中 華 大 學 碩 士 論 文

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：數值模擬鋼筋混凝土梁變形破壞之研究

系 所 別：土木與工程資訊學系碩士班 學號姓名：M09304006 黃聞祥

指導教授：楊 國 湘 博士

中華民國 九十六 年 一 月

摘要

鋼筋混凝土結構在國內佔有相當大之比例，目前對鋼筋混凝土結 構之設計方法乃較著重於極限強度與極限變形之探討，而鋼筋混凝土 構件在達極限強度前，由於外力而產生的斷面內力分佈與構件整體之 變形實有很高之相關性，因此透過斷面變形而掌握構件之變形行為可 有效作為安全評估以及韌性設計之依據。本研究利用數值模擬的方 式，模擬鋼筋混凝土梁在撓曲作用下之變形行為與內力分佈，並藉由 感測器技術驗證數值模擬程式之正確性，未來可望透過程式模擬並預 測鋼筋混凝土梁承受荷載下可能反應出的變形行為，如此的方式不但 可作為設計的依據，更可透過實驗反覆印證歸納出更新的設計方法。

數值模擬鋼筋混凝土梁在之撓曲變位在各試體達塑性變形後與 LVDT 產生 11.64%之誤差，與夾式位移計則產生 15.34%之誤差。透 過程式模擬鋼筋混凝土梁之撓曲變位與斷面變形可以提供使用者暸 解鋼筋混凝土梁在撓曲作用下變形變位之趨勢以及斷面變形與整體 變位之相關性。並且由實驗結果發現拉力鋼筋達降伏強度前之中性軸 深度變化與鋼筋混凝土梁之強度相關，而拉力鋼筋降伏後之中性軸深 度變化則與鋼筋混凝土梁之韌性行為相關。在相同拉力鋼筋配筋比下 採單一鋼筋的配筋方式會使得鋼筋混凝土梁在撓曲作用下產生比預 期稍大之中點位移，而採較多數量拉力筋的配筋方式，可使鋼筋混凝 土梁達開裂彎矩後開裂較為緩慢，對梁底開裂處附近的混凝土損害較 小。

關鍵詞: 鋼筋混凝土梁、數值模擬、韌性

ABSTRACT

Reinforced concrete structures still hold quite large proportion of buildings in Taiwan. The design method of reinforced concrete structure is always focus on a traditional way which is discussing of the ultimate strength and deflection of members in structure. Before reinforced concrete beam reach it’s ultimate strength, the distribution of flexural stress in section due to transverse external load has a strong relationship with it’s entire deformation. Therefore predict the behavior of a reinforced concrete beam under external load by getting understand how the section deforms inside of it can effectively be a structural basis of safety test and ductility design. This research utilizes the way of numerical simulation to simulate the behavior and the distribution of internal force while a reinforced concrete beam served with bending.

Besides, relying on the technique of sensor measuring to prove the accuracy of numerical simulation. It is expected that using the procedure of numerical simulation to predict the internal force distributed in section and the external deformation of a reinforced concrete beam while carried with flexural force. It is also wish that after the numerical simulation been confirmed by reinforced concrete bending experiment, better design method can be figured out by concluding both theoretical and experimental results.

Key Words: Reinforced Concrete Beam, Numerical Simulation, Ductility

誌謝

本論文承蒙吾師 楊國湘 博士悉心指導，方始本論文得以順利完 成，老師平日嚴謹的治學態度以及以身作則的身教，起迪我為人處世 的正確態度，使我受益匪淺，於此對恩師致上億萬分由衷的感謝與祝 福。論文審核期間，承蒙國立中央大學橋樑工程研究中心主任王仲宇 教授與中華大學土木與工程資訊學系徐增興博士給予觀念上的指正 與建議，使本論文更臻完善，在此深表謝意。同時感謝張奇偉博士、

苟昌煥博士、廖述濤博士與李錫霖博士在求學期間給予多方面的教 導，學生至感銘謝。

研究期間由新竹市鋼凝工程顧問股份有限公司協助檢測實驗試 體，在此致上萬分謝意。感謝金榮以及士弘兩位學長，在我兩年半的 研究生涯裡給我的支持與照顧。感謝學弟妹文彥、睦勳、楷誌、德銘 與美雯無論是在生活上或是課業上皆給予全力的支援，特別感謝學弟 鑑洋在論文完成期間抽空幫忙整理圖片，使本論文能即時完成。還要 感謝同儕孝謙、智豪、華偉、智裕、柏領、育誠，進隆，立德以及振 緯等人，在求學過程中相互支持與鼓勵，尤其感激孝謙與智豪在我平 日生活中給我的援助以及每一次實驗的付出與辛勞，沒有你們的幫忙 我的論文不可能完成，謝謝你們。

最後，感謝我的家人對我的照顧與諒解，讓我得以順利完成研究 所學業。在此僅將完成論文的的喜悅獻給我摯愛的女友筱筠，感謝妳 長久以來的包容、支持與照顧，讓我在研究所期間，充滿了美好的回 憶。

