平面三角公式之幾何淵源
汪曉勤
自 19世紀德國生物學家海克爾 (E. Haeckel, 1843 ∼ 1919) 所提出的生物發生學定律–
“個體發育史重蹈種族發展史”被應用於教育後, “歷史發生原理”便應運而生。 就數學教育而言, 該原理說的是: 學生對數學概念的認知過程與數學概念的歷史發展過程具有相似性。 德國數學 家 F ．克萊因 (F. Klein, 1849 ∼ 1925)、 法國數學家龐加萊 (H. Poincare, 1854 ∼ 1912)、
匈牙利數學家和數學教育家波利亞 (G. Polya, 1887 ∼ 1985)、 荷蘭數學家和數學教育家弗賴 登塔爾 (H. Freudenthal, 1905 ∼ 1990)、 美國數學家和數學教育家 M. 克萊因 (M. Kline, 1908 ∼ 1992) 等都是該原理的支持和提倡者。 龐加萊主張, 數學課程的內容應完全按照歷史 發展順序展現給讀者, 他指出:
“動物學家堅持認為, 在一個短時期內, 動物胚胎的發育重蹈所有地質年代其祖先們 的發展歷史。 人的思維發展似乎也是如此。 教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷 其祖先之所經歷, 迅速通過某些階段而不跳過任何階段。 鑒於此, 科學史應該是我們 的指南。”(Kline, 1970)
波利亞指出: “只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識, 我們才能對人類的孩子應該如何 獲得這樣的知識作出更好的判斷。” 弗賴登塔爾則稱“年輕的學習者重蹈人類的學習過程, 儘管 方式改變了”(Ernest, 1998)。
因此, 數學歷史作為考察數學教學有效性的一個重要視角, 長期以來一直受到數學教育家 們的普遍關注, 我們從眾多教育取向的數學史研究 (如 Cajori, 1917; Kline, 1958; Hallerberg 等, 1969; Kline, 1970; Katz, 1998; Katz, 2000b 等等) 中可以看出這一點。 就三角學 而言, 早在 20 世紀 60 年代, Aaboe 就曾指出: 該學科的歷史發展順序是更為自然的教學順序 (Katz, 2000a)。 因此, 對於學生視若畏途的三角公式, 教材編寫者和教師理應參考其發展歷史。
然而, 數學史文獻 (包括教育取向的數學史研究文獻) 中, 對三角學歷史反映不足 (Grattan- Guinness, 1994), 數學教師對該課題缺乏深入瞭解。 本文試圖通過對 17 世紀以前平面三角公 式歷史淵源的考察, 尋求三角公式的教學啟示和教學素材。
53
1. 托勒密
在三角學發展的初期, 天文學家關心的是一段長度已知的弧所對弦的長度。 如圖1所示, 在 單位圓中, 弧長 (圓心角) α 所對弦長 (Chord α) 與我們今天的正弦之間的關係是
Chord α= 2 sinα
2 (1)
法國數學史家坦納裏 (P. Tannery, 1843 ∼ 1904) 認為, 早在天文學家希帕霍斯 (Hip- pachus, 前 2 世紀) 之前, 阿基米德 (Archimedes, 前 287 ∼ 前212) 和阿波羅尼斯 (Apollo- nius, 前 260 ∼ 前190) 可能已經編制過弦表, 阿基米德的折弦定理 1 似乎就是一個證據。 希臘 三角學創始人希帕霍斯、 梅內勞斯 (Menelaus, 1世紀) 都製作過弦表, 可惜沒有流傳下來。
西元2世紀, 古希臘天文學家托勒密 (C. Ptolemy, 85? ∼ 165?) 為造出從1/2度到180 度每隔 1/2度所有弧的弦表 (造表方法可參閱 Smith,1925; Brendan,1965), 提出了後人以其 名字命名的定理: 圓內接四邊形兩對角線乘積, 等於兩組對邊乘積之和。 利用該定理, 已知兩角 所對弦, 就可以求出它們的和或差所對的弦長。
如圖 2, 設 ABCD 是直徑為1 2的圓 O 的內接四邊形, 對角線 BD 為圓之直徑。∠ABD
= α, ∠DBC = β, 則由托勒密定理, 在四邊形 ABCD 中: AC ·BD = AD·BC+AB·CD, 即
Chord 2(α + β) = Chord 2α Chord (π − 2β) + Chord (π − 2α) Chord 2β (2) 其中, Chord(π − 2α) 可由畢氏定理得到
