數學考科

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數學考科

作答注意事項

考試時間：100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是，而依題意計算出來的答案是 3

8 ，則考生必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記，如：

例：若第 C 題的答案格式是，而答案是

7 50



時，則考生必須分別在答案卡的第 20 列的與第 21 列的畫記，如：

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

3

7

8

2 0 2

1 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

18 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 9 18

21 20

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第壹部分：選擇題（占 6 5 分） 一、單選題（占 3 0 分）

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 點 A ( 1, 0) 在單位圓^^:^x²^^y²^¹上。試問： Γ 上除了 A 點以外，還有幾個點到直線 : 2

L y x的距離，等於 A 點到 L 的距離？

(1) 1 個 ( 2) 2 個 ( 3) 3 個 ( 4) 4 個 ( 5) 0 個

2. 下列哪一個選項是方程式x³x²4x  的解？（註：4 0 i  ）1

(1) ^²ⁱ ( 2) i ( 3) i ( 4) 2 ( 5) 4

3. 試問共有多少組正整數^{k m n}^{, ,}  _{滿足 2 4 8}^{k m n} _₅₁₂_？

(1) 1 組 ( 2) 2 組 ( 3) 3 組 ( 4) 4 組 ( 5) 0 組

4. 廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？

(1) 3 ( 2) 6 ( 3) 9 ( 4) 18 ( 5) 27

(3)

5. 設正實數^b滿足 (log100)(log ) log100 logb   b 。試選出正確的選項。7 (1) ¹^{ }^b ¹⁰ ( 2) ¹⁰^{ }^b ¹⁰

(3) ¹⁰^{ }^b ¹^{0 1}⁰ ( 4) ¹^{0 10}^{ }^b ¹⁰⁰ (5) ¹^{00 b}^{ }^{100 10}

6. 某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在 6℃ 到 24℃ 時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為^^0.99，部分紀錄如下表。

某日平均氣溫為 8℃，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？

(1) 570 杯 ( 2) 625 杯 ( 3) 700 杯 ( 4) 755 杯 ( 5) 800 杯

二、多選題（占 3 5 分）

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 設各項都是實數的等差數列a a a  之公差為正實數¹, , ,² ³ 。試選出正確的選項。 (1) 若bⁿ  ，則aⁿ b¹b²b³

(2) 若cⁿaⁿ²，則c¹c²c³ 

(3) 若dⁿaⁿaⁿ_¹，則d d d 是公差為¹, , ,² ³ _{的等差數列} (4) 若eⁿaⁿ ，則n e e e  是公差為¹, , ,² ³ ¹的等差數列

(5) 若 f 為ⁿ a a¹, , ,²  a_n的算術平均數，則 f f f 是公差為¹, , ,² ³ _{的等差數列}

平均氣溫（℃） 11 13 15 17 19 21

平均售出量（杯） 512 437 361 279 203 135

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8. 在數線上，甲從點^⁸開始做等速運動，同時乙也從點¹⁰開始做等速運動，乙移動的 速率是甲的 a 倍，且a1。試選出正確的選項。

(1) 若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇 (2) 若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇 (3) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點 0

(4) 若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大 (5) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點 2 相遇，則^a^²

9. 從 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。

(1) 其和大於¹⁰的機率為 1 7 (2) 其和小於 5 的機率為

1 7

(3) 其和為奇數的機率為 4 7 (4) 其差為偶數的機率為

5 7

(5) 其積為奇數的機率為 2 7

10. 在^ÂBC中，已知⁵⁰^^{    }Â ^B ⁶⁰^。試選出正確的選項。 (1) ^sinÂ^^sin^B

(2) ^sin^B^^sin^C (3) ^cos^A^^cos^B (4) ^sin^C^^cos^C (5) AB BC

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11. 某地區衛生機構成功訪問了⁵⁰⁰人，其中年齡為^{50 59}^ 歲及⁶⁰歲（含）以上者分別有 220名及²⁸⁰名。這⁵⁰⁰名受訪者中，¹²⁰名曾做過大腸癌篩檢，其中有⁷⁵名是在一年之前做的，有⁴⁵名是在一年之內做的。已知受訪者中，⁶⁰歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是^{50 59}^ 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的^3.5倍。試選出正確的選項。 (1) 受訪者中年齡為⁶⁰歲（含）以上者超過^60%

(2) 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在^{50 59}^ 歲間的機率大於^0.25 (3) 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一

人在一年之前受檢的機率為

45 75

2 120 119

  

   

  

