數學考科

全國公私立高級中學

103 學年度學科能力測驗第四次聯合模擬考試

考試日期﹒ 103 年 12 月 18 ～ 19 日

數學考科

一作答注意事項一 考試時間： 100 分鐘

題型題數：單選題 6 題，多選題 6 題，還填題第 A 至 H 題共 8 題 j午答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答﹔更正時，應以橡皮擦擦

拭，切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器 掃描無法辨j哉答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A ’ B'

C'

例子。

例：若第 B 趣的答案格式是跤，而依題意計算出來的答案是生叭貝＇］考生必須

@

分別在答案卡上的第 18 列的直與第 19 列的占盡記，如：

lS I 2 3 4 5 6 7 8 9 O …±

= i:::司區盤盤 E司＝ ＝亡3 亡::i==i:::司亡3

19 凸品已占亡已占~臨海占品已是

例：時 C 題的答案格式是響，而答案是勻，貝恃生必須分別在答案 卡的第 20 列的口與第 21 列的已盡記，如：

9 0 +

20 口口口口口口口口口口國已

5 6 7 8 9 0 一＋

21 口口口口口口國口口口口已

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

、

第 1 頁 共 7 頁

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單譯題（占 30 分）

103-4 學測數學考科

說明：第 l 題至第 6 星星，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫吉己在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分﹔答錯、

未作答成畫吉己多於一個選項者，該題以零分計算。

la.= I

I. 若一教子lj ＜刊戶，定義為：

i

I

（！）。

(2) I

(3) 2 (4 ）夫 (5) 4

。

2. !I寄 l 、 2 、 3 、 4 分別填入國 (I ）的方格內，每格一個數字，數字不可重複，試問數字 2 、 3 相當HI (ll~ 2 、 3 在同一手lj 或同一行）的機率為何？

(!)

.!.

4 (2)

.!.

3 (3)

.!.

2 (4)

~

3 (5)

~

4

3 若︱：﹔ ＼＝ K ，貝lj I

(!) -13K (2) SK (3) -K (4) SK

、

山

留 (I)

103 4 學測數學考科

4 設一拋物線 r 的頂點為 y ，焦點為 PV=PF ’買lj t::.PVF 的 j]j 積為何？

(!)

%.)2

(2) 2.)2

仔）﹔占

(4) 3.)2

仔） ~.)2

第 2 頁 共 7 頁

y ，焦距為 2 。若 P 為拋物線 r 上一點，且

5. 圖。）中的正立方體平放在桌面上，而四邊形 ABCD 是某一平面截此正立方體所得的

I 2

間形。若此正立方體的邊長為 1 ，且 A 、 B 、 C 三點到桌面的距離分別為 0 、一、一，

2 3

貝lj D 點到桌面的距離為何？

(I ）土

10 (2)

i

仔）﹔

例） ~

仔）﹔

、

6. 設 f(x） 為一個二次多項式，貝lj f(l）、／（2）、／（3）、 f(S） 必滿足下列 l哪一個選項？

(I) f(l) 8/(2) + 2/(3) = f(S) (2) 2/(1)÷8/(2) 4/(3) = f(S) (3) 3f(l)-8f(2)+6f(3)=f(5) (4) 4f(1)+8f(2)-8f(3)=f(5) (5) 5f(l)-8f(2)+10f(3)=f(5)

、

第 3 頁 共 7 頁

二、多選題（占 30 分）

103 4 學沮u 敏學考科

說明．第 7 題至第 12 題，每題有 5 個逐項，其中至少有一個是正確的選項，請將 正確退學項畫言已在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之逐項獨立判定，

所有逐項均答對者，得 5 分﹔答錯 1 個逐項者，得 3 分﹔答錯 2 個選項者，

得 1 分﹔答錯多於 2 個逐項或所有進項均未作答者，該題以零分計算。

7. 在坐標空間中，下列哪些選項的解集合代表過 A(2,0, I) , B(I, 2, I）開點的直線？

(!) 2x 3y-4z~O

( x = 2 -'-1 I 2

(2

){

I z=l-t

(3）主~＝互矛于

'12x+2ν ＋ z=5

( 4 ）仁 ν8

﹝正x+y=4

l2x-3y-4z=0 (5) Fx+2y+z 口 5

[y÷z =I

、

8. 設 A(3,I, 2）、 B(I, I, -1）、 C(7 ,2 ，一 I）、 D(5,k,2k） 為坐標空間中四個點，請選出正確

的選項。

(I) LBAC = 135。

(2) MBC 的面積小於 5

(3 ）若 A 、 B 、 c 、 D 四點共平面，貝lj k > 0

(4）若 k 斗，貝lj 由三！句量石、 IC 、五 /ilT 張／±J 的平行六面體體積為 18

(5 ）若活在頁上的正射影為五言，貝lj

103 4 學測量日學考科 第 4 頁 共 7 頁

9 設 f(x) ＝叫l ＋的2 +ex ÷d 為三次實係數多項式，且複數 i+2 為方程式 f(x)= 0 的！秤，請選 出正確的選項。

(!) f(i-2)'=0

(2 ）若 f(i)=2-i ，貝lj f（內 ＝ 2+i

(3 ）若以－ 2 為 f(x） 的因式，＼＇！IJ 3 是 α 的因數旦 2 是 d 約悶數 ( 4 ）若 f(l)=O' \'!IJ b=d

(5 ）若 f(O)> 0 且 f( 2) < 0 ，開l f (…4) <0

f2x+ y ＇.三 l

I 0. 如國（ 3 ），在坐標平頂上，設二元一次聯立不等式 J Gλ … by 主 c

IY 全 l 的可行 fqijl 區域為血ABC 內部及其邊界，若目標函數 px-qy 在 B 點產生最小值，且在 A 點產生最大值。詰選出正確 的選項。

(I ） α ＞ 0

(2) b>O (3) c > 0 (4) p?:O (5) p+2q 注。

y

x

閱（ 3)

