第三章 多元随机变量及其分布

1

第三章 多元随机变量及其分布

二元离散型随机变量

二元随机变量的分布函数 二元连续型随机变量

随机变量的独立性

二元随机变量函数的分布

例 1 ：研究某一地区学龄儿童的发育情况。

仅研究身高 H 的分布或仅研究体重 W 的分 布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高 和体重值，研究身高和体重之间的关系，这 就要引入定义在同一样本空间的两个随机变 量。

问题的提出

3

例 2 ：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚

炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确

定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机

变量。

定义：设

是一个随机试验，样本空间

S={e

} ；设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量，由它们构成的向量 (X,Y) 叫 做二元随机变量或二维随机变量。

S e

y

   

 ^{X e Y e,} 

x

3.1 二元离散型随机变量

定义：若二元随机变量 (X,Y) 全部可能取到的 不同值是有限对或可列无限对，则称 (X,Y) 是

（一）联合概率分布

6

 

 

,

, , , 1, 2,

i j

X Y

x y i j   设设设设设设设设

为二元离散型随机变量 的联合概率分布律。

可以如右表格表示：

离散型随机变量的联合概率分布律：

… …

… …

… …

… …

… … …

…

… … …

…

x1

x2

xi

XY y¹ _y2 y_j

p11 p₁₂ p_{1 j} p21 p₂₂ p_{2 j}

pij 1

pi p_i2





联合概率分布律的性质：

1

p

 0 , 设 i j  1, 2, 

1 1

2

1.

i j

 

p

 

 



8

例 1.1 设随机变量 X 在 1 、 2 、 3 、 4 四 个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变 量 Y 在 1~X 中等可能地取一 整数值，试求

(X,Y) 的联合概率分布。

9

( , ) ( ) ( | )

P X  i Y  j  P X  i P Y  j X  i

解： 的取值情况为 ( X  i Y ,  j )

1, 2,3, 4 1 . i  ；   j i

1 1 ,

  4 i

1, 2,3, 4 1 .

i  ；   j i

10

即 的联合概率分布为：

116

1 2 3 4

4

0 0 0

116

1

112

2

0

116 112

3

0 0

116 112 18

18 14

X Y

( , )X Y

11

对于离散型随机变量 ，联合分布律为

( _{i j}) _ij , 1,2, P X x Y y 设   p i j设  

1

( _i) ( _i ) _{ij i} 1,2,

j

P X x P X x Y ^ p p i_



   ^设=   



1

( _j) ( _j) _{ij j} 1,2,

i

P Y y P X Y y ^ p p j_



   ^设=  



的边际（边缘）分布律为：

（二）边际分布

( , )X Y

, X Y

i ij

j ij

p p j

p p i





记号表示是由关于求和后得到的；

同样是由关于求和后得到的.

注意：

… …

… …

… …

… …

… … …

…

… … …

…

x1

x2

xi

XY y¹ _y2 y_j

p11 p₁₂ p_{1 j} p21 p₂₂ p_{2 j}

pij 1

pi p_i2

 i 

P X  x

 ^j 

P Y  y

p1_

p2_

pi_

p_1 p_2 p_j

……

… … 1

0,

1, , 1 2, 0

X Y

 

   

 



不吸烟, ，患病,

少量吸烟 ，不患病.

吸烟较多,

例 1.2 设一群体 80% 的人不吸烟， 15% 的 人少量吸烟， 5% 的人吸烟较多，且已知近期 他们患呼吸道疾病的概率分别为 5% ， 25%

， 70%. 记

求 (1) 的联合分布律和边际分布律； (2) 患病人中吸烟的概率。

( , )X Y

14

0 1 2

0.80 0.15 0.05

0 1 0

1 2

0.76 0.04 0.1125 0.0375 0.015 0.035

0.80 0.15 0.05 0.8875 0.1125 1

\

X Y P X(  i)

( )

P Y  j

解： (1) 由题意可得

( , ) ( ) ( )

P X  i Y  j  P X  i P Y  j X  i

15

, ( ) 0, ( | ).

