y＝sin x 與 y＝cos x 的圖形，再據以描繪出 y＝sin x＋cos x

自然界中有很多現象都和波動有關係，例如：水波、聲波、電磁波等。儘管這些 波動的媒介有所有不同，但它們的「數學形式」卻非常單純，波動理論告訴我們，

不論任何形狀的波形都可由不同頻率的正弦波依照不同強度比例組合而成，且依 波的重疊原理，合成波的垂直位移恰為個別波垂直位移的和。

【甲、正弦與餘弦函數的疊合】

一、在同一坐標軸上，先描繪出

y＝sin x 與 y＝cos x 的圖形，再據以描繪出 y＝sin x＋cos x

y＝sin x 或 y＝cos x 的圖形經過 平移 與 伸縮 而得。

分析說明：

x … - 0

2

sin x … - 0 1 0 -

1 - 0

cos x … 1 0

1 - 0 1

sin x＋cos

x … 1 1

1

1

‧ ‧

‧

‧

‧

‧

‧ ‧

‧

1 2

(1) y＝sin x＋cos x 的圖形之

週期： 2( 振幅： 最大值： 最小值：。

(一個波動的最高點與最低點的差距之半稱為該波動的〝振幅〞)

(2)

x＋cos x 的圖形得知 y＝sin x＋cos x＝a

bx＋c

、 b

^、 c

(3)

x＋cos x 的圖形亦可得知 y＝sin x＋cos x＝k

mx＋n

、 m

^、 n

y＝sin x＋cos x

＝( )[

sin x ( )＋cos x ( ) ]

＝( )[

sin x cos ( )＋cos x sin ( ) ]

＝

y＝sin x＋cos x

＝( )[

cos x ( )＋sin x ( ) ]

＝( )[

cos x cos ( )＋sin x sin ( ) ]

＝

下列各數何者最小？

(1) sin10＋cos10 (2) sin20＋cos20 (3) sin30＋cos30 (4) sin40＋cos40 (5) sin50＋cos50

答：(1)

利用sin

x＋cos x＝

x＋

x

x＋45

)

(1) sin10＋cos10＝sin55 (2) sin20＋cos20＝sin65 (3) sin30＋cos30＝ (4) sin40＋cos40＝ (4) sin50＋cos50＝

範 例

二、正弦與餘弦函數的疊合：^設

a 和 b 為實數，且 a

(1) y＝f (x)＝a

sin x＋b cos x＝sin ( x＋

)，

其中^為滿足cos^＝，sin^＝，故

^{y＝f (x)＝a}

^x＋b

^x

之圖形可由

y＝sin x 之圖形 平移 與 伸縮 而成，其週期為 2

(2) y＝f (x)＝a

sin x＋b cos x＝cos ( x－

^)，

其中 ^{為滿足 sin}^＝，cos^＝，故

^{y＝f (x)＝a}

^x＋b

^x

之圖形可由

y＝cos x 之圖形 平移 與 伸縮 而成，其週期為 2

(3)若 x 為實數，則 asin

x＋b

x

分析說明：

關鍵：________公式 (1) y＝asin

x＋b

x

＝[ sin

x＋

x ]

在坐標平面上，設

P 的坐標為

OP為有向角^{的終邊，則} cos＝，sin^＝，

∴

y

^x＋b

^x＝(

^x

^x

^x＋

(2) y＝asin

x＋b

x＝

x＋

x ]

在坐標平面上，設

Q 的坐標為

∴

y＝a

x＋b

x＝(

x

x

x－

(3)若 x 為任意實數，則 (1 sin

x 

 (1  sin(

x＋

  sin(

x＋

因此得  asin

x＋b

x 

y

O x

P(a,b) a

+b

b

a

試作

y＝sin2x－3cos2x 的圖形。

答：

y＝sin2x－3cos2x

＝( )[( )sin2x－( )cos2x]

＝( )[sin2xcos( )－cos2xsin( )]

關於函數

y＝f

x

x－cos x 的圖形，下列何者正確？

(1)週期為 (2)振幅為 2 (3)與 y 軸的交點為(0 , -1) (4)與 x 軸有無限個交點 (5)對稱於 y 軸

答：(3)(4)

利用sin

x－cos x＝

x－

x

x－ )

其圖形可將

y＝sin x 的圖形鉛直方向拉伸倍後，再向右平移單位得到。

如下圖所示︰

由 y＝sin

x

 y＝sin2x

 _________________

 _________________

 _________________

範 例

‧

‧

‧

1



2 3

3 2

‧

‧ ‧ ‧

‧ ‧

‧ ‧

‧

‧

2

 6



範 例

右圖是函數

y＝a

x＋b

x 圖形的一部分，求(1)此函數的週期。 (2)實數 a、b 的值。

答：2；a＝、b＝-1

(1)此函數的週期 2(－)＝ 。 (2)∵圖形通過點(0 , -1)與( , 2)

