第二章·随机变量
概率论与数理统计.
.
.
.
随机变量的定义
.
第一节
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
连续型随机变量
.
第三节
.
.
随机变量函数的分布
.
第四节
.
.
随机变量
随机试验的结果通常可以用数量来表示： 扔一个硬币所得的结果； 掷一颗骰子所得的点数； 抽查样品时的废品个数； 广州每日的平均气温； 某电子管的使用寿命； 将试验结果数值化，就产生了随机变量的概念．.
.
随机变量
随机试验的结果通常可以用数量来表示： 扔一个硬币所得的结果； 掷一颗骰子所得的点数； 抽查样品时的废品个数； 广州每日的平均气温； 某电子管的使用寿命； 将试验结果数值化，就产生了随机变量的概念．.
.
随机变量
随机试验的结果通常可以用数量来表示： 扔一个硬币所得的结果； 掷一颗骰子所得的点数； 抽查样品时的废品个数； 广州每日的平均气温； 某电子管的使用寿命； 将试验结果数值化，就产生了随机变量的概念．.
.
随机变量
定义 1 设 Ω 是某随机试验的样本空间．如果对于每 个 ω ∈ Ω，都有一个实数 X(ω) 与其对应，这样就得 到一个定义在 Ω 上的函数 X= X(ω), 称该函数为随机变量(random variable)． 随机变量一般用大写英文字母 X、Y、Z 或小写希腊字.
.
随机变量的分类
1 离散型：只能取有限个或者可列个值 抽取到的次品数 收到的呼叫次数 2 连续型：取得某一区间内的任何数值 电视机的寿命 测量的误差.
.
随机变量的分类
1 离散型：只能取有限个或者可列个值 抽取到的次品数 收到的呼叫次数 2 连续型：取得某一区间内的任何数值 电视机的寿命 测量的误差.
.
随机变量的分类
1 离散型：只能取有限个或者可列个值 抽取到的次品数 收到的呼叫次数 2 连续型：取得某一区间内的任何数值 电视机的寿命 测量的误差.
.
随机变量的分类
1 离散型：只能取有限个或者可列个值 抽取到的次品数 收到的呼叫次数 2 连续型：取得某一区间内的任何数值 电视机的寿命 测量的误差.
.
随机变量的分类
1 离散型：只能取有限个或者可列个值 抽取到的次品数 收到的呼叫次数 2 连续型：取得某一区间内的任何数值 电视机的寿命 测量的误差.
.
随机变量的分类
1 离散型：只能取有限个或者可列个值 抽取到的次品数 收到的呼叫次数 2 连续型：取得某一区间内的任何数值 电视机的寿命 测量的误差.
.
.
.
随机变量的定义
.
第一节
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
连续型随机变量
.
第三节
.
.
随机变量函数的分布
.
第四节
.
.
离散型随机变量
定义 1 只能取有限个或者可列个值的随机变量，称 为离散型随机变量． 骰子的点数 抽取的次品数 收到的呼叫次数.
.
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
离散型随机变量的概率分布
.
A
.
.
常见的离散型随机变量
.
B
.
.
离散型随机变量的分布函数
.
C
.
.
若离散型随机变量 X 的所有可能值为 {k}，分别对 应概率 {pk}，则称 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · 为 X 的概率分布． 离散型随机变量也常用下面的概率分布表给出： X 1 2 · · · k · · · P p1 p2 · · · pk · · · 概率分布 {pk} 的性质： pk ¾ 0, k = 1,2,· · · ∑ k pk = 1.
.
若离散型随机变量 X 的所有可能值为 {k}，分别对 应概率 {pk}，则称 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · 为 X 的概率分布． 离散型随机变量也常用下面的概率分布表给出： X 1 2 · · · k · · · P p1 p2 · · · pk · · · 概率分布 {pk} 的性质： pk ¾ 0, k = 1,2,· · · ∑ k pk = 1.
.
若离散型随机变量 X 的所有可能值为 {k}，分别对 应概率 {pk}，则称 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · 为 X 的概率分布． 离散型随机变量也常用下面的概率分布表给出： X 1 2 · · · k · · · P p1 p2 · · · pk · · · pk ¾ 0, k = 1,2,· · ·.
.
例 1 100 件产品中，有 98 件是正品，2 件是次品， 今从中随机地抽取一件，若规定 X = ( 1, 取到正品； 0, 取到次品； 则随机变量 X 的概率分布表为 X 0 1 P 0.02 0.98 ． 定义 2 若随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 P 1 − p p ， 则称 X 服从参数为 p 的两点分布（或 0-1 分布）．.
.
例 1 100 件产品中，有 98 件是正品，2 件是次品， 今从中随机地抽取一件，若规定 X = ( 1, 取到正品； 0, 取到次品； 则随机变量 X 的概率分布表为 X 0 1 P 0.02 0.98 ． 定义 2 若随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 P 1 − p p ， 则称 X 服从参数为 p 的两点分布（或 0-1 分布）．.
.
例 1 100 件产品中，有 98 件是正品，2 件是次品， 今从中随机地抽取一件，若规定 X = ( 1, 取到正品； 0, 取到次品； 则随机变量 X 的概率分布表为 X 0 1 P 0.02 0.98 ． 定义 2 若随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 P 1 − p p ，.
