第五章动能定理第五章动能定理

第五章 动能定理

§6.1 功和功率

1、功

功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积。

功是力对空间的累积作用，总是与一个过程相联系。

a



b

dr

cos

dW   F dr  F  dr

元功：

质点从a到b的运动过程中,力

F

b b

a a

W   dW   F dr 

单位:

2 2

T ML

量纲 :

( )

1焦耳 J 1牛顿（N）米（m）

2、利用不同坐标系表示元功

若力沿直线位移做功，令x轴与位移重合，则有

dW  F dx

平面直角坐标系 _F

Δr

x

y

x y

r

r

x x y y z z

x y z

F F e F e F e dr dxe dye dze

   

 

  





 



x y z

dW F dr

F e F e F e dxe dye dze F dx F dy F dz

  

    

  

F

O s

s

e

dr  dse

自然坐标系

F F e F e

dr vdt vdte dse

 

 

  

   



n n

dW F dr

F e F e dse F ds

  



  

  



（ ）

平面极坐标系

O A

(r,  )

e

e

Δr

r r r

r

dW F dr

F e F e dre rd e F dr F rd

  







  

   

 

（ ） （ ）

r r r

F F e F e dr dre rd e

 



  

  



1 2

1 2

( F dr F dr ) W W

    

  



合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。

W   F dr 

（3）功率：

dW dr

P F F v

dt dt

    

单位:焦耳/秒(瓦特) 量纲：ML²T^-3 力在单位时间内所做的功

说明：

（2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：

1 2 i

F  F  F    F

（1）功是标量，没有方向，但有正负.

6

5N 1m



例题1:如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为 1.0kg的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平面上。若 用5.0N的恒力作用在绳索的另一端，使物体向右作加速 运动。当系在物体上的绳索从与水平成 变为 时, 力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面间的距离为1m。

37

30

7

解: 建立坐标系(如图)

x

cos

F   F 

2 2

1 1 2

1

x x

x x x

W F dx F x dx

x

  

  

1 x

F x

 



2 2

1 2

( 1 1 )

W F x x

      1 . 69 J

tg m

x 1 . 732 30

1

1



 m

x tg 1 . 327 37

1

2





x 0

F ^ 5N 1m

§6.2 质点和质点组动能定理

1、单质点动能定理

v

^dr

F

v

a

b

W F dr m dv dr





 dt

物体在合力F作用下,由ab

,

定义物体的动能 ： _k 1 ²

E

mv

2 2

0 k k 0

1 1 2 2

W  mv  mv  E  E ——动能定理

即：合力 对质点所做的功等于质 点动能的增量。

F

m dv dr

   dt m v dv

  

1 ( )

m 2 d v v

  

1 2

( ) 2

m d v





2 2

1 1

2 mv

2 mv

 

(3)动能定理只适用于惯性系。

(1)质点动能定理的微分形式：

(2)功与动能之间的区别和联系：

区别：功与物体的状态变化过程相联系，为过程量，动能决定于质点的运动状 态，动能是状态量。

联系：外力的功是动能变化的量度: W> 0 → E_k  ; W < 0 → E_k 

几点说明:

(5) 动能定理对于物体运动所能提供的信息比牛顿运动定律少。

dE

dW 

dE

dW dW

(4)功和动能具有相对性，但

W= ⊿ _E

2 1

k k

W  E  E

例题2: 如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为b,设

绳子总长度为L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率。

解：

 

 



 



 

L b Mg L

L Mgdx W

x

2 2

2 1

L M x

m 

mgdx

dW 

建立作坐标系，重力所作元功为：

由动能定理得：

 ^L

^b



L

v  g 

 

2 0 1 2

2 2

2   

L Mv b L

Mg

M,L

b

x o

t=0,v=0

方法二：利用牛顿定律

 ^L

^b



L

v  g 

dt M dv mg 

L g g x

M m dt

dv   即

由牛顿定律得

L g x dx

v dv L g

x dt

dx dx

dv  

两种方法结果相同

M,L

b

x o

t=0,v=0

2、质点组的动能定理

n个质点组成的系统，对第i个质点用动能定理

ki k 0i

i i

W

 W

 E  E n个质点

ki k 0i

i i

i i i i

W  W  E  E





 

