∠NPJ=φ

2 2

MJ 

1 2

FJ PJ =1

2 ( 兩式相等，則

點P，令光源



a

；反射向角，在P 點



N

=∠ N



,



T

=∠



T ,



( N



_{ T}



) +∠2=180⁰

= ∠



。

在焦點處的

，經過拋物值與實際值的

！

裡各位還沒來矇騙大人愛打電動而縱使兩三分

，他請求媽

行（與垂直 φ

2 2

l t ;

2 2

( ) / 2 l t

t l l



則  ，

源在焦點F 向量記為 b



點發生



b



y y



表 )

(平角)



b _{,− y}



光源，經過面反射後會的大小，最後

發現數學

。

而荒廢課業，

鐘也好。這媽能夠收回

直軸）夾角

1 2

PJ 2 t

 l 

= 2 2

1 l t 所以我們的



F

表y 軸正向

過拋物面反會匯聚於焦後應用入射

「妙用」的

，卻常愛使這一天爸媽回成命，並

比較

1 2

2 2 (

l t

  l

…………

的猜測成立

反射後，由對焦點。Step1~

射角等於反射的話，那我們

使小聰明(好行媽要上山到叔並答應做好一

HPM 通訊

2)

l

…(**) 立！

對稱軸方向

~4 一步步由 射角，從幾們以下用初

行小慧)，一叔叔家送東一小時能完

訊第十九卷第

向射出；反之由直觀的拋幾何方面直搗初等代數來說

一天不打網東西。出門前完成的作業

第四期第三版

之，平行拋物線包

搗黃龍，

說明如何

網遊便渾前想沒收

。理由如

版

(4)

HPM 通訊第十九卷第四期第四版

下：這條山路全長30 公里，上山速限 90，下山速限 60，在叔叔家裡頂多逗留 12 分鐘，那麼，總共花費一小時：

30 30 

60 12 60 75

   

 ^{在叔叔家逗留}

開車時數

其中 75 是 60 與 90 的平均速率

那麼我也沒時間玩手機啊！媽媽聽了覺得很有道哩，便答應小明的請求。

而實際上呢！小明深知速率的把戲，他盤算如下:

  30 30

+ +12 62 90 60

 

  

 

^上山 ^下山

整整多出2 分鐘。足以讓她滑滑神魔。

一般而言，我們用S 代表山路長，a 代表上山速率，b 代表下山速率，那麼 總時間=S S

a 平均速率=b S S 2ab

S S a b

a b

 

 

這裡的 2

2 ab a b a b

 

 由(a b )² 4ab 而得所以，實際速率來的比算術平均速率還慢。

哈哈哈 ~~ 如果父母有人是數學老師，就不能如此輕易過關了，當然這則「騙局」

只是牛刀小試而已。最後，筆者送上一個辛辣帶勁的「料理」當作結尾。

話說大約三千年前祕魯一代有個稱霸當代的馬雅王朝，至今他們留下的「稻田裡的幾何圖形」仍是個未解之謎，有人揚言這個文明是被外星人所征服，異軍壓境後感到索然無味也就人去樓空。剛好就是這麼湊巧，今天的主題來到了年殷代遠的馬雅盛世裡。

克羅尼希瓦星球（以下簡稱克氏星）的「人類」慕名而至，此地山高水長，繁華又帶清幽，他們入境後便流連忘返。馬雅國王邀請克氏星旅外大使Kevin 來到神殿中參訪，克 氏星向來崇尚藝術，而這次所看到嘆為觀止的幾何圖形，令他們萬分亢奮，尤其是那幅高掛內廳的星形線，也就是因為它而引發異想不到的後果。

按：星形線在《畢氏定理四千年》一書中有專文介紹，它是由一根木棒靠在牆角逐漸下滑而得的（包絡）曲線。其代數方程式為

3 3 3

2 2 2

x y R （為定值）

國王貪圖外星貴賓身上的寶物，包括神奇不死萬用豆、天馬行空星象球、玉樹臨風洗面乳……而 Kevin 則希望能在馬雅國境上開闢租界與興建度假村，並將星形線的繪製

(5)

