AAA AAA AAA AAA A A A AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AOA

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：96.04.24 班級 普三 班

範

圍 Book1 all

座號

姓 名 一、選擇題

1. 若 a_{n + 1} ≥ a_n，∀n ∈ N，則稱數列< a_n >為增數列。已知<

d cn

b an

+

+ >為增數列，其中 a，b，c，

d 均為正數，則(A) bd ≥ ac (B) ac ≥ bd (C) bc ≥ ad (D) ad ≥ bc (E) ab ≥ cd

【解答】(D)

【詳解】

∵ <

d cn

b an

+

+ >為增數列 ∴

d n

c

b n

a

+ +

+ +

) 1 (

) 1

( ≥

d cn

b an

+

+ ，∀n ∈ N

∴ [a(n + 1) + b](cn + d) ≥ [c(n + 1) + d](an + b)

即 acn(n + 1) + ad(n + 1) + bcn + bd ≥ acn(n + 1) + bc(n + 1) + adn + bd

∴ adn + ad + bcn ≥ bcn + bc + adn ⇒ ad ≥ bc

2. 在下圖中，△OA₀A₁是一底角為 30°而腰長為 1 的等腰三角形。已知∠OA₁A₂= 30°，線段

1 0A

A ，A₂A₃，A₄A₅，…互相平行，且線段A₁A₂ ，A₃A₄，A₅A₆，…也互相平行。試問：

(1)比值A₁A₂：A₀A₁ 等於多少？

(A) 4

3 (B) 2 1 (C)

2

3 (D) 3

3 (E) 2

2

(2)A₀A₁，A₁A₂ ，A₂A₃，A₃A₄，…，A_n−1A_n，…的長度之和等於多少？

(A) 2 3 3+

(B) 3 2

2

− (C) 2 (D) 2 2

2

− (E) 3 4

4

− (3)△A1A2A3的面積為何？

(A)16 1 (B)

16 3 3 (C)

8

2 (D) 2

3 9 (E)

18 3

(4)三角形^△A₁A₂A₃，^△A₃A₄A₅，^△A₅A₆A₇，…，^△A_2n−1A_2nA_2n+1，…的面積之和等於多少？

(A)16 3 (B)

12 3 (C)

7 3 3 (D)

6

2 (E) 16

3 3

【解答】(1) (D) (2) (A) (3) (E) (4) (A)

【詳解】

如下圖

在△OA₀A₁中 ∵ ∠A₁OA₀= ∠A₁A₀O= 30° ∴ ∠OA₁A₀=120°

∵ ∠OA₁A₂= 30° ∴ ∠A₂A₁A₀= 90°，其次，因為A₀A₁，A₂A₃，A₄A₅，…互相平行 且線段A₁A₂，A₃A₄，A₅A₆ ，…也互相平行，則得

0tan

1 2

1A AA

A = 30°=

3

1 ，A₂A₃ = A₁A₂tan30°=

3

1 ．

3 1 =

3 1

3tan

2 4

3A A A

A = 30°=

3 1．

3 1 =

3 3

1 ，A₄A₅ = A₃A₄tan30°=

3 3

1 ．

3 1 =

9 1

於是可得

(1)A₁A₂：A₀A₁= 3 1 ：1 =

3 1

(2)A₀A₁+A₁A₂+A₂A₃+A₃A₄ +…+A_n−1A_n + …=∑^∞

=

− 1

) 1

3 ( 1

k

k =

3 1 1

1

−

= 2

3 3 1 3

3 +

− =

(3)△A₁A₂A₃= 2 1

2 1A

A ×A₂A₃= 2 1．

3

1 ．

3 1=

18 3 (4)首先因為△A₁A₂A₃～△A₃A₄A₅～△A₅A₆A₇～…～

1 2 2 1

2n− A nAn+

A

△ ～…

而公比r =

3 2 1

5 4 3

A A A

A A A

△

△ =( )

2 1

4 3

A A

A

A ₂

= ( 3 1

3 3

1 ) ² =

9 1

故所求的面積為△A₁A₂A₃+△A₃A₄A₅+△A₅A₆A₇+…+△A_2n−1A_2nA_2n+1+…

=∑^∞

=118 3

k

． ) ¹ 9 (1 ^k− =

18 3．

9 1 1

1

−

=16 3

3. 設平面上的n條直線最多可把平面分割成a_n個區域，則下列何者正確？

(A) a3 = 6 (B) a5 = 15 (C) a_n = a_{n − 1} + n (D) a_n = 2

) 1 (n+ n

【解答】(C)