1 n

i i

W W







外 外 外力做的功

定义：

 

1 1 1

= = =

n n n

ij ij ji

i

i i j i j

j i

W W W W W

   



   

内 内 内力做的功

2

1 1

= 1

2

n n

k ki i i

i i

E E m v

 



 

=

W

 W

E  E ^——

即：作用于质点系的所有外力所作之功与所有内力所作之功的 总和等于质点系动能的增量！

一对作用力与反作用力做功之和

12 21 12 1 21 2

dW  dW  f  dr  f  dr

21

(

) f dr dr

  

21 1 21 2

( f ) dr f dr

    

21

(

)

f d r r f dr

    

①内力的总冲量虽然为零，但内力的总功一般不为零;

F只与1、2质点之间相对距离变化有关，

而二质点距离变化与参照系的选择无关。

②内力的总功与参考系无关;

③一对内力所做的功, 只决定于两质点的相对路径，对非惯性 系同样成立。

说明

例题3：如图，质量为M的卡车载一质量为m的木箱，

以速率v沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮 立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在 卡车上相对于卡车滑行了l 距离,卡车滑行了 L 距离。

求 L 和 l 。 巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ， 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为





L

l

f 

mg

N 

Mg

N

f

F mg

2

( ) ,

F   M  m g f   mg

卡车和木箱受力如图。只有二者间摩擦力 和地面对车 的摩擦力 F 做功，三力之受力质点位移各为 。

f f、 

L l

L

L 、  、

解得

解：

卡车：

木箱：

Mg

N

f

F mg

f 

mg

N 

根据质点动能定理得

 

1 2

0 1

mg m M g L 2 Mv

 

     

 

 

1

0 1

mg L l 2 mv



   

 

2 2

2 1 1

, 2

2

Mv v

L l L

g

M m m g 

 

  

 

 

 

解法二（用质点系动能定理求解）

视卡车与木箱为一质点系，外力F 做功 ，

根据质点系动能定理，有

   

1 2

0 1

mgl M m gL 2 M m v

 

     

又视木箱为质点，应用动能定理可得 内力做功等于力与相对位移的标积，即

 ^{M  m}  ^gL

 

1

mgl





联立以上两式可解得：

 

1

0 1

mg L l 2 mv



   

得到与质点法相同的结果。

 

2 2

2 1 1

, 2 2

Mv v

L l L

M m m g  g

 

  

 

 

 

§6.3 保守力与势能

1、常见的力做功

①万有引力作功

以 为参考系， 的位置矢量为

r 

m

M

对 的万有引力为

M m

3

f G Mm r

  r

由 点移动到 点时 作功为

m A B f

12 21

W W 



  ⁰

f r dr

   

引力作功只取决于质点的初终 位置，与路径具体路迹无关。

2

B

A

r r

G Mm dr





3 B

A

G Mm r dr





B A

Mm Mm

G G

r r

 

r ·

·

B

×

×

A

e

dr e dr  

M

r

r

m f

dr

F   mge

^A

B

z

z

^mg

o

x ^y

②重力作功

z

B

A

B z

A z

A B

W F dr mgdz

mgz mgz

   

 

 

0 W F dr mgdz

       

重力对物体所作的功只与物体初始 位置和终止位置有关，与经过的路 径无关。

F   kxe

B

A

x

W

Fdx

  

x

x

F 

x

o

③弹性力作功

在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决 定，而与形变的过程无关。

0 W kxdx

    

2 2

1 1

2 2

B

A

x

A B

x

kxdx kx kx

    

④摩擦力作功

W F dr fds  Nds  Ns

          