[Chord (π − 2α)]2+ [Chord 2α]2 = 1
圖1 圖 2
1設ABC為圓之折弦 (由弦AB和BC構成),過ABC 弧之中點向折弦之較長弦引垂線, 則垂足為 折弦之中點。
2托勒密將直徑分成120等分, 將每一小部分的長度作為弦長的單位。
此即我們今天的平方關係式
sin2α+ cos2α= 1 (3) 由 (1) 可知, (2) 就是我們今天的和角公式
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (4) 類似地, 在四邊形 AEBD (EC 為直徑) 中應用托勒密定理可得
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (5) 若圓內接四邊形 ABCD 的一邊 BC 為圓 O 的直徑 (如圖 3), 設 ∠ABC = α,
∠DBC = β, 則由托勒密定理可得
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β (6) 類似地, 在圓內接四邊形 ABEC (ED 為直徑) 中應用托勒密定理有
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β (7) 托勒密為了製作弦表, 還利用了另外一個公式, 即我們今天的半角公式:
sin2 α
2 = 1 − cos α
2 (8)
托勒密的推導方法如圖 4 所示。 ∠BAC = α, AC 為圓的直徑 (= 2R), AD 為 ∠BAC 的平 分線, 在 AC 上取 AE = AB, 作 DF ⊥AC, 垂足為 F 。 則有
CD2 = F C · AC = 1
2EC· AC = 1
2(AC − AB) · AC
圖3 圖 4
因此
(Chord α)2 = 1
2[2R − Chord(π − 2α)] · 2R (9) 此即公式 (8)。
2. 帕普斯
三角公式與幾何命題之間的密切關係, 也明顯地反映於古希臘亞歷山大晚期的幾何學家帕 普斯 (Pappus, 西元4世紀初)《數學彙編》 的幾何命題之中。 《數學彙編》 是一部“關於希臘幾何 學的手冊或指南”(Heath, 1921), 它不僅為我們保留了許多重要的希臘數學史料 (如倍立方問 題的解法、 阿基米德半正多面體等等), 而且也包含了許多帕普斯自己的命題。 帕普斯對蜜蜂“智 慧”的讚美、 對畢氏定理的推廣、 三等分角的圓錐曲線解法、 鞋匠刀形內切圓問題、 軌跡問題、 圓 錐曲線的統一定義、 關於旋轉體體積和表面積的形心定理 (今稱“古爾丁定理”) 等等, 在今天都 已廣為人知 (具體可參閱一些數學史專著的介紹, 如 Heath, 1921; Boyer, 1968; Kline, 1972;
Eves, 1983等)。《數學彙編》 第5卷第4部分是對阿基米德 《論球與圓柱》 的評注, 其中, 帕普斯 給出了下面兩個命題:
命題1: 如圖 5, 設 H 是以 AB 為直徑的半圓上的一點, CE 是半圓在點 H 處的切線, CH= HE。 CD 和 EF 為 AB 的垂線, D 、 F 為垂足。 則 (CD + EF ) · CE = AB · DF 。 命題2: 如圖 6, 設 C 、 E 是以 AB 為直徑的半圓上的兩點, CD 和 EF 為 AB 的垂 線, D 、 F 為垂足, CEK 弧為半圓。 則 (CD + EF ) · CE = EK · DF 。
在圖 5 中, 過 H 作 AB 的垂線, 垂足為 G; 過 E 作 CD 的垂線, 垂足為 I。 易知 Rt△OGH 與 Rt△CIE 相似。 於是 OHCE = GHIE = GHDF, 或即 GH · CE = OH · DF 。 但 GH = 12(EF + CD), OH = 12AB, 故得命題 1 的結論。 在圖 6 中, 作 OH⊥CE 於 H。 作 垂線 HG 、 EI, 由 Rt△OGH 與 Rt△CIE 的相似性, 即可證得命題2。
圖5 圖 6
托勒密的兩個命題為我們提供了許多三角公式的幾何模型。 設 ∠HOB = α, ∠COH =
∠EOH = β, OC = OE = 1, 則 ∠COD = π− (α + β), ∠EOF = α − β。 於是有:
OH = cos β, HG= sin α cos β, OG= cos α cos β, HE = sin β, HJ = CL = cos α sin β, J E = sin α sin β.