∴













3 2 cos 2 3

sin 2

-1 0 cos 0

sin 

b a

b a

求－的值。

答：4

－＝＝

在0  x  2範圍內，求方程式cos

x－sin x＝1 的解。

答：；0

cos

x－sin x＝2

x－

x ]＝

範 例

範 例

範 例

【乙、三角函數的最大值與最小值求法】

一、疊合法：

y＝a

x＋b

x＝sin

x＋

x－

(1)若 x 為實數，則

x＋b

x

故

y＝a

x＋b

x 的最大值為，最小值為。

(2)若 x 有限制範圍，則先求 sin

x＋

^x－

y＝a

x＋b

x 的最大值與最小值。

分析說明：

設

y＝sin x－cos x＋8，求 y 的最大值與最小值。

答：10，6

y＝( )[ ( )

x－( )

x ]＋8

＝( )[ sin

x

x

＝

設0  x  ^，函數

^{y＝sin x－cos} x，試求 y 的最大、最小值，並求此時的 x 值。

答：_{(2 ,)、(}-, 0)

y＝( )[ ( )

x－( )

x ]

＝( )[ sin

x

x

＝ 範 例

在0  x  2^，求函數

f

－x

x－3 的最大值與最小值。

答：-1、-5

f

－x

x－3

＝2 _



 





_____

__________

__________

__________

－2cos x－3

＝

函數

y＝12sin x－5cos x，x 的範圍如下，分別求 y 的最大值與最小值：

(1) x

R (2) 0  x 

y＝( )[ ( )

x－( )

x ]

＝( )[ sin

x

x

＝

(

範 例

二、配方法：^凡型如

a

x＋b

x＋c 或 a

x＋b

x＋c 者，

可利用配方法，再配合值域處理。

三、平方化兩倍角再疊合：

凡型如

a

x＋b

x

x＋c

x＋d 者，

可利用sin²

x＝

x＝

x

x＝sin

化成

A sin 2x＋B cos 2x＋C，再疊合求最大值與最小值。

四、代換法：^凡型如

a

x＋cos x

x

x＋c 者，

令sin

x＋cos x＝t，得 sin x

x＝ ，其中

A t

t＋C，再配方求最大值與最小值。

分析說明：

若

f

x－4sinxcosx＋sin

x，求 f

答：3＋2、3－2

f

x－ 4sinxcosx＋sin

x

＝5





 



 － 2( )＋ 



 





＝

設

f

x＋cos x

x＋cos x

答：2＋4，2－4

設 sin

x＋cos x＝t，則

 f(x)＝(sin

x＋cos x

x＋cos x

＝( )＋4

t

＝ 範 例

範 例

設0    2^，試求

f

答：_3、

f

2

2 cos2

1 



 



 -  ＋

2

2 cos2

1 



 



  

＝(1－2cos2＋cos²2 )＋(1＋2cos2＋cos²2 )

＝

欲在一個半徑為50 公尺的圓形池塘上建造一座「T」字型的木橋，(如圖所示， CDAB，

且AC＝CB)，試問這木橋的總長最長可為多少公尺？

答：50＋50 公尺

設 O 為圓心，連接AO﹒令COA＝x，得AC＝50sin

x，

OC＝50cos

x，所以木橋的總長為

x＋50

x＋50

＝50(2sin

x＋cos x

＝50(sin

x＋

x

範 例

如右圖，矩形

ABCD 的四個頂點分別

PQRS 的四個邊上，若AB＝3，

BC＝7，且AB與AQ的夾角 x，則當 x 為多少時，矩形

PQRS 的周長最大？

答：_、20

由題意可推得RBC＝ADP＝BAQ＝x，則矩形

PQRS

x＋3cos x＋3

x＋7cos x

x＋cos x

＝20[sin

x＋

x

＝20[ sin

x cos

x sin

＝

∴當

x＋

如右圖所示：扇形

OAB 的的半徑為 2，AOB＝60

P 為圓弧 AB 上一點，

(1)將四邊形 OAPB 的面積表示成 asin＋bcos的形式。

(2)求四邊形 OAPB 面積的最大值。

答：sin＋cos；2

(1)四邊形 OAPB 的面積＝AOP 的面積＋BOP 的面積

＝．2．2．sin＋．2．2．sin(60

－

＝2sin＋2sin(60

－

＝2sin＋2(sin60cos

－cos

＝2sin＋2( cos

^－

(2)∵sin＋cos＝2( sin＋cos )

＝

　∴當

x＋60

A

B

C P D

Q R

S

3 7 x

範 例

B O

P 2

2

一、圓的參數式：

(1)











 sin cos r y

r

x ，0  θ  2，其中 θ 為參數。

(2)

x－h

y－k















 sin cos r k y

r h

x ，0  θ  2，其中 θ 為參數。

適當地限制參數 θ 的範圍，可得到圓的部分圖形。

分析說明：

設

P

x，y

x 軸正向為

x＝rcos

∵( rcos ^{)2＋( rsin} ^{)2＝r2( cos2}^＋sin2 ^)＝r2，

∴點( rcos，rsin)在圓 C：x²＋y²＝r²上，

稱圓

C：x











 sin cos r y

r

x ，0  θ  2^，其中

θ 為參數。

再來，將圓

C 的圓心平移到以( h , k

得圓

C ：( x－____ )

y－____ )





