5-4-1-1/8
4-1 絕 對 不 等 式
ㄧ 、 絕 對 不 等 式 : 恆 成 立 的 不 等 式
例 1:∀a b, ∈ , 不 等 式R a2+b2 ≥2ab恆 成 立 , 等 號 成 立 於 a= b
例 2:∀a b c, , ∈ , 不 等 式R a2+b2+c2 ≥ab bc+ +ca恆 成 立 , 等 號 成 立 於 a= = b c 註 : 使 用 二 次 以 上 不 等 式 時 , 需 注 意 是 否 能 並 存 。
二 、 算 幾 不 等 式 (正 實 數 )(證 明 請 參 閱 附 錄 一 )
(1) ( , 0)
2 1 2 1 2
2
1+ ≥ ≥
a a a a a
a 且等號成立⇔a =1 a2
(2) 1 2 3 3 1 2 3 3 a a a a a
a + + ≥
且等號成立⇔a1 =a2 =a3 (3) .... .... ( , ,..., 0)
2 1 2
1 2
1+ + + ≥ ≥
n n
n
n aa a a a a
n a a
a 且 等 號 成 立⇔a1 =a2 =....=an
Ex1. 設 x,y 皆 為 正 數 , 且 x+2y=6, (1)求 xy 的 最 大 值 M=?此 時 數 對 (x,y)=?
(2)求 x2y 的 最 大 值 M=? 此 時 數 對 (x,y)=? (3)求 xy2的 最 大 值 M=?此 時 數 對 (x,y)=?
答 : 2 9,(3,
2
3); 16,(4,1); 8,(2,2)
Ex2. 設 0<x<1, 求 f(x)=(1-x)(1+x)3最 大 值 為 ?此 時 x=?答 : 16 27,
2 1
Ex3. 若 x>−2, 則 函 數 1 ( ) 8 f x x 2
= + +x
+ 的 最 小 值 為 ?答 : 8
Ex4. 一 長 方 體 盒 無 蓋 , 其 表 面 積 為 12, 求 其 最 大 體 積 為 何 ?答 : 4 三 、 柯 西 不 等 式 (實 數 )(證 明 請 參 閱 附 錄 二 )
設 a1,a2,a3,....,an,b1,b2,b3,....,bn∈R,
(1)(a12 +a22)(b12 +b22) ≥(a1b1+a2b2)2等號成立⇔
2 2
1 1
b a ba =
(2)(a12 +a22 +a32)(b12 +b22 +b32) ≥(a1b1 +a2b2 +a3b3)2等號成立⇔
3 3
2 2
1 1
b a b a b
a = =
(3)(a12 +a22 +...+an2)(b12 +b22 +...+bn2)≥(a1b1+a2b2 +...+anbn)2, 等 號 成 立⇔
n n
b a b
a b
a = =...=
2 2
1 1
或
(
a1+a2)(
b1+b2)
≥(
a b1 1 + a b2 2)
2,a a b b1, 2, ,1 2∈R+∪{ }
0Ex5. 設 x,y,z∈R,x2+y2+z2=9, 求 2x+2y−z 之 最 小 值 m=?此 時 數 對(x,y,z)=?
(2)最 大 值 M=?此 時 數 對(x,y,z)=?答 :−9,(−2,−2,1);9,(2,2,−1) Ex6. 設 a、b 皆 為 正 數 , 求 )
2 2 1 1)(
( b a
a+b + 的 最 小 值?答 : 9 2 四 、 不 等 式 的 證 明
Ex7. 設 a,b,c 都 是 正 數 , 證 明 : b c c a a b 6
a b c
+ + +
+ + ≥
Ex8. 設 a、b、c 都 是 正 數 , 試 證 : 4 9 >4 + +
+ +
+ a b
c a c
b c b
a (無 等 號)
5-4-1-2/8
附 錄 一 : 算 幾 不 等 式 的 証 明
) 0 ,..., , ( .... ....