【詳解】

一條直線把平面分割成2個區域 ∴ a1 = 2

當n條直線把平面分割成an個區域時，若再加一條直線，則這直線和原來n條直線各有一 個交點，共得n個交點，這n個交點把新加的直線分成n + 1段，每一段表一個區域被這 段分成兩個區域，所以新加這條直線，則增加n + 1個區域

故a_{n + 1} = an + n + 1 由a_{n + 1} = an + n + 1

∴ a_{n + 1} − an = n + 1 即 a2 − a1 = 2 a3 − a2 = 3 a4 − a3 = 4

+)　a_n − a_{n − 1} = n

a_n − a1 = 2 + 3 + 4 + … + n a_n = 2 + 2 + 3 + 4 + … + n = 2 +

2 ) 1 )(

2

( +n n−

= 2

2 2 + + n n

(A) a3 = 2

2 3 3²+ +

= 7 ≠ 6，故(A)不正確 (B) a5 = 2

2 5 5² + +

= 16 ≠ 15，故(B)不正確 (C) a_n = a_{n − 1} + n，故(C)正確 (D) a_n =

2

2 2 + + n

n ≠

2 ) 1 (n+

n ，故(D)不正確 4. 設α，β為x² + 6x + 4 = 0之二根，則( α + β )² =？

(A) − 2 (B) − 4 (C) − 6 (D) − 8 (E) − 10

【解答】(E)

【詳解】

∵ α，β是x² + 6x + 4 = 0之二根 ∴ α + β = − 6，αβ = 4 ⇒ α < 0，β < 0

∴ ( α + β )² = α + β + 2 α β = (α + β) − 2 αβ = (− 6) − 2 4 = − 6 − 4 = − 10 5. 設a，b，c ∈ R且a ≠ 0，f (x) = ax² + bx + c，δ = b² − 4ac，若∀x ∈ R，f (x)恆大於0，則

(A) a > 0，δ > 0 (B) a < 0，δ < 0 (C) a > 0，δ < 0 (D) a < 0，δ > 0 (E)以上皆非

【解答】(C)

【詳解】f (x) = ax² + bx + c > 0，∀x ∈ R恆成立 ⇔ a > 0且b² − 4ac < 0 6. 設函數f (x)滿足f (x) + 1 = f (x + 1)，f (1) = 10，若f (n) = 351，則n =

(A) 341 (B) 342 (C) 343 (D) 344 (E) 345

【解答】(B)

【詳解】

f (1) + 1 = f (2) f (2) + 1 = f (3) f (3) + 1 = f (4)

+) f (n −1) + 1 = f (n)

∴ 10 + (n −1) = 351 f (1) + (n −1) = f (n) ∴ n = 342

7. 級數1 +_

個 2

2

2+ +_

個 3

3 3

3+ + +_{ }

個 4

4 4 4

4+ + + + … +_{ } _{ }

個 n

n n

n+ + + + …，其前100項的和為 (A) 945 (B) 932 (C) 919 (D) 906 (E) 893

【解答】(A)

【詳解】

(1)設第100項為k

則1 + 2 + 3 + 4 + … + (k − 1) < 100 ⇒ 2

1(k − 1)k < 100 ⇒ k² − k − 200 < 0

⇒ (k − 2 1+ 801

)(k − 2 1− 801

) < 0 ⇒

2 801 1−

< k <

2 1+ 801

14.…

∴ k = 14

(2)前100項的和為1 +_

個 2

2

2+ +_

個 3

3 3

3+ + + … +_{ }

個 13

13

13+ + +_{ }

個 9

14 14+ +

= 1² + 2² + … + 13² + 14 × 9 = 819 +126 = 945

【註】1² + 2² + 3² + … + n² = 6

1n(n + 1)(2n + 1)

8. (複選)設a，b，q，r均為整數，且a > b > 0，記號(x，y)表示整數x，y的最大公因數，記 號[x，y]表示整數x，y的最小公倍數，且a = bq + r，則下列各敘述何者不為真？

(A)若(a，b) = 1，則[a，b] = ab (B) [a，b] =

) (a b

ab

，

(C) (a，b) = (b，r) (D) (a，b) = (q，r) (E) [a，b] ≥ ab

【解答】(D)(E)