F   f e

   Ne

摩擦力对物体所作的功不仅与物体初始位置和终止位置有关，

还与其间经过的路径无关。

B A

Mm Mm

W G G

r r

 

引力做功：

重力做功：

A B

W

mgz

mgz

¹

¹

2

2

W  kx  kx

W

 Ns

2.保守力与非保守力

保守力

——力所作的功与路径无关（沿闭合路径做功为零），仅决

重力和弹力等。

从概念上来讲，保守力是针对一对内力来说的，单独说一个力是 保守力，还是非保守力是没有意义的。

反映保守力作功特点的数学表达式：

物体沿不同路径从A 到 B，保守力作功

ACB ADB

W  W

A

B C

ACB

F dr

F dr D

     

沿闭合路径运动一周，保守力作功：

A

B C D

ACB BDA

F dr F dr F dr

        

0

  F dr  

非保守力

——力所做

0

  F dr  

3. 势能

任意选择一条两点之间的可能路径，

A

B P

L₁

L₂





BP AP

PB AP

AB

W W W W W W

W       

计算保守力所作的功:

0

F dr  F

若 ，则称 为耗散力，如滑动摩擦力，将机械能转化为热能；

0 F dr 

若 ，如爆炸力，则将其他形式的能量（如化学能、电磁能）

转化为机械能。

在任意位置上取一个“标准点”

（“参考点” ） P，则从A到B保守力 作的功为：

A

B P

L₁

L₂

定义质点在S系的每一个位置的势能：

p

( )

E r  

F dr 

即某一点的势能等于将质点从该点移 动到参考点保守力作的功。

( ) ( )

p B p A p

E r E r E

 

      

即势能的减少等于保守力的功，或势能的增加等于保守力的负功。

显然参考点处势能为零，因 此参考点也称为势能零点。

r

F dr

 



 

AB BP AP

W   W  W

说明:

①势能是状态（位置坐标）的函数，即：

( ) ( , , )

p p p

E  E r  E x y z

②势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必 须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零。

而势能零点可根据问题的需要任意选择

④势能是属于系统的。势能既然与质点系各质点间相互作用的保 守力相联系，所以势能是属于保守力相互作用着的整个系统，是 一种相互作用能，不为单个物体所具有。

③势能差与参考零点选取无关，且在所有参考系中都是相同的。

4. 常见的势能

p

( )

r

Mm Mm

E r G dr G

r r

 

  

万有引力场中，以两物体相距无穷远时的引力势能为零，则相 距为r时的引力势能为

引力势能

重力势能

以地面为势能零点，离地面高为z的物体的重力势能为

0 p

( )

E z  

 mgdz  mgz

弹性势能

以弹簧原长处的势能为零，则弹簧伸长为x时的势能为

0 2

p

2

1 kx kxdx

E   



5. 保守力与势能的关系

根据势能的定义，保守力所做的功等于势能的减少

W

E

对一个无穷小的过程

p

=

dE   dW

   F dr  F dx  F dy  F dz

z dz dy E

y dx E

x

dE_p E^{p p p}



 



 



 

p p p

x y z

E E E

F F F

x y z

  

     

 ，  ， 

比较以上两式可得

p p p

x y z

E E E

F e e e

x y z

  

 

        

6.势能曲线

当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数

势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图:

( ) ( , , )

p p

E r  E x y z

mgz E

z

E

r

r

 GMm

E

r

1 2

kx2

r

E

r

势能曲线的用途：

保守力与势能的关系

：

①由势能曲线求保守力

p p p

x y z

E E E

F e e e

x y z

  

 

       

对一维的保守力F(x)而言：

dx x x dE

F ^P( )

)

(  

mgz E

z

r

E

r

 GMm

E

x

1 2

kx2

r

E

r

F

x

F

z

-mg

F r

2

GMm

 r

F

r

重力及其势能 万有引力及其 势能

弹性力及其势能 双原子分子及 其势能

平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。平衡位置位于势能 曲线的极值处。

②求平衡位置及判断平衡的稳定性

平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：

0 0

2

=0 2 0

p p

x x

E E

x x

 