.
例 2 已知袋中装有 2 白 3 黑共 5 个球．每次从袋中 任取一个，直到取到白球为止．求取球次数 X 的概率 分布． (1) 每次都不放回的情形． . . . .不放回抽样 (2) 每次都放回的情形． . . . .放回抽样 定义 3 若随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = p(1 − p)k−1, k = 1,2,3· · · , 则称 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 X ∼ G(p)．.
.
例 2 已知袋中装有 2 白 3 黑共 5 个球．每次从袋中 任取一个，直到取到白球为止．求取球次数 X 的概率 分布． (1) 每次都不放回的情形．. . . .不放回抽样 (2) 每次都放回的情形． . . . .放回抽样 定义 3 若随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = p(1 − p)k−1, k = 1,2,3· · · , 则称 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 X ∼ G(p)．.
.
例 2 已知袋中装有 2 白 3 黑共 5 个球．每次从袋中 任取一个，直到取到白球为止．求取球次数 X 的概率 分布． (1) 每次都不放回的情形．. . . .不放回抽样 (2) 每次都放回的情形． . . . .放回抽样 定义 3 若随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = p(1 − p)k−1, k = 1,2,3· · · ,.
.
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
离散型随机变量的概率分布
.
A
.
.
常见的离散型随机变量
.
B
.
.
离散型随机变量的分布函数
.
C
.
.
常见的离散型随机变量
1 两点分布 3 2 几何分布 3 3 二项分布 4 泊松分布.
.
离散型随机变量：二项分布
例 3 若某射手每次射击命中的概率均为 p，现进行 n 次独立射击，求恰有 k 次命中的概率． 解答 先研究射击次数 n = 4 的特殊情形．此时有 k = 0 7777 k = 1 3777, 7377, 7737, 7773 k = 2 3377, 3737, 3773, 7337, 7373, 7733 k = 3 3337, 3373, 3733, 7333 k = 4 3333.
.
离散型随机变量：二项分布
例 3 若某射手每次射击命中的概率均为 p，现进行 n 次独立射击，求恰有 k 次命中的概率． 解答 先研究射击次数 n = 4 的特殊情形．此时有 k = 0 7777 k = 1 3777, 7377, 7737, 7773 k = 2 3377, 3737, 3773, 7337, 7373, 7733 k = 3 3337, 3373, 3733, 7333.
.
离散型随机变量：二项分布
定义 4 只有两种可能结果的试验称为伯努利试验． 将一伯努利试验独立重复 n 次称为n 重伯努利试验． 定理 1 (伯努利定理) 设一次试验中事件 A 发生的概 率为 p(0 < p < 1)，则 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k(0¶ k ¶ n) 次的概率为 b(k; n,p) = Cknpk(1 − p)n−k..
.
离散型随机变量：二项分布
定义 4 只有两种可能结果的试验称为伯努利试验． 将一伯努利试验独立重复 n 次称为n 重伯努利试验． 定理 1 (伯努利定理) 设一次试验中事件 A 发生的概 率为 p(0 < p < 1)，则 n 重伯努利试验中，事件 A 恰好发生 k(0¶ k ¶ n) 次的概率为 b(k; n,p) = Cknpk(1 − p)n−k..
.
离散型随机变量：二项分布
定义 5 如果随机变量 X 服从以下分布律 P{X = k} = b(k; n,p) = Cknpk(1 − p)n−k, 其中 0 < p < 1，0 ¶ k ¶ n，则称 X 服从参数为 n， p 的二项分布，记为 X ∼ B(n,p)．.
.
离散型随机变量：二项分布
注记 在物品总数很大，而抽取数目较小时，不放回 抽样可以看成放回抽样，从而可按伯努利试验来处理． 例 4 有一大批灯泡，已知其次品率是 0.2．随机抽出 20 只灯泡做寿命试验，求这 20 只灯泡中恰有 3 只 是次品的概率．· · · ·0.205.
.
离散型随机变量：二项分布
注记 在物品总数很大，而抽取数目较小时，不放回 抽样可以看成放回抽样，从而可按伯努利试验来处理． 例 4 有一大批灯泡，已知其次品率是 0.2．随机抽出 20 只灯泡做寿命试验，求这 20 只灯泡中恰有 3 只 是次品的概率．· · · ·0.205.
.
例 5 设某城市平均每天发生火灾 λ 次，试研究一天 内发生火灾次数 X 的概率分布． 解答 假定该城市的火灾事故满足下列条件： 1 在短时段内不会发生超过一次火灾， 2 在短时段内发生火灾的概率与该时段长度成正比， 3 在不相交时段内发生的火灾相互独立， 则概率分布为 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,2· · · ． 注记 这三个条件分别称为普通性，平稳性和独立性．.
.
例 5 设某城市平均每天发生火灾 λ 次，试研究一天 内发生火灾次数 X 的概率分布． 解答 假定该城市的火灾事故满足下列条件： 1 在短时段内不会发生超过一次火灾， 2 在短时段内发生火灾的概率与该时段长度成正比， 3 在不相交时段内发生的火灾相互独立， 则概率分布为 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,2· · · ． 注记 这三个条件分别称为普通性，平稳性和独立性．.