A B P A  P B A

对于两个事件,若考虑条件概率

( , )

( _{i j} ) _ij , 1, 2, X Y

P X  x Y  y  p i j   设设设设设设设设设设设设设设设设设设

设

（三）条件分布

17

由条件概率公式可得：

( , )

( | )

( )

i j ij

i j

j j

P X x Y y p P X x Y y

P Y y p

 

   



当 i 取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。

定义：设 是二元离散型随机变量 , 对 于固定的 ，

P Y  yj  若，称

{Y  y_j} X

为在条件下，随机变量的； 条件分布律

( )

( | ) 1,2

( )

i j ij

i j

j j

P X x Y y p

P X x Y y i

P Y y p_

 

    

 

设

y

( , )X Y

19

( )

( | ) 1, 2

( )

i j ij

j i

i i

P X x Y y p

P Y y X x j

P X x p _

 

    

 

设

{X  x_i} Y

为在条件下，随机变量的.

条件分布律

(P X  x_i ) 0

同样，对于固定的 ，

x

已知

求： (1)a,b 的值；

(2){X=2}

条件下 Y 的条件分布律；

(3){X+Y=2}

条件下 X 的条件分布律。

X Y -1 0 1

0.2 a 0.2

1

2 0.1 0.1 b ( 0 | 2) 0.5.

P Y  X  

例 1.3 设 (X,Y) 的联合分布律为

21

( 2, 0) ( 0 | 2)

( 2)

P X Y

P Y X

P X

 

  



解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即 a+b=0.4

0,

  a   b 0.4.

(2) (P X  2) 0.6,

0.2 , a 0.4

a 

  0.5 

1/ 6, 1, ( 2, )

( 2) 1/ 6, 0,

( 2)

2 / 3, 1.

P X Y j j

P Y j X j

P X j

  

  

      

22

  ^{3 ( 2) ( 1, 1)}

( 2, 0) 0.3,

P X Y P X Y

P X Y

    

   

( , 2 )

( | 2)

( 2) P X i Y i P X i X Y

P X Y

  

   

 

例 1.4 盒子里装有 3 只黑球， 2 只红球， 1 只白 球，在其中不放回任取 2 球，以 X 表示取到黑球 的数目， Y 表示取到红球的只数。求 :

(1)(X, Y) 的联合分布律；

(2){X=1} 时 Y 的条件分布律；

(3) {Y=0} 时 X 的条件分布律。

若采用放回抽样呢？求相应的 (1),(2),(3).

24

解：采用不放回抽样， (X,Y) 的联合分布律为

X Y 0 1 2 0

1 2

0 2/15 1/15 3/15 6/15 0 3/15 0 0

1/5 3/5 1/5 6/15 8/15 1/15 1

( )

P X  i

( )

P Y  j

Y 0 1 1/3 2/3

( | 1) P Y  j X 

X 1 2 1/2 1/2

( | 0) P X i Y 

25

采用放回抽样， (X,Y) 的联合分布律为

X Y 0 1 2 0

1 2

1/36 4/36 4/36 6/36 12/36 0 9/36 0 0

1/4 1/2 1/4 4/9 4/9 1/9 1

( )

P X  i

( )

P Y  j

Y 0 1 1/3 2/3

( | 1) P Y  j X 

X 0 1 2 1/16 6/16 9/16

( | 0) P X i Y 

例 1.5 一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止 .

以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数 .

试求 X 和 Y 的联合分布律和条件分布律。

(0 1), p  p

27

解： 的联合分布律为

2 2

( , ) , 1 ,

1.

P X m Y n p q

q p n m

  

 

 

( )

, 1, 2, X

P X  m  pq

m  

2 2

( ) ( 1)

, 2,3, Y

P Y n    n p q

n  

( , ) X Y

的边际分布律为

的边际分布律为

28

{X  m} Y

在条件下，的条件分布律为：

( | ) ^{n m} 1, 1, 2, P Y  n X  m  pq ^{ } n m  m  

( | 3)

, 4,5,

P Y  n X   pq

n   设设

( 1, 2, ), ( ) 0 m m   P X  m 

设 设 设 设

( 2,3, ), ( ) 0 n n   P Y  n  设设设设

{Y  n} X

在条件下，的条件分布律为：

2 2

2 2

( | ) 1 , 1,2, , 1.