 -

 -



 sin cos r k y

r h

x ，0  θ  2 















 sin cos r k y

r h

x ，0  θ  2^，其中

θ 為參數。

已知

O

答：5

∵

P 為圓 C：x

∴可設

P

＝(2cos ^{, 2sin} ^)，＝(4 , -3)，

利用面積公式﹐得OAP 面積為

| ^2cos₄ ^{ 2sin}_-3^ |＝

x

y

 

P'_ r 

r

(h,k)



範 例

x y

O P

A(4,

已知

P

x，y

答：26；6

∵

P 為圓 C：( x－1

y＋2

∴可設

P

 3x－4y＋5＝3(1＋2cos ^)－4(-2＋2sin )＝-8sin^＋6cos^＋16 由正弦與餘弦函數的疊合，得

二、橢圓的參數式：

(1)











 sin cos b y

a

x ，0  θ  2，其中 θ 為參數。

(2)















 sin cos b k y

a h

x ，0  θ  2，其中 θ 為參數。

分析說明：

設

P

x，y

因為

P 點滿足(

圓

x

使得＝cos^、＝sin^，即

^x＝acos

反之，點(

acos

所以點(

acos

故稱







 sin cos b y

a

x ，0  θ  2^為橢圓

Γ：＋＝1 的參數式，其中 θ 為參數。

※參數

θ 的幾何意義：

對任意有向角

θ (

x

T

acos

^bcos

P 點，則 P 點坐標為( acos

(OP與

x 軸正向的夾角，並不等於 θ )

已知周長為16 之矩形的邊平行坐標軸，且內接於橢圓＋＝1，求此矩形的面積。

答：12

設此矩形在第一象限的頂點

P 之坐標為

4(2cos^＋2sin^{)＝16，即 cos}^＋sin^＝2，

2( cos^＋sin)＝2  sin(^＋)＝1

已知矩形的邊平行坐標軸，且內接於橢圓＋＝1，求此矩形的最大面積。

答：24

設此矩形在第一象限的頂點

P 之坐標為

由橢圓的對稱性，得矩形的面積為

4(4cos^．3sin^)＝48cos ^sin^＝24sin2^，

已知正方形的邊平行坐標軸，且內接於橢圓＋＝1，求此正方形的面積。

答：

設此正方形在第一象限的頂點

P 之坐標為

由橢圓的對稱性，得2cos^＝3sin^，

 tan^＝＝

範 例

x y

O

P 2 3cos ,2sin

範 例

範 例

如右圖，已知

A、B 為橢圓＋＝1 的兩頂點，

P 為橢圓上一點，求ABP 的最大面積及此時 P 點

答：3＋3；(,)

設

P 點的坐標為(

∵

A

利用面積公式﹐得ABP 面積為

| _3cos³_{ 3 2sin}^-2_ |＝|6sin＋6cos＋6|＝3|sin＋cos＋1|

＝

＝

一行星繞一恆星運轉，另有一飛碟靠近，已知三者處 在同一平面上，且相對關係如右圖所示試求飛碟行進 路線和行星軌道的最短距離。

答：

如題圖，設橢圓

Γ：＋＝1，上的 P 點坐標為(

L：x＋y－7＝0 為飛碟的行進路線，則 d

又4cos^＋3sin^＝5(cos^＋sin^)＝5sin(^＋ ⁾ 其中^滿足sin^＝，cos^＝，

範 例

x y

A O

B

P

範 例

下列哪些函數的最小正週期為？

(1)sin

x＋cos x (2)sin x－cos x (3) | sin x＋cos x | (4) | sin x－cos x | (5) | sin x |＋| cos x | (92 學測)

設 270^ A  360^且 sinA＋cosA＝2sin2004^，若 A＝m^, 則 m＝_______。 (93 學測) 答：306

下列哪一個數值最接近？

(1)cos44

＋sin 44

＋ sin 54

＋sin 64

＋sin 74

＋sin 84

將函數

y＝3sin x－cos x、y＝sin

x＋2cos x 的圖形繪於同一坐標

x 軸的相關位置如下圖：

試問圖中的圖形

y＝f

x

x

x

(1) f(

x

x－cos x、g( x

x

x＋2cos x

x

x－cos x、h( x

x

x＋2cos x

觀 摩 1

觀 摩 2

觀 摩 3

觀 摩 4

(5) h(

x

x－cos x、f

x

x

x＋2cos x (99 指考甲)

在0  x  ^{的範圍內，方程式}sin

x－3cos x＝k 有兩相異的實根，求實數的範圍。

答：3  k 

如圖，扇形

OAB 的圓心角AOB＝90

且PM⊥OA，MN⊥OP，令AOP＝，PN＋MN＝S，求 S 的最大值。

答：＋1

S＝PN＋MN＝2sin

如右圖，橢圓

Γ：＋＝1 與直線 L：y＝tan

，且

C

(1)當^{＝時，試求}AB。 (2)CD的長度與AB的長度，何者較長？

(3)若 P 點坐標為(2 , 2)，試求PCD 面積的最大值。

答：(1) (2)ABCD (3) 10 範 例 1

範 例 2

範 例 3