方法帶 Kevin 對 圖的最

其中的星形線草也往裡頭上才算有

比得分則對方 Ke 不過他後便進行

a b

X Y 註：

然

回克氏星獻對星形線的

末記錄著一

a、b 在圖 草地，我們頭灑。黃豆有效，以其克氏馬雅

高，若克氏必須無條件 evin 想了一

為確保優勝行了這場

黃豆 NO.1

0.455 0.219

玉米 NO.1 X 0.234 Y 0.489

這裡將星形然後a, b, x,

獻給統治者的熱中之心理

一行式子：

中用黃豆表們依照先人豆落到草地其落點座標星為黃豆乘國為圖中那

氏星勝出則件地交出寶一想，覺得這

勝，提出黃

「賭局」，結黃豆 NO.2

0.307 0.322 玉米 NO.2

0.564 0.179 形線標準化

, y 皆取絕對

。不過雙方理，將他帶到

表示，而x 所給的指示裡才算有效為 (x, y)。

乘積那行式子

無條件出讓物。

這是機率問題豆和玉米的結果如下：

黃豆 NO.3

0.182 0.456 玉米 NO.3

0.477 0.243

，即取R=

對值

方數談不攏到了神殿的

x y

a b

x  y

、y 則用玉示，我手裡效，以其落如今計算得

ab

x y

a b

x  y

讓土地並贈題（因為數的選取要由

黃豆 NO.4

黃 N 0.083 0.631 玉米 NO.4

玉 N 0.156 無 0.599

=1，得x³²

攏，國王希望的密室內，在

米表示。國裡拿著一把黃落點座標為

得分：

送星形線的學次太過離他選定。國

黃豆 NO.5

黃 N 0.274 0.413 玉米 NO.5

玉 N 無效無

32 1

y 

HPM 通訊

望無須代價在保險箱中

國王對Kevi 黃豆往裡頭

(a, b)；而玉

的繪製法；

離散了，察覺國王略略思

黃豆 NO.6

黃 NO 0.734 0 0.056 0 玉米

NO.6 玉 NO 無效無

訊第十九卷第

價地獲得寶物中取出一幅國

vin 說花園內 頭灑，你拿一玉米要落在

反之，若馬覺不出作假思索後便答應

黃豆 O.7

黃豆 NO 0.288 無效 0.358

玉米 O.7 無效

第四期第五版

物，利用國運圖，

內有一個一把玉米在星形線

馬雅國勝假之處），應了。午

豆 O.8

效

版

(6)

HPM 通訊

比賽完 ab≈

然後取 ab≈0 然後取 ab≈0 一將消息傳是他所法，心願克羅尼西

其 x、y 也

喔傳來電

訊第十九卷第四

成後，Kev

≈0.113 黃豆3-玉米 0.083

黃豆1-玉米 0.1 ^a

x 連將28 組 傳回祖國，

寫的。Kev 願了卻後，

西瓦星球。

實呢，道理也都小於1，

由於a<1 所以

ax

x 

~ 好吧，

報之內容，

若a, b>0

四期第六版

vin 便先取了

x y

a b

x  y ≈6.

米1 這組，

x y

a b

x  y ≈4 米3 這組，

x y

a b

x  y ≈4.2 都試驗過了

，卻得到一 vin 看了之後

，忿忿不平

。揮揮衣袖理很簡單，

，推導如下

且 x<1 ， by

y a b

  

不得不說馬

，裡頭也是

且r, s>1 滿

了黃豆5 -玉 22 結果:

4.261 結果:

285 了，竟是落空

份痛徹心扉後大怒，以

的Kevin 來

，留下一朵由於星形線

：

故a^x a

b= ( a b 2 ab



2ab a

馬雅國王欺一道不等式

滿足1 1 r s

玉米4 這組

空而歸，只扉的電報 -- 以最強火力突

來個回馬槍朵蕈狀雲。

線完全落在單

，則 ax

x  )2 2 b  ab

ab (其

欺人太甚，不式，如下：

1 ，則ab

組，結果 輸得一塌

又失敗了

殘念 O 只好將寶物送

- 他被耍了 突襲馬雅城槍（外星生物

單位院內部

ax a

其中ab<1，故

不過真的令

r s

a b

r s

  …

塌糊塗!

了!

