离散型随机变量
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随机变量
在实际问题中，随机试验的结果可以用数值来表示，由 此产生了随机变量的概念。
有些试验结果本身与数值有关，因此可用一个变量来表 示试验的各种结果；
抛一枚骰子出现的点数；
任取 10 个产品中的次品数
有些试验结果与数值无关，但可以把结果数值化，即引 入一个变量来表示试验的各种结果
抛一枚硬币，正面向上用 1 表示，反面向上用 0 表示
课上任选一名同学，用其学号表示
火箭返回地球的落点位置可以用坐标或经纬度表示
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随机变量的定义
我们可以把中的每一个样本点与一个实数相对 应， 可看成的实值函数
称实值函数为随机变量 (random variable) ，简 记为 r.v.
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.
X() R
随机变量的特点
它随试验结果的不同而取不同的值，因而取值 具有随机性。在试验之前只知道它可能取值的 范围，而不能预先确定取哪个值。
由于试验结果的出现具有一定的概率，因此随 机变量取某个值或者某个范围内的值也有一定 的概率。
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随机变量在某范围的取值表示随机事件
例
抛一枚骰子，令出现的点数，则是一 r.v.
的取值为 1,2,3,4,5,6
表示事件：点数不超过 4
表示事件：点数为偶数
观察某电子元件的寿命，令，则是一 r.v.
的取值为所有非负实数
表示事件：该元件寿命不超过 500h
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随机变量的意义
引入随机变量后，可以利用随机变量来描述随 机现象，对事件及事件概率的研究扩大为对随 机变量及其取值规律的研究。
有了随机变量，可以使用更多的数学工具。
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随机变量的分类
通常分为两类：
离散型随机变量：所有可能取值可以一一列举
例：取到次品的个数，抛骰子的点数
连续型随机变量：所有取值不可一一列举，可 取一个区间内的所有值
例：元件的寿命，到达车站的时刻
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离散型随机变量
若随机变量的取值是有限个或者可列无穷个，
则称为离散型随机变量。
设离散型随机变量的所有可能取值为
并设，
则称上式为的分布律，常表示为
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离散型随机变量分布律的性质
对任意的自然数，有
例：设随机变量的分布律为
求常数 .
解：据分布律性质知 故 .
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例
假设姚明罚球的命中率为 0.9 ，求他两次独立 罚球命中次数的分布律。
解：的取值为 0,1,2.
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随机变量的函数
设是随机变量，是实函数，构造另一随机变量
，当取值时，取值，则称是随机变量的函数，
记为 .
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的分布
若为离散型 r.v. ，则亦为离散型 r.v.
已知的分布律为 , 求的分布律。
的取值为，其中
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第一种情形
如果两两不同，则由 可知的分布律为
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第二种情形
若有相同的项，则把这些相同的项合并看作是 一项，并把相应的概率相加，即可得随机变量 的分布律
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合并
例
设的分布律为
求的分布律。
解 : 的取值范围为 -1,0,1, 且
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2 1 2
1 2 1
2 1
2 n
p
n X
故的分布律为
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Y -1 0 1 p 2/15 1/3 8/15
二维随机变量
实际问题中很多随机现象是由两个或多个随机因 素造成的，需用多个随机变量描述。
打靶是命中点的坐标
体检时的身高与体重
某名学生的考研成绩
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二维离散型随机变量
若二维随机变量的取值是有限个或可列无穷多 个，则称为二维离散型随机变量 .
设为二维离散型随机变量，的取值为 , 则称
为的联合分布律。
;
.
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联合分布律列表表示
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P(X xi,Y y2)
边缘分布律
已知的联合分布律，探讨和各自的分布律，即 边缘分布律。
的边缘分布律：
的边缘分布律
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“ ”
为什么称之为 边缘 ？
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例
将两个球随机地放入 A,B,C 三个盒中。定义 放入 A 盒中的球数； 放入 B 盒中的球数。
求的联合分布律和边缘分布律。
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两个离散随机变量的独立性
对于离散型随机变量和 , 若对于所有可能取值 有
即 ,
则称与独立 .
定理：若与独立，则对于任意集合，事件和事 件独立。
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例
设离散型独立，完成的联合分布律。
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多离散随机变量的独立性
设为离散型随机变量，
若对于任意有
则称相互独立 (mutually independent).
若其中任意两个均独立，则称两两独立 (pairwis e independent).
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数学期望
设为离散型随机变量，分布律为
若级数绝对收敛，则称级数的和为的数学期望，
记为 , 即
若级数发散，则称的数学期望不存在
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两点说明
是一个实数，而非变量，它是一种加权平均。
级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各 项次序的改变而改变。之所以这样要求是因为 数学期望是反映随机变量取可能值的平均值，
它不应随可能值的排列次序改变而改变。
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例
有 4 个盒子，编号为 1,2,3,4 。现将 3 个球随 机放入 4 只盒子。用表示有球盒子的最小号码
，求 .
解：先求的分布律。
所以
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随机变量函数的期望
已知离散型随机变量的分布律为 设，若其期望存在，则
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例
抛两枚骰子，求点数和的期望。
方法一：先求分布律，再根据期望定义求解。
方法二：利用期望的线性性质。
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期望的线性性质
设随机变量的数学期望均存在，则对于任意实 数有
证明：基于定义，容易证明
利用数学归纳法即可完成证明。
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例
抛两枚骰子，求点数和的期望。
方法一：先求分布律，再根据期望定义求解。
方法二：利用期望的线性性质 . 令第次抛骰子的点数，则点数和 . 所以 .
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两点说明
期望的线性性质不依赖于随机变量的独立性，
例如：
一般而言，，例如 :
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例：猴子打字
一猴子在只含 26 个小写字母的键盘打字，每次 均独立随机敲击一个键。如果该猴子敲击了次键 盘，问单词 proof” 期望出现多少次？“
解：定义指示随机变量如下：
令表示 proof 出现的次数，则
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