 功能定理 功能定理

課程名稱：

功能定理與能量 守恆

課程名稱：

功能定理與能量 守恆

編授教師：

中興國中 楊秉鈞

 功能定理

 功能定理^：

（ 1 ）原理：合力對物體所作的功等於 。

（ 2 ）導證：

功能定理

動能的變化量

 W ＝

E

^{ 1} ₂

^{ 1} ₂

F F

1

1 EK

V





X

  ^{ }

 

K K

K

E W

W FX

X ma

aX m

V V

m

mV mV

E E

E





























2 2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

2

2 1 2

2 1

2 V V aX

aX V

V

2 2

2 1 2

2

2 1 2

2











 功能定理^：

（ 3 ）功能轉換：

 鉛直面上運動：

 以外力將物體鉛直方向上提時：

 。

 物體由高處落下時：

 。

功能定理





^

^

W or

mgh FX

U W

f     











外力作功＝物體增加之位能

減少的位能＝物體增加的動能

   

2 1 2

2

2 1 2

1 2

1 2

1

mV mV

fh mgh

E W

U or

mV mV

mgh E

U

K f

K





























 功能定理^：

（ 3 ）功能轉換：

 水平面上運動：以水平外力推物體沿力方向運動：

 。

功能定理

   

2 1 2

2

2 1 2

1 2

1 2

1

mV mV

fX FX

E W

W

or mV

mV FX

E W

K f

K





























外力作功＝物體增加之動能

範例解說

1. 質量為 5 kg 的靜止物體，受 30 N 的外力水平向右推動。

當作用力推動物體 4 秒後，隨即放手。試回答下列問題：

 4 秒時，物體的動能大小為 焦耳。 　

 0 ～ 4 秒間，外力作功 焦耳。

6 2

5

30 a a m s

ma

F      

1440

 

J 1440 48

30

48 4

2 6 1 2

1

1





















FX W

m at

t V X

1440

2 1 2

2 2

1 2

1 mV mV E

W

FX    _K  



範例解說

2. （ ）如圖所示，以不同的方式將同一物體等速提升 2m ，則有關 施力對物體作功的敘述，下列何者是正確的？（不計摩擦）

（ A ） Fa 所作的功最小　（ B ） Fb 所作的功最大 （ C ） Fc 不作功　 （ D ）三力所作的功相同。

D

2

 _a

a F

W W_b  F_b 4 W_c  F_c 6

c b

a W W

W mgh

U    



c b

a F F

F  



物體提升之位能 外力作功 



 力學能守恆

 力學能守恆^：

（ 1 ）力學能： 與 的總和，也稱作 。

（ 2 ）力學能守恆：

物體只受 或 而沒有其他外力（如阻力）作用時，

物體在整個運動過程中，動能與位能的總和不變。

 動能與彈力位能總和不變：

 動能與重力位能總和不變：

力學能守恆

動能 位能 機械能

U E

E  _K 

重力 彈力

n Kn

K

K U E U E U

E

E  ₁  ₁  ₂  ₂  ...  

n Kn

K

K U E U E U

E

E  ₁  ₁  ₂  ₂  ...  