.
例 5 设某城市平均每天发生火灾 λ 次，试研究一天 内发生火灾次数 X 的概率分布． 解答 假定该城市的火灾事故满足下列条件： 1 在短时段内不会发生超过一次火灾， 2 在短时段内发生火灾的概率与该时段长度成正比， 3 在不相交时段内发生的火灾相互独立， 则概率分布为 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,2· · · ． 注记 这三个条件分别称为普通性，平稳性和独立性．.
.
例 5 设某城市平均每天发生火灾 λ 次，试研究一天 内发生火灾次数 X 的概率分布． 解答 假定该城市的火灾事故满足下列条件： 1 在短时段内不会发生超过一次火灾， 2 在短时段内发生火灾的概率与该时段长度成正比， 3 在不相交时段内发生的火灾相互独立， 则概率分布为 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,2· · · ． 注记 这三个条件分别称为普通性，平稳性和独立性．.
.
例 5 设某城市平均每天发生火灾 λ 次，试研究一天 内发生火灾次数 X 的概率分布． 解答 假定该城市的火灾事故满足下列条件： 1 在短时段内不会发生超过一次火灾， 2 在短时段内发生火灾的概率与该时段长度成正比， 3 在不相交时段内发生的火灾相互独立， 则概率分布为 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,2· · · ． 注记 这三个条件分别称为普通性，平稳性和独立性．.
.
例 5 设某城市平均每天发生火灾 λ 次，试研究一天 内发生火灾次数 X 的概率分布． 解答 假定该城市的火灾事故满足下列条件： 1 在短时段内不会发生超过一次火灾， 2 在短时段内发生火灾的概率与该时段长度成正比， 3 在不相交时段内发生的火灾相互独立， 则概率分布为 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,2· · · ．.
.
定义 6 如果随机变量 X 服从以下分布律 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,· · · 其中 λ > 0，则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ∼ P(λ). 例子 泊松分布常与单位时间（或单位面积、单位产 品等）上的计数过程相联系： 某地区每天发生火灾的次数． 某地区每年发生暴雨的次数． 某种玻璃每平方米内的气泡数．.
.
定义 6 如果随机变量 X 服从以下分布律 P{X = k} = λ k k!e −λ, k = 0,1,· · · 其中 λ > 0，则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记为 X ∼ P(λ). 例子 泊松分布常与单位时间（或单位面积、单位产 品等）上的计数过程相联系： 某地区每天发生火灾的次数． 某地区每年发生暴雨的次数．.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 6 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数为 0.8 的泊松分布．求该城市一天内发生 3 次或以上火 灾的概率． · · · ·0.047423 例 7 某工厂生产的床单，每条床单上含有疵点的个 数 X 服从参数 λ = 1 的泊松分布．质检部门规定： 床单上无疵点或只有一个疵点的为一等品， 有 2 到 4 个疵点的为二等品， 有 5 个或 5 个以上疵点的为次品． 试求工厂生产的床单为一、二等品和次品的概率．.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 6 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数为 0.8 的泊松分布．求该城市一天内发生 3 次或以上火 灾的概率．· · · ·0.047423 例 7 某工厂生产的床单，每条床单上含有疵点的个 数 X 服从参数 λ = 1 的泊松分布．质检部门规定： 床单上无疵点或只有一个疵点的为一等品， 有 2 到 4 个疵点的为二等品， 有 5 个或 5 个以上疵点的为次品． 试求工厂生产的床单为一、二等品和次品的概率．.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 6 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数为 0.8 的泊松分布．求该城市一天内发生 3 次或以上火 灾的概率．· · · ·0.047423 例 7 某工厂生产的床单，每条床单上含有疵点的个 数 X 服从参数 λ = 1 的泊松分布．质检部门规定： 床单上无疵点或只有一个疵点的为一等品， 有 2 到 4 个疵点的为二等品， 有 5 个或 5 个以上疵点的为次品．.
.
二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837 年由法国数学家泊松（Poisson）引入的． 对二项分布 B(n,p)，当 n 充分大、p 很小时，对任意 固定的非负整数 k，有近似式 b(k; n,p) ≈ λ k k!e −λ, 其中 λ = np．.
.
二项分布与泊松分布
历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837 年由法国数学家泊松（Poisson）引入的． 对二项分布 B(n,p)，当 n 充分大、p 很小时，对任意 固定的非负整数 k，有近似式 b(k; n,p) ≈ λ k k!e −λ,.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 8 某公司生产的一种产品，根据历史生产纪录知， 产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数 大于 5 的概率是多少？ · · · ·0.0840 练习 1 若一个人注射疫苗之后有不良反应的概率为 0.001．确定 3000 个人注射疫苗后 (1) 恰有 3 个有不良反应的概率； (2) 多于 2 个有不良反应的概率．.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 8 某公司生产的一种产品，根据历史生产纪录知， 产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数 大于 5 的概率是多少？· · · ·0.0840 练习 1 若一个人注射疫苗之后有不良反应的概率为 0.001．确定 3000 个人注射疫苗后 (1) 恰有 3 个有不良反应的概率； (2) 多于 2 个有不良反应的概率．.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 8 某公司生产的一种产品，根据历史生产纪录知， 产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数 大于 5 的概率是多少？· · · ·0.0840 练习 1 若一个人注射疫苗之后有不良反应的概率为 0.001．确定 3000 个人注射疫苗后 (1) 恰有 3 个有不良反应的概率； (2) 多于 2 个有不良反应的概率．.