Orz

送給了馬雅了。電報署名

城，並挾持國物武力超強

部，所以a、

故 ab ab

令Kevin 火冒

………..(*)

雅國王。當晚名Bob，計

國王逼問星強悍滴），就

、b 都小於

b)

冒三丈的是

)

晚Kevin 計算過程

星形線作就回到了

1，而且

是Bob 所

(7)

證明：

極故

別說不過話說是不是

那麼值域得

a 對○1 、 由而

令 f x( )

極值判別點 f x'(

因此 f ''(x 故 f x( ₀)為

ar

ab r

 

ar

ab r

 

說是外星人說回頭，以可扳回一城

x³²y³

麼可令r 域的範圍下列不可思

r s

a b

ab r  s

○2 式的解釋 由於a<1，故 而 x<1，故

○ xr

bx r ，則點 (critical

) 0 x  x

) ( 1) x   r b 為極大值點

0 0

xr

bx r

 

bs

 s 人了，連我以上的條件城呢？

32  1

23

x^ 且 s  , (0, 1 x y

思議之不等

=

23

(x )

a b

x



 

釋如下：

故a 是一^x 故xx^²³

○1 之理由

則 '( ) ''( ) f x b f x

 



 

point) x₀滿

1 1 0

x br^

2

1 0

r

br



 

，那麼 f a( ) =

1 1

b b r^  = ¹ ¹

r

br

r

  

=1 _s sb 其

也會氣得跳為1 1

r s 1

23

1 x^ y

 

23

y^ ，則1 r 1) r s, 

式 :



23

(y ) (x

b a

y x

 

 

個呈現左高所以a^{( x} ²





○1

○2 之

1

( 1) 2 r

r

b x

r x



  滿足

(僅一解)

其中 (r ) f x( 0)

1 _r^r1

r b

 

1 r

br^

 =(1 ¹

r 其中 1

(1 )

r

跳腳，最好 1 ，與現在的

23

1_  1

1 1

r  ，所s 1 (1, )

 

2 2

3) (y 3)

b

x y





高右低的指

23) x

a



○

之理由

)

1) 0,

r

r br



  

1 1

)

r

br

r



) 1

 ，s 1 r r

好不等式可以 的星形線 x

所以有ab



x y

a b

x y

 

數函數

○²

HPM 通訊

2

1 0



 

1 s

以這樣玩啦

3 3

2y 2  好1

r s

a b

r s

 

訊第十九卷第

啦！

好像不太一

第四期第七版

一樣，那

版

(8)

HPM 通訊第十九卷第四期第八版

所以總得來說，看到如此「過分」的推導，難怪Kevin 要大發雷霆了，不過真的深 究起來應當是Bob 的罪孽，好好的代數不等式不用，用這個老辣的不等式，嗆得大家火 氣漲大。嘿嘿嘿 ~~ 小小兵就是這個樣！

為什麼要讀科普可能無法三言兩語說盡，但我們卻可從日常行為上領略到系統化、

量值化的意涵。本文將數學美感從代數、幾何、微積分裡析出精華。這時我們才發現，

簡簡單單的例子，啟發了我們本已褪溫的數學頭腦。雖然你我比不上高斯的偉大成就，

但他在數學上的早慧已傳為美談。科普讀物的誕生，致力於走出皓首窮經的學者之研究室，摘一朵美麗的幾何小花，覆上代數結構的溫土，植在微積分的步道上，你我都能享受這般佳景。

記住筆者捎來的這句話 -- 讀科普便是靜態的玩味生活。

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《HPM 通訊》駐校連絡員日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group)

基隆市：許文璋（銘傳國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎、鄭宜瑾（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）

新北市：顏志成（新莊高中）陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏（丹鳳國中）

莊耀仁（溪崑國中）、廖傑成（錦和高中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園縣：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中）陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中）程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、賴信志、陳姿研（台中女中）、莊佳維（成功國中）、李建勳（萬和國中）

彰化市：林典蔚（彰化高中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）、劉雅茵（台南科學園區實驗中學）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）張復凱（金門高中）馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！

(9)

HPM 通訊第十九卷第四期第九版

虛數 i 的引進：以三次方程式的歷史公案為例

陳政宏臺灣師範大學數學系碩士班徐雅薇臺灣師範大學國文系三年級黃炳琛清華大學電子工程研究所碩士班陳杰臺灣師範大學特教系三年級施玟綺臺灣師範大學特教系三年級前言

關於虛數及複數在高中數學 99 課綱當中，首次出現在高一上學期第二章，¹而多數教科書均以「i 的出現是為了讓x² 1 0有解」為出發點，或有認為此一設計乃因三次方程式的公式解過於複雜，以致高中課程無暇顧及。但此一說法卻與數學的發展相違背，