n

n mgh

mV mgh

mV mgh

mV

E  ₁²  ₁  ₂²  ₂   ²  2

... 1 2

1 2

1

 力學能守恆^：

（ 3 ）實例討論：

 自由落體： m 公斤的物體由高 h 公尺處自由釋放  點位能最小； 點位能最大。

 點動能最小； 點動能最大。

 列出各位置的力學能守恆式：

。

 由最高點靜止下落，著地時的速率＝ m/s 。

力學能守恆

大一小 一

: E , _K U

U E

E  _K   h

U mgh

U   

C A

A C

gh V

gh V

mV mgh

U E

U

E_{K A A KC C}

2 2

2 0 0 1

2

2



















V

h

A B C V_B

V_A 最高點位能 最低點動能

gh 2

C C K B B

K A A

K U E U E U

E     

 力學能守恆^：

（ 3 ）實例討論：

 斜面（或軌道）： m 公斤的物體由高 h 公尺斜面 A 處自由釋放  點位能最小； 點位能最大。

 點動能最小； 點動能最大。

 列出各位置的力學能守恆式：

。  由最高點 A 自由下滑，至最低點 B 的速率＝

m/s 。

 由右側 A 釋放後，能達到左側高度 h_D ，大小關係？

。

力學能守恆

B A 、

A 、 D D

B

gh 2

D D K C C

K B B

K A A

K U E U E U E U

E       

A

B C

D

D h h

B B K A A

K U E U

E   

gh V

mV

mgh 2

2

1 ₂







D D K A A

K U E U

E   

D

D

h h

mgh mgh







hD

h 

（媒體： 1

， 4’54” ）

 力學能守恆^：

（ 3 ）實例討論：

 單擺： m 公斤的物體由高 h 公尺 A 處自由釋放， C 點達最高 點

 點位能最小； 點位能最大。

 點動能最小； 點動能最大。

 列出各位置的力學能守恆式：

。

 由最高點 A 自由下滑，至最低點 B 的速率＝

m/s 。

 由左側 A 釋放後，能達到右側高度 h_C ，大小關係？

。

力學能守恆

B A 、

A 、 C C

B

gh 2

C C K B B

K A A

K U E U E U

E     

hC

h 

h

gh V

mV

mgh 2

2

1 ₂







C

C h h

mgh

mgh   

C C K A A

K U E U

E   

B B K A A

K U E U

E   

hC

（媒體： 1）

 力學能守恆^：

（ 3 ）實例討論：

 彈簧：於 B 拉動彈簧至形變 C ，使之往復運動  點位能最小； 點位能最大。

 點動能最小； 點動能最大。

 列出各位置的力學能守恆式：

。

力學能守恆

B A 、

A 、 C C

B

C C K B B

K A A

K U E U E U

E     

A

B

C

U  X 2

（媒體： 1

， 1’20” ）

1. 下列六個運動過程：

甲：垂直上拋，若不計阻力 ；乙：單擺往復擺動，若不計阻力 丙：物體自由落下，若不計阻力；丁：自空中等速度下降的雨滴。

戊：自粗糙斜面滾下的物體 ；己：自光滑軌道滑下的滑車

其動能與位能的總和保持不變者為何？

。

範例解說

甲、乙、丙、己

探究：等速度下降

W R B



B R

W  





U E

E 



力學能減少 減少

不變

E

U

E

2. （ ）沿鉛直線拋上的物體，高度逐漸增加時，下列何者正確？　

(A) 位能、動能均隨之增加　 (B) 位能增加，動能不變。 　 (C) 位能減少，動能增加 　 (D) 位能增加，動能減少。

3. （ ）如圖所示，甲、乙為均勻材質木板上的兩點，丙為水平地面 上的一點。丁丁將貨物置於甲點，使其沿斜面自由滑下。由 於摩擦力的作用，該貨物最後停止於丙點。當此貨物在水平 地面上由乙到丙之間滑動時，下列能量變化情形何者正確？

(A) 貨物動能增加，重力位能減少 (B) 貨物動能增加，重力位能不變 (C) 貨物動能減少，重力位能減少 (D) 貨物動能減少，重力位能不變

範例解說

D

D

力學能守恆不符合 力學能守恆符合

U E

E 



U E

E 



4. 某人站在高臺上 A 點，分別從三個不同的斜面滑下，摩擦力可忽略：

^ （　 ）此人沿著那一斜面滑行至 B 點時，重力所作的功最多？

( Ａ ) 　　 ( Ｂ ) 　　 ( Ｃ ) 　　 ( Ｄ ) 相同。

^ （　 ） 沿著哪一個斜面滑至 B 點之動能最大？

( Ａ ) 相同 ( Ｂ ) 　  　 ( Ｃ ) 　  　 ( Ｄ ) 　。

 （　 ）到達 B 點時之速度，以沿哪一個斜面滑下者最大？

( Ａ )  　 ( Ｂ ) 　  　 ( Ｃ ) 　　 ( Ｄ ) 相同。

範例解說

D

mg

h

mgh FX

W  

gh V

mV mgh

E U _K

2 2

1 ₂







A D

範例解說

5. （ ）質量 5 公斤物體，自距地面 20 公尺高處自由落下，當其 位

能與動能相等時，物體距地面的高度為？

　 (A) 5 公尺　 (B) 10 公尺　 (C) 15 公尺　 (D) 20 公尺。 1

1 U

E_K 

2

2 U

E_K 

h

m 20

 