2 1 2
1 2
1+ + + ≥ ≥
n n
n
n a a a a a a
n a a
a 且等號成立⇔a1 =a2 =....=an
證明:利用數學歸納法
(1)當n=2時,1
(
1 2)
1 2 1(
1 2)
2 02 a +a − a a =2 a − a ≥ 且等號成立⇔a1=a2∴原式成立 (2)設n=k時原式成立,則令G=k+1a a1 2a ak k+1
{
a1+a2+ + ak} {
+ ak+1+(k−1)G}
1 2 1
k k
k k
k a a a k a+ G G G
≥ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
{
k 1 2 k k k 1 k 1}
k a a a a+ G −
= + ⋅
1
1 2 1
2 k k k k k
k a a a a + G −
≥ ⋅ ⋅
1 1 1
1 2 1
2 k k k k 2 k k k 2
k a a a a + G − k G + G − k G
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
得a1+a2+ + ak +ak+1≥(k+1)G
⇒
(
1 2 1)
1 1 2 11 1
k
k k k k
a a a a G a a a a
k
+ + +
+ + + + ≥ =
+
故n = k+1時原式亦成立
其中等式成立於a1=a2 =....=ak且ak+1 =G及ka a a1 2 3ak =k a Gk+1 k−1 時 也就是a1=a2 =....=ak =ak+1時
(3)根 據 數 學 歸 納 法 原 理 , 原 式 恆 成 立 。 附 錄 二 : 柯 西 不 等 式 的 証 明
) ...
)(
...
(a12 +a22 + +an2 b12 +b22 + +bn2 ≥(a1b1+a2b2 +...+anbn)2, 等 號 成 立⇔ 1 2
1 2
... n
n
b b b
a =a = =a 證 明 :
設 f x( )=
(
a x b1 − 1) (
2+ a x b2 − 2)
2++(
a x bn − n)
2( )
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
( ) ( ... n) 2 n n ( ... n)
f x = a +a + +a x − a b +a b + + a b x+ b +b + +b 因 為 f x ≥ 恆 成 立 , 故( ) 0 f x 的 判 別 式 恆( ) ≤0
( )
22 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
4 4 n n 4( ... n)( ... n) 0
D=B − AC= a b +a b ++a b − a +a + +a b +b + +b ≤ 得(a12 +a22 +...+an2)(b12 +b22 +...+bn2)≥(a1b1 +a2b2 +...+anbn)2
且 等 號 成 立 於 一 元 二 次 方 程 式 f x = 有 二 重 根 , 重 根( ) 0 1 2
1 2
... n
n
b b b
x=a =a = =a 故 得 證
Ex9. 設 a,b,c,d 為 實 數 且 滿 足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2 = , 求5 a 範 圍? 答 : 1≤ ≤a 2
Ex10. 已 知 一 直 圓 柱 體 的 表 面 積 為 一 定 值 k, 則 其 體 積 最 大 值 為?此 時 直 圓 柱 的 高 為 底 面 圓 半 徑 的 幾 倍?答 :
3 k
π k 6 ,2
Ex11. 設 f(x)為 二 次 函 數 , 且 不 等 式 f(x)>0 之 解 為−2<x<4, 則 f(2x)<0 之 解 為 何? 答 :x>2 或 x<−1
5-4-1-3/8
Ex12. 求
∑
= 5 −
1
)2
1 (
k
kx 之 最 小 值 答 :10 11
Ex13. 橢 圓 x2+4y2=1 上 任 一 點 P(x,y), 求 x+5y2 之 最 大 值 及 最 小 值 答 : 29 20,−1 Ex14. 設 x∈R, 求 f(x)=
1 1
2 2
+ +
+
− x x
x
x 之 最 大 值 M, 最 小 值 m, 得(M,m)=? 答 :(3,1 3) Ex15. 設 x∈R, 若 f(x)=
1 8
2 2
+ + + x
b x
ax 之 最 大 值 為 9, 最 小 值 為 1, 求 a、b 之 值 答 :a=b=5
Ex16. 設 a∈R, 若∀x∈R,ax2+2 (1a −a x) +4a<0恆 成 立 , 則 a 之 範 圍 答 :−1<a<0 Ex17. k 為 實 數 ,y=kx2+k 之 圖 形 在 y=−x 圖 形 之 下 方 , 則 k 的 範 圍 為 何? 答 :k< 1
2
−
Ex18. 設 三 角 形 之 三 邊 長 分 別 為 15,19,23, 若 每 邊 均 減 去 x後 , 此 三 角 形 變 為 鈍 角 三 角 形 , 求 x 的 範 圍 。 答 :3<x<11
Ex19. 設 a,b,c>0, 試 證 :3(a3 +b3 +c3)≥(a+b+c)(ab+bc+ca) pf:[a3+b3+c3](a b+ +c)≥(a2+b2+c2 2) … …(1)Cauchy
2 2 2 2 2 2 2
(1 + +1 1 )(a +b +c )≥(a b+ +c) … … …(2)Cauchy
(
a2+b2+c2)
≥(
ab bc+ +ca)
… … … …(3) Ex20. 設 n∈N, 試 證 : 12 ! n n
+ n
≥
Ex21. 求 函 數
x y x
cos 2
sin 1
+
= + 的 極 值 。 答:min=0,max=
3 4
Ex22. 求 函 數
1 2
2 + +
= x x
y x 的 極 值 。 答:min=2,max= 2 3 Ex23.