學生在學習時無法體會虛數在數學上的合理性與便利性，而對其相關數學知識產生排斥感。現在，筆者藉由一個教學演示的機會，設計了以此歷史故事為出發點，進而介紹虛數i的出現及應用的教案。本教學演示為小組設計，其組員含數學系、國文系、物理系及特教系的同學。

教學前的準備

本次教學的取材包含兩個部分，其一是利用平方和乘積的問題引入，²讓學生感覺到，

在未學習虛數之前，此問題有其難度。在課程後半段，我們會利用虛數的技巧，回頭來解此題。其二是引入爭奪三次方程式公式解優先權的故事，並從三次方程式的公式解中，

尋找虛數i出現的必要性。而關於爭奪三次方程式公式解優先權的故事，許多書籍及文章都可以找到，筆者參考《當數學遇見文化》及《數說新語》兩本書的說法。但其故事出現人物眾多，³為清楚表示，在講述故事當中，也透過人物名字的小卡，在黑板上利用關係圖，描述人物間的關係。

教學活動流程

1高中數學 99 課綱當中將虛數與複數的課程拆成兩部份，第一部份在高一上學期第二章，介紹虛數及複數的概念，第二部份在自然組高三上學期第二章，介紹複數平面並結合三角函數後談及隸美弗定理。

2 即給定a b c d, , , ，若(a²b²)(c²d²)x²y²，求x y, 。

3 包含費奧、費羅、塔塔利亞、卡丹諾、及費拉里。

(10)

HPM 通訊第十九卷第四期第一○版

教學活動流程活動項

目師生的活動時間教學資源

學習評

量注意事項

1. 讓學生計算題目：

2 2 2 2 2 2

(1 2 )(3 4 )x y ，求x y, ，並詢問學生如何求得答案及數字稍大時該如何？當引起動機。

2. 老師講述文藝復興時期關於 數學家們的交流，首先是 Fior 和 Tartaglia 進行三次方 程式公式解的決鬥，而 Tartaglia 獲得勝利，

Cardano 多次請求 Tartaglia 透露其所知，並承諾不會將其公式公諸於世，但

Cardano 在出版的著作《Ars Magna》中，將三次方程式 公式解詳盡的紀錄在其中，

而引發Taraglia 的不滿，欲 與Cardano 決鬥，Cardano 派出其學生Ferrari 應戰，

由Ferrari 勝出。

3. 老師利用 Cardano 公式求方 程式x³6x20的解，得到

3 3

10 108 10 108 x    

，但其實此值等於2。

4. 老師利用 Cardano 公式求方 程式x³ 15x4的解，得到

3 3

2 121 2 121

x     

，但其實此值等於4。

5. 解決引起動機時的問題，

2 2 2 2 2 2

(1 2 )(3 4 )x y ，得到( , )x y (5,10)或(11, 2)。 6. 讓學生計算

2 2 2 2 2 2

(5 3 )(11 1 )x y 並讓學生上台發表解法。

2

10

2

4

10

投影機、電腦、麥克

風。

評量學生回答情形

1. 此題只利用實數的 方法求解過於複雜，需透過虛數輔助，可化簡許多過程，以此點出虛數的應用性。

2. 須注意學生是否專 心聽講。

3. 解題過程簡明扼要。

4. 需指出  的必要1 性。

5. 注意班上秩序。

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HPM 通訊第十九卷第四期第一一版

課後反應與回饋

經過教學演示後，台下學生有給予一些教學回饋，整理如下：

 優點：

1. 故事有搭配小卡很棒

2. 課程多元化，融入數學與歷史，GOOD！

3. 講述法講解清楚

4. 老師表達清晰，教學清楚 5. 老師有下台巡視

 改進建議與討論：

1. 課程太難、高一生不具備相當先備知識：

不論是課堂當面回饋或紙本回饋中，均可見同學反應課程內容過難。不過在本小組討論後認為，本次課程內容所涉及到的概念為乘法公式與根式化簡。乘法公式於九年一貫課綱中屬於國二範圍「A-4-13 能熟練乘法公式」，而根式化簡則本屬高一範圍，因此在先備能力上應無太大問題。