.
离散型随机变量：泊松分布
例 8 某公司生产的一种产品，根据历史生产纪录知， 产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数 大于 5 的概率是多少？· · · ·0.0840 练习 1 若一个人注射疫苗之后有不良反应的概率为 0.001．确定 3000 个人注射疫苗后 (1) 恰有 3 个有不良反应的概率； (2) 多于 2 个有不良反应的概率．.
.
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
离散型随机变量的概率分布
.
A
.
.
常见的离散型随机变量
.
B
.
.
离散型随机变量的分布函数
.
C
.
.
定义 7 设离散型随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · . 则定义 X 的分布函数为 F() = P{X ¶ }= ∑ k¶ pk, 这里的和式是对所有满足 k ¶ 的 pk 求和． 例 9 求随机变量 X 的分布函数，其中 X 的概率分布 如下 X 1 2 3 5 P 0.4 0.3 0.1 0.2.
.
定义 7 设离散型随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · . 则定义 X 的分布函数为 F() = P{X ¶ }= ∑ k¶ pk, 这里的和式是对所有满足 k ¶ 的 pk 求和． 例 9 求随机变量 X 的分布函数，其中 X 的概率分布 如下 X 1 2 3 5.
.
复习与提高
选择 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中 目标的概率为 p (0 < p < 1)，则此人第 4 次射击恰 好第 2 次命中目标的概率为· · · ·( ) (A) 3p(1 − p)2 (B) 6p(1 − p)2 (C) 3p2(1 − p)2 (D) 6p2(1 − p)2.
.
复习与提高
二项分布与两点分布的关系： 1 两点分布 B(1,p) 是二项分布 B(n,p) 在 n = 1 时的特殊情况． 2 设在某试验中事件 A 的概率为 p，将该试验独立 地进行 n 次．记 X 为 n 次试验中事件 A 发生的 总次数，X 为第 次试验中事件 A 发生的次数， 则有 X = X1+ X2+ · · · + Xn..
.
复习与提高
二项分布与两点分布的关系： 1 两点分布 B(1,p) 是二项分布 B(n,p) 在 n = 1 时的特殊情况． 2 设在某试验中事件 A 的概率为 p，将该试验独立 地进行 n 次．记 X 为 n 次试验中事件 A 发生的 总次数，X 为第 次试验中事件 A 发生的次数， 则有 = X + X + · · · + X.
.
复习与提高
复习 1 甲乙两人独立地向目标射击，他们击中目标 的概率都为 0.7，求击中目标的人数 X 的概率分布． 复习 2 已知随机变量 X 有如下分布律 X 1 2 3 4 5 P c 4c 6c 4c c 求常数 c 并计算 P{X > 2|X < 5}, P{X2+ 4 = 5X}..
.
复习与提高
复习 1 甲乙两人独立地向目标射击，他们击中目标 的概率都为 0.7，求击中目标的人数 X 的概率分布． 复习 2 已知随机变量 X 有如下分布律 X 1 2 3 4 5 P c 4c 6c 4c c 求常数 c 并计算 P{X > 2|X < 5} P{X2+ 4 = 5X}..
.
复习与提高
复习 3 假设每分钟通过某路口的车流量服从泊松分 布，已知在一分钟内无车通过的概率是 0.2，求在一 分钟内至少通过 2 辆车的概率．
.
.
.
.
随机变量的定义
.
第一节
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
连续型随机变量
.
第三节
.
.
随机变量函数的分布
.
第四节
.
.
连续型随机变量
定义 1 取得某一区间内的任意数值的随机变量，称 为连续型随机变量． 学校男生的身高 电视机的寿命 测量的误差 在公交站等车的时间.
.
.
.
连续型随机变量
.
第三节
.
.
连续型随机变量的概率密度
.
A
.
.
常见的连续型随机变量
.
B
.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布． 分组越细，频率直方图就越接近一条连续曲线．.
.
问题 研究学校男生的身高 X 的概率分布． 连续型随机变量 X 的取值范围为一个区间．此时 X 取某个确定值的概率总是等于零． 事件 X = 可能发生，但 P{X = } = 0． X 在某个小区间内取值的概率可以大于零． 将区间分为若干段，研究 X 在各小区间取值的概率． 分组的频率直方图刻画随机变量的概率分布．.
.
定义 2 如果存在非负函数 ƒ()，满足 P{X ¶ }= ∫ −∞ ƒ(t) dt, 则称 X 为连续型随机变量，称 ƒ() 为 X 的概率密度 函数，记为 X ∼ ƒ ()． 性质 1 (1) ƒ () ¾ 0, (2) ∫−∞+∞ƒ() d = 1..
.
