數學考科

臺北區 103 學年度第一學期

第三次學科能力測驗模擬考試

數學考科

一作答注意事項一

考試時問： 100 分鐘

題型題數：單選題 5 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題

作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答，更正時，應以橡皮擦擦拭，

切勿使用修正液（帶）。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無 法辨識答案者，其後果由考生自行承擔。

選填題作答說明：選填題的題號是 A ’ B' C' ...，而答案的格式每題 可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列 號只能在一個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。

例：若第 B 題的答案格式是一，而依題意計算出來的答案是：，則考生

@

必須分別在答案卡的第 18 列的直與第 19 列的占畫記，如：

5 6 7 8 9 0 一±

18 口口圓口口口口口口口口口

5 6 7 8 9 ^{0 一士}

19 口口口口口口口圓口口口口

例：若第 C 題的答案格式是盒豆豆，而答案是二1 時，貝1j 考生必須分別在

50 50

答案卡的第 20 列的已與第 21 列的古畫記，如：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一±

20 口口口口口口口口口口﹒口

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 一土

21 CJ CJ CJ CJ 亡::::JCJ•CJCJ 亡::::J CJ c二3

※試題後附有參考公式及可能用到的數值

第 1 買 共 7 頁

第壹部分：選擇題（占 60 分）

一、單選題（占 25 分）

1031-3 －學測－數學考科

說明：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分﹔答錯、

未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 請問下列何者是無理數？

(1) 3.1415 (2) 1.3

(3 ）方程式計＝ 3 的根

( 5)

(1吋＋

2. 設二次實係數多項式函數 f(x）＝ 研2 -4ax+b 在區間 k x 至 5 上的最大值為 12 、最小值為 -6 。已知。＜ 0 ，貝Jj b 的值為下列何者？

(1) 9 (2) 4 (3) 2 (4) -9

(5 ）一 12

3. 李浩餅舖因不慎購買了饅水油製作店內商品，為挽回誠信，接受顧客憑發票退費。今 顧客傑哥拿發票前往店家退費時，發現發票上各產品的數量已模糊不清，僅知總消費 金額為 500 元，且餅舖只販售芝麻肉餅、綠豆凸、紅豆館餅與蛋黃酥四種商品。已知 芝麻肉餅一盒為 200 元，綠豆凸、紅豆館餅與蛋黃酥一盒均為 100 元，試問傑哥在購

買商品時有幾種可能組合？

(1)

13 種

21 種

24 種

34 種

56 種

1031-3 圖學測 第 2 頁 共 7 頁

1 1 1 -1 1

4. 若 1 一 － C1n ＋（一）2c；一（一）3c; +···+c-rcn ＜一一一，貝IJ 滿足左式的最小正整數 n 為下列伺數？

4 ^l 4 ^L 4 -' 4 ⁿ 1000

( 1) 21 (2) 22 (3) 23 (4) 24 (5) 25

5. 如圖 (1 ），已知 M.BC 中， AB>AC ，且 0 為 M.BC 內切圓的圓 c

心，貝IJ 下列何者正確？

(1) OA+OB+OC =0 (2) AO·AB>AO·AC

(3 ）后在互上的正射影長度大於高在五上的正射影長度

一一一一 一」 3 一」 2 一」

(5 ）若 AB: AC=3: 2 ，貝！J AO=-AC+ AB

5 5

二、多選題（占 35 分）

A B

圖（ 1)

說明：第 6 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將 正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，

所有選項均答對者，得 5 分﹔答錯 1 個選項者，得 3 分﹔答錯 2 個選項者，

得 1 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

6. 已知 f(x)

＋ α。為一個實係數多項式，貝IJ 下列敘述哪些正

確？

(1 ）若 x-5 能整除 f(x） ，貝IJ 5 能整除 α。

(2 ）若／（2)/(3)