( 1) 1

n

n

P X m Y n p q m n

n p q n



      

  

( | 10) 1 , 1, 2, ,9.

P X  m Y   9 m   设设

 

( , ) ( ) ( ) ( , )

F x y P X x Y y P X x Y y

  

  



记成

0

x





y

称为二元随机变量 (X,Y) 的联合分布函数。

3.2 二元随机变量的分布函数

（一） 联合分布函数

定义：设 (X,Y) 是二元随机变量 , 对于任

意实数 x,y ，二元函数

分布函数 的性质

1 2 ( , )1 ( , ),2

x  x  F x y  F x y

x₁ x₂

(x₁,y) (x₂,y) y

y₂

x

y₁ (x,y₁)

(x,y₂)

( , ) F x y

1 2

( , )

( , );

y  y  F x y  F x y

2 0



( , ) 1 (  ，

   , ) 1,

( , ) ( , ) ( , ) 0;

x y

F  y  F x   F    对任意

 

1^。F x y, 关于单调不减，即：x y,

0 ( , ) ( , ), lim F x y F x y

 _ 

  

x₂

y₁

x₁

y₂

0 ( , ) ( , );

lim F x y F x y





   

1 2 1 2

4

若 x  x y ,  y

2 2 2 1 1 2 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.

F x y F x y F x y F x y

    

 

3^。F x y, 关于右连续，即：x y,





2 2 2 1 1 2 1 1

,

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.

P x X x y Y y

F x y F x y F x y F x y

    

   

因为

二元随机变量 (X,Y) 作为整体，有分布函数 其中 X 和 Y 都是随机变量，它们的

分布函数 , 记为 称为边际分

布函数。

( , ), F x y

( ) ( )

X Y

F x F y，

( ) ( , ) ( ) ( , )

X Y

F x F x

F y F y

 

 

（二） 边际（边缘）分布函数

34

( ) ( ) ( , ).

F y

 P Y  y  F  y 同理得：

( )  (  )  (  ,   ) ( , ) F xX P X x P X x Y F x

( , ) _X ( )

F x y y   F x

即在分布函数 中令 ，就能得到

事实上，

定义：条件分布函数 若

( 

) 0, 

{ Y  y } X

则在条件下，的条件分布函数为：

|

( , )

( | ) ( | )

( )

X Y

P X x Y y F x y P X x Y y

P Y y

 

   



( ) 0, 0, ( ) 0

P Y  y    P y Y  y   若但对任给

（三） 条件分布函数

{Y  y} X

则在条件下，的条件分布函数为：

36

| 0

0

( | ) ( | )

( , )

( )



















    

   

   

F

x y lim P X x y Y y P X x y Y y

lim P y Y y

( | )

仍记为 P X  x Y  y

求： (1) (X,Y) 的联合分布函数；

(2)

在 {X=2} 条件下 Y 的条件分布函数 .

X Y -1 0 1

0 0.2 0.2 1

2 0.1 0.1 0.4

例 2.1 设 (X,Y) 的联合分布律为

Y -1 0 1 1/6 1/6 2/3

P(Y=j∣X=2)

0, 1 1

1 2, 1 0

0.1 2, 1 0

(1) ( , ) 0.2, 1 2,0 1

0.4, 2, 0 1

0.4, 1 2, 1

1, 2, 1.

x y

x y

x y

F x y x y

x y

x y

x y

  

     

    

     

   

   

  



或或

，

，，

，

，

，

0, 1

1/ 6, 1 0 (2) ( 2)

1/ 3, 0 1

1, 1.

Y X

y F y y

y y

  

   

   

 



，

，

. . . . .

0.2 0.4 0.2 0.1 0 0.1 1

0 1 2

-1

解：

 ^{X Y ,}  ^连续型

称为二元随机变量



 



f x y X Y

( 联合

称为二元随机

) 概率

变量的

密度函数

   

 

, , ,

, ,

( , ) ^{y x} ( , )

X Y F x y

f x y x y

F x y f u v dudv

 



 

定义：对于二元随机变量的分布函数

如果存在非负函数，使对于任意，

有

3.3 二元连续型随机变量

（一） 联合概率密度函数

 

1. f x y,  ，0

2. ^{ } f x y dxdy( , ) 1

  

 

2

( , ) ( , ) ( , )

( , ).

f x y x y

F x y

f x y x y

 

 

4.在的连续点,有

联合密度函数性质：

3. ( , )

{( , ) } ( , )

G

G X Y G

P X Y G 



设是平面上区域，落在内的概率

，

41

 

 

 

( , )

1.