 ， 

(a)稳定平衡( )，力始终指向平衡位置；

0

2

2 ^p 0

x

E x

 



(b)不稳定平衡( )，离开平衡位置，力背离平衡位置方向；

0 0

2

=0 2 0

p p

x x

E E

x x

 

 ， 

0

2

2 ^p 0

x

E x

 



(c)随遇平衡（x

~x

, F 

x

x

0 0

2

=0 2 0

p p

x x

E E

x x

 

 ， 

§6.4 机械能守恒定律

1. 质点系功能原理

根据质点系的动能定理

0

k k

W W W E E







 

0

k k

W

 W

 E  E

一般地

W

 W

 W





= _{p p} W_保内  E  E

进一步根据势能的定义



 

 

 



W_外 W_非保内  E  E  E  E  E  E  E  E 所以有

W

W

E E

功能原理

——

机械能：

E ≡ E

+E

机械能守恒定律：当作用于质点系的外力和内非保守力作 功为零时，系统机械能守恒。

0 0

W

W

当 时

外 非保内 0

W  W  E  E

或

dE

  dE

或可写为：

 E

  E

E  E

2. 机械能守恒定律

0 0

ki p ki p

E  E  E  E

 

即：

说明：

①功能原理和 机械能守恒定律只在惯性系中成立；非惯性系中 要引入惯性力；

②在不同的参考系中，力所做的功，体系的动能和体系的机械 能可能不同；

③一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另一个参考系中 并不一定成立;

a.功与参考系有关:

内力做功与参考系无关;

外力做功与参考系有关.

b.体系的动能与参考系有关;

c. 体系的势能与参考系无关。

④功是一个过程量, 能量是一个状态量.

⑤当物体的总机械能E为某一定值时，它的动能E_k为总能量E与 势能之差：

k p

E

E E

由于动能E_k

>0，所以质点不可能在E

>E的区域内运动。

质点只能在x_A

≤x≤x

≤x≤x

x

<x<x

33

例题3： 一质量为m的物体，从质量为M 的园弧形槽顶由静止 滑下，设园弧形槽的半径为R、张角为π/2，如忽略所有摩擦，

求：(1) 物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各为多少？(2) 在物体从A滑到B的过程中，物体对滑槽做的功; (3) 物体到 达B时对槽的压力。

解：(1)将物体、槽、地球视为系统，仅有保守内力重力做 功，系统机械能守恒。以 和V分别表示物体刚离开槽时物 体和槽的速度，则有

v

2 2

1 1

2 2

mgR  mv  MV

对物体和槽，水平方向动量守恒

0 mv  MV 

联解可得

,

2 2

( )

MgR gR

v V m

M m M M m

 

 

(2) 对槽，只有物体对它的压力N对它做功，依据动能定理，物 体对槽做的功应等于槽动能的增量，即

2

1

2

W MV m gR

M m

 



(3)物体到达B的瞬间，槽在水平方向不受外力，加速度为0，视 为惯性参照系。此时，物体的水平速度为

2 MgR 2 gR v v V

M m M m

    

 

根据牛顿定律

将式(1)代入，得

2

2

v 3 m

N mg m mg

R M

  

         v

N mg m

R

   

相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和

 

1

1

2 2

k i i i i i

i i

E   m v   m v v 

设 为质点系的质心速度， 为笫i个质点相对质心系的速 度，则有^c

v v

i C i

v  v  v

代入上式得

§6.5 质心系中的功能原理和机械能守恒定律

1. 柯尼希定理

   

1

k

2

i

E   m v  v   v  v 

2 2

1 1

2

2

i i i

m v m v  v m v 

      

2 2

1 1

2 2

k C i i i

E  v  m   m v

质心动能 体系相对质

心系动能

柯尼希定理 ——

 0

(

)

d m r

dt 

 

其中笫三项中 ⁱ

i i i

m v m dr

dt

 