0 ，貝！J

＝。在 2 與 3 之間沒有實根 (3 ）若 α。＝ 0 ，貝IJ

= 0 至少有一實根

(4 ）若 1+2i 為 f(x) =0 之一根，貝IJ

(5 ）若 x4 -2x2 -3 能整除 f(x） ，貝！J /(x)=O 必存在有理根

第 3 頁

共 7 頁 1031~3－學測－數學考科

7. 在坐標平面上，圓 C 是圓心在原點且半徑為 2 的圓。若在第一象限中，此圓與 y=4x 和

y ＝ ~log

(1) X12 + Y12 =4 (2) Y1<2

叫什

( 4) X1 + Y1 > Xz + Y2

(5 ）直線 AB 的斜率小於一1

8. 已知 MBC 中， BC=2AB ，且 MBC 的外接圓直徑恰與 BC 等長。 D 為 ， MBC 外接圓上異

(1 ）叫阿積等吋×安×否

(2）不論 D 點在圓上何處， cosLADC恆為 1

(3 ）若 B 點的極坐標為﹝1,30。﹞’且 MBC 外接圓圓心在原點，貝IJ c 點的極坐標可為﹝1, 210。﹞

(4) cosLABD=cosLACD (5) sinLABD=sinLACD

9. 試就下列各給定條件，判斷關於二次曲線的敘述，哪些正確？

(1）方程式 I x-2 I ＝~

＋。一 1)2 所表圓形為一個拋物線

ω 方程式 1~ 叫

(3 ）若 P 為雙曲線乙一主：＝ 1 上的一點，已知只與 F; 為該雙曲線的兩焦點，且

9 16

高： PF;

4 ，貝IJ M.FiF'z 的周長必為 20

(4）雙曲線三＿ L=1 與桶圓三＋乙＝ 1 有共同的焦點

14 3

(5 ）正－

= 0 的漸近線斜率為 ±2

1031-3－學測－數學考科 ^{第 4 頁}_{共 7 頁}

10. 某班期末考數學科成績 x. 的算術平均數 μ 為 36 分，標準差為 σ 為 9 分。因為成績太

方案一：每個人都以 Yi ÷ ＋ 6 方式加分

方案二：每個人都以 zi =lOF; 方式加分 方案三：每個人都以 w

+24 方式加分

(1 ）無論採取何種方案加分，加分後的平均都為 60 分

(2 ）採取方案二，加分後的標準差 σz 為 30 分

(3 ）採取方案一，所得成績的標準差為 σy ﹔採取方案三，所得成績的標準差為 σw ﹔貝lj

σy ＞ σw

(4 ）採取方案一所得成績與原始成績的相關係數為 rxy ﹔採取方案三所得成績與原始成 績的相關係數為 rxw ﹔貝！J rxy

=

(5 ）方案一成績 Yi 對原始成績亮的迴歸直線，和方案三成績 wi 對原始成績 xi 的迴歸直線

相同

11. 裡常熔化工廠欲建立一新的丙婦輸送管線。今使用電腦軟體模擬管線的空間配置，並

以某儲藏槽為空間坐標原點，且原有的管線和牆面分別以空間中的直線與平面表示

（在電腦中，管線與牆面厚度不計）。已知新的管線為通過（2' 1 ，一 2）、（3'2' 0）兩點的直 線，若原有的管線及牆面與新管線不相交，則可保留。試問下列哪些原有的管線或牆 面是可以保留的？

(1 ) x + y + 2z - 5

=

Ix+ v+2z=2

(4) ~內 d 冉冉

[jX-y+LZ=L

(5)

主二三＝主二三＝~

1 1 -1

第 5 頁

共 7 頁 1031-3 －學測國數學考科

12. 某市即將舉辦市長選舉，民調公司根據選前半年的民調指出，有 3 成的民眾會投票給 候選人科南，有 5 成民眾會投票給候選人金田一，有 2 成民眾不願表態。已知兩位候 選人在選前恰有多次同日發表競選廣告，且民調公司只在兩位候選人同日發表競選廣 告隔天才會實施民調。民調公司發現只要兩位候選人每次在同日發表競選廣告後，民

調結果必有以下改變：

(i）原本支持候選人科南的民眾有 6 成仍支持科南，有 3 成轉而支持候選人金間一，有 1 成不願表態

(ii）原本支持候選人金田一的民眾有 5 成仍支持金由一，有 2 成轉而支持候選人科南，

有 3 成不願表態

(iii）原本不願表態的民眾有 2 成仍不願表態，有 4 成轉而支持候選人科南，有 4 成轉而

支持候選人金田一

試就前述所給訊息，選出下列正確的選項：

I 0.6 0.2 0.4 I

(1 ）兩位候選人同日發表競選廣告後，矩陣 I o.3 o.s

oA

I 0.1 0.3 0.2 I

(2 ）兩位候選人在第一次同日發表競選廣告後，候選人科南的民調會上升至 3 成 6

(3 ）兩位候選人在第一次同日發表競選廣告後，候選人金田一的民調會下降至 3 成 6

時上升

(5 ）兩位候選人在多次同日發表競選廣告後，民調結果逐漸趨近穩定，此時候選人科 南的民調結果會高於候選人金田一的民調結果

第貳部分：選墳題（占 40 分）

說明： 1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列

號 (13-30 ）。

2. 每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.