【詳解】

由(a，b)[a，b] = | ab | ∵ a > b > 0 ∴ (a，b)[a，b] = ab (A)∵ (a，b) = 1 ∴ [a，b] = ab為真

(B)[a，b] =

) (a b

ab

，

為真

(C)∵ a = bq + r ∴ 由歐幾里得輾轉相除法原理知(a，b) = (b，r)為真 (D)不真，如35 = 10 × 3 + 5 ⇒ (35，10) = (10，5) = 5，但(35，10) ≠ (3，5) (E)不真，如a = 6，b = 4，[6，4] = 12 < 6 × 4

9. (複選)桌上放有編號分別為1到200的卡片共200張，若甲從中拿走了編號為6的倍數的卡 片，乙再從剩下的卡片中拿走編號為4的倍數的卡片，下列何者為真？

(A)編號100的卡片在乙手上 (B)編號60的卡片在乙手上 (C)編號150的卡片還在桌上 (D)甲拿走的卡片比乙多 (E)桌上剩下的卡片超過120張

【解答】(A)(E)

【詳解】

(A)對。100為4的倍數，所以在乙手上

(B)錯。60雖為4和6的倍數，但甲先取，故在甲手上 (C)錯。150的卡片在甲手上

(D)錯。甲拿走[ 6

200] = 33張卡片，乙拿走[ 4 200] − [

12

200] = 50 − 16 = 34張卡片 故甲拿走之卡片比乙少

(E)對。桌上剩下卡片張數為200 − ([

4 200] + [

6 200] − [

12

200]) = 133 > 120

10. (複選)若a，b，c均是有理數之二次方程式ax² + bx + c = 0有兩根為α，β，則下列何者正 確？

(A) ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) (B)兩根為α，β必皆是有理數 (C)兩根的和α + β必是有 理數 (D)兩根的積αβ必是有理數

【解答】(A)(C)(D)

【詳解】

(A)對。∵ 二根為α，β ∴ ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) (B)錯。ax² + bx + c = 0之二根為

a ac b

b 2

2 4

−

±

−

若b² − 4ac不為完全平方數，則兩根為α，β不是有理數

(C)對。α + β = − a

b為有理數

(D)對。αβ = a

c為有理數

11. (複選)平面坐標系中，下列敘述何者正確？

(A)點P(x0，y0)對x軸的對稱點為( − x0，y0) (B)點P(x0，y0)對y軸的對稱點為(x0，− y0) (C) 點P(x0，y0)對原點的對稱點為( − x0，− y0) (D)點P(x0，y0)對直線y = x的對稱點為(y0，x0) (E)點P(x0，y0)對直線y = − x的對稱點為( − y0，− x0)

【解答】(C)(D)(E)

【詳解】

(A)點P(x0，y0)對x軸的對稱點為(x0，− y0) (B)點P(x0，y0)對y軸的對稱點為( − x0，y0) (C)點P(x0，y0)對原點的對稱點為( − x0，− y0) (D)點P(x0，y0)對直線y = x的對稱點為(y0，x0) (E)點P(x0，y0)對直線y = − x的對稱點為( − y0，− x0)

12. (複選)設A = {3，4，{3}，{3，4}，5}，則下列敘述何者是正確的？

(A) 3∈A (B) {3}∈A (C) {3，4}∈A (D) {{3，4}}⊂ A (E) {4，5}∈A

【解答】(A)(B)(C)(D)

【詳解】

集合A中有5個元素，其中包含三個自然數3，4，5及二個集合{3}，{3，4}， 3，{3}，{3，4}均為其元素，故(A)，(B)，(C)均為正確

{3，4}為其元素，故{{3，4}} ⊂ A，故(D)為正確 4，5為其元素，故{4，5} ⊂ A，故(E)為不正確

13. (複選)一元二次方程式x² + 2kx − k + 6 = 0，k ∈ R的兩根均為負根，則k可能為下列哪一個 值？(A)

2

3 (B) − 5 (C) 3

7 (D) 10 (E) 2 − 3

【解答】(C)(D)

【詳解】

∵ x² + 2kx − k + 6 = 0的兩根均為負

∴







>

+

−

<

−

≥ +

−

−

0 6

0 2

0 ) 6 ( 4 ) 2 ( ²

k k

k k

⇒







<

>

−

≤

≥ 6 0

3 2

k k

k

k 或

⇒ 2 ≤ k < 6 ∴ 其中k = 3

7及 10滿足k之範圍，故選(C)(D)

