连续型随机变量

连续型随机变量

1

分布函数

 随机变量的取值表示随机事件。

 如：都表示随机事件

 对某个实数 , 可以表示随机事件，其概率与实 数有关，对每个实数，都有唯一的概率值与之 对应，从而构成函数关系，记为

  

2

分布函数定义

 设是一个随机变量，是任意实数，函数

称为的分布函数。

 对于任意的实数，有：

  

3

x x

X

x

x

X

o

例：离散型 r.v. 的分布函数

 设随机变量的分布律为 求的分布函数 .

  

4

X p_k

-1 2 3

解：

2 1

4 1 4

1

例：离散型 r.v. 的分布函数

5

例：离散型 r.v. 的分布函数

6

分布律与分布函数

7

X x₁ x₂ x₃ x₄

P p₁ p₂ p₃ p₄

x1

x

x

1

. p₁ .

p₁+ p₂ .

p₁+p₂+p₃ .

如何根据分布 函数推分布律

？







































4 4 3

3 2

1

3 2

2 1

2 1

1

1

1

0

x x

x x x

p p

p

x x x

p p

x x x

p

x x x

F

, ,

, ,

,

, ,

) (

例：

 一个靶子是半径为 2 米的圆盘，设击中靶上任一 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，

并设射击都能中靶，以表示弹着点与圆心的距离

，试求随机变量的分布函数。

  

8

9

10

分布函数的性质

分布函数具有以下性质：

 是单调不减函数。

 且

 是右连续的，即

反之，任一具有以上三性质的函数必是某随机变量 的分布函数。

  

11

例

 设随机变量的分布函数为   试求常数 .

解：由分布函数的性质，我们有

解方程组得：

  

12

连续型随机变量

 元件寿命，到达时刻等随机变量的取值可以是 某个区间内的一切实数，这样的随机变量属于 连续型随机变量。

13

连续型随机变量定义

 设为随机变量，为的分布函数，若存在非负函 数 , 使对于任意实数有

则称为连续型随机变量，其中称为的概率密度函 数，简称密度函数。

 基本性质

 对于任意的 ,

  

14

连续型 r.v.  性质  

 (1)  是连续函数 证：可积，则连续 .

 (2) 证：

  

15

说明

  

16

1

x 0

p(x)

S

x1



x2

连续型 r.v.  性质  

 (3) 连续型 r.v.  在任一点取值的概率等于 0 ，即 证：

  

17

连续型 r.v.  性质  

 (4)  若在点处连续，则有

证：连续，则可导 .

  

18

例

19

}.

{ )

(

; )

(

; )

(

. ,

, ,

, ,

) (

2 1 7

3

2 1

0

4 2 3

2

3 0

























X P

X k

x x

x kx

x p

X

求

的分布函数 求

确定常数

其它

具有概率密度 随机变量

设

20

21

连续型随机变量函数的分布

 设是连续型随机变量，其密度函数为，是的连 续函数，是连续型随机变量。求的密度函数 .

  

22

分布函数法

 先求的分布函数

 的密度函数

例

 设随机变量具有密度函数

求的概率密度。

  

23



  

 , .

, ) ,

( 0 其它

1 0

2x x

x p_X

例

 设随机变量具有概率密度，求的概率密度。

解：先求的分布函数

 当时，

 当时，

  

24

定理

 设随机变量的密度函数为

( 可为 ,  可为 ).  若函数在处处可导，且恒大于 0

（或恒小于 0) ，则也是连续型随机变量，其概率 密度为

其中

  

25

26

27

28

例：逆分布  

 假设随机变量 ( 服从分布 ) 的密度函数为

求的密度函数。

解：令，则

利用上述定理，有当时，

( 逆分布的特例）

  

29

随机变量函数的分布

 离散型，离散型

 连续型，连续型

 连续型，离散型

  

30

联合分布函数

 设是一个二维随机向量，则对于任意实数对，

是的函数，称为二维随机向量的联合分布函数。

  

31

二维分布函数的几何意义

 表示平面上的随机点落在以为右上顶点的无穷 矩形中的概率。

  

32

y

o

(x, y) (X, Y )

二维分布函数性质

 分布对每个变量单调不减，即

 对固定的 , 当时，

 对固定的 , 当时，

 且

 对于任意 , 

 对于任意 , 

 .

  

33

二维分布函数性质

 关于每个变量右连续，即

  

34

y

o x₁ x₂ x

y₁ y₂

(X, Y )

(x₂ , y₂)

(x₂ , y₁) (x₁ , y₂)

(x₁ , y₁)

边缘分布函数

 已知的联合分布函数，分别讨论和各自的分布 函数和 .

 根据定义，

称为的边缘分布函数。

同理，定义的边缘分布函数

  

35

36

例

37

38

39

随机变量的独立性

 设为随机变量，若对任意实数，随机事件与相 互独立，即

或等价地，

, 则称随机变量与相互独立。

  

40

随机变量函数的独立性

41

二维连续型随机变量

 对于二维随机变量的分布函数，如果存在非负 函数 , 使得对于任意的有

则称是二维连续型随机变量，函数称为的联合概 率密度函数，简称概率密度。

  

42

概率密度的性质

 ;

 若在点连续，则有

 设是平面上的一个区域，点落在中的概率为

  

43

边缘密度

 设的联合密度函数为，求随机变量和的概率密 度。

 的边缘分布函数为 称为的边缘密度。

  

44

边缘密度

 同理，的边缘分布函数为 称为的边缘密度。

  

45

二维连续型 r.v. 独立性条件

46

例

47

48

49

50

51

二维离散 r.v. 条件分布律

 设二维离散 r.v. 的分布为

若 , 则

被称为条件下，的条件分布律

 类似地，可定义条件下，的条件分布律

  

52

二维连续型 r.v. 的条件分布

 当连续时，条件分布不能用来定义，因为，而 应该用来定义。

 ，所以不能用事件的条件概率来简单定义

  

53

二维连续型 r.v. 的条件分布

 在和连续下，左式 记为

  

54

条件分布、条件密度

 在条件下，的条件分布为

条件密度为 , 也记为

 同理，在条件下，的条件分布为 条件密度为 , 也记为

  

55

两个公式

 乘法公式

 全概率公式

  

56

例

 设的联合密度为

求条件密度 解：先求 当时，

  

57

二维随机变量函数的分布

 对于二维随机变量 , 实函数，可定义随机变量

，讨论的分布

 离散型，则为离散型，求的分布律

 连续型，只取可数个值，则为离散型，求的分布律

 连续型，为连续或分段连续函数，则为连续型，求 的密度函数

  

58

连续型， 连续型  

 已知的联合密度，求的密度函数

  

59

分布函数法

 先求的分布函数

 再求的密度函数

和的分布：

 设的联合密度为

  

60

和的分布：

61

  卷积公式

极大极小分布

 设相互独立，分布函数分别为，求 的分布函数。

  

62

极大极小分布

 设是个相互独立的随机变量，它们的分布函数 分别为则

 的分布函数为

 的分布函数为

 特别地，当独立同分布时

  

63