定义 2 如果存在非负函数 ƒ()，满足 P{X ¶ }= ∫ −∞ ƒ(t) dt, 则称 X 为连续型随机变量，称 ƒ() 为 X 的概率密度 函数，记为 X ∼ ƒ ()． 性质 1 (1) ƒ () ¾ 0, (2) ∫−∞+∞ƒ() d = 1..
.
定义 2 如果存在非负函数 ƒ()，满足 P{X ¶ }= ∫ −∞ ƒ(t) dt, 则称 X 为连续型随机变量，称 ƒ() 为 X 的概率密度 函数，记为 X ∼ ƒ ()． 性质 1 (1) ƒ () ¾ 0, (2) ∫−∞+∞ƒ() d = 1..
.
定义 3 对任意随机变量 X（离散或连续），称函数 F() := P{X ¶ }, ∈R 为 X 的分布函数． 性质 2 随机变量的分布函数 F() 满足以下性质： 1 对任意实数 < b，总有 F() ¶F(b)； 2 0 ¶F()¶ 1； 3 F(−∞) = 0，F(+∞) = 1．.
.
定义 3 对任意随机变量 X（离散或连续），称函数 F() := P{X ¶ }, ∈R 为 X 的分布函数． 性质 2 随机变量的分布函数 F() 满足以下性质： 1 对任意实数 < b，总有 F() ¶F(b)； 2 0 ¶F()¶ 1； 3 F(−∞) = 0，F(+∞) = 1．.
.
定义 3 对任意随机变量 X（离散或连续），称函数 F() := P{X ¶ }, ∈R 为 X 的分布函数． 性质 2 随机变量的分布函数 F() 满足以下性质： 1 对任意实数 < b，总有 F() ¶F(b)； 2 0 ¶F()¶ 1； 3 F(−∞) = 0，F(+∞) = 1．.
.
定义 3 对任意随机变量 X（离散或连续），称函数 F() := P{X ¶ }, ∈R 为 X 的分布函数． 性质 2 随机变量的分布函数 F() 满足以下性质： 1 对任意实数 < b，总有 F() ¶F(b)； 2 0 ¶F()¶ 1； 3 F(−∞) = 0，F(+∞) = 1．.
.
分布函数与密度函数
性质 3 连续型随机变量的分布函数总是连续的，而 且有 1 F() = ∫ −∞ ƒ(t) dt． 2 ƒ() = ( F′(), 若导数存在； 0, 若导数不存在．.
.
任意区间上概率的计算
由密度函数的定义可知， P{ < X¶ b} = F(b) − F() = ∫ b ƒ() d. 在上式中令 → b，可以得到 P{X = b} = 0． 因此将 < X ¶ b 改为 < X < b, ¶ X < b 或 ¶ X ¶ b 后，第一个等式仍成立．.
.
任意区间上概率的计算
由密度函数的定义可知， P{ < X¶ b} = F(b) − F() = ∫ b ƒ() d. 在上式中令 → b，可以得到 P{X = b} = 0． 因此将 < X ¶ b 改为 < X < b, ¶ X < b 或 ¶ X ¶ b 后，第一个等式仍成立．.
.
任意区间上概率的计算
由密度函数的定义可知， P{ < X¶ b} = F(b) − F() = ∫ b ƒ() d. 在上式中令 → b，可以得到 P{X = b} = 0． 因此将 < X ¶ b 改为 < X < b, ¶ X < b 或.
.
连续型随机变量
例 1 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F() = 0, < 0 A2, 0¶ < 1 1, ¾ 1 . 求系数 A，概率 P{0.3 < X < 0.7}，及概率密度 ƒ()．.
.
连续型随机变量
例 2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = ( k+ 1, 0¶ ¶2; 0, 其他. 求系数 k 及分布函数 F(), 并计算 P{0.5 < X < 2}..
.
连续型随机变量
练习 2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 ƒ() = ( k||, −1 ¶ ¶ 1; 0, 其他. 求系数 k 及分布函数 F(), 并计算 P{−2 < X < 0.5}..
.
.
.
连续型随机变量
.
第三节
.
.
连续型随机变量的概率密度
.
A
.
.
常见的连续型随机变量
.
B
.
.
常见的连续型随机变量
1 均匀分布
2 指数分布
.
.
定义 4 若随机变量 X 有概率密度 ƒ() = ¨ 1 b− ∈ [,b] 0 otherwise , ( < b) 则称 X 服从区间 [,b] 上的均匀分布，记为 X ∼ U[,b]. 例子 均匀分布有如下这些例子： 四舍五入时产生的误差． 查看当前时间时的分钟值．.
.
定义 4 若随机变量 X 有概率密度 ƒ() = ¨ 1 b− ∈ [,b] 0 otherwise , ( < b) 则称 X 服从区间 [,b] 上的均匀分布，记为 X ∼ U[,b]. 例子 均匀分布有如下这些例子： 四舍五入时产生的误差．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 因此，当 t < 0 时，ƒ(t) = 0；当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性． 因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 因此，当 t < 0 时，ƒ(t) = 0；当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 因此，当 t < 0 时，ƒ(t) = 0；当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 因此，当 t < 0 时，ƒ(t) = 0；当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0． 当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 因此，当 t < 0 时，ƒ(t) = 0；当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 因此，当 t < 0 时，ƒ(t) = 0；当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt. 当 t ¾ 0 时，ƒ(t) = λe−λt．.