因 CD = LD + CL = HG + HJ, OF = OG + JE, EF = HG − HJ, OD = DG− OG = JE − OG, 故分別得公式 (4)-(7)。
當 α + β < π2 時, 上述方法正是Young (1957) 所介紹的和角公式的第一種推導法, 因簡 潔、 直觀而為一些中學數學教師用於課堂教學。
又因 HG = 12(CD + EF ), HJ = 12(CD − EF ), JE = 12(OF + OD), OG =
1
2(OF − OD), 故
sin α cos β = 1
2 [ sin(α + β) + sin(α − β) ] (10) cos α sin β = 1
2 [ sin(α + β) − sin(α − β) ] (11) sin α sin β = 1
2 [ cos(α − β) − cos(α + β) ] (12) cos α cos β = 1
2 [ cos(α − β) + cos(α + β) ] (13) 若所設的角不變, 而 OG = 1, 因 ∠HCL = α, 故得 HG = tan α, OH = sec α, CH = sec α tan β, CL = CH cos α = tan β, LH = tan α tan β。 於是在直角三角形 COD 中:
tan(∠COD) = CD
OD = HG+ CL
OG− LH (α + β < π
2) 或 HG+ CL LH − OG (π
2 < α+ β < π) 因此我們有
tan(α + β) = tan α + tan β
1 − tan α tan β (14) 如圖 7和8, 設 ∠COD = α, ∠EOF = β, OC = OE = 1, 則 ∠COE = π − (α + β),
∠OHG = ∠CEI = α−β2 , ∠OEH = α+β2 。 於是有:
OH = sinα+ β
2 , HG= sinα+ β
2 cosα− β
2 , OG= sinα+ β
2 sinα− β 2 , HE = cosα+ β
2 , HJ = cosα+ β
2 sinα− β
2 , J E = cosα+ β
2 cos α− β 2 .
圖7 圖 8
因 CD + EF = 2GH, CD −EF = CI = 2HJ, OD +OF = DF = 2JE, OD −OF =
−2OG, 故
sin α + sin β = 2 sinα+ β
2 cosα− β
2 (15)
sin α − sin β = 2 cosα+ β
2 sin α− β
2 (16)
cos α + cos β = 2 cosα+ β
2 cosα− β
2 (17)
cos α − cos β = −2 sinα+ β
2 sinα− β
2 (18)
又梯形 ECDF 、 三角形 COD 、 EOF 、 COE 的面積分別為 S梯形ECDF = 1
2(EF + CD) · DF = 1
2(sin α + sin β) · (cos α + cos β), S△COD= 1
2OD· CD = 1
2sin α · cos α, S△EOF = 1
2OE· EF = 1
2sin β · cos β, S△COE= 1
2OC· OE · sin(α + β) = 1
2sin(α + β),
而梯形 ECDF 的面積等於三角形 COD 、 COE 、 EOF 的面積之和, 因此 1
2sin α cos α + 1
2sin β cos β + 1
2sin(α + β) = 1
2(sin α + sin β) · (cos α + cos β) 或即
sin α cos α + sin β cos β + sin(α + β) = (sin α + sin β) · (cos α + cos β) (19)
由此即得和角正弦公式 (4)。 等式 (19) 對應著圖 9 中的菱形面積與圖 10 中的兩個矩形面積相 等。
圖9 圖 10
另一方面, 在三角形 CIE 和 COE 中, 由余弦定理和畢氏定理分別可得:
CE2 = CI2+ IE2 = (sin α − sin β)2+ (cos α + cos β)2,
CE2 = OC2+ OE2+ 2OC · OE cos(α + β) = 2 + 2 cos(α + β).