14. (複選)設a，b ∈ R，若多項式f (x) = (x − 6)³⁰ + ax + b可析出x − 5與x − 7兩個因式，則 (A) a = 0 (B) b = −1 (C) x − 6除f (x)之餘式為 − 1 (D) x − 4除f (x)之餘式為1027 (E) x − 8除f (x)之餘式為f (4)

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

(1) f (x)有x − 5，x − 7兩個因式

∴ f (5) = 0，f (7) = 0

∴ 5a + b + 1 = 0，7a + b + 1 = 0 ∴ a = 0，b = − 1 (2)∴ x − 6除f (x)餘式為f (6) = 6a + b = − 1

x − 4除f (x)餘式為f (4) = 2³⁰ + 4a + b = 2³⁰ − 1 ≠ 1027 x − 8除f (x)餘式為f (8) = 2³⁰ + 8a + b = 2³⁰ − 1 = f (4)

15. (複選)下列各數列何者一定收斂？

(A) an = n

1 (B) bn = ar^{n − 1} (C) cn = (− 1)ⁿ (D) dn = 7 + (−

2

1)ⁿ (E) en = _n

n n

6 2 3 +

【解答】(A)(D)(E)

【詳解】

(A)正確：lim

∞

→

n n

1= 0，收斂 (B)錯誤：bn = ar^{n − 1}，當 | r | ≤ 1時才收斂，否則發散

(C)錯誤：< cn > = < − 1，1，− 1，1，… >，發散 (D)正確：lim

∞

→ n

[7 + (−

2

1)ⁿ] = 7

(E)正確：lim

∞

→ n

( _n

n n

6 2 3 +

) = lim

∞

→ n

[

n n n

n n

6 6 6

) 2 3 ( +

] = 1 0 0+

= 0，收斂

二、填充題

1. 設x ∈ Z，若x⁴ + x² + 1為質數，則x = ，此質數為 。

【解答】± 1，3

【詳解】

∵ x⁴ + x² + 1 = (x² + 1 − x)(x² + 1 + x)

x² − x + 1 = 1 ⇒ x = 0，1（0不合），x² + x + 1 = 1 ⇒ x = 0，− 1（0不合）

⇒ x = ± 1，p = 3

2. | 2x + 5 | + | 2x − 1 | = 6之解集合為 。

【解答】 2

−5

≤ x ≤ 2 1

【詳解】

| 2x + 5 | + | 2x − 1 | = | 2x + 5 | + | 1 − 2x | ≥ | 2x + 5 + 1 − 2x | = 6 此時(2x + 5)(1 − 2x) ≥ 0，即(2x + 5)(2x − 1) ≤ 0 ⇒

2

−5

≤ x ≤ 2 1

3. 不論k為任何實數，直線Lk：x + y − 11 + k(x − y + 5) = 0恆過一定點P， (1)此定點P的坐標為 。

(2)如果直線Lk與y軸平行，則k = 。

(3)如果三直線：Lk，x軸及y = x不能圍成一三角形，則k可能值為 。

【解答】(1) (3，8) (2) 1 (3) 5

11，− 1

【詳解】

(1) Lk：x + y − 11 + k(x − y + 5) = 0恆成立，則





= +

−

=

− +

0 5

0 11 y x

y

x ，得





=

= 8 3 y

x ，即定點P(3，8)

(2) Lk：(k + 1)x + (1 − k)y + (5k − 11) = 0，若Lk // y軸，則斜率 1 1

− + k

k 不存在，得k = 1

(3) Lk，x軸，y = x三直線之斜率分別為 1 1

− + k

k ，0，1

若L_k // x軸，則k + 1= 0，得k = − 1

若L_k // y = x，則 1 1

− + k

k = 1 ⇒ _無解

若Lk通過x軸及y = x之交點(0，0)，則k = 5

11，此時三直線交於一點，不能構成三角形

由
，，可知k = − 1， 5

11時，Lk，x軸及y = x不能圍成一三角形 4. i = −1，求1 + 2i + 3i² + 4i³ + … +100i⁹⁹之和為 。

【解答】− 50(1 + i)

【詳解】

S = 1 + 2i + 3i² + 4i³ + _… + 99i⁹⁸ + 100i⁹⁹

− ) iS = i + 2i² + 3i³ + _………… + 99i⁹⁹ + 100i¹⁰⁰ (1 − i) S = ( 1+ i + i² + i³ + _………… + i⁹⁹ ) −100i¹⁰⁰ (1 − i)S =

i i

−

− 1 1 ¹⁰⁰

− 100 ⇒ (1 − i)S = − 100 ⇒ S =

−i

− 1

100= − 50(1 + i)