黃聞祥 謹致

目錄

中文摘要……….I 英文摘要………...II 誌謝………..III 目錄……….………….IV 表目錄……….…………VII 圖目錄……….………..VIII

第一章 緒論………....….….1

1-1 前言………...………….….1

1-2 研究目的………...………….….1

1-3 預期貢獻………...………….….2

1-4 內容大綱……….2

第二章 文獻回顧………..4

2-1 前言………...………….….4

2-2 鋼筋混凝土梁之撓曲行為………...………….….4

2-3 混凝土與鋼筋之應力應變關係………...………….….5

2-4 撓曲作用下鋼筋混凝土梁撓度計算………...……….…….8

2-4-1 有效斷面慣性矩法……...…….………...9

2-4-2 斷面曲率積分法……...…….……….…10

2-4-3 斷面彎矩-曲率法………...12

2-5 塑性鉸寬度模擬………...………13

2-6 結論………...……...….…13

第三章 研究方法………...……...….…15

3-1 前言………....……...……...….…15

3-2 三點彎矩實驗設計…………....……...……...….…15

3-2-1 實驗試體…………....……...……...………..….16

3-2-2 實驗配置…………....……...……...………..….16

3-2-3 夾式位移計量測變形變位之方式...……...………...…….17

3-2-4 LVDT 線性差動位移計量測變位方式...……...………...…..19

3-2-5 資料擷取系統配置..……...……...….……..…..20

3-3 鋼筋混凝土梁三點彎矩實驗數值模擬...……...…………....21

3-3-1 鋼筋混凝土梁斷面彎矩-曲率關係……...….……..……….21

3-3-2 鋼筋混凝土梁載重-位移關係….………..23

3-3-3 塑性鉸模擬...……...……...………...…....…...…………..24

第四章 數值模擬與數位儀表板程式設計...…………...…...….26

4-1 前言...……...……...………...…....…...………….……...….26

4-2 鋼筋混凝土梁數值模擬類別設計…...………...…....…...….27

4-2-1 混凝土類別(concrete)與鋼筋類別(steel)...……….27

4-2-2 斷面性質類別(section)…...………….…...…………...28

4-2-3 撓曲變形類別(curve)…...………….…...…29

4-2-4 混凝土梁類別(concrete_beam)…….…...………..30

4-3 數值模擬程式之邏輯程序…….………...…..33

4-4 動態連結程式庫(Dynamic Link Library) ………...…...35

4-5 數位儀表板程式設計………...…..35

4-5-1 Lab VIEW 前置面板設計………...……36

4-5-2 Lab VIEW 圖控程式設計………...……37

第五章 實驗結果與討論………...…...42

5-1 前言………..………...…...42

5-2 實驗結果………..………...…...42

5-3 討論………..………...…...45

5-3-1 數值模擬與鋼筋混凝土梁極限強度之差異……….45

5-3-2 數值模擬與 LVDT 量測中點位移之差異………...45

5-3-3 數值模擬與夾式位移計量測變形變位之差異…...46

5-3-4 不同配筋比對實驗結果之影響……….47

5-3-5 不同鋼筋數量對實驗結果之影響………...47

5-3-6 中性軸深度與鋼筋混凝土梁韌性行為之相關性...48

第六章 結論與建議………...50

6-1 前言………...50

6-2 結論………...50

6-3 建議………...52

參考文獻………..54

表目錄

表1 各試體斷面尺寸與鋼筋比……….56 表2 數值模擬位移韌性因子與夾式位移計量得之標準化中性軸深度 57

圖目錄

圖2.1 鋼筋混凝土梁斷面在撓曲作用下之應變與應力分佈……….58

圖2.2 以懷特尼矩形應力塊模擬鋼筋混凝土梁斷面應力分佈…….58

圖2.3 Kent 及 Park 發表之混凝土應力-應變關係……...59

圖2.4 Shah, Fafitis and Arnold 發表之混凝土應力-應變關係...59

圖2.5 由 Shah, Fafitis and Arnold 之模型模擬不同圍束強度之混凝土 應力-應變關係...60

圖2.6 鋼筋之應力-應變關係...60

圖2.7 鋼筋混凝土開裂前後之有效斷面慣性矩...61

圖2.8 受撓曲作用之鋼筋混凝土梁斷面曲率示意圖...61

圖2.9 端點受集中載重而產生撓曲行為之懸臂梁...62

圖2.10 鋼筋混凝土梁撓曲作用下彎矩與曲率分佈圖...62

圖2.11 張力控制斷面與壓力控制斷面之彎矩－曲率關係...63

圖2.12 懸臂梁於極限彎矩下由等效矩形模擬塑性鉸產生之旋轉角 63 圖3.1 三點彎矩實驗示意圖...64

圖3.2 手動式載重架……….64

圖3.3 三點彎矩實驗配置……….65

圖3.4 實驗試體拉力鋼筋與抗剪力箍筋未灌漿前擺設……….65

圖3.5 LVDT 與其固定基座………...66

圖3.6 LVDT 位移計實驗配置方式……...66

圖3.7 夾式位移計固定基座黏貼位置……….67

圖3.8 夾式位移計構造圖……….67

圖3.9 夾式位移計受外力 P 而張開與閉合………...68

圖3.10 以螺桿將夾式位移計之量測寬度增加 100^mm……….68

圖3.10 夾式位移計積分位置與積分值示意圖………..……..….60

圖3.11 夾式位移計積分位置與積分值示意圖………...69

圖3.12 LVDT 結構示意圖………….………..69

圖3.13 鋼筋混凝土梁斷面壓力區混凝土分割方式……….70

圖3.14 鋼筋混凝土梁斷面混凝土塊承受之壓力對頂層產生之彎矩 71 圖3.15 數值模擬斷面曲率積分方法………...72

圖3.16 鋼筋混凝土梁達極限強度前之曲率分佈與變形曲線...73

圖3.17 鋼筋混凝土梁產生塑性鉸後之曲率分佈與變形曲線...73

圖4.1 數值模擬程式類別圖...74

圖4.2 斷面軸向力與中性軸深度之關係曲線……….75

圖4.3 成員函式 get_Neutral()之動態活動圖………...76

圖4.4 成員函式 section_property( )之動態活動圖……….….77

圖4.5 數值模擬程式動態活動圖………..………...78

圖4.6 Lab VIEW 程式控制面板外觀……….…………..79

圖4.7 Lab VIEW 程式面板數值模擬頁面……….…………..80

圖4.8 Lab VIEW 程式面板模擬變形變位頁面……….………..81

圖4.9 實驗前訊號初始化迴圈與數值模擬之程式方塊圖………….82

圖4.10 實驗中的訊號監測迴圈程式方塊圖區……….…...82

圖4.11 Lab VIEW 訊號初始化迴圈與數值模擬動態活動圖…………83

圖4.12 Lab VIEW 訊號監測迴圈動態活動圖………84

圖4.13 Plot_Theory 副程式程式方塊圖區………….………85

圖4.14 透過 Call Library Function Node 元件呼叫數值模擬程式 之動態連結程式庫….………...85

圖4.15 數值模擬與實際量測之斷面彎矩-曲率圖形比較……...……86

圖4.16 斷面曲率積分法程式方塊圖……...………...86

圖4.17 程式面板集中載重-中點位移圖形輸出……..…………...87

圖4.18 程式面板中點斷面中性軸深度-上層應變圖形輸出……...87

圖4.19 數值模擬鋼筋混凝土梁達極限載重前之變形曲線……...88

圖5.1

ρ

_0.17鋼筋混凝土梁載重-位移曲線..………...89

圖5.2

ρ

_0.17鋼筋混凝土梁中性軸深度-位移曲線………...89