  

于是

1

2 mv

E

 

注意：质点系的动量等于质心的动量，质点系的动能，在一般情 况下并不等于质心的动能。

两质点系统

1 1 2 2

1 2

C

m v m v

v m m

 



质心系中系统的动能

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

EkC  m v  m v

 

2 1 2

1 1 2 2 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2

C

m v v

m v m v m

v v v v v

m m m m m m

 

      

  

 

1 1 2

1 1 2 2 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2

C

m v v

m v m v m

v v v v v

m m m m m m

 

        

  

1 2

v   v v 两质点的相对速度

1 2

1 2

m m m m

 

 称为约化质量

   

2 2

2 2

2 1

1 2 2 2

1 2 1 2

1 1

2 2

m m

m v m v

m m m m

 

  2





m m v m m

  ²

1 2 v



2.质心系功能原理和机械能守恒定律

+

W

  W

 W

  E  E

如果质点组所受合外力非零，则质点组的质心系是非惯性系，需要 考虑惯性力的贡献：

作用于第i个质点的惯性力为 ，这个力对质点i所做的功为

， 所以对系统做得总功为

i C

m a

0

t

i C i

t

m a dr



0 0 0

0

t t t

i C i C i i C i i

i t t i t i

W    m a dr    a m dr    a d   m r    

 

     

惯

于是我们有

0

C C

W

  W

  E  E

即在质心系中，外力的功与非保守内力的功之和等于体系机械能 的增量，与惯性力无关。功能原理形式上与惯性系中的相同。

质心系中的功能原理

C kC p

( )

E  E  E r 质心系中质点组的总机械能

若在质心系中外力做功与非保守内力做功之和等于零，则可得质心 系中的机械能守恒定律：

kC p C

=

E  E  E 常量

两质点系统质心系的机械能守恒定律为 1 2

2 =

kC p p C

E

E

 v

E

E

若一个质点的质量远大于另一个质点的质量，即m₂

>>m

,则有

1 2

1

1 2

m m m m m

 



即体系的质心近似在大质量的质点m₂上，所以它的动能没有出现。

例如：物体在地球重力场中运动的机械能守恒定律（在质心系中）

1 2

2

mv

mgh

2 2

1

1 1

2 v  E^p  2 m v  E^p=常量

§6.6 两体碰撞 ——守恒律的一个应用

碰撞

——两个或两个以上物体相遇(相互接近),在极短的时间内发

弹性碰撞：碰撞过程中没有机械能的损失。

非弹性碰撞：碰撞后物体的形变不能完全消失，这时机械能不守恒。

正碰（对心碰撞）：如果碰前两小球速度 u₁, u₂沿两球中心的连线的碰撞 斜碰：碰撞前两球的速度u₁ , u₂ 不在两球中心连线上的碰撞。

碰撞的两个基本特征： ①作用时间极短；②相互作用极强。

因为碰撞过程中的内力远大于外力，而且作用时间极短，因此外 力的冲量可以忽略，体系的动量守恒。

碰撞的分类

1. 正碰——对心碰撞

设两球碰前速度u₁ 和 u₂

, 碰后v

,以球心连线为坐标轴,以u

2 2 1

1 2

2 1

1

u m u m v m v

m   

②碰撞定律

2 1

1 2

v v e u u

 



2 1

,

.

v  v 称分离速度 u  u 称接近速度

恢复系数

e

① e=0 完全非弹性碰撞；

② 0<e<1 非弹性碰撞；

③ e=1 完全弹性碰撞。

①动量守恒定律

由以上两方程可解得：

 



 





 



 



 



 

2 2

1

2 1

1 2 1

1 2

2 2

1

2 1

2 1

2 1

1

) 1

(

) 1

(

m u m

m u em

m m

m v e

m u m

m u e

m m

em v m

碰撞过程中的动能损失

碰撞前：

碰撞后：

动能损失：

2 2 1

2

( )

2 1 2

1 v u u

E

    

2 2 1

2 2

1

2

( )

2 ) 1

2 (

1 v v e u u

E

      

2 2 1

2

1 )( )

2 (

1 e u u

E E

E



 

  

 

由于碰撞过程中动量守恒，质心动能不变，由柯尼希定理可知，

只需计算在质心系中相对运动动能的改变。

由此可知，对于完全弹性碰 撞，e=1，动能守恒；

对于完全非弹性碰撞，e=0，

动能损失最大.