5. 一數列寫成1， 2 1，

1 2，

3 1，

2 2，

1 3，

4 1，

3 2，

2 3，

1 4，

5 1，

4 2，

3 3，

2 4，

1

5，…，按此規

則推算下去，則 10

7 應是第 項。

【解答】127

【詳解】

(1)此數列分子與分母之和為2，3，4，…者各有1，2，3，…個，而 10

7 的分子與分母之和 為17

(2)此數列至分子分母之和為16者共有1 + 2 + 3 + … + 15 = 120項 第121項起，依序為

16 1 ，

15 2 ，

14 3 ，

13 4 ，

12 5 ，

11 6 ，

10 7 ，

9 8，

8 9，…

∴ 10

7 為第127項

6. 使(360)ⁿ整除120！的正整數n最大值是 。

【解答】28

【詳解】

(360)ⁿ | 120！ ⇒ (2²ⁿ × 3²ⁿ × 5ⁿ) | 2¹¹⁶ × 3⁵⁸ × 5²⁸ × …

























+

=

+ +

+

=

+ +

+ +

+

=

5 ] [120 5 ]

[120 28

3 ] [120 3 ]

[120 3 ]

[120 3 ]

[120 58

2 ] [120 2 ]

[120 2 ]

[120 2 ]

[120 2 ]

[120 2 ]

[120 116

2

4 3

2

6 5

4 3

其中 2

即3n ≤ 116，2n ≤ 58且n ≤ 28，得n ≤ 28，故n最大值為28

7. 設x ∈ N，x > 1，且x除135，278，395所得的餘數均相等，則x = 。

【解答】13

【詳解】

設共同餘數為r，則x | (135 − r)，x | (278 − r)，x | (395 − r)

由x | (135 − r)，x | (278 − r) ⇒ x | (278 − r) − (135 − r) ∴ x | 143 x | (135 − r)，x | (395 − r) ⇒ x | (395 − r) − (135 − r) ∴ x | 260 又x | (278 − r)，x | (395 − r) ⇒ x | (395 − r) − (278 − r) ∴ x | 117

∴ x | (143，260，117) ∵ (143，260，117) = 13 ∴ x | 13

∵ x > 1 ∴ x = 13

8. 設a ∈ N，a ≤ 400，a與60的最大公因數為6的a共有 個。

【解答】26

【詳解】

設a = 6k，則1 ≤ 6k ≤ 400 ⇒ 1≤ k ≤ 600，k ∈ N (a，60) = (6k，60) = 6 ⇒ (k，10) = 1

k共有66 − ([

2 66 ] + [

5 66] − [

10

66]) = 66 − (33 + 13 − 6) = 26 故a共有26個

9. 設正實數a的小數部分為b，已知a² + b² = 38，則a之整數部分為 。

【解答】6

【詳解】

∵ 0 ≤ b < 1 ∴ 0 ≤ b² < 1

即0 ≤ 38 − a² < 1 ⇒ 37 < a² ≤ 38 ⇒ 37< a ≤ 38 ∴ a的整數部分為6

【註】∴ a = 6 + b，而a² + b² = 38

∴ b = − 3 ± 10，取b = − 3 + 10 （∵ 0 ≤ b < 1） ∴ a = 3 + 10 10.設n ∈ N且1 ≤ n ≤ 240，則滿足(n，240) = 10的n有 個。

【解答】8

【詳解】

設n = 10k ∵ 1 ≤ n ≤ 240 ∴ 1 ≤ k ≤ 24 由(n，240) = (10k，240) = 10，得(k，24) = 1 則k之個數為24 − ([