(( , ) ) ( , )

,

z f x y xoy

P X Y G G

z f x y X Y







注：1在几何上，表示空间一个曲面，

介于它和平面的空间区域的体积为 2等于以为底，以曲面

为顶面的柱体体积.

所以落在面积为零的区域的概率为零.

例 3.1 设二元随机变量 (X,Y) 的概率密度函数

(1) 求常数

(2) 求联合分布函数 (3) 求

(2 3 )

, 0 0 ( , )

0,

ke

x y f x y

 

  

  

， 其他

( , ) F x y ;

( )

P Y  X .

k ;

43

( , ) 1, f x y dxdy

 

  

 

2 3

0 ^x 0 ^y 6 1

k





 k

(2 3 )

6 , 0 0

( , )

0,

x y

e x y

f x y

 

  

 

， 其他

解： (1) 利用 得

 

 

(2 3 )

0 0 6 , 0, 0

0 ,

y x e^ u^ v dudv x y

  

 



 

其他

2 3

0 2 0 3 , 0, 0

0 ,

x e du^ u y e dv x^ v y

  

 



 

其他

2 3

(1 )(1 ), 0, 0 0,

x y

e^ e^ x y

    

  其他

45

 

 

3 2

0^

3 e

( e

| )

dy

  

3 2

0^

3 e

e dy

 

5

0^

3 e dy

 

5

0

3 3

5 | 5 e^ y ^

  

例 3.2 设随机变量 (X,Y) 的联合概率密度函数为

(1) ;

(2) ( 0.5);

(3) ( 0.5);

(4) ( 0.5, 0.5).

c P X P Y

P X Y





 

求常数

47

(1) 1

f x y dxdy ( , )

 

  

解：

2

1

0 15

x x

dx cydy c



 

15

  c

2

12 0

(2) ( 0.5) 1 15 47 0.734 64

x

P X   





5 . 0

12 0

12 3 2 2

0

(3) ( 0.5) 15 6 2 5

15( ) 0.436

8

y

P Y dy y ydx

y y dy

 

    

 



5 . 0

12

14 0.5 12 3 2

14

(4) ( 0.5, 0.5) 15 48 2 57

15( 0.5 ) 0.170

64

P X Y dy y ydx

y y dy

  

    

 



5 . 0

( 0.5, 0.5) ( 0.5) ( 0.5) P X  Y   P X  P Y 

5 . 0

设连续型随机变量 (X,Y) 的密度函数为 f x y( , ),

( ) ( , )

( ) ( , )

X

Y

f x f x y dy f y f x y dx

















（二） 边际（边缘）概率密度函数

则 X,Y 的边际概率密度函数分别为

52

X

( )

F x ^{ F x ( ,  )}

f u v dv du ( , )

 

 

      



( )

 

^{f u du}

Y

( )

F y ^{ F (  , ) y}

f u v du dv _{( , )}

 

 

      



( )

 

^{f v dv}

事实上，

同理：

例 3.3 ： ( 续上例 ) 设二元随机变 量 (X,Y) 的联合概率密度函数为

求 的边际概率密度函数 X Y , f x f y

( ), ( ).

54

( )f x_X ^ f x y dy( , )





解：

3 2 2

15 15( ), 0 1

0,

y

y ydx y y y

    

 



其它

215 , 0 1

0,

x

x ydy x

  

 





其它

2 4

15 ( ), 0 1 2

0,

x x x

   

 

 其它

( ) ( , )

f y

f x y dx

 

定义：条件概率密度函数



^, 

^{( , ),}

设二元随机变量的密度函数为

, _X ( ), ( ),_Y

X Y的边际密度函数为f x f y

|

{ }

( , )

( | ) , ( ) 0.