圖5.3

ρ

_0.17鋼筋混凝土梁載重-中點斷面上應變曲線………...89

圖5.4

ρ

_0.37鋼筋混凝土梁載重-位移曲線………...90

圖5.5

ρ

_0.37鋼筋混凝土梁中性軸深度-位移曲線………...90

圖5.6

ρ

_0.37鋼筋混凝土梁載重-中點斷面下應變曲線………...90

圖5.7

ρ

_0.5鋼筋混凝土梁載重-位移曲線……….91

圖5.8

ρ

_0.5鋼筋混凝土梁載重-中點斷面下應變曲線……….91

圖5.9

ρ

_0.5鋼筋混凝土梁中性軸深度-位移曲線………...91

圖5.10

ρ

_0.5鋼筋混凝土梁裂紋主要集中在中點斷面………...92 圖5.11

ρ

_0.5鋼筋混凝土梁斷面下緣夾式位移計量測值對時間之變

圖5.12

ρ

_1.85鋼筋混凝土梁載重-位移曲線……….93

圖5.13

ρ

_1.85鋼筋混凝土梁中性軸深度-位移曲線……….93

圖5.14

ρ

_1.85載重超過8000 公斤時梁中點無太多裂紋產生………….93

圖5.15

ρ

0.3鋼筋混凝土梁載重-位移曲線………94

圖5.16

ρ

0.3鋼筋混凝土梁中性軸深度-位移曲線………94

圖5.17 值模擬與 A 組試體實際極限承載之差異……….95

圖5.18 數值模擬與 B 組試體實際極限承載之差異……….95

圖5.19 A 組試體中載重達 1000 ㎏時數值模擬與 LVDT 量測位移 之差異………..96

圖5.20 B 組試體中載重達 1000 ㎏時數值模擬與 LVDT 量測位移 之差異………..96

圖5.21 A 組試體達塑性變形時數值模擬與 LVDT 量測位移之差異...96

圖5.22 B 組試體達塑性變形時數值模擬與 LVDT 量測位移之差異...96

圖5.23 A 組試體中載重達 1000 ㎏時數值模擬與夾式位移計 量測位移之差異………..97

圖5.24 B 組試體中載重達 1000 ㎏時數值模擬與夾式位移計 量測位移之差異………..97

圖5.25 A 組試體達塑性變形時數值模擬與夾式位移計量測位移 之差異...97

圖5.26 B 組試體達塑性變形時數值模擬與夾式位移計量測位移 之差異...97

圖5.27 鋼筋混凝土梁底主要裂紋未通過夾式位移計之量測曲間...98

圖5.28 裂紋通過夾式位移計基座造成斷面下緣夾式位移計脫落...98

圖5.29 不同鋼筋比之斷面彎矩-曲率關係………...99

圖5.30 不同鋼筋比之中性軸深度對梁中點位移之變化……….99

圖5.31 ρ0.1之鋼筋混凝土梁中性軸深度與數值模擬之差異………..100

圖5.32 配筋方式為 6 號筋 1 支之中性軸深度對梁中點位移之變化.100 圖5.33 筋配筋方式為 3 號筋 4 支之中性軸深度對梁中點位移 之變化………100

圖5.34 配筋方式為 8 號筋 1 支之中性軸深度對梁中點位移之變化.101 圖5.35 配筋方式為 4 號筋 4 支之中性軸深度對梁中點位移之變化.101 圖5.36 數值模擬 A 組各試體位移韌性因子-夾式位移計量得之 標準化中性軸深度………..102

圖5.37 數值模擬 B 組各試體位移韌性因子-夾式位移計量得之 標準化中性軸深度………102

圖6.1 #5-2-1 鋼筋混凝土梁達極限強度後中點斷面塑性鉸作用 之寬度………..103 圖6.2 #4-2-1 鋼筋混凝土梁達極限強度後中點斷面塑性鉸作用 之寬度………..103 圖6.3 實驗結束後直接量測拉力筋底部至梁底距離以求得

有效深度………..104 圖6.4 鋼筋混凝土梁斷面產生大變形後夾式位移計基座變位圖..104

第一章 緒論

1-1 前言

鋼筋混凝土結構在台灣的結構物中佔了很高的比例，然而在國內 常因設計、施工不良而有鋼筋混凝土結構物破壞甚至崩塌的的事件發 生。經由結構的韌性設計，讓鋼筋混凝土結構物在超過極限承載時，

能藉由梁柱構件節點間產生的塑性鉸而持續變形但強度繼續保持的 特性，使構件在極限承載時隨著變形而重新分配彎矩抵抗外力，不但 可以增加結構吸收外力能量之能力，在結構損壞時，亦可增加結構傾 倒的延時，以增進使用者生命財產之安全。

目前工程師從事鋼筋混凝土結構設計時大多是依據規範考慮構 件所能吸收的極限強度以及極限變形的能力，並加以適當的鋼筋比以 達到結構韌性設計之要求，對於單一構件是如何從彈性行為變形至塑 性行為，以及其間構件斷面內力分佈對整體結構變形之相關性並無太 多的思考。而更深一步的瞭解鋼筋混凝土構件的力學與變形行為相信 可提供工程師更正確的觀念並能設計更安全的結構物。

本研究主要目的在於在結合感測器量測技術與數值模擬程式，以 鋼筋混凝土梁為研究對象，模擬受撓曲作用之鋼筋混凝土梁在承載改 變時所對應之變形行為，及各斷面之內力分佈情形，並以感測器量測 鋼筋混凝土梁實際的變位與斷面變形驗證數值模擬的理論行為，希望 能藉由對結構構件受力行為更深入的瞭解，未來能找出更佳的鋼筋混 凝土結構設計方式。

1-2 研究目的

本文主要研究目的是利用數值模擬方法模擬鋼筋混凝土梁在撓 曲作用下承受集中載重與變形變位之關係開發成程式，並將該程式與

資料擷取系統整合成應用程式，如此將使資料擷取系統與數值模擬程 式同時運作，意即使感測器量測變形與數值模擬變形達到同步進行。

未來更可透過更新程式碼的方式模擬鋼筋混凝土梁更複雜的受力行 為。

1-3 預期貢獻

本研究所開發之數值模擬程式將配合資料擷取系統與感測器進 行三點彎矩實驗，而實際量測結果與數值模擬結果之誤差將為影響該 數值模擬程式實用性之關鍵。為達成本研究目的，該數值模擬程式模 擬鋼筋混凝土梁在撓曲作用下之變形行為須達到一定之精度，並且預 期之有效模擬範圍達到鋼筋混凝土梁之極限強度，如此一來該數值模 擬程式方能表現出鋼筋混凝土梁真實的變形行為，並在達極限強度後 仍有有效的模擬結果。

1-4 內容大綱

本研究以電腦程式模擬鋼筋混凝土梁在撓曲行為下之變形變位 並驗證其正確性，依研究內容共分為六個章節:

第一章為緒論，主要為說明鋼筋混凝土梁在韌性行為之變形對鋼 筋混凝土結構物有著重要的指標，透過數值模擬程式可增加設計者在 設計結構物時的便利性。

第二章為文獻回顧，其內容主要說明鋼筋混凝土梁在在撓曲作用 下內力行為之複雜，一般如何以務實且有效的方式掌握其變形行為。

第三章為研究方法，內容說明達成本研究目的所需要的輔助實 驗，以及實驗進行的方法。

第四章為程式模擬方法及數位儀表板設計，內容主要將本研究所

使用之數值模擬程式，從架構設計、模擬方法、到使用者介面設計作 詳細之介紹。

第五章為實驗結果與討論，本章節主要討論實驗結果與數值模擬 間的落差並討論造成誤差之可能原因，陳述鋼筋混凝土梁變形與外力 之相關性。

第六章為結論與建議，將本文實驗結果加以歸納整理以呈現本研 究最終之結論，最後再提出研究期間重要之發現作為往後使用者之參 考。

第二章 文獻回顧

2-1 前言

鋼筋混凝土梁承受撓曲作用下，當梁中點斷面下緣之撓曲應力超 過鋼筋混凝土梁之破裂模數時梁底會產生開裂，隨著載重的增加，小 裂紋逐漸匯集成主要裂紋並向梁頂延伸，這些主要裂紋即是造成鋼筋 混凝土梁變形的原因。在鋼筋混凝土梁下緣產生裂紋後，由於鋼筋混 凝土梁主要受力斷面呈現非均質現象，因此無法以傳統材料力學之彈 性理論求其撓度，並且隨著承載的增加鋼筋混凝土梁斷面之撓曲應力 分佈將不再呈線性，此時斷面內力對應其整體變形之變化也無法經由 理論公式求得。本章節將逐一探討材料彈性理論外之其它力學方法以 求得鋼筋混凝土梁受撓曲作用下超出彈性範圍外之變形變位。

2-2 鋼筋混凝土梁之撓曲行為

鋼筋混凝土構件是由鋼筋與混凝土兩種不同材料所組成之複合 材料，在結構系統中主要是扮演承受彎矩及剪力之構件，以結構變形 並改變其內力分佈的方式來承擔載重。在梁受正彎矩作用時，負荷使 其彎曲而產生變形，依承受軸力的方式分為受壓面與受拉面，中立面 以上之壓力區承受壓應力，中立面以下之張力區則承受拉應力，並以 改變梁內部應力分佈的方式來達到軸力平衡。依據鋼筋混凝土梁發展 之基本理論，一般單筋鋼筋混凝土梁由位於張力區之鋼筋來承受張 力，而由位於壓力區之混凝土承受壓力，因為混凝土承載張力的能力 極弱，所以在一般鋼筋混凝土梁分析裡，位於張力區的混凝土承載張 力之能力可以忽略不計。