10

2 20

0

2 2

2 2

1 1























h

mgh U

E

h mg

mg

U E

U E

K

K K



B

6. 一 10 公斤物體自高 490 公尺自由落下，求物體著地瞬間的動能？

焦耳。

J mgh

U

E_K   109.8490  48020

48020

7. 有一小球沿光滑軌道由 A 點自由滾下，如圖所示，若不計任何阻 力， 試回答下列問題：

 ( 　　 ) 在運動的過程中，

小球在下列何處的動能最大？

　 (A) A 、 E 　 (B) B 、 D 　 (C) C 、 D 　 (D) D 、 E 。  ( 　 　 ) 在運動的過程中，小球在下列 何處的位能最大？

　 (A) A 　 (B) B (C) C (D) D 。

 ( 　 　 ) 在運動的過程中，小球是否可達到 E 點？　

(A) 可以　 (B) 不可以　 (C) 視小球重量而定。

範例解說

B

A

B

...













 _{A KB B KC C KD D}

K A U E U E U E U

E

...

2 0 6 1

2 0 1

2 10 1

0 mg   mV_B²   mV_C²  mg   mV_D²   g

V g

V

V_B  _D  20 _C  8

 能量守恆

能量守恆定律



能量守恆定律

（ 1 ）各種形式的能量可以互相轉換。

（ 2 ）能量的形式：

 化學能  動能  位能  熱能

 電能  光能  聲能  核能

（ 3 ）能量守恆定律：

能量不會無中生有，也不會消失，

只是由一種形式的能量轉換成其他形式的能量，

但能量的總值 。不變

源自化學反應 有速率 有高度差 有溫差 △ T

產生電能 發光 有聲波 發生核反應

能量守恆定律



能量守恆定律

（ 4 ）能量轉換實例：

 瓦斯爐： 能  能及 能。

 喇叭： 能  能及 能。

 電燈： 能  能及 能。

電能  光能、熱能 電能  聲能、熱能

化學能  光、熱能

化學 光 熱

電 聲 熱

電 光 熱

能量守恆定律



能量守恆定律

（ 4 ）能量轉換實例：

 核能發電： 能  能  能  能。

 火力發電： 能  能  能  能。 化學 核 動

動 電

電 熱

熱

加熱 水

能量守恆定律



能量守恆定律

（ 4 ）能量轉換實例：

 水力發電供電： 能  能  能  能。位 動 電 光、熱

有摩擦力作負功







範例解說

1. 如圖，將質量 10 公斤的物體置於斜面頂的 A 點。當它由靜止下滑，

到達底部 B 點時，速率為 4 公尺 / 秒。（ g=10 公尺 / 秒 ² ） 試回答下列問題：

 若定 B 點的重力位能為 0 ，則物體在 A 點的重力位能？

　 (A) 196 　 (B) 200 　 (C) 490 　 (D) 500 焦耳。

 物體到達 B 點時，動能？

(A) 4 　 (B)200 　 (C) 80 　 (D) 160 焦耳。

J 200 2

10

10   



 mgh

J 80 4

2 10 1 2

1 ₂    ₂ 

 mV E_KB

B C

範例解說

1. 如圖，將質量 10 公斤的物體置於斜面頂的 A 點。當它由靜止下滑，到達 底部 B 點時，速率為 4 公尺 / 秒。（ g=10 公尺 / 秒 ² ）試回答下列問 題：

 在物體由 A 下滑至 B 的過程中，摩擦產生熱能多少焦耳？

(A) 116 　 (B) 120 　 (C) 36 　 (D) 40 焦耳。

 若不計摩擦，物體到達 B 點時，動能？

(A) 4 　 (B)200 　 (C) 80 　 (D) 160 焦耳。

B B

KB

A E

U 



J W

W

E W

U

f f

KB f

A

120 80

200    







N f

f f W_f

24 5

120

















X

可再求摩擦力大小:

範例解說

2. 如圖，今沿斜面施以 30 牛頓之力，將一重 50 牛頓的物體由 A 處等速 推

上至 B 處：

 此力共作功 焦耳。  物體獲得 焦耳的位能。

 摩擦力共消耗了 焦耳的能量。

 合力對物體作功 焦耳。 W_人外力  FX  30 20  600J

600

 

 mg h U_物體

500

J 100 500

600  

f

 W

100

不作功 合力

等速   0,



0

30N

50N

物體

人外力 W U

W  _f 

 f f N

f W_f

5 20

100     







X

課程結束