故得和角餘弦公式 (5)。
3. 阿布 · 韋發
10 世紀阿拉伯人阿布 · 韋發 (Abu’l-Wefa, 940 ∼ 998) 是三角學歷史上最早使用所有 六種三角函數、 並研究它們之間關係的天文學家和數學家。 他所知道的同角三角函數關係如下:
tan α : 1 = sin α : cos α ; (20) cot α : 1 = cos α : sin α ; (21) sec2α= 1 + tan2α ; (22) csc2α= 1 + cot2α. (23)
從圖 11 中很容易發現關係式 (3)、(20)-(23)。 要注意, 在 16 世紀之前, 三角函數並不是用比率, 而只是用線段來表示的。
圖11 圖 12
阿布 · 韋發製作了每隔 15′ 的正弦和正切表。 在半徑為 R 的圓上, 他獲得了如下關係:
2R − Chord(180◦− 2α)
Chord α = Chord α
R (24)
Chord 2α
Chord α = Chord(180◦− α)
R (25)
其中 (24) 與 (9) 等價; 而 (25) 則由圖 12中三角形 ABC 和三角形 CDO 的相似性得到, 它 等價於倍角正弦公式
sin α = 2 sinα 2 cosα
2 (26)
值得注意的是, 阿布 · 韋發還得到了等價於 (4) 和 (6) 的公式:
sin(α + β) = q
sin2α− sin2αsin2β+ q
sin2β− sin2αsin2β (27) sin(α − β) =
q
sin2α− sin2αsin2β− q
sin2β− sin2αsin2β (28) 其中 α 和 β 均為銳角。 從形式上看, 這兩個公式明顯刻上了幾何方法的烙印。
如圖 13所示, 在直徑為 1 的圓 O 中, ∠AOB = 2α, ∠BOC = 2β, 設 α > β, α + β <
π, α + β 6= π2, BD⊥AC。 取 ∠P OB = 2β, 又按托勒密的做法 (圖 4), 在 AC 上取 AQ= AP 。 於是 BQ = BP = BC, 從而得 DQ = DC。 於是, AB = sin α, BC = sin β, AC = sin(α + β), AP = sin(α − β), BD = sin α sin β。 因
AC = AD + DC =√
AB2− BD2 +√
BC2− BD2, AP = AQ = AD − DQ = AD − DC =√
AB2− BD2−√
BC2− BD2, 故得 (27) 和 (28)。
圖13 圖 14
儘管上述方法能夠符合阿布 · 韋發的原意, 但我們很難用它來推導更多的三角公式。 事實 上, 我們可以用更好的方法來推導更多的公式。 在直徑為 1 的圓 O 中, 仍取 ∠AOB = 2α,
∠BOC = 2β, α > β, α + β < π, α + β 6= π2, BD⊥AC。 作 OE 垂直於 AC, 垂足為 E, 延長 BD 交圓於 F , 作 OG 垂直於 BF , 垂足為 G。 延長 BO 和 AO, 分別交圓於 H 和 K, 分別過 H 、 K 作 AC 和 BF 的垂線, 垂足為 N 、 M。 連接 CK 、 KF 、 CF 、 OF 、 HF 和 AH , 如圖14所示。 易知 ∠OBF = ∠OF B = ∠EOB = α − β, ∠AKC = α + β,
∠OF C = ∠OCF = α, F C = cos α, 從而有
AC= sin(α + β), HF = sin(α − β), KC = cos(α + β), BF = cos(α − β), AD= sin α cos β, CD = cos α sin β, F D = cos α cos β, BD = sin α sin β 於是由 AC = AD+DC, 得和角正弦公式 (4); 由 HF = AD−AN = AD−DC, 得差角正 弦公式 (6); 由 KC = F D −F M = F D −BD, 得和角余弦公式 (5); 由 F B = F D +BD, 得差角余弦公式 (7)。
另一方面, 因
AE = CE = 1
2sin(α + β), ED= OG = 1
2sin(α − β), BG = F G = 1
2cos(α − β), GD = OE = 1
2cos(α + β),
故由 AD = AE + ED, CD = CE − ED, F D = F G + GD, BD = BG − GD 分別得 積化和差公式 (10)-(13)。
圖15 圖 16
當 α + β = π2 時, 四個積化和差公式成了倍角正弦和餘弦公式。 如圖15 所示, AC 是 圓 O 的直徑, AC = 1, ∠AOB = 2α。 於是在三角形 BDC 中, 由 sin α =
1 2sin 2α
cos α 和 cos α =
1
2(1 + cos 2α)
cos α 分別得
sin 2α = 2 sin α cos α (29) cos 2α = 2 cos2α− 1 (30) 在三角形 BDA 中, 由 sin α =
1
2(1 − cos 2α)
sin α 和 cos α =
1 2sin 2α
sin α 分別得
cos 2α = 1 − 2 sin2α (31) sin 2α = 2 sin α cos α
在三角形 ABC 中, 由射影定理和面積公式分別可得 sin2α= 1 − cos 2α
2 , cos2α= 1 + cos 2α
2 ,
cos2α− sin2α= cos 2α ; (32) 1
2 · sin α · cos α = 1
4sin 2α.