、。、

I I. 在坐標平面上，自圓 C ：正＋y' +2x

÷

(I ）劉 C 的國心坐標為（I, I) 2 I (2) A 點座標為（一一，－一）

3 3

(3 ）直線 PB 的方程式為 x+2 立。

問 f'..PAB 的白積為﹔

(5 ）在國le 上共有 4 個點與 P 點的距離為正星星數

、

第 5 頁

共 7 頁 103-4 學測數學考科

12 ，設有 10 jj'z 同學第一次段考與第二次段考的數學成績分別以 x 、 y 表示，已知 x 的平均 盟友為 X=60 ' X 的標準差為 σx =3' y 的平均數為 Y 口 70 ，而 X 與 Y 的相協係數為 0.9 '

且 Y 對 X 的迴歸直線通過點（70, 73）。請選出正確的選項。

(1) y 對 X 的迴歸葭線方程式為 Y=0.3X+52 (2) y 的襟準差為 σy =l

(3 ）這 10 位同學第二次段考的數學成績都不低於 60 分

( 4 ）若 X’、 Y＇ 分別表示 x 、 Y 標準化後所得的成績，自lj x’與 Y’的相關係數為 0.9

(5 ）若 X＇ 、 Y’分別表示 x 、 Y 標準化後所得的成績，自lj y’對 X’的迴歸直線方程式為

Y ＇ 言。 .3X’

心

、

第貳部分：選填題（占 40 分）

說明： 1. 第 A 至 H 題，將答案金 1己在答案卡之「選擇（填）題答案昆 J 所標示的列 號 (13-31 ）。

2. 每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.

若心州， ~!11 （~）＇ ＝宴。（化為最簡分數）

L (14) ^\ 、心

B.

b 為正整歇，若滿足絕對值不等式 1:o:lx-Fzl:o:al'i'J~ 數 x 共有 12 紹，目lj a ＝ 血。

c.

這兩個條件的。共有錢包個。（：＼青利用所附的對數表）

常用對數表 y=log10x

x

。

10 0000 0043 0086 _{。 128 。 170 。 212 。 253 。294 。 334 。 374} 11 0414 _{。453 。492} 0531 _{。 569} 0607 0645 0682 _{。 719 。 755} 12 _{。 792 。 828 。 864} 0899 _{。 934 。 969} 1004 1038 1072 1106 13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 l 斗35 1367 1399 1430 14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732

103 4 學測數學考科

D.

設 A B 均為 2 階方阿以＝﹝汁， A+B ＝［~ ~］，貝lj ^fi )ilj 式的（A＇ 一作

第 6 頁 共 7 頁

E. 某高中供應午餐的使當共有 3 梅，己生l﹞學生 §!__i在從星期一到星期五這 5 天的午餐想要

每種使當至少都吃過一次，那麼且且吃使當的選擇共有＠＠＠種。

F.

在坐襟平閉上，已知只、、民為雙曲線 r

L=I 「l'J 兩個焦點，其中 k 為符定的常

敏， .Jlfi p 為 f 上一點。若茂＋耳＝ 14 ，且利用＝ 60。，則 k ＝＠＠ 。

..

G. 一個「搶 10 」遊戲規則是 自裝有編號 l 到 20 號的球各一個的袋子中，取一球並記 下該球編號，隨即﹞放回袋中。若甲、乙兩人取得的球號加上各泊的初始號碼，有－方 總！不日為 10 的倍數，即為贏家，若南方總不日均為 10 的倍數時，而自lj 以取得球號較大者為

贏家。己知甲、乙的初始號碼分別為 I 、 2 ，且袋中每一球被取出的歡會均等，在甲與

乙各取一球後甲即獲勝的條件下，貝lj f尹取得的球號小於乙取得的球號的機率為

。6 27)

且主立ι 。（化為最簡分數）

@@

H. 如國（4 ），四邊形 ABCD 為國內接凹遴形。若 BC:=4.Js , Ci5 斗，

且 LBAC=2LDAC ＇則五百＝＠＠ 。

、

A

c

閱（ 4)

第 7 頁 共 7 頁

參考公式及可能用到的數值

I. 一元二次方程式。'X2 +bx+c=O 的公式解：

103 4 學測數學考科

x=

-b 主 F王三c

2.

坐標平閉上，兩點布的， Y1 ） ，几（巧， Yi ） 間的距離為耳耳 ＝ J(x2 ﹜ x1)2+(yz

I

I

點（xo ,yo ） 主lj i車線、 ax+by+c=O 的距離為一~口弘一

3. 三角函數的和角公式： sin （ α ＋ β ） = sin a cosβ ＋ cos 日 sinβ

a b c

4. MBC 的正弦定理： = ＝一…－＝妞， R 為 ~MBC 的外按國半徑 sinA sinB sinC

MBCS＇＇﹞餘弦定理： c2 ＝ α2 + b2 -2abcosC

5. 資料 X XI ，舟，一，丸，算術平均數：；：＝主土主土...

標進主 σx ＝~；Ei(x；－三）＇

6. 資料 X ：呵，巧， ，心，資料 y: Y1 ，巧，.., Y，， ’貝lj x 、 y 的相關係數

2:: (x; -x)(Y； 一 y)

γ ＝一＝主主

• - x +x2 +

，其中 x

i川

Y 對 X 的迴歸直線方腹式： y-y=r 丘（x-x)

σx

三 Y1 + Y2 +· ·+ Y,, n

7 參考數值：品等 1.414

.J3=c1.732 ，而每 2.236 ，而每 2.449