(4) 這⁵⁰⁰名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於^75%

(5) 受訪者中⁶⁰歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過⁹⁰名

12. 設 f x¹( ), f x 為實係數三次多項式， ( )²( ) g x 為實係數二次多項式。已知 f x¹( ), f x 除以²( ) g x 的餘式分別為( ) r x r x 。試選出正確的選項。¹( ), ²( )

(1) f x¹( )除以 ( )g x 的餘式為r x¹( )

(2) f x¹( ) f x²( )除以 ( )g x 的餘式為r x¹( )r x²( ) (3) f¹( ) ( )x f x² 除以 ( )g x 的餘式為r¹( ) ( )x r x² (4) f x 除以 3 ( )¹( )  g x 的餘式為 ¹

1 ( ) 3 r x



(5) f x r x¹( ) ( )²  f x r x²( ) ( )¹ 可被 ( )g x 整除

13. 坐標空間中有一平面 P 過 (0,0,0) , (1,2,3) 及 ( 1,2,3) 三點。試選出正確的選項。 (1) 向量 (0,3,2) 與平面 P 垂直

(2) 平面 P 與 xy 平面垂直 (3) 點 (0,4,6) 在平面 P 上 (4) 平面 P 包含 x 軸

(5) 點 (1,1,1) 到平面 P 的距離是 1

(8)

y

A C

B

D

x

第貳部分：選填題（占 3 5 分）

說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14- 30）2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設 ,x y 為實數，且滿足

3 1 3 6

2 4 1 6

1 x y

  

    

     

     ，則x3y 。

B. 如圖（此為示意圖）， , , ,A B C D 是橢圓

2 2

2 1

16 x y a  

的頂點。若四邊形 ^ABCD的面積為 58，則 a  。（化為最簡分數）

C. 某高中已有一個長⁹⁰公尺、寬⁶⁰公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為⁴⁰⁰公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道與足球練

習場的長邊平行（如示意圖）。則圖中一條直線跑道 ^AB長度的最大可能整數值為公尺。

D. 某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有⁷⁶⁵人領票、乙案有⁵³⁷人領票、

丙案有⁶⁴⁸人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有 224 人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有人。

足球練習場

直線跑道 B

左邊跑道右邊跑道A

(9)

E. 如圖（此為示意圖），在 ^^ABC中， AD 交 BC 於 D 點， BE 交 AD 於 E 點，且 30

ACB  ，EDB  ，60 AEB120 。若CD15，ED ，7 則 AB  。

F. 坐標空間中，考慮有一個頂點在平面 ^z^⁰上、且有另一個頂點在平面 ^z^⁶上的正立方體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為。（化成最簡根式）

G. 如圖（此為示意圖）， , , ,A B C D 為平面上的四個點。已知^ ＝^ ＋^ ，^ 、^ 兩向量等長且互相垂直，則^{tan BAD}^ ＝。

A

B

D

C

E 120∘

60∘

30∘

7

15

D

A

B

C

(10)

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ，公差為d 的等差數列前 n 項之和為

² ⁽ ¹⁾ 

2 n a n d

S  



首項為 a ，公比為^{r r}⁽ ^¹⁾的等比數列前 n 項之和為

(1 ) 1 a rn

S r

 



2. 三角函數的和角公式： sin(A B ) sin cos A Bcos sinA B cos(A B ) cos cos A Bsin sinA B

tan tan tan( )

1 tan tan

A B

A B A B

  



3. ^^ABC的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A B C  R

（ R 為^^ABC外接圓半徑）

ABC的餘弦定理：c² a²b²2abcosC

4. 一維數據 X x x: , , ,¹ ² x_n，算術平均數 ¹ ² ¹

1 1

( ) ⁿ

X n i

i

x x x x

n n





  ^ 



標準差

2 2 2

1 1

( ) ( )

n n

X i X i X

i i

x x n

n n

  

 

 

       

5. 二維數據( , ) : ( , ),( , ), ,( , )X Y x y¹ ¹ x y² ²  x y_n _n ，相關係數

1 ,

( )( )

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

 

 



 





迴歸直線（最適合直線）方程式 ^,

( )

Y

Y X Y X

X

y  r  x 

   

6. 參考數值： 2 1.414 , ^{3 1.732}^ , ^{5 2.236}^ , ⁶^^2.449, 3.142

7. 對數值：log 2 0.3010¹⁰  , log 3 0.4771¹⁰  , log 5 0.6990¹⁰  , log 7 0.8451¹⁰ 

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