典型二维连续型随机 变量分布、相关系数
1
二维均匀分布
设是平面上的有界区域，其面积为，如果二维 随机变量的密度函数为
则称服从上的二维均匀分布。
2
二维均匀分布背景
在平面区域内随机投点，落点坐标，则服从区 域上的二维均匀分布。
甲乙在一小时内随机达到车站，到达时刻分别 为，则服从区域上的二维均匀分布，其中
3
二维分布几何意义
如果二维随机变量服从区域上的均匀分布，则
随机点只落在区域内；
落在内任一子区域内的概率与的面积成正比，而与 的形状以及在内的位置无关。
4
�
y
x G
�
(
( � ,� ) ∈ �)
= �� ⋂���
D1
D1
二维正态分布
若二维随机变量具有密度函数
其中均为常数，则称二维正态分布，记作
5
二维正态分布密度图
6
二维正态分布剖面图
7
二维正态分布的边缘分布
设 , 则 即：
8
二维正态分布的边缘分布仍是正态分布 证：根据边缘分布的定义，换元积分即可。
二维正态随机变量的独立性
9
定理：设 , 则相互独立的充要条件为：
。
二维正态随机变量的独立性
10
二维正态随机变量的独立性
11
二维正态随机变量之间的协方差
设 , 则 证：
12
二维正态随机变量之间的协方差
设 , 令 则
证：
13
被称为与的相关系数
标准化随机变量
已知随机变量的期望和方差时，常考虑的中心 化随机变量
和的标准化随机变量
例：若，则 .
14
相关系数
对随机变量，设 , 均存在，则称
为和的相关系数。在不引起混淆时，记为
记的标准化随机变量为，则有
15
柯西 - 许瓦兹不等式
证：对任意实数 , 令 由于恒大于 0 ，故
.
注：等号成立当且仅当即存在，使得
16
[
� ( �� )]
� ≤ �(
��)
�(
��)
相关系数性质
证：由柯西 - 许瓦兹不等式知，
即
17
, 即
相关系数性质
18
当且仅当存在常数，使得
即与有线性关系的概率为 1 。,
相关性
若，则称线性相关
, 正相关
, 负相关
表示与存在线性关系的强弱程度。
越大， 与线性关系越强，反之越弱
表示与不存在线性关系，称为不相关。
19
不相关等价定义
20
X Y 不 相 关 X
Y 独 立
注：若服从二维正态分布，则 相互独立 不相关
0
XY0 )
,
cov( X Y
) (
) (
)
( XY E X E Y
E
) ( )
( )
( X Y D X D Y
D
表示存在线性关系的强弱程度
：作随机试验，得，并在坐标系中标出
21
表示存在线性关系的强弱程度
22
例
设随机变量服从上的均匀分布：
又 , 其中为常数，试求，并讨论与的相关性和独 立性
23
解：
24
因此，
当时，，即正相关
当时，，即负相关
当时，，即不相关，但此时与并不相互独立，
因为此时
25