鋼筋混凝土梁受垂直載重而產生撓曲作用初期，其斷面之應變與

筋混凝土梁上緣承受之撓曲應力超過 後，其斷面應力開始沿梁深 呈非線性分佈(圖 2.1(B))。鋼筋混凝土梁之撓曲強度係指鋼筋混凝土 梁在撓曲作用下，其主要受力斷面之軸力可形成的最大抵抗力矩，由 於此時位於混凝土梁斷面壓力區之混凝土撓曲應力分佈呈非線性須 以數值積分方法計算其撓曲應力塊之面積，而過於繁雜的計算並不適 用於實務設計中，因此一般皆以懷特尼矩形應力塊模擬鋼筋混凝土梁 達到極限強度後中性軸與壓應力形成之非線性應力塊(圖 2.2)，再計 算拉力鋼筋與受壓混凝土之合力矩，此合力矩即是鋼筋混凝土梁之撓 曲強度。

' f . 5

_c

0

2-3 混凝土與鋼筋之應力應變關係

Kent 及 Park[1]發表的圍束混凝土應力應變關係(圖 2.3)，AB 線 段為二次拋物線，用以模擬混凝土達到抗壓強度前之應力應變關係，

由於箍筋之圍束效應在此階段很小因此不列入考慮。BC 線段為混凝 土超過抗壓強度後應力與應變之關係，由於高強度之混凝土在降伏後 其韌性較差，因此 BC 段曲線之斜率會同時受到混凝土強度以及箍筋 圍束效應之影響。CD 線段則模擬混凝土在大量應變產生下所能繼續 維持的應力。詳細的應力與應變之關係可以方程式分成三段來描述如 下:

AB 區域:

^ε

_c

^{≤ 0.002}

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

2

002 0 002 0

2

. ε .

' ε f

f

_{c c} ^{c c} (2.1)

其中，

ε

c 為混凝土之應變

f

c 為混凝土對應

ε

_{c 之應力}

f

_c

'

為混凝土之抗壓強度

BC 區域:0.002 ≤ ε_c ≤ε_20c

[ ^{1 Z} ( ^{ε 0 . 002}

' f

f

_c

=

_c

−

_c

− ) ]

(2.2) 其中，

ε

_20c為混凝土應力降至

0 .2 fc'

對應之混凝土應變

Z 為 BC 段之斜率 2.2 式中，

^{0 5} _{0 002}

50

50

ε .

ε Z .

h

u

+ −

=

50 ^{3 0}−⁰⁰²₁₀₀₀

= + ' f

' f ε .

c

u c

h s

h s

b"

ρ

ε 4

3

50 = 其中，ρ 為箍筋體積與所圍束混凝土核心體積之比值 s

b "

為核心混凝土之寬度

s

h為箍筋間距

CD 區域:

ε

c ≥

ε

20c

' 2 . 0 _c

c

f

f

= (2.3)

Shah,Fafitis and Arnold[2]在 1983 年所發表之混凝土應力應變關 係(圖 2.4)，分為混凝土達抗壓強度前之應力應變曲線與混凝土降伏 後之應力應變曲線。在混凝土達抗壓強度前之曲線中當應力小於 時，應力與應變呈線性關係。當混凝土降伏後，由於高強度混 凝土之脆性較大，所以抗壓強度越高之混凝土之應力應變曲線在超過 混凝土降伏後，強度較難維持。圖2.5 為該應力應變模型在含有不同 強度之圍束效應時所模擬超過抗壓強度之韌性行為。詳細之應力應變 關係可以方程式表示如下；

'

5

.

0 f

_c

當

ε ≤ ε

₀時

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − −

=

^A

ε f ε

f 1 ( 1 )

0

0 (2.4)

其中， 0

0

f ε

A

=

E

^c

f₀為混凝土應力 ε₀為混凝土應變 E_c為混凝土楊氏模數

2.7 與 2.8 式中，

)fr . fc'

( fc'

f

3048

15

0 = + 1 +

₀ 1027 10⁷ 00296 0

.

00195

fc'

. fr fc' .

ε

= × ^- + + 其中，

fc '

為混凝土降伏強度

fr

為混凝土圍束強度 當

ε ≥ ε

_0時

15 . 0)1

( 0

ε ε−

= f e

−^k

f

(2.5) 2.5 式中，

k

= 0.17

fc

'

e

^−0.01fr

鋼筋之應力應變關係(圖 2.6)，在鋼筋尚未降伏前應力與應變呈 線性關係並且以鋼筋之楊氏模數為斜率，受拉應力增加期間伴隨著很 小的應變增加，待鋼筋降伏後會開始產生很大的應變，期間應力值會 維持在降伏時的強度並且隨著變形持續保持直到鋼筋進入應變硬化 階段。詳細之應力應變關係可以方程式表示如下；

當

0 ≤

ε_s

≤

ε_y時

s s

s

E

f = ε

(2.6)

當ε_y

≤

ε_s

≤

ε_sh時

y

s

f

f =

(2.7) 當

ε

_sh ≤

ε

_s ≤

ε

_sf 時

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

− −

− +

= 4( )

) 1 (

y su

sh s sh sh

s sh y

s

f f

E E f

f ε ε ε ε

(2.8) 當

ε

_s >

ε

_sf

其中，

f

_s為鋼筋應力

E

_s為鋼筋彈性模數

f

_y為鋼筋降伏強度

ε

_s為鋼筋應變 ε_y

= ^0.002

ε

_sh =0.0091

ε

_su =0.0729 ε_sf

= ^0.1542

f

_su =105

2-4 撓曲作用下鋼筋混凝土梁撓度計算

鋼筋混凝土梁承受撓曲作用初期可視其為完全彈性體，並假設其 斷面在變形前後均保持平面，其撓曲行為可以彈性變形曲線分析之。

當鋼筋混凝土梁斷面下緣之撓曲應力達到混凝土之破裂模數後便無 法再繼續承受張力而開裂，此時鋼筋混凝土梁之斷面將不再保持平 面，分配到最大彎矩的中點斷面則會有最大的撓度，而且產生塑性變 形。對於鋼筋混凝土梁在不同階段之集中載重下其撓度之計算方法將 說明如下:

2-4-1

有效斷面慣性矩法

梁構件受集中載重而產生其彈性範圍內之即時最大撓度，依據彈 性理論計算可以下列公式表示：

e a

EI

ML

²

max =β

Δ (2.9) 其中，

β

_a為撓度係數，依梁之荷重種類及支承型態不同而異

M

為梁斷面所受之最大彎矩值

L

為梁之跨度

E

_c混凝土楊氏模數

I

_e為梁斷面之有效面積慣性矩

ACI Code 將簡支梁中點承受集中載重時之撓度係數定為

48

1 ，並

且在集中載重P 作用下，梁斷面所受之最大彎矩 M 可以

4

PL表示，因

此對於簡支梁跨度中央承受集中載重之最大撓度可改寫如下:

e c e

c E I

PL)L (

I E

PL^{3 2}

max 4

1

12 1

Δ = 48 = ⋅ (2.10) 與2.9 式比較可得以下結果:

12 β_a = 1

4

M

=

PL

當集中載重持續增加至梁底達到開裂之後有效受力斷面會因為 裂縫而減小，因此有效面積慣性矩也會減小來表現出漸增的撓度。有 關有效面積慣性矩Ie之定義對撓度的影響如圖 2.7 所示，當荷重很小 且梁底尚未產生開裂前，即時撓度之有效面積慣性矩可以全斷面積之 面積慣性矩Ig表示之。在梁底產生開裂後，張力區之混凝土已無法再 承受張力，是故有效斷面積會開始減少，當荷重持續增加即時撓度之

有效面積慣性矩會開始接近開裂轉換斷面之面積慣性矩 。ACI Code 在不同的集中載重下對有效面積慣性矩有不同的定義，在實際使用上 有效面積慣性矩的定義可分成下列三個階段考慮：

Icr

<1

cr a

M

M

時；

I

e

= I

g (2.11)

3 1≤ ≤

cr a

M

M

時； cr g

a g cr

a

e cr

I I

M - M M I

I

=(

M

)³ +[1 ( )³] ≤ (2.12)

>3 Mcr

Ma 時；

I

e

= I

cr (2.13)

其中，

t g cr

cr y

I

M = f

f

_cr為混凝土破裂模數

y

_t梁底至中性軸距離

M_cr為梁斷面之開裂彎矩

M

_a為計算撓度時，梁斷面處所承受最大彎矩

I

_g總斷面積之面積慣性矩

I

_cr開裂轉換斷面之面積慣性矩

2-4-2 斷面曲率積分法

斷面曲率為變形曲線上單位弧長之旋轉角改變量，當鋼筋混凝土 梁斷面受撓曲作用時(圖 2.8)，斷面曲率半徑 R 由中性軸量起，NA 為 中性軸深度，鋼筋混凝土上緣之應變值假定為

ε

_{top 。若自梁上取一微} 小長度dx，則：

NA h

dx NA

dx R

dx

top _bottom

= −

=

=

ε ε

θ

(2.14)

其中，

ε

_bottom為斷面下緣應變

h

為斷面深度

NA h NA R

bottom top

= −

=

ε ε

1 (2.15) 又斷面曲率

ϕ

為曲率半徑 R 之倒數，所以：

h NA

h NA R

bottom bottom top

top ( )

1

ε ε ε ε

ϕ

= ⁺

= −

=

= (2.16) 由 2.16 式可知，藉由鋼筋混凝土梁受撓曲作用下斷面之應變分佈以 及已知的梁深便可計算出該斷面之曲率。

Park 與 Paulay[3]的研究中指出，受撓曲作用之梁構件的旋轉角 與撓度可以由斷面曲率對梁跨距積分求得。圖2.9 為端點受集中載重 作用而產生撓曲行為之懸臂梁，已知AB 為端點受集中載重作用之懸 臂梁，任意取梁上A、B 兩點， 為 A、B 間一微小元素，若 元素 之曲率為

dx dx

ϕ

，則依2.14 至 2.16 式，兩點間之旋轉角可以下式表示：

dx d θ

=

ϕ

B

dx

AB

⁼ ∫

A

^ϕ

θ

(2.17) A 點對於 B 點之撓度可以下式表示：

dx x d

Δ =

ϕ

∫

=

Δ ^B

A

x dx

AB

ϕ

(2.18) 由已知的集中載重求解該載重作用下所產生之撓度時，當構件之 斷面彎矩與斷面曲率之關係為已知的條件下，運用 2.17 與 2.18 式可 使用積分法計算鋼筋混凝土梁之撓曲變位。依此法對斷面曲率積分所 求得之撓度將忽略剪應力所造成的斜向裂縫以及拉力鋼筋滑動效應 對鋼筋混凝土梁之撓曲變位外所造成之額外影響。

2-4-3 斷面彎矩-曲率法

鋼筋混凝土梁任一斷面之作用彎矩與外力相關，曲率則與梁變形

相關，透過斷面-曲率關係可以得知任一斷面在撓曲作用下所反應之 曲率(圖 2.10)。彎矩與曲率關係可以一彈性方程式表示；

ϕ MR M

EI

= = (2.19) 其中，

EI

為斷面之撓曲剛性，隨著斷面彎矩增加，混凝土伴隨著愈 多且愈大的開裂，使開裂斷面之撓曲剛性慢慢減小，其斷面剛性減小 的趨勢則與拉力鋼筋比相關。若為張力控制斷面，其彎矩-曲率之關 係曲線在達到鋼筋降伏點後，會慢慢地上升至其極限強度，期間伴隨 著很大的曲率產生(圖 2.11(A))，並由此階段曲率變大的趨勢可判斷鋼 筋混凝土梁韌性行為之優劣，一般以達到極限強度時之斷面曲率與鋼 筋降伏時之斷面曲率之比值即曲率韌性因子為構件韌性優劣的指 標。若為壓力控制斷面，待斷面壓力區上緣之撓曲應力達到混凝土極 限強度之二分之ㄧ時，其彎矩-曲率關係曲線將呈非線性上升並在鋼 筋 降 伏 前 到 達 混 凝 土 之 極 限 強 度 ， 期 間 曲 率 的 改 變 量 較 小( 圖 2.11(B))。

Park、Paulay[3]以鋼筋混凝土梁斷面彎矩與斷面曲率之理論關係 利用積分方法計算已知集中載重下之撓度。已知集中載重下鋼筋混凝 土梁斷面上之分配彎矩與斷面位置呈線性分佈，所以若將鋼筋混凝土 梁延梁長分割成若干斷面，則每個斷面之彎矩為已知。假設其中一斷 面上緣之應變為

ε

_t ，並以該應變值依撓曲應變與梁深呈線性分佈之 理論與混凝土之應力應變關係計算該斷面在上應變為

ε

_{t 時的中性軸} 深度，曲率以及斷面彎矩。利用試誤法重複調整先前假設

ε

_{t 之大小} 當計算得之斷面彎矩等於已知載重下該斷面所分配之真實彎矩值同 時，曲率也為該斷面真實之曲率。以同樣之方法計算其他斷面之曲率 並且依 2.17 及 2.18 式之方法對斷面曲率沿梁跨度積分，積分結果即

2-5 塑性鉸寬度模擬

受集中載重作用之簡支梁中點斷面彎矩達到極限強度時，其斷面 曲率趨於很大，意即該斷面之左右兩側可以有相對轉動，此時斷面有 如一鉸接點在左右兩側各有一大小相等方向相反之彎矩作用稱為塑 性鉸。由於塑性鉸在簡支梁達極限強度後產生在最大受力之斷面，因 此會造成梁中點撓曲變位外額外的垂直位移，為了準確的計算鋼筋混 凝土梁超過極限載重後的梁中點位移，必須先求得塑性鉸在梁中點額 外生成的旋轉角。圖2.12(Ａ)為懸臂梁在極限彎矩作用而產生塑性鉸 後之曲率分佈圖形，曲率分佈圖中斜線面積即為塑性鉸所產生之旋轉 角，為了求得該非線性區域之面積一般以圖 2.12(B)之等效矩形來模 擬該斜線區域之面積，