2 24] + [

3 24] − [

6

24]) = 24 − 16 = 8 即滿足(n，240) = 10的n有8個

11.a是正實數，a的小數部分是b，a² + b² = 40，則a = 。

【解答】3 + 11

【詳解】

0 < b < 1 ⇒ 0 < b² < 1

∵ a² + b² = 40 ⇒ a² = 39.…，故a = 6.…

設a = 6 + b，則a² + b² = 40 ⇒ (6 + b)² + b² = 40 ⇒ b² + 6b − 2 = 0

∴ b = 2

44 6±

− = − 3 ± 11（負不合）

取b = − 3 + 11，則a = 6 + b = 3 + 11

12.若a，b，q1，q2，q3均為正整數，且合於下列條件

a = bq1 + 8472_；b = 8472q2 + 444_；8472 = 444q3 + 36，則a，b的最大公因數為 。

【解答】12

【詳解】

∵ a = bq1 + 8472 ∴ (a，b) = (b，8472)_……

∵ b = 8472q2 + 444 ∴ (b，8472) = (8472，444)_……

∵ 8472 = 444q3 + 36 ∴ (8472，444) = (444，36)_……

由
，，

(a，b) = (444，36) = 12

13.若多項式x³ + 4x² + 5 x − 3除以f (x)之商式為x + 2，餘式為2x −1，則f (x) = 。

【解答】x² + 2x −1

【詳解】

由除法定理知x³ + 4x² + 5x − 3 = f (x)(x + 2) + 2x −1 ∴ f (x)(x + 2) = x³ + 4x² + 3x − 2 除以x + 2得f (x) = (x³ + 4x² + 3x − 2) ÷ (x + 2) = x² + 2x −1

14.設A = {x | x∈R，2 < x < 5}，B = {x | x∈R，2 ≤ | 2x + 1 | ≤ 7}，則 (1) B = 。 (2) B − A = 。

【解答】(1) B = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ − 2 3或

2

1≤ x ≤ 3}

(2) B − A = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ − 2 3或

2

1≤ x ≤ 2}

【詳解】

(1)
| 2x + 1 | ≥ 2 ⇒ 2x + 1 ≥ 2或2x + 1 ≤ − 2 ⇒ x ≥ 2

1或x ≤ − 2 3

 | 2x + 1 | ≤ 7 ⇒ − 7 ≤ 2x + 1 ≤ 7 ⇒ − 4 ≤ x ≤ 3 由
∩_知B = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ −

2 3或

2

1≤ x ≤ 3}

(2) B − A = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ − 2 3或

2

1≤ x ≤ 2}

15.設a，b為二實數，二集合A = {(x，y) | ax − 2y = 8}，B = {(x，y) | x + by = 5}，若A ∩ B = {(2， 1)}，則數對(a，b) = 。

【解答】(5，3)

【詳解】

A ∩ B = {(2，1)}

⇒ (2，1)∈A ⇒ x = 2，y = 1滿足ax − 2y = 8 ⇒ _代入2a − 2 = 8 ⇒ a = 5 同理：2 + b = 5 ⇒ b = 3

16.最大公因數問題：

把2987和725的最大公因數表成2987m + 725n之形式，其中m，n ∈ Z，則 (1) (2987，725) = 。（即2987與725的最大公因數）

(2)在滿足2987m + 725n = (2987，725)之m，n中，求m² + n²的最小值 = 。

【解答】(1) 29 (2) 1153

【詳解】

(1)由輾轉相除法原理得(2987，725) = 29

(2)由(1)可知29 = 725 − 8 × 87 = 725 − 8(2987 − 4 × 725) = 2987 × (− 8) + 725 × 33

⇒ m = − 8，n = 33

則m² + n² = 8² + 33² = 1153

17.設α，β為x² − 4x + 1 = 0之二根，則 α² +1+ β²+1之值為 。

【解答】2 6

【詳解】







= +

−

= +

−

0 1 4

0 1 4

2 2

β β

α

α ⇒







= +

= +

β β

α α

4 1

4 1

2 2

，又

=

= +

1 4 αβ

β

α （α > 0，β > 0）

∴ α² +1+ β² +1= 4α + 4β = 2 ( α + β )

( α + β )² = (α + β ) + 2 αβ = 4 + 2 = 6 ⇒ ( α + β ) = 6（∵ α > 0，β > 0） 故所求 = 2 ( α + β ) = 2 6

18.設x ∈ R，[x]表不大於x的最大整數，令f (x) = [ x ]，x > 0， (1) x ∈ N，使f (x) = k之自然數x有 個。

(2) f (1) + f (2) + f (3) + … + f (100)之值= 。

【解答】(1) 2k + 1個 (2) 625

【詳解】

(1)∵ f (x) = [ x ]

欲使f (x) = k ∈ N，即[ x ] = k ⇒ k ≤ x < k + 1 ⇒ k² ≤ x < (k +1)²

∵ x ∈ N ∴ x共有(k + 1)² − k² = 2k + 1個 即x = k²，k² + 1，k² + 2，…，k² + 2k，共2k + 1個 (2) f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + … + f (100)

= f (1) + f (2) + f (3) + f (2²) + f (2² + 1) + … + f (3²) + … + f (10²)