事實上, Woods (1936)、Dorwart (1942) 等即曾作過類似的推導。
4. 比爾吉與克拉維斯
早期三角學的歷史是與天文學密切相關的。 事實上, 在 15 世紀德國數學家雷格蒙塔努斯 (Regiomontanus, 1436 ∼ 1476) 撰寫 《論各種三角形》 之前的歐洲, 三角學一直依附於天文 學, 為天文計算服務。 1510左右, 德國天文學家維納 (J. Werner, 1468 ∼ 1522) 為了簡化天 文計算, 率先使用了後人以其名字命名的三角公式 (12)。 例如, 要計算 98,436 × 79,253, 可設 sin α = 0.49218, sin β = 0.79253。 從三角函數表中查得 α 和 β, 然後又從三角函數表中查 得 cos(α + β), cos(α − β), 根據維納公式, 即得 2 sin α sin β。 將小數改成整數, 就得到所求 的乘積。
這種方法被稱為“加減術”, 主要為在天文臺從事研究工作的天文學家所使用。 16世紀丹麥 著名天文學家弟谷 (Tycho Brahe, 1546 ∼ 1601) 以及他的助手們就曾使用過這種方法, 他 們還知道公式 (13)。 但弟谷的“加減術”知識是否源於維納的手稿, 公式 (12) 是不是他自己的 發現, 仍有待數學史家的考證。“加減術”成了納皮爾 (J. Napier, 1550 ∼ 1617) 和比爾吉 (J.
Burgi, 1552 ∼ 1632) 的對數思想的先驅。
公式 (12) 和 (13) 最早正式發表於 16 世紀著名天文學家烏爾索斯 (N. R. Ursus, 1551
∼ 1600) 於1588年出版的 《天文學基礎》 一書中。 烏爾索斯告訴我們, 瑞士著名鐘錶匠、 對數 發明者之一比爾吉給出過公式 (12) 的幾何證明。 烏爾索斯還說, 從比爾吉的證明中可以很容易 地推導出公式 (13)。 Thoren(1998) 認為, 公式 (13) 最早可能就是比爾吉本人發現並證明的, 時間約在 1585年左右。 可惜比爾吉的具體證明沒有流傳下來。
16 世紀德國著名數學家和天文學家克拉維斯 (C. Clavius, 1537 ∼ 1612) 讀過烏爾索斯 的著作, 但他似乎對維納、 比爾吉、 弟谷等人的工作一無所知, 因而把公式 (12) 和 (13) 錯誤 地歸功於烏爾索斯的發現。 在出版於 1593 年的天文著作 《星盤》(Astrolabium) 中, 克拉維斯 分三種情形對公式 (12) 作了全面而清晰的證明 (Smith, 1959)。
(1) α + β = π
如圖16所示, 在單位圓 O 中, ∠AOB = β, ∠BOC = α, α + β =2 π2。 過點 B 作 OA 的垂線, 垂足為 H, 交圓於 K; 又作 OC 的垂線, 垂足為 G。 分別過點 A 、 H 和 K 作 OB 垂線, 垂足分別為 E 、 L 、 N。 於是
OA
AE = OH
HL = BG 1 2KN 即
1
sin β = sin α 1 2sin 2β
= sin α 1 2sin 2α
.
於是得
sin α sin β = 1
2sin 2α = 1
2sin 2β, 或即
sin 2α = 2 sin α cos α, sin 2β = 2 sin β cos β.
(2) α + β < π
如圖17所示。 在單位圓 O 中, ∠AOB = β, ∠COD = α, α + β <2 π2, OA⊥OD。 過點 C 作 OA 的垂線, 垂足為 H , 交圓於 K; 分別過點 A 、 H 、 K 作 OB 垂線, 垂足分別為 E 、 L 、 N; 又過點 C 作 OB 、 OD 、 KN 、 HL 的垂線, 垂足分別為 F 、 G 、 P 、 U。 因
∠BOC = π2− α − β, 故 ∠OCF = α + β; 因 ∠KON = π2− α + β, 故 ∠OKN = α − β。
於是, 在直角三角形 COG 、 AOE 、 OCF 和 KON 中分別有:
CG= sin α, OG= cos α, AE = sin β, OE = cos β;
OF = sin(α + β), CF = cos(α + β), ON = sin(α − β), KN = cos(α − β).