2 x 2
π π
− < < , 有 關 函 數 4 ( ) cos
f x x cos
= + x的 敘 述 , 哪 些 是 正 確 的?
(1) f x( )= f(−x) (2) f x ≥( ) 4(3) f x 的 最 小 值 是( ) 4 (4) f x 有 最 大 值( ) [91 甲]
5-4-2-4/8
4-2 條 件 不 等 式 一 、 條 件 不 等 式 :
對 於 一 個 含 未 知 數 x 的 不 等 式 ,
若 其 成 立 的 充 要 條 件 是 x 在 某 一 範 圍 , 則 這 個 不 等 式 叫 做 x 的 條 件 不 等 式
1、 若 a≥ ≥ > 且x b 0 c≥ ≥ > , 則y d 0
ac xy bd a x b d y c
≥ ≥
≥ ≥
2、 若 a,b,c∈R且 a≠0,
x R
∀ ∈ ,ax2 +bx+c≥0⇔a>0且b2−4ac≤0 x R
∀ ∈ ,ax2 +bx+c≤0⇔a<0且b2−4ac≤0 x R
∀ ∈ ,ax2+bx+ >c 0⇔a>0且b2−4ac<0 x R
∀ ∈ ,ax2+bx+ <c 0⇔a<0且b2−4ac<0 3、 三 角 不 等 式 : a −b ≤ ± ≤a b a + b
4、 一 次 不 等 式 與 絕 對 值 不 等 式 的 互 換(b>a):(原 理 : 取 中 點) a≤ ≤x b⇔
2 2
a b b x−a+ ≤ −
x≤ 或 x ba ≥ ⇔
2 2
a b b x−a+ ≥ −
Ex24. 設 x,y∈R, 且
2 5 21 ≤
x− ,3≤y≤4, 求 下 列 各 值 之 範 圍 : 3x−2y,xy,
y y
x + ,xy−2x−y+1,x2+y2+4x−2y+7
答 :[−14,3],[−8,12],[1
3,2],[−7,3],[6,36]
5、高次不等式的解法:
(1)、化成標準式:移項整理成最高次項係數為正
(2)、因式分解:分解成一次或二次實係數質因式的連乘積
(3)、 去 掉 偶 次 因 式 : 去 掉 恆 正 的 偶 次 因 式(去 掉 偶 次 因 式)。 若 去 掉
(
x−a)
2k的 偶 次 因 式 時(a)含 有 「 等 號 」 時(如≥0): 要 保 留 x=a 解 (b)不 含 有 「 等 號 」 時(如>0): 要 去 掉 x=a 解 (4)、將根標在數線上
(5)、 寫 出 解 答(由 右 而 左 , 正 負 相 間)
Ex25. 解(x−1)21(x+2)15(x−2)12(x−3)3 ≥0, 答 : 2− ≤ ≤ or xx 1 ≥3 or x=2 6、