ϕ

_u與

ϕ

_y分別為極限曲率與降伏曲率， 為模 擬塑性鉸非線性區域之等效矩形寬度。由於鋼筋混凝土梁在極限彎矩 作用下產生塑性鉸之寬度並非常數，因此理論公式皆由歸納實驗之結 果得到，以下為模擬塑性鉸寬度常用之經驗公式；

l

p

由Corley[4]透過觀察簡支梁實驗結果而發表之塑性鉸寬度經驗公式；

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= d

d z d

l

_p

0 . 5 0 . 2

(2.20) 其中，

d

為拉力鋼筋深度

z

為簡支梁曲率最大斷面至曲率為零之斷面，即二分之梁長 由Mattok[5]將 2.20 式簡化並合理化後之塑性鉸寬度

z d

l

_p =0.5 +0.05 (2.21)

2-6 結論

採懷特尼矩形應力塊模擬鋼筋混凝土梁降伏後之非線性應力塊 雖然可以求得其撓曲強度，但是無法觀察鋼筋混凝土梁從彈性變形到

塑性變形間之內力分佈以及強度之變化，不適用於探討鋼筋混凝土梁 荷載與變形之間的關係。而利用ACI Code 的有效斷面慣性矩計算鋼 筋混凝土梁之撓度是利用有效斷面積減小來控制梁中點撓度，雖可準 確計算梁底開裂後之撓度，但是仍無法模擬鋼筋混凝土梁從彈性到塑 性變形時梁所產生之撓度變化。

本研究採用 Shah,Fafitis and Arnold[2]所發表的混凝土應力應變 關係來模擬鋼筋混凝土梁受撓曲作用過程中斷面的內力分佈，並使用 斷面曲率積分法計算其變形變位。在鋼筋混凝土梁達極限強度後，使 用 Corley[3]發表之塑性鉸寬度經驗公式以模擬鋼筋混凝土梁發生撓 曲破壞後之中點變位。

第三章 研究方法

3-1 前言

運用電腦程式可以處理大量資料並且快速運算之特性，以物件導 向的方式編輯一個可以模擬鋼筋混凝土梁撓曲行為之程式。完成後的 程式將用來模擬鋼筋混凝土梁在中點集中載重下之變形與破壞模 式。有鑑於ㄧ般理論解只能掌握鋼筋混凝土梁在撓曲作用下之極限強 度，本研究透過混凝土與鋼筋之應力-應變模型以纖維應力法模擬鋼 筋混凝土梁斷面在撓曲行為下內力的分佈，並依此法求得鋼筋混凝土 梁斷面彎矩與曲率之關係。再利用曲率積分的方式計算鋼筋混凝土梁 撓度的變化。程式計算的理論結果將與 LVDT 位移計與夾式位移計量 測得之實際結果相互比較，並驗證由電腦程式模擬鋼筋混凝土梁撓曲 變形變位之真實性、可行性與便利性。為達成上述目的，本研究將理 論值計算程式與資料擷取系統結合成鋼筋混凝土梁數值模擬與變形 量測系統，將該系統配合鋼筋混凝土梁三點彎矩實驗以達到即時量測 變形之實驗值並且同步計算其理論值。

3-2 三點彎矩實驗設計

三點彎矩實驗係對一簡支梁中點施加一集中載重 P(圖 3.1)，其兩 端支承反力皆為

2

P

，依據其彎矩圖可得知梁中點有最大彎矩 4 PL，由

於斷面位置與分配彎矩呈線性分佈，所以在梁跨距已知的條件下梁上 任一斷面之分配彎矩為已知。

完成三點彎矩實驗所需實驗設備軟硬體包含有：手動式載重架 (圖 3.2)、三點彎矩實驗固定座、8 個夾式位移計、3 支 LVDT 位移計、

自動化資料擷取系統以及整合感測器資料擷取與數值模擬程式之虛

擬儀板程式，實驗配置整體配置如圖3.3 所示而實驗儀器之詳細資料 與量測方法將敘述如下。

3-2-1 實驗試體

為了探討不同配筋量與相同之配筋量但不同的配筋方式對實驗結 果之影響，分別使用 SD28 型之小號鋼筋(#3~#5)與 SD42 型之大號鋼 筋(#6、#7、#8、#10)配合抗壓強度 280 之混凝土，製作鋼筋比從 至 間依不同配筋量與不同配筋方式之鋼筋混凝土梁，每種配 筋量將製作兩支試體並分成 A、B 兩組進行三點彎矩實驗。由於本研 究僅探討鋼筋混凝土梁在純彎矩作用下之變形，因此加配 3 號之剪力 箍筋以抵抗剪力效應，其中剪力箍筋之間隔為 5cm(圖 3.4)。為了將實 驗結果與理論結果之誤差降到最低，將於試體拆模後鑽心取樣作混凝 土抗壓試驗以確保程式以真實之混凝土強度模擬該實驗試體。由於一 般水淬鋼筋之真實降伏強度與其平均強度之落差較大，陳正誠、黃士 建與李宏仁[6]於台灣熱軋及水淬鋼筋之機械性質與結構耐震設計中提 出，隨然擬 SD42 型水淬鋼筋之平均降伏強度為 55 ，其標準差 4.5 亦偏高，其中超過半數降伏強度超過 55 ，約有半數不合乎 耐震要求，顯示水淬鋼筋品質控制相當不理想，因此拉力鋼筋之降伏 強度將在實驗後製處理時以鋼筋混凝土梁之極限強度反推求得。詳細 之試體尺寸、拉力鋼筋比與混凝土抗壓強度測試後之真實強度將如表 1 所示。

kgf/cm2

ρ0.1

ρ

_1.85

/ mm2

kgf / mm2

kgf

3-2-2 實驗配置

實驗試體必須平穩的固定於三點彎矩實驗固定座兩端之支承上 方，試體與支承間需墊置牛皮以確保兩端的支承反力均勻地施加於鋼

兩種，其中 LVDT 固定於其專用之固定座上(圖 3.5)並且配置於兩端 支承處之梁頂位置以及梁中點之固定鐵條下方以量測兩端支承處之 沉陷量與梁中點之垂直位移量(圖 3.6)。而夾式位移計則需固定於其 專用基座之間，因此事先需以塑鋼土將夾式位移計基座黏貼於鋼筋混 凝土梁側面上緣與下緣，由於夾式位移計分別裝設在距離梁端點 L/2、3L/8、L/4 與 L/8 處斷面之上下緣，設計量測之應變為各斷面兩 旁 10cm之範圍內之平均應變，扣除夾式位移計基座的寬度 2 後，

專用基座之黏貼位置為各斷面兩旁8 處(圖 3.7)。

cm cm

3-2-3 夾式位移計量測變形變位之方式

夾式位移計的構造是由兩支懸臂支腳固定於ㄧ基座的兩邊所組 成(圖 3.8)。將四個應變計緊密黏貼於兩支懸臂支腳上下靠近固定基 座位置，並焊接線路組成惠斯登電阻電橋。當兩支懸臂支腳承受外力 張開與閉合時，會造成支腳上的應變計伸長與縮短(圖 3.9)，而導致 應變計的電阻改變。由電源供應器提供±5 伏特之激發電壓，應變計 之電阻會被電橋放大，此時量測到電壓值的高低會與兩支懸臂支腳的 張開與閉合相關。透過資料擷取系統，將夾式位移計輸出電壓以及其 相對位移之相關性校正準確，即可經由量測電壓得到夾式位移計兩支 支腳間的相對位移。支腳間的相對位移除以量測區間的長度，即可獲 得量測區間之平均應變值。