.
例 3 某医院平均每小时出生 λ 个婴儿，试研究婴儿 出生的时间间隔 X 的概率分布． 解答 婴儿出生事件同样满足这三个条件： ..1 普通性； .. 2 平稳性； ..3 独立性．因此 1 小时内出生婴儿个数 N(1) 服从泊松分布 P(λ)． t 小时内出生婴儿个数 N(t) 服从泊松分布 P(λt)． 当 t < 0 时，有 F(t) = P{X ¶t} = 0．当 t ¾ 0 时， F(t) = P{X ¶t} = 1 − P{X > t} = 1 − P{N(t) = 0} = 1 − e−λt..
.
连续型随机变量：指数分布
定义 5 如果随机变量 X 有以下概率密度 ƒ() = λe−λ ¾ 0 0 otherwise , 其中 λ > 0，则称 X 服从参数为 λ 的指数分布，记为 X∼ EP(λ). 其分布函数为 F() = 1− e−λ ¾ 0 ..
.
连续型随机变量：指数分布
指数分布经常作为时间间隔或等待时间的分布： 婴儿出生的时间间隔 客户来电的时间间隔 商品销售的时间间隔 网站访问的时间间隔 取号排队的等待时间 电子产品的寿命长度.
.
例 4 设某电子管的使用寿命 X（单位：小时）服从参 数 λ = 0.0002 的指数分布．求电子管使用寿命超过 3000 小时的概率． 练习 3 某元件寿命 X 服从参数为 λ= 0.001 的指数 分布．3 个这样的元件使用 1000 小时后，都没有损 坏的概率是多少？.
.
例 4 设某电子管的使用寿命 X（单位：小时）服从参 数 λ = 0.0002 的指数分布．求电子管使用寿命超过 3000 小时的概率． 练习 3 某元件寿命 X 服从参数为 λ= 0.001 的指数 分布．3 个这样的元件使用 1000 小时后，都没有损 坏的概率是多少？.
.
连续型随机变量：指数分布
例 5 (指数分布的无记忆性) 随机变量 X 服从参数为
λ 的指数分布．设 s,t > 0，求以下条件概率
.
.
连续型随机变量：正态分布
定义 6 如果随机变量 X 有以下概率密度 ϕμ,σ2() = 1 p 2π· σe −(−μ)2 2σ2 , 其中 μ,σ 为常数且 σ > 0，则称 X 服从正态分布，简 记为 X ∼ N(μ,σ2). 称 N(0,1) 为标准正态分布，并将其概率密度函数 ϕ0,1() 简写为 ϕ()．即有 ϕ() = p1 2πe −22 ..
.
连续型随机变量：正态分布
定义 6 如果随机变量 X 有以下概率密度 ϕμ,σ2() = 1 p 2π· σe −(−μ)2 2σ2 , 其中 μ,σ 为常数且 σ > 0，则称 X 服从正态分布，简 记为 X ∼ N(μ,σ2). 称 N(0,1) 为标准正态分布，并将其概率密度函数 ϕ0,1() 简写为 ϕ()．即有.
.
标准正态分布
标准正态分布的概率密度函数 ϕ(·) 有以下性质： 1 无穷次可微； 2 偶函数； 3 在零点取得最大值； 4 有拐点 ±1； 5 有水平渐近线（ 轴）．.
.
正态分布的分布函数
正态分布的分布函数为 μ,σ2() = ∫ −∞ 1 p 2π· σe −(t−μ)2 2σ2 dt, 该函数不是初等函数． 标准正态分布的分布函数简记为 ()． () = ∫ −∞ 1 p 2πe −t2 2 dt,.
.
正态分布的分布函数
正态分布的分布函数为 μ,σ2() = ∫ −∞ 1 p 2π· σe −(t−μ)2 2σ2 dt, 该函数不是初等函数． 标准正态分布的分布函数简记为 ()． () = ∫ 1 p e−t22 dt,.
.
正态分布的分布函数
标准正态分布的分布函数的性质 (−) = 1 − (). 例 6 已知 X ∼ N(0,1)，求 P(X ¶ 1.5), P(X ¶ −1.5), P(|X|¶1.5), P(X ¶ 3.2), P(−1 < X ¶ 2). 一般正态分布的分布函数 μ,σ2() 可以表示为 μ,σ2() = − μ σ ..
.
正态分布的分布函数
标准正态分布的分布函数的性质 (−) = 1 − (). 例 6 已知 X ∼ N(0,1)，求 P(X ¶ 1.5), P(X ¶ −1.5), P(|X|¶1.5), P(X ¶ 3.2), P(−1 < X ¶ 2). 一般正态分布的分布函数 μ,σ2() 可以表示为 μ,σ2() = − μ σ ..
.
正态分布的分布函数
标准正态分布的分布函数的性质 (−) = 1 − (). 例 6 已知 X ∼ N(0,1)，求 P(X ¶ 1.5), P(X ¶ −1.5), P(|X|¶1.5), P(X ¶ 3.2), P(−1 < X ¶ 2). 一般正态分布的分布函数 μ,σ2() 可以表示为.