於是
OA
AE = OH
HL = CG
HU− LU = CG 1
2(KN − CF ) ,
即
1
sin β = sin α 1
2[cos(α − β) − cos(α + β)]
(33)
此即公式 (12)。
圖17 圖 18
克拉維斯只證明了公式 (12), 但我們完全可以進一步證明其他三個積化和差公式 (10)、
(11) 和 (13)。 在圖 17 中, 從 OA
OE = OH
OL = CG
1
2(OF + ON) 得
1
cos β = sin α 1
2[sin(α + β) + sin(α − β)]
(34)
即得公式 (10); 從
OA
OE = HC
U C = OG 1
2(OF − ON) 得
1
sin β = cos α 1
2[sin(α + β) − sin(α − β)]
(35)
此即公式 (11); 從
OA
OE = CH
HU = OG
1
2(KN + CF ) 得
1
cos β = cos α 1
2[cos(α − β) + cos(α + β)]
(36)
此即公式 (13)。
(3) α + β > π 2
如圖 18所示。 在單位圓 O 中, ∠AOB = β, ∠COD = α, α + β > π2, OA⊥OD。 作圖 同上。 此時, 因 ∠BOC = α + β −π2, 故 ∠OCF = π − (α + β); 因 ∠KON = π2 − α + β (α > β) 或 π2 + α − β (α < β), 故 ∠OKN = α − β (α > β) 或 β − α (α < β)。 因 此, 在直角三角形 OCF 和 KON 中分別有: OF = sin(α + β), CF = − cos(α + β), ON = sin(α − β) (α > β) 或 − sin(α − β) (α < β), KN = cos(α − β)。 於是
OA
AE = OH
HL = CG
HU + CF = CG 1
2(KN + CF ) ,
故仍有公式 (31) 成立。 類似可導出其他三個公式。
或許, 克拉維斯的方法在今天看來顯得很繁瑣, 但我們必須知道: 17 世紀, 特別是英國數 學家沃利斯 (J. Wallis, 1616 ∼ 1703) 以前, 三角公式往往是用比例形式來表達的, 因此, 克 拉維斯利用相似比來導出比例形式的積化和差公式, 也就不足為奇了。
實際上, 我們完全可以將克拉維斯改進得更簡單一些, 使其適合於今天的課堂教學; 同時, 我們還可以進一步導出更多的三角公式。 考慮 α + β < π2 的情形, 在圖17中, 作 HM⊥KN 於 M, 易得:
OL= OH cos β = CG cos β = sin α cos β, HL= OH sin β = CG sin β = sin α sin β, U C = HC sin β = OG sin β = cos α sin β, HU = HC cos β = OG cos β = cos α cos β, OF = sin(α + β), CF = cos(α + β), ON = sin(α − β), KN = cos(α − β).
因此, 由 OF = OL + UC, CF = HU − HL, ON = OL − NL = OL − UC, KN= KM + MN = HU + HL, 分別得和角與差角公式 (4)-(7); 由 OL = 12(OF + ON), U C = 12(OF − ON), HL = 12(KN − CF ), HU = 12(KN + CF ), 分別得積化和差公式 (10)-(13)。
類似可證 α + β > π2 的情形。
5. 韋 達
與克拉維斯同時代的法國數學家韋達 (F. Vi`ete, 1540 ∼ 1603), 是歷史上第一個將代數 方法引入三角學的數學家, 他系統地利用所有的六種三角函數來解平面和球面三角形; 最早研 究一般的 n 倍角公式; 最早利用三倍角余弦公式來解三次方程。 但韋達在推導三角公式時, 仍 然經常使用幾何方法。 韋達給出了同角三角函數更多的關係式:
1 : sec α = cos α : 1 = sin α : tan α ; (37) csc α : sec α = cos α : 1 = 1 : tan α ; (38) 1 : csc α = cos α : cot α = sin α : 1 (39) 這些關係式從圖 11中都可以直接得到。 在圖 19中, 設 BD = 1, 則得韋達的另外兩個等式:
csc α + cot α = cotα
2 , (40)
csc α − cot α = tanα
2. (41)
值得注意的是, 韋達用幾何方法推導了和差化積公式 (15)。 如圖 18, 設 ∠AOB = α,
∠BOC = β 是單位圓 O 的兩個圓心角。 不妨設 α 和 β 為銳角, 且 α > β。 過 A 、 C 分 別作 OB 的垂線 AD 、 CE, 垂足為 D 、 E。 延長 AD 交圓 O 於 G, 連 OG 、 CG。 又作 CF⊥AG, 垂足為 F 。 又過圓心 O 作 AC 的垂線, 垂足為 H, 作 HI⊥OB, 垂足為 I。 則因 AH = CH,
圖19 圖 20
故得 DI = IE。 於是
sin α + sin β = AD + CE = AF = AC · cosα− β
2 = 2 sinα+ β
2 cosα− β 2 . 利用韋達的上述方法, 我們也可以證明其餘的和差化積公式 (16)-(18):
sin α − sin β = AD − CE = DG − DF = F G = 2 cosα+ β
2 · sin α− β 2 ; cos α − cos β = OD − OE = −DE = −CF = −2 sinα+ β
2 sin α− β 2 ; cos α + cos β = 2OI = 2 cosα+ β
2 cos α− β 2 .