設 k 為一轍，且﹔＜拉布＜守，則 k ＝ 豆豆。

B.

平面上一平行四邊形 ABCD ，且 A(l, 2）、 B(3, 3）、 D(4, 5），貝IJ 平行四邊形 ABCD 的面積 為＠。

c. 小明和小美經常玩猜拳遊戲。已知小明是個懶惰鬼，所以出石頭的機率是 1 ，出剪刀 和布的機率一樣﹔而小美喜歡拍照，所以出剪刀的機率是 1 ，出石頭和布的機率－

2

樣﹔而且兩人出拳互不影響。今兩人猜拳一次，若已知小明獲勝，請問小明出石頭的

機率為學 （化成最簡分數）

1031-3 －學測”數學考科 ^{第 6 頁} 共 7 頁

D.

E.

F.

G.

H.

有 20 個由小到大的正方形，其邊長分別為 ^S3

α1 、。2 、．．．、內，而其面積分別為 A1 、 4 、．．．、 4。。

已知各個正方形邊長滿足：

{ ：~＋＝1

如圖（ 2 ）中的白色區域面積，定義一個數列 ＜ sk ＞滿足

日 」3

{s

₌

8k+1 = Ak+1 -Ak ’（k=l,2,3,···,19）且

@@@@

已知圓上三點 A(O, 3）、 B(4, 3）、 C(6, 1），求此圓圓心與直線 3x-4y 一 12=0 的距離為

臺 （化成最簡分數）

一一 一一 -->. 1 一」 2 一」

MBC 中，已知 sin

4 汀， BC=6 。若 D 在 BC 上，且 AD=-AB+-AC 則 An=.J否畜。

如圖（ 3 ），三角形中 LA 的對邊長為 α 、 LB 的對邊長為 b 、 LC 的對 邊長為 c ’此三邊分別向外做一正方形，三個正方形的面積和為 100 °若在 MBC 的內部中任取一點 p ，使得 P 點到 BC 的距離為

3 '

p 點到 AC 的距離為 4•P 點到 AB 的距離為 5 ，貝IJMBC 最大面積

為 ＠ @.J畜。（化成最簡根式）

v

3 3

圖（ 3)

4x-y =1 因為伊波拉病毒肆虐，國際衛生組織決定組成考察團，前往

非洲山區做一日考察。今向專業遊覽車公司租用中小型休旅 車前往，恰需租用 60 輛車，而遊覽車公司提供三種車型與租 用價格如下表。考察團再根據各所需條件，假設 6 人座休旅車

租用 x 輛， 7 人座休旅車租用 y 輛，利用線性規劃得到如圖（ 4)

輛時，租車費用最高，則 m ＝ 豆豆、 n ＝ 血。

or ＼.：刁＋ 2戶 10

)X+4y=j 芯

車型（不合司機） 每日每輛租車費 圖（ 4)

6 人座

7 人座

8 人座

第 7 頁 共 7 頁

參考公式及可能用到的數值

n﹝2a+(n 一 l)d﹞

1. 首項為。，公差為 d 的等差數列，前 n 項之和為 S=

n 、

首項恥，公比為你 1）的等比數列，前兩之和為 s 斗了

2. 三角函數的和差角公式：“n(A±B)

tanA±tanB tan(A±B)=

1 平 tanAtanB

。 b

3.

MBC 的正弦定理：一一＝一一＝一一 ＝ 2R(R 為“BC 外接圓半徑）

sinA sinB sinC

MBC 的餘弦定理： CZ ＝ 。2 ＋昕一 2abcosC

4.

一維數據 X :x1 ’吧， ，丸，算術平均數 µ

= .! (

= .! f

n nτT

標準差 η ＝指

1031 ”3輛學測．數學考科

乏的一片）（Y；一的）

4. 二維數據 （X ,Y） ：柄， Y1), （吧， Yz), ···, （丸， Yn ） ’相關係數 rXY =

迴歸直線（最適合直線）方程式 y 一片 ＝ rXY 主L(x-µx)

σx

6. 參考數值： J互信 1.414' Jj ~ 1.732 '.J5

2.236 ，而起 2.449 ， π 也 3.142 7. 對數值： Jog10 2 宿。到悶， log10

~

5 起 0.6990

7 自 0.8451

nσxσY