在一般情况下，斜碰为三维问题，碰撞后的速度 v₁

, v

, u

=0，

则这种碰撞是二维问题。

2. 斜碰

若该斜碰是完全弹性碰撞，则有动量和能量都守恒：

1 1 1 1 2 2

2 2 2

1 1 1 1 2 2

1 1 1

2 2 2

m u m v m v

m u m v m v

 

 

  



取 u₁ 方向为 x 轴，碰撞所在面为 x

﹣ _{y 平面，}

上面的方程化为

2 2

2 1

1 1 1

1

u m v cos  m v cos 

m  

2 2 2 2

1 1 2

1

1 2

1 2

1 2

1

m u

m v

m v

2 2

2 1

1

1

sin sin

0  m v   m v 

通常，应用实验方法测出四个 未知数中的一个，才能求出其 余三个。 如果碰撞是非弹性的，

那么只有前两个方程，未知量 有四个，所以必须用实验方法 测出四个未知数中的两个，才 能求出其余两个。

b

2

m1

m2

v

v

u

3. 质心坐标系中讨论碰撞

因为在质心系中，体系的动量永远为零。质心系中描写碰撞，表 达形式简单，物理意义清晰。

设在实验室系中，碰撞前、后两质点的速度分别为u₁

, u

, v

1 1 2 2

1 2

C

m u m u

v m m

 



在质心系中 ，碰撞前、后两质点的速度分别为u'₁

, u'

, v'

,则：

1 1 2 2

1 1 2 2

, ,

C C

C C

u u v u u v

v v v v v v

 

   

    



正碰

1 1 2 2 1 1 2 2

2 1 1 2

1 1 2 2

0 ( )

,

m u m u m v m v v v e u u

v eu v eu

       

      



   

    

即在质心系中每个质点碰后的速度为其碰前速度的– e倍^。

弹性斜碰

由动量守恒和能量守恒可得：

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

0

1 1 1 1

2 2 2 2

m u m u m v m v

m u m u m v m v

       



       



1 1

2 1 2 1

2 2

1 1 2 2

, ,

m m

u u v v

m m

v u v u

        

  

      



即在质心系中，两球碰撞后，它们的速度都只改变方向，而不改 变大小^。

例题4: 如图，质量为M的物块A在离平板为h的高度处自由下落。

落在质量也为M的平板B上。已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体 与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量。

解：本题可分为三个物理过程

2

1

2

v  gh (1)

机械能守恒:

h A

B

 0









 E E

E

①物块A下落

②物块A与平板B发生碰撞

 

1 2

Mv  M  M v (2)

③碰撞后弹簧被压缩

弹簧被最大压缩时

如图，取弹簧不承载平板的平衡 位置为坐标原点O。平板B放上 后位移为x₁，物块A碰撞后位移 为 x₂，则

根据机械能守恒式，得

 





 

1 1

2 M M v 2 k  x x x  M M gx 0

          (3)

而

h

x1

x2

A

 

B

2

0 1 M M v E

  





 



2 1 2

1 k x x M M gx kx

E

    



kx

 Mg (4)

将(1)、(2)、(4)式代入(3)式，整理后得

因 _{x 2 0} ，故应将负根舍去。得碰撞后弹簧最大压缩量为 解之得

2 0

2 2

2

  

k x Mgh

k x Mg

2 2

Mg Mg Mg

x h

k k k

 

      

k h Mg k

Mg k

x Mg x

x  



 



 







2 2

1 max

2