=_

個 3

1 1

1+ + +_{   }

個 5

2 2 2 2

2+ + + + +_

個 7

3 3 3 3 3 3

3+ + + + + + + … +_{ }

個 19

9 9+ + +10

= (3 × 1 + 5 × 2 + 7 × 3 + … + 19 × 9) + 10

= ∑ +

= 9

1

) 1 2 (

k

k ．k + 10 = ∑ +

= 9

1

2 )

2 (

k

k

k + 10 = 2 ∑

= 9

1 2 k

k + ∑

= 9

1 k

k+ 10

= 2 × 6

1× 9 × 10 × 19 + 2

1× 9 × 10 + 10 = 570 + 45 + 10 = 625

19.在1與999之間，插入n項，使其成為一等差數列，試求數列總和超過10000時，最小自 然數n值為 。

【解答】19

【詳解】

等差數列：1，b1，b2，…，b_n，999，共(n + 2)項，總和=

2 ) 999 1 )(

2 (n+ +

> 10000

n > 18，所以最小自然數n為19

20.數列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，其前100項之和為 。

【解答】945

【詳解】

( 1 )，(2，2)，(3，3，3)，(4，4，4，4)，…

第n組之末項為原數列之第1 + 2 + … + n = 2

1n(n + 1)項

n = 13時，

2

1．13．14 = 91，100 − 91 = 9 ∴ 第100項位在第14組內之第9項

∴ S100 = 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + … + 13 × 13 + 14 × 9 = 6

1．13．14．27 + 126 = 945

21.將10⁶元以定期儲蓄存款方式存入銀行一年，年利率為6％，按月複利計息，已知(1 + 0.5

％)¹² = 1.061678，則一年期滿可得本利和為 元。

【解答】1061678

【詳解】

(1) 6％ ÷ 12 = 0.5％

(2)一個月後本利和為10⁶(1 + 0.5％)，二個月後本利和為10⁶(1 + 0.5％)²，…

12個月後，本利和為10⁶(1 + 0.5％)¹² = 1.061678 × 10⁶ = 1061678（元）

22.(1) _{1 1}

4 3

4 lim 3_{+ +}

∞

→ +

+

n n

n n

n = 。 (2)

101 1 lim 2₂

2

+

−

∞

→ n

n

n = 。

【解答】(1) 4

1 (2) 2

【詳解】

(1)nlim→∞ _{1 1}

4 3

4 3

+ + +

+

n n

n n

=nlim→∞

4 4) (3 3

1 4) (3

+ +

n n

．

=

] 4 4) (3 3 [ lim

] 1 4) [(3 lim

+ +

∞

→

∞

→

n n

n n

．

=4 1

(2)nlim→∞

101 1 2

2 2

+

− n

n =

∞

→ n

lim

2 2

1 101 2 1

n n +

−

=

101) 1 ( lim

1 ) 2 ( lim

2 2

n n

n n

+

−

∞

→

∞

→ =

1 2= 2

23.不等式2 < | x − 1 | < 9之解為 。

【解答】− 8 < x < − 1或3 < x < 10

【詳解】

2 < | x − 1 | < 9 ⇒ | x − 1 | > 2且 | x − 1 | < 9

⇒ x − 1 > 2或x − 1 < − 2；− 9 < x − 1 < 9 ⇒ x > 3或x < − 1；− 8 < x < 10

∴ − 8 < x < − 1或3 < x < 10

24.設a ∈ R，若3x² + (a + i)x + 2i − 6 = 0有實根，則a之值為 。

【解答】3

【詳解】

設方程式之實根為α，代入原方程式成立

∴ 3α² + (a + i)α + 2i − 6 = 0 ⇒ (3α² + aα − 6) + (α + 2)i = 0

∴ α + 2 = 0，3α² + aα − 6 = 0 ∴ α = − 2，a = 3

25.L為過A(2，1)且與L1：2x − y = 0，L2：2x + y = 0各交於P，Q之直線，若A為 PQ 的中點，

則L之方程式為 。

【解答】y = 8x − 15

【詳解】

令P(a，2a)，則Q可由中點公式得(4 − a，2 − 2a)，又Q在L2上

∴ 2(4 − a) + (2 − 2a) = 0 ⇒ a = 2

5 ⇒ P(

2

5，5)，Q(

2

3，− 3)，則L：y = 8x − 15

26.試求 + + + + =

+ + +

+ + + +

−

 