為了運用夾式位移計在三點彎矩實驗中量測鋼筋混凝土梁之結 構變形，本研究使用8 支夾式位移計，分別裝設在距離梁端點 L/2、

3L/8、L/4 與 L/8 處斷面之上下緣(圖 3.7)，意即利用 8 支夾式位移計 量測鋼筋混凝土梁4 個斷面上下緣之應變變化。由於夾式位移計兩支 懸臂支腳寬度僅僅 15mm，若只量測每一斷面兩旁共 15mm所產生之

應變，則會有錯過主要斷面應變之虞，量測結果也難以代表全梁之變 形行為。有鑒於此本實驗在量測鋼筋混凝土梁上下緣應變時，運用螺 桿增加夾式位移計的量測範圍(圖 3.10)，使得單一感測器量測區間達 到 100 ，亦即以各斷面左右 100 區間內產生之平均應變表示該 斷面應變。

mm mm

在三點彎矩實驗中為了以夾式位移計經由量測斷面之上下應變 間接地計算出梁中點位移，本研究採 Park 與 Parlay 所提出的曲率積 分法，依 2.17、2.18 式對夾式位移計量得之斷面曲率積分兩次求得梁 中點位移。已知斷面之應變與梁深在撓曲作用下呈線性分佈，假設斷 面上緣及下緣之夾式位移計量得之應變分別為

ε

t_與

ε

_b，

h

為上下夾式 位移計基座間距，則該斷面中性軸深度 可依相似三角形原理表示如 下:

NA

(

t b

)

t h

NA ε ε ε

+

= × (3.1)

則斷面曲率ϕ可依 2.16 式以下式表示:

(

t b

)

t t t

h

NA ε ε ε

ε ϕ ε

+

= ×

= (3.2) 將夾式位移計所量測到 4 個斷面之曲率加上曲率為零的支承斷面以 數值積分法積分兩次即可求得梁中點至支承處之相對位移，為了獲得 準確的積分值，將分別對各斷面曲率採二點積分、三點積分、四點積 分與五點積分，詳細的積分方法將說明如下，積分示意圖如圖 3.11 所示：

從 L/2 位置積分至 3L/8 位置，由於只包含兩個斷面曲率，因此 採Trapezoidal Rule 積分法計算之，積分方程式如下：

[ ]

∫

0^{8 =} 1 ⁺ 2

2

L t

dx ϕ ϕ

ϕ (3.3)

此段積分長度為

₈ ^L

，積分結果為 3L/8 位置之旋轉角。

從 L/2 位置積分至 L/4 位置，其中包含 L/2、3L/8 與 L/4 三個位 置之斷面曲率，因此採Simpson Rule 積分法計算，積分方程式如下：

[ ]

∫

0^{L4 =} 1 ⁺ 4^× 2 ⁺ 3

3 ϕ ϕ ϕ

ϕdx ^t (3.4)

此段積分長度為

^L ₄

，積分結果為 L/4 位置之旋轉角。

從L/2 位置積分至 L/8 位置，其中包含 L/2、3L/8、L/4 與 L/8 四 個位置之斷面曲率，因此採Simpson 3/8 Rule 積分法計算，積分方 程式如下：

[ ]

∫

0^{38 =} 1 ⁺ 3 ^× 2 ⁺ 3^× 3 ⁺ 4

8

L 3

dx t ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ (3.5)

此段積分長度為

^3L ₈

，積分結果為 L/8 位置之旋轉角。

從 L/2 位置積分至梁端點，其中包含 L/2、3L/8、L/4 與 L/8 四個 位置之斷面曲率以及曲率為零之端點曲率，因此採Bode Rule 積分法 計算，積分方程式如下：

[ ]

∫

0^{L2 =} 7^× 1 ⁺ 32 ^× 2 ⁺12 ^× 3 ⁺32 ^× 4 ⁺7^×0 45

2 ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕdx ^t (3.6)

此段積分長度為

^L ₂

，積分結果為梁端點位置之旋轉角。

將第一次積分的結果與梁中點為零的旋轉角採 Bode Rule 作第二 次積分，意即利用第一次積分後各位置之旋轉角由梁端點累加至梁中 點求得鋼筋混凝土梁中點垂直位移。

3-2-4 LVDT 線性差動位移計量測變位方式

線性差動位移計內含有一支可移動的鐵磁主軸以及兩組感應線

圈，如圖 3.12 所示，運作原理是利用振盪器產生一高頻的交流電，

高頻的交流電通過感應線圈會產生參考電磁場，磁場的改變則會使感 應線圈產生電壓，由於電壓的大小與相位與位移計內之鐵磁主軸的位 移量與方向有關，因此藉由量測位移計輸出電壓之大小與相位，可以 獲得位移計主軸之位移量與方向。

以 LVDT 位移計直接量測三點彎矩實驗時梁中點之真實位移為 梁中點之位移量扣除兩端點之平均沉陷量。詳細之垂直變位計算方法 如下：

[

^{兩端支承處 量測值合}

]

- 量測值 中點

梁中點靜垂直位移 LVDT

2 LVDT 1

=

3-2-5 資料擷取系統配置

為了即時監測三點彎矩實驗中鋼筋混凝土梁之變形狀況，本實驗 使用自動化資料擷取系統來擷取鋼筋混凝土梁上下緣之應變與垂直 變位訊號。自動化量測系統包括：訊號處理器、資料擷取卡以及資料 擷取電腦，可同時擷取 12 個頻道之類比訊號，其中包含 3 支 LVDT 訊號、8 個夾式位移計訊號以及 1 個載重計訊號。各頻道之訊號透過 訊號處理器放大成資料擷取卡可接受的範圍，由資料擷取卡將擷取到 各頻道之類比訊號轉換為數位訊號後透過虛擬儀板程式即時的分 析、計算、顯示，最後儲存於電腦硬碟中。虛擬儀板程式分為鋼筋混 凝土梁撓曲變位監測與數值模擬，其中實際值量測頁面除了顯示各頻 道之監測值外，還包含顯示實驗結果之視窗，數值模擬頁面則主要顯 示程式在實驗開始前事先模擬之理論值與圖形。有關虛擬儀板程式之 發展過程將詳述於下一章節。

3-3 鋼筋混凝土梁三點彎矩實驗數值模擬

三點彎矩實驗中繪製載重-位移理論曲線的方式是在實驗開始進 行前由數值模擬程式模擬與實驗試體相同參數條件下鋼筋混凝土梁 之載重與變形的關係。實驗開始後取 LVDT 所量得之梁中點位移輸入 先前模擬之載重-位移曲線，以內差法求得相對應之載重並與 LVDT 量得之位移繪製該實驗試體之載重-位移理論曲線，意即以相同的位 移作控制繪製鋼筋混凝土梁載重對中點位移之理論曲線與實驗曲 線。數值模擬程式將依完成前先後分為鋼筋混凝土梁斷面彎矩-曲率 關係模擬與集中載重-中點位移關係模擬兩部份。

