几个典型的离散型 随机变量
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0-1 分布
如果随机试验只有两个结果：与，则称该试验 为伯努利 (Bernoulli) 试验。
定义随机变量
记，则称服从 0-1 分布
2
X 0 1
P 1-p p
0-1 分布的特点与用途
若服从参数为的 0-1 分布，则
对随机事件，可以定义指示变量 则服从 0-1 分布。
3
引入指示变量是简化问题分析的有效手段
例：随机置换的不动点个数
设为集合上的一随机置换。对于 , 若 , 则称为的 一个不动点。求的不动点个数的期望。
思路：将分解成个指示变量之和，再利用期望 的线性性质求解。
解：对于 , 引入指示变量
则 因此
4
此方法具有典型意义 .
重伯努利试验
有一类独立重复试验概型，具有如下特点：
每次试验只有两种结果：与
试验进行次，每次试验结果相互独立
则称该独立重复试验为重伯努利试验。
记
设为重伯努利试验中事件发生的次数，
5
二项分布
二项分布
若随机变量的分布律为
则称服从参数为的二项分布 ( 其中为自然数，为 参数 ), 记作
分布律的验证
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二项分布的期望
定理：设随机变量，则
证明一：利用期望公式 + 二项式系数转换。
证明二：将二项分布视为若干个 0-1 分布的和
，并利用期望的线性性质。
7
例
一张考卷上有 10 道单项选择题，每题有 5 个 可选答案，只有一个正确。某学生随机选择，
至少答对 8 道题的概率是多少？
分析：每答一道题相当于做一次伯努利试验，
则
答 10 道题相当于做 10 重伯努利试验。
解：设为答对的题数，则，即
8
所求概率为
, 根据计算有 .
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问题 : 随机选择，答对多少题的概率最大
？
答对两道题概率最大
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二项分布的最大值
对于固定的，当增加时，概率先随单调增加达 到最大值，随后单调减少
k
取何值时 , 达到最大值 ?
设在达到其最大值，则必有及
可解出：
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二项分布取概率最大值的位置
不是整数时，
即不超过的最大整数。
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二项分布大约在 X=np 附近 达到概率最大值。
(�+�) � − � ≤ �� ≤ (�+� ) �
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泊松 (Poisson) 近似公式
很大时，直接计算颇为麻烦 .
当很大，很小时，可以用泊松近似公式帮助计 算
——可借助泊松分布表
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( 泊松定理 ) 设为常数，则对于任意固定 的正整数，有
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在实际计算中 , 当时 , 可用上述公式近似 计算 ; 而当越大，越小时，精度越好。
0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015
按伯努利概型 按泊松近似
k
n=10 p=0.1 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01 =np=116
泊松分布
如果随机变量的分布律为
其中为常数，则称随机变量服从参数为的泊松分 布，记为
分布律验证：
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泰勒展式
泊松分布的应用
泊松分布是概率论的重要分布之一，通常用于 描述大量试验中稀有事件出现次数的概率模型
。
电话在一段时间内收到的呼叫次数
放射物在一段时间内放射的粒子数
一段时间内通过某路口的出租车数
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参数 λ 的概率意义：事件的平均发生次数
例 :V2 飞弹打伦敦弹着点分布
二战期间，德国从本土向伦敦发射 V2 飞弹，统计 表明弹着点遵循泊松分布。
伦敦共受 533 发飞弹袭击，将伦敦分为个区域，
平均每个区域中弹数为 1.64
设表示中发飞弹的区域数，计算频率。
设表示一个区域的落弹数，计算的泊松分布的概率
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20
泊松分布的性质
期望：设，则 .
证：根据期望的定义即可。
泊松变量的和：有限个独立的泊松变量的和仍 是泊松变量，即：若，且独立，则
证：直接求的分布律即可。
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例：昆虫卵的孵化
已知某昆虫的产卵数，而每个卵能孵化成幼虫 的概率为，且各卵的孵化是相互独立的，试求 该昆虫能育成的幼虫数所服从的概率分布。
分析：在的条件下，服从二项分布
条件概率 + 全概率公式
所以 .
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几何分布
在多重伯努利试验中，
重复独立试验，直至事件首次发生。
令表示所需试验次数，则服从参数为的几何分布，
即 记为
例：摇骰子直至出现点数 6 所需要的次数
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几何分布的无记忆性
无记忆性：假设已经经历了次失败，则从当前起 直至成功所需次数与无关。严格地，
设，则对于任意自然数有 等价地，
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几何分布是唯一具有无记忆性的
离散概率分布。
几何分布的期望
设，则
方法一：利用期望定义
方法二：基于定理
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定理：设是取值为非负整 数的离散随机变量，则
定理的证明：
设，则
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例：票券收集问题
某品牌的干脆面每包均含种 卡片中的某一种（等可能）。
某小朋友欲收集齐这种卡片
，平均需要购买多少包干脆 面？
解： 令 : 从拥有 1 种卡片到种购买的包 数
服从参数为的几何分布
∴ �
(
��)
= ���
= �
�− �+�
�
(
∑�=�� ��)
=∑�=�� � −� +�� =� ∑�=�� ��
例：票券收集问题
: 第个调和数
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收集水浒 108 将卡片大致需要吃 568 包干脆面 .
� (�)−1<∫
1
� 1
� �� < � (�) − 1
�
� (�)=ln �+Θ(1)
快速排序
最坏情况：比较
好的支点选取：
渐进等分：
如何保证快速排序充分多 地选取好的支点呢？
随机选择支点： pivot=A[r and(lo, hi)];
让输入随机化：
A=permutation(A)
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随机快速排序
比较次数的期望？
假设排序后结果为
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RandomQuickS ort
pivot=A[rand(lo, hi)]
随机快排：性能分析
假设排序后结果为
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与发生比较
或是第一个选自的 pivot
随机快排：性能分析
期望的线性性质：
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