X Y ( ) Y

Y

Y y X

f x y

f x y f y

f y



 

则在条件下的条件密度函数为

（三） 条件概率密度函数

|

{ }

( , )

( | ) , ( ) 0.

Y X ( ) X

X

X x Y

f x y

f y x f x

f x



 

在条件下，的条件密度函数为

56

| 0

( , )

( | )

( )

X Y y

P X x y Y y y F x y lim

P y Y y y

  

    

    



0

( , ) ( )

x y y

y y y y

y Y

ds f u v dv

lim^ f t dt





  



 



( , ) ( )

x

Y

f u y du f y





1

y 1

y

( , ) ( ) d

x

Y

f u y f y u





|

( , ) ( | )

( )

x X Y

Y

f u y

F x y du

f y





即

|

( , )

( | ) .

( )

x X Y

Y

f u y

F x y du

f y

 



1. f_{X Y}| ( | ) 0x y  ，

2. ^ f_{X Y}| ( | )x y dx 1

 



|

| |

d ( | )

( | ) ( | ),

d

X Y

X Y X Y

F x y

f x y x f x y

y 

4.在的连续点,有

条件密度函数性质 ( 以 为 例 ) ：

3. { } ^b _{X Y}| ( | )

P a  X  b Y  y 



| ( | ) fX Y x y

| |

5. ( , )f x y  f_{X Y} ( | ) ( )x y f y_Y  f x f_X ( ) _{Y X} ( | ).y x

例 3.4 设有一件工作需要甲乙两人接力完成

，完成时间不能超过 30 分钟。设甲先干了 X 分钟，再由乙完成，加起来共用 Y 分钟。若

，在 {X=x} 条件下， Y~U(x, 30)

。

(1)

求 (X, Y) 的联合密度函数以及条件密度 函数 ；

(2)

当已知两人共花了 25 分钟完成工作时，

求甲的工作时间不超过 10 分钟的概率。

( )

f

x y

59

60

61

( 四 ) 二元均匀分布与二元正态分布

1 , ( , ) ( , )

0 ,

x y D f x y D

 

 

 的面积

其他

（ 1 ）若二元随机变量 (X,Y) 在二维有界区域

上取值，且具有概率密度函数

则称 (X,Y) 在 D 上服从均匀分布。

63 1

1

1

1 1

{( , ) } ( , )

{( , ) } .

D

D D

P X Y D f x y dxdy

P X Y D D

D

 

 



若是的子集，则

， 即

的面积

的面积

例 3.5 设二元随机变量 (X,Y) 在区域

2 1

|

( | ) (

).

f

x y 及 P X  Y 

 ^{( , ) : x y y   x 1} 

内均匀分布，求条件密度函数

65

1, 1 ( , )

0,

f x y

 

 

   其他

( ) ( , )

 

解： 根据题意， (X,Y) 的概率密度函数为：

Y 的边际概率密度函数为：

1

1 , 1 1 0,

y dx y y

     

  





其他

x

y

o ₁

66

|

1 , 1 ( | ) 1

0,

X Y

y x f x y y

  

  

 其它

于是给定 y(-1<y<1) ， X 的条件密度函数为：

x

y

o ₁

二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布

 

 

2 1 2

2 2

1 1 2 2

2 2 2

1 2

1 2 1 2 1

2

2 1

( 1

,

0

, ) 2 1

( ) ( )( ) ( )

exp 1 2

2(1

0 )

1 1

,

f x y

x x y y

X Y

X

x y

     

  

    



   





 

      

  

      

        

    



设二元随机变量的概率密度函数

，

为：

其中，，，，都是 二元正

常数，且，，；

布

称

态分

  1 2 1 2

2 2

( , ) ( )

1 2 1 2 Y

X Y N

    

     为服从参数为，，，，的，

记

二元正态分

为： ，，

布

～，， 。

( , ) ~ (0,0,1,1, )

 0 以下为，其中的顶曲面图及俯瞰图

68

( , ) ~ (0,0,1,1, )X Y N    0.5 以下为，其中的顶曲面图及俯瞰图

 0.5

0.5

  -

69

例 3.6 设随机变量

求 (1) 的边际密度函数

条件密度函数





,

( ),

( )

X Y f x f y ；

( ), ( ).

Y X X Y

f y x f x y