.
正态分布
例 7 已知某台机器生产的螺栓长度 X (单位: 厘米) 服从参数 μ = 10.05,σ = 0.06 的正态分布．若规定 螺栓长度在 10.05 ± 0.12 内为合格品，试求螺栓为 合格品的概率． 例 8 假设某地区成年男性的身高 (单位: cm ) X ∼ N(170,7.692), 求该地区成年男性的身高超过 175 cm 的概率．.
.
正态分布
例 7 已知某台机器生产的螺栓长度 X (单位: 厘米) 服从参数 μ = 10.05,σ = 0.06 的正态分布．若规定 螺栓长度在 10.05 ± 0.12 内为合格品，试求螺栓为 合格品的概率． 例 8 假设某地区成年男性的身高 (单位: cm ) X ∼ N(170,7.692), 求该地区成年男性的身高超过.
.
正态分布
练习 4 X ∼ N(8,0.25)，求 P(|X − 8| < 1), P(X ¶ 10). 练习 5 X ∼ N(μ,σ2)，且 P(X ¶ 3) = 0.6179, P(X ¶ −5) = 0.0446. 求 μ 和 σ．.
.
正态分布
练习 4 X ∼ N(8,0.25)，求 P(|X − 8| < 1), P(X ¶ 10). 练习 5 X ∼ N(μ,σ2)，且 P(X ¶ 3) = 0.6179, P(X ¶−5) = 0.0446. 求 μ 和 σ．.
.
正态分布
例 9 X ∼ N(μ,σ2)，求 P(|X − μ| < σ), P(|X − μ| < 2σ), P(|X − μ| < 3σ). 3σ 原则：在应用中，对 X ∼ N(μ,σ2)，通常认为 X 只取 (μ − 3σ,μ+ 3σ) 中的值．计算可知，使用该原 则犯错误的概率不到千分之三．.
.
正态分布
例 9 X ∼ N(μ,σ2)，求 P(|X − μ| < σ), P(|X − μ| < 2σ), P(|X − μ| < 3σ). 3σ 原则：在应用中，对 X ∼ N(μ,σ2)，通常认为 X 只取 (μ − 3σ,μ+ 3σ) 中的值．计算可知，使用该原 则犯错误的概率不到千分之三．.
.
正态分布
设随机变量 X ∼ N(0,1)，对给定的 α ∈ (0,1)，称满 足条件 P{X > Zα} = α 的点 Zα 为标准正态分布的上 α 分位点． 易知 (Zα) = 1 − α 例 10 求 Z0.05, Z0.025, Z0.005．.
.
正态分布
设随机变量 X ∼ N(0,1)，对给定的 α ∈ (0,1)，称满 足条件 P{X > Zα} = α 的点 Zα 为标准正态分布的上 α 分位点．易知 (Zα) = 1 − α 例 10 求 Z0.05, Z0.025, Z0.005．.
.
复习与提高
选择 设 F1()，F2() 为两个分布函数，其相应的概 率密度 ƒ1() 与 ƒ2() 是连续函数，则必为概率密度 的是· · · ·( ) (A) ƒ1() ƒ2() (B) 2ƒ2()F1() (C) ƒ1()F2() (D) ƒ1()F2() + ƒ2()F1().
.
复习与提高
复习 1 已知连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = −62+ 6 + C , 0¶ ¶1; 0, otherwise. 求常数 C 并计算 P{X | −0.5 < X ¶ 0.5}．.
.
复习与提高
复习 2 已知连续型随机变量 X 的密度函数为 ƒ() = 122− 12 + C, 0¶ ¶ 1; 0, otherwise. 求常数 C 并计算 P{X ¶ 0.2 | 0.1 < X ¶ 0.5}．.
.
.
.
随机变量的定义
.
第一节
.
.
离散型随机变量
.
第二节
.
.
连续型随机变量
.
第三节
.
.
随机变量函数的分布
.
第四节
.
.
随机变量函数的分布
在实际问题中，有时我们关心的随机变量 Y 不容易直 接测量，而是要测量另外一个随机变量 X，把 Y 表示 为 X 的函数 Y = g(X)． 由此引出的问题是：已知 X 的分布，如何求 Y 的分 布？ 例如：已知圆球直径 D 的分布，求圆球体积 V = πD 3 6 的分布．.
.
随机变量函数的分布
在实际问题中，有时我们关心的随机变量 Y 不容易直 接测量，而是要测量另外一个随机变量 X，把 Y 表示 为 X 的函数 Y = g(X)． 由此引出的问题是：已知 X 的分布，如何求 Y 的分 布？ 例如：已知圆球直径 D 的分布，求圆球体积 V = πD 3 6 的分布．.
.
随机变量函数的分布
在实际问题中，有时我们关心的随机变量 Y 不容易直 接测量，而是要测量另外一个随机变量 X，把 Y 表示 为 X 的函数 Y = g(X)． 由此引出的问题是：已知 X 的分布，如何求 Y 的分 布？ 例如：已知圆球直径 D 的分布，求圆球体积 V = πD 3.
.
.
.
随机变量函数的分布
.
第四节
.
.