若將韋達的方法用於圖 14, 則延長 OE, 交圓於 S; 分別過點 O 和 S 作 AB 的垂線, 垂 足分別為 T 和 R, 如圖 21所示。 於是三角形 ABS 就是韋達圖 20中的三角形 AGC。
至於和角與差角公式以及積化和差公式, 我們可以用從帕普斯命題導出三角公式的方法來 推導: 如圖22, 分別過點 A 、 D 、 G 作 OC 的垂線, 垂足分別為 M 、 N 、 P ; 分別過點 D 、 G 作 AM 的垂線, 垂足分別為 R 、 S, GS 與 DN 的延長線交於 T 。 則由 AM = AR + DN, OM = ON − DR, GP = AR − DN 和 OP = ON + NP = ON + DR 即得公 式 (4)-(7); 由 AR = 12(AM + GP ), DN = 12(AM − GP ), DR = 12(OP − OM) 和 ON = 12(OP + OM) 分別得 (10)-(13)。
圖21 圖 22
6. 餘論
從托勒密定理, 到帕普斯的幾何命題, 到阿布·韋發的和角與差角公式, 再到維納、 比爾吉 和克拉維斯的積化和差公式以及韋達的和差化積公式, 三角公式的早期歷史表明: 幾何定理乃 是三角公式的源泉, 幾何方法是推導三角公式不可或缺的方法。 如果我們接受歷史發生原理, 那 麼, 數學歷史就是一面鏡子, 是 M · 克萊因所說的“教學之指南”(Albers & Alexanderson, 1985), 因而我們在教材編寫和教學設計上, 就有必要更多地使用幾何方法。
三角公式的早期歷史, 同時也為我們提供了很好的教學材料: 阿布 · 韋發和韋達可能使用 過的圖 11, 完全可以用於同角三角函數關係式的教學; 托勒密定理可以用於和角與差角公式的 教學; 帕普斯的幾何命題則可以用於和角、 差角、 積化和差、 和差化積等公式的教學; 阿布 · 韋 發、 克拉維斯、 韋達等數學家的方法 (本人的或我們復原的), 不僅可以被改進成合適的教學素 材, 而且也大大開闊了我們的視野, 加深了我們對三角公式的理解。
最後, 我們必須指出, 在韋達以前, 由於天文學家和數學家過於依賴幾何方法, 因而三角 公式的發展受到了極大的限制。 韋達首次將代數方法引入三角學, 從而最早獲得了一般的 n 倍 角公式, 這對於一個僅僅依靠幾何方法的古代數學家而言是難以想像的。 對此, 韋達曾驚歎說:
“對於等分角的分析涉及到了迄今無人發現的秘密! ” (Cajori, 1926) 正是這個秘密的發現, 使 韋達得到了解三次方程的新工具, 並成功解出了比利時數學家羅曼努斯 (A. Romanus, 1561
∼ 1615) 於1593年提出的45次方程。 更讓16世紀以前的數學家無法想像的是, 在18世紀歐拉 的 《無窮分析引論》 中, 三角公式層出不窮, 但已見不到任何幾何的影子, 這大概連韋達也是始 料不及的。 如果說幾何學是三角學的母體, 那麼代數學則是三角學的翅膀。 如果借用晚清數學家 華蘅芳 (1833 ∼ 1902)“傍晚之星”的比喻, 那麼16世紀以前依存于幾何學母體的三角公式仿 佛“初見一點, 旋見數點, 又見數十點”, 而 16 世紀以後插上代數學翅膀的三角公式則是“燦然佈 滿天空”了。
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—本文作者現任教於上海華東師範大學數學系—