3-3-1 鋼筋混凝土梁斷面彎矩-曲率關係

由於本實驗旨在探討鋼筋混凝土梁在撓曲作用過程中斷面內力 變化對鋼筋混凝凝土梁變形的關係，因此在分析斷面內力時不採懷特 尼等效矩形應力塊之模擬方法，而使用Shah,Fafitis and Arnold[2]所發 表之混凝土應力應變關係與本文2-3 節中鋼筋之應力應變關係。

任意取一上應變為ε 之斷面並假設其中性軸深度為_t C，依據ε 與 可_t 計算該斷面之曲率以及彎矩。利用試誤法重複調整先前假設中性軸深 度 之大小直到斷面之軸力合為零時中性軸深度、斷面曲率以及斷面 彎矩即為斷面上緣應變為

C

C

ε

t時所產生的變形及內力，而斷面軸力與斷 面彎矩的計算方法將如下說明:

已知其撓曲應變對其梁深呈線性分佈，依據相似三角形原理可求 出該斷面應變延梁深之分佈圖。為了獲得最真實的彎矩-曲率曲線，

本研究係將混凝土之張力強度列入考慮，該斷面在混凝土開裂前後之 內力合力可以下式表示：

當

f

_ct <

f

_cr：

PA = T

_steel

+ T

_concrete

− C

_concrete (3.7) 當

f

_ct ≥

f

_cr：

PA

=

T

_steel −

C

_concrete (3.8) 其中，

f

ct 為鋼筋混凝土梁下緣最外側之撓曲應力

f

cr 為混凝土之破裂模數，使用7.5

fc

' psi

T

steel為鋼筋拉力

T

_concrete為張力區混凝土之拉力

C

concrete為壓力區混凝土之壓力

由於斷面中各位置之應變為已知，此時拉力鋼筋的撓曲應力f_s可由鋼 筋之應力應變關係求得，則鋼筋之拉力可以鋼筋之截面積A_s與拉應力

f

_s之乘積表示如下：

^T

steel

= ^As ⋅ ^fs

(3.9) 為了在鋼筋混凝土梁達塑性變形後求得混凝土真實的應力塊合力，本 研究採纖維應力法，將鋼筋混凝土梁斷面依中性軸切割成數等分之微 小混凝土塊(圖 3.13)，每一微小混凝土塊含有一上部應變與下部應 變，再依據混凝土應力-應變模型可將每一含有上下應變之混凝土塊 轉換成含有上下應力之微小混凝土應力塊。當切割之混凝土應力塊非 常微小時，其應力塊之平均深度可表示為：

2

2

1 i

i i

σ

σ

=

σ

⁺

(3.10)

其中，

σ

i1_與σ 分別為應力塊之上部與下部應力深度 _i2

已知壓力為應力與受壓面積之乘積，當每一微小應力塊之受壓面截面 積為已知時，其所受壓力等於微小應力塊在受壓面之截面積乘以其上 下緣之平均應力，所以單一混凝土塊之受壓力可表示如下：

2 ) ( ^{i1 i2}

concrete i

i A

P σ +σ

×

= (3.11) 累加每微小應力塊之壓力值後，即可獲得混凝土在壓力區與張力區之 合力，因此3.7 與 3.8 式可改寫如下：

當

f

_ct <

f

_cr：

n compressio i i

i tension

i

i i A

A fs As

PA ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

×

∑

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ × +

∑ +

⋅

= )

( 2 2 )

(σ¹ σ ² σ ¹ σ ²

(3.12)

當

f

_ct ≥

f

_cr：

n compressio i

i i

A fs As

PA ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ × +

∑

−

⋅

= )

(σ¹ 2σ ²

(3.13) 若以斷面頂層為力矩中心時，其斷面彎矩可以下式表示(圖 3.14)：

當

f

_ct <

f

_cr；

n compressio i i

i i tension i i

i i Y A Y

A d fs As

Mn ⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + ×

×

∑

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + ×

×

∑ +

×

⋅

= )

( 2 2 )

(σ¹ σ² σ¹ σ²

(3.14) 當

f

_ct ≥

f

_cr；

n compressio i i

i i

Y

A d

fs As

Mn

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + ×

×

∑

−

×

⋅

= )

(

σ

¹ 2

σ

²

(3.15) 其中， 為鋼筋之有效深度

d

Y

i為每一應力塊中點至斷面頂層之距離

設定斷面上緣應變之上限以及應變增量(本研究設定斷面上應變範圍 為 0 至 0.006，應變增量為 )依此方法重覆計算可求得鋼筋混凝 土梁斷面在撓曲作用下斷面上緣應變所對應中性軸深度及斷面彎 矩，又斷面曲率為斷面上緣應變除以中性軸深度，如此一來可求得斷 面上應變為0 至 0.006 間斷面彎矩-斷面曲率關係。

10 5

3× ⁻

3-3-2 鋼筋混凝土梁載重-位移關係

鋼筋混凝土梁中點承受集中載重 時，若梁跨距為 則梁中點有P L

最大之分配彎矩

4

PL，梁端點之分配彎矩則為零，其餘梁上各斷面之 分配彎矩與斷面位置沿梁長呈線性分佈。利用先前所模擬的鋼筋混凝 土梁斷面彎矩-曲率之關係，以內插法計算出梁上各斷面位置之斷面 曲率，再利用 2.17 及 2.18 式將梁中點到梁端點間每個斷面曲率依數 值積分法對二分之一梁長積分兩次即可獲得梁中點對梁端點的相對 撓度。為了獲得最準確的積分結果採Bode Rule 數值積分法從梁中點 之斷面曲率至梁端點之斷面曲率以每次疊加五個斷面的方式作五點 積分(圖 3.15)，第一次積分結果為梁上每隔五個斷面位置之旋轉角，

其中梁端點有最大之旋轉角，梁中點之旋轉角可視為零。將第一次積 分的結果以五個斷面為間距以Bode Rule 積分法作第二次積分，積分 結果即是集中載重 下梁中點對梁端點相對位移之理論值。 P

3-3-3 塑性鉸模擬

由於鋼筋混凝土梁達極限載重後中點斷面會有塑性鉸作用的效 應，因此斷面兩邊會產生相對的轉動，並且基於中點斷面產生轉動的 效應使得兩旁其餘之斷面彎矩能夠重新分配以抵抗外力，意即中點兩 旁之斷面能量釋放使整體能繼續承受變形。為了模擬塑性鉸在鋼筋混 凝土梁達極限載重後對中點變位所造成之加乘效應，本研究所使用之 數值模擬程式使用 2.18 式之塑性鉸寬度經驗公式，在鋼筋混凝土梁 達極限強度後以該經驗公式所模擬之塑性鉸寬度加寬中點斷面之範 圍，藉此方法增加中點斷面較大曲率之作用寬度以模擬出鋼筋混凝土 梁中點產生塑性鉸後因相對轉角而放大之變位。圖 3.16 為本研究以 程式模擬之鋼筋混凝土梁產生塑性鉸前的曲率分佈與變形曲線，其中 有較大曲率作用之中點斷面寬度較小，而變形曲線中梁中點兩旁之斷

率作用之中點斷面會因加入塑性鉸寬度而加寬(圖 3.17)，變形曲線中 鋼筋混凝土梁整體之變位則因塑性鉸作用而增加，而梁中點兩旁其餘 斷面之彎矩會重新分配使得曲率相對減小。