离散型随机变量函数的分布
.
A
.
.
连续型随机变量函数的分布
.
B
.
.
离散型随机变量函数的分布
例 1 设随机变量 X 有如下概率分布： X −1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 Y = (X − 1)2 的概率分布．.
.
离散型随机变量的函数的分布
总结：设离散型随机变量 X 的概率分布为 P{X = k} = pk, k = 1,2,· · · 令 Y = g(X)，则 Y 也是一个离散型随机变量，其分 布可按如下步骤求得 1 根据函数关系列出 Y 的所有可能值； 2 对 Y 的每个可能值 y，P{Y = y} 等于所有满足 g(k) = y 的 pk 之和．.
.
离散型随机变量的函数的分布
练习 1 假设随机变量 X 的分布为 X −1 0 1 2 P 0.2 0.25 0.3 0.25 求 Y = X2+ 1 以及 Z = X2− X 的概率分布．.
.
.
.
随机变量函数的分布
.
第四节
.
.
离散型随机变量函数的分布
.
A
.
.
连续型随机变量函数的分布
.
B
.
.
连续型随机变量函数的分布
对连续型随机变量 X，求 Y = g(X) 的密度函数的基 本方法是 1 根据函数关系先求 Y 的分布函数 FY(y) = P{Y ¶ y} = P{g(X) ¶ y} 2 然后对 FY(y) 求导可得 Y 的概率密度．.
.
连续型随机变量函数的分布
对连续型随机变量 X，求 Y = g(X) 的密度函数的基 本方法是 1 根据函数关系先求 Y 的分布函数 FY(y) = P{Y ¶ y} = P{g(X) ¶ y} 2 然后对 FY(y) 求导可得 Y 的概率密度．.
.
连续型随机变量函数的分布
例 2 设随机变量 X 有概率密度函数 ƒX() = / 8, 0 < < 4 0, else 求随机变量 Y = 2X − 1 的概率密度函数． 练习 2 设随机变量 X 有概率密度函数 ƒX() = 2, ∈ [0,1] 0, else 求随机变量 Y = −3X + 2 的概率密度函数．.
.
连续型随机变量函数的分布
例 2 设随机变量 X 有概率密度函数 ƒX() = / 8, 0 < < 4 0, else 求随机变量 Y = 2X − 1 的概率密度函数． 练习 2 设随机变量 X 有概率密度函数 ƒX() = 2, ∈ [0,1] 0, else.
.
连续型随机变量函数的分布
例 3 设随机变量 X 有概率密度函数 ƒX() = ||, ∈ (−1,1) 0, else 求随机变量 Y = 2X + 1 的概率密度函数． 例 4 设 X ∼ U[0,1]，求 Y = eX 的概率密度．.
.
连续型随机变量函数的分布
例 3 设随机变量 X 有概率密度函数 ƒX() = ||, ∈ (−1,1) 0, else 求随机变量 Y = 2X + 1 的概率密度函数． 例 4 设 X ∼ U[0,1]，求 Y = eX 的概率密度．.
.
连续型随机变量函数的分布
例 5 设 X ∼ N(0,1)，求 Y = eX 的概率密度． 练习 3 (1995 数四) 假设随机变量 X 的概率密度为 ƒX() = 2e−2, > 0 0, ¶ 0 证明：Y = 1 − e−2X 服从区间 (0,1) 上的均匀分布．.
.
连续型随机变量函数的分布
例 5 设 X ∼ N(0,1)，求 Y = eX 的概率密度． 练习 3 (1995 数四) 假设随机变量 X 的概率密度为 ƒX() = 2e−2, > 0 0, ¶ 0 证明：Y = 1 − e−2X 服从区间 (0,1) 上的均匀分布．.
.
一般正态分布的标准化
例 6 设 X ∼ N(μ,σ2)，求 Y = X− μ σ 的概率密度． 解答 Y = X− μ σ ∼ N(0,1)． 注记 设 X ∼ N(μ,σ2)，Y = X + b（ ̸= 0），则 Y ∼ N(μ + b,2σ2)..
.
一般正态分布的标准化
例 6 设 X ∼ N(μ,σ2)，求 Y = X− μ σ 的概率密度． 解答 Y = X− μ σ ∼ N(0,1)． 注记 设 X ∼ N(μ,σ2)，Y = X + b（ ̸= 0），则 Y ∼ N(μ + b,2σ2)..
.
一般正态分布的标准化
例 6 设 X ∼ N(μ,σ2)，求 Y = X− μ σ 的概率密度． 解答 Y = X− μ σ ∼ N(0,1)． 注记 设 X ∼ N(μ,σ2)，Y = X + b（ ̸= 0），则 Y ∼ N(μ + b,2σ2)..
.
连续型随机变量函数的分布
定理 1 设随机变量 X 有密度 ƒX(), ∈ (α,β)．如果 g() 在 (α,β) 上是严格单调的连续函数，存在唯一的 反函数 = h(y),y ∈ (,b)，并且 h′(y) 存在且连续， 那么 Y = g(X) 也是连续型随机变量，具有密度函数 ƒY(y) = ƒX[h(y)] · |h′(y)|, y ∈ (,b) 0, otherwise..