 _n

n

5 3 3

1 5

9 3 1 5

3 1 5

1 ¹

3

2 。

【解答】8 5

【詳解】

 

 + + + + +

+ + + + + +

− n

n

5 3 3

1 5

9 3 1 5

3 1 5

1 ¹

3

2 =  

 + + + + +

+ + + + + +

− n

n

5 3 3

1 5

3 3 1 5

3 1 5

1 ¹

3 2 2

其一般項 _k

k

k k

5 1 3

) 1 3 ( 1 5

3 3

1 ¹ −

− + =

+

= +

− ．

 = ) ]

5 (1 5) [(3 2

1 k k

−

∴ 原式 =∑^∞ −

=1

] 5) (1 5) [(3 2 1

k

k

k = )

5 1 1

5 1

5 1 3

5 3 2( 1

−

−

−

= 8

) 5 4 5 2 (3 2

1 − =

27.一等差數列中，首項= 1000，公差= − 3，則前幾項和最大？_____________

【解答】334

【詳解】

Sn達最大，則an ≥ 0取最大n，an = 1000 + (n − 1)(− 3) = − 3n + 1003 ≥ 0

⇒ − 3n ≥ − 1003 ⇒ n ≤ 334 3

1 ∴ n最大為334，故前334項和為最大

28.在複數平面上，六邊形ABCDEF是以原點O為圓心，1為半徑之圓的內接正六邊形，如圖 所示，若點A代表之複數為1，試求各頂點B，C，D，E，F所代表之複數。

【解答】B(

2 1+

2

3i)，C(−

2 1+

2

3i)，D( −1 + 0i)，E(−

2 1−

2

3i)，F(

2 1−

2 3 i)

【詳解】

∵ 圓的半徑為1 ∴ OA= OB = OC = OD = OE = OF =1

又ABCDEF為圓的內接正六邊形，如圖 ∴ AB= BC = CD =DE=EF=FA=1

∵ △OAB為正三角形 ∴ OG= 2

1；BG= 2

3

⇒ FG=

2

3；OH= 2

1；CH = 2

3； EH = 2

3

∴ A，B，C，D，E，F各頂點坐標為 A(1，0)，B(

2 1，

2

3)，C(−

2 1，

2

3)，D(−1，0)，E(

2

−1

， 2

− 3

)，F(

2 1，−

2 3)

故各頂點所表的複數分別為A(1 + 0i)，B(

2 1+

2

3i)，C(−

2 1+

2

3 i)，D( −1 + 0i)，E(−

2 1−

2 3i)，

F(2 1−

2 3 i)

29.若αx³ + βx² − 47x − 15能析出3x + 1與2x − 3之因式，試求：α，β及第三因式。

【解答】α = 24，β = 2，第三因式為4x + 5

【詳解】

(3x + 1)(2x − 3) = 6x² − 7x − 3 整除，可以利用升次排列

∴ α = 24，β = 2，第三因式為4x + 5

30.勘定方程式12x³ − 8x² − 21x + 14 = 0的實根分別在哪些連續整數之間？

【解答】在 − 2與 − 1，0與1，1與2之間各有一實根

【詳解】

令f (x) = 12x³ − 8x² − 21x + 14

f (− 3) = 12．(− 27) − 8．9 + 21．3 + 14 < 0 f (− 2) = 12．(− 8) − 8．4 + 21．2 + 14 < 0 f (− 1) = 12(− 1) − 8 + 21 + 14 > 0，f (0) = 14 > 0

f (1) = 12 − 8 − 21 + 14 < 0，f (2) = 12．8 − 8．4 − 21．2 + 14 > 0

∵ f (− 2) f (− 1) < 0，f (0) f (1) < 0，f (1) f (2) < 0且f (x) = 0最多有三實根 故在 − 2與 − 1，0與1，1與2之間各有一實根

31.若對任意實數x，(a² − 1)x² + (a − 1)x + 1 > 0恆成立，求a的範圍。

【解答】a <

3

−5

或a ≥ 1

【詳解】

對任意實數x，(a² − 1)x² + (a − 1)x + 1 > 0恆成立的充要條件為 a² − 1 > 0且D = (a − 1)² − 4(a² − 1) < 0

∴ (a − 1)(a + 1) > 0且(a − 1) (3a + 5) > 0

⇒ _（a < −1或a > 1）且（a <

3

−5

或a > 1）

⇒ a <

3

−5

或a > 1，又a = 1時，原式1 > 0成立 故所求為a <

3

−5

或a ≥ 1