2. 數學和歷史比重失衡：

針對此點，我們認為應是由於我們並未清楚傳達課堂重點，而同學亦不習慣數學史的教學內容所致。在過去的數學課當中，老師習慣在講解完概念後便直接解題，數學史部分多付之闕如，也因此大家對於數學史並不甚熟悉，認為其並不屬於數學課的一環。然而，依據「HPM 通訊」專刊中由台師大數學系碩士班研究生黃俊瑋所撰寫的「數學史值得融入數學教學嗎？」一文指出，將數學史融入教學優點有四：

(1)引發學生學習動機與興趣

(2)透過對於數學史料的探討，發展更有意義數學教材 (3)瞭解數學與數學史本身的價值

(4)數學史的認識，可帶給教師在教學上許多不同的啟發。

由此可見，數學史有它相當的重要性，惟下次在教學時需要在時間上進行調配，

使學生能完整學習單元內容卻又不失學習興趣。

3. 目標不夠清楚明確：

在本次的演示中，單元目標為「了解虛數出現的歷史背景」與「認識虛數的定義及其性質」。之所以會讓大家覺得教學目標不夠明確、過於理想化的原因，推斷是因為大家不習慣上以數學史為主題的數學課。因此，我們認為下次教學演示前，應先針對教學演示的適用學生、單元內容安排進行更全面敘述，以讓同學可以迅速了解我們所要演示的部分與目的。

4. 學生運算時間過少：

針對此點，我們認為可以將故事前半部鋪陳減少，並且將較不重要的角色予以刪除，以讓故事架構更為清晰精簡，並將節省下來的時間用來給予學生親自解題，以增進學生在課堂中的參與感。

5. 引起動機不夠強烈：

依據此點，我們認為應該由「個別適應原則」做為討論考量。若今天要教導的為高一數理資優班學生，則本次的引起動機應足以使學生覺得有興趣，因其會

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HPM 通訊第十九卷第四期第一二版

對於多元解題有高度熱忱；然而，若今天學生以文組學生為主，則應調整以數學史作為引起動機，透過故事使學生對於數學的排斥感降低，提升對課程內容的興趣後再引導解題，會讓課堂的引起動機更為充足強烈。

結論與建議

數學史融入數學教學，已非新興的想法，一般認為，學生端可以增加學生的學習動機，了解數學並非冷冰冰的知識，而是社會文化脈絡的一部分；教師端可以讓教師更清楚數學知識的來龍去脈，看見多元面向，有更多選擇讓學生了解課程內容。而這次筆者選用「爭奪三次方程式公式解優先權」為主題的授課內容，目的是讓學生體會到「虛數的出現並非數學家無聊的發明，而是數學家為了解決內心的掙扎，而最後，虛數也在科學界被認為是解決實際問題的捷徑」。從必要性與實用性兩個層面著手，來增加數學課程的豐富度，必非只是單純的解題訓練而已。課後，多數學生反應課程內容過難、認為數學與歷史的比例不恰當、學生演算時間過少等等許多問題。許多的回應也看得出，多數學生對於現行中學數學的刻板印象為「數學就是老師解題、學生練習習題」，也因曾經在數學課堂中受到太大的挫傷，導致現在遇到數學便產生排斥感，而這也是我國數學教育目前最大的難題。藉由這次活動，使筆者在未來若要撰寫類似方式的教案及教學時，

能夠記取經驗，設計的教案及課程，能夠保有數學史融入教學的優點，也能讓學生更加融入數學以及降低對數學的排斥感。

參考文獻

比爾‧柏林霍夫/佛南度‧辜維亞著，洪萬生、英家銘暨 HPM 團對譯 (2008).《溫柔數學史》，台北：博雅書屋。

英家銘、蘇意雯 (2009).〈數學與禮物交換〉，洪萬生等著，《當數學遇見文化》（台北：

三民書局）頁 110-122。

洪萬生 (2014).〈「虛數」先「實說」〉，洪萬生等著，《數說新語》（台北：開學文化）頁 143-150。

洪萬生 (2014).〈虛數終於「現身」〉，洪萬生等著，《數說新語》（台北：開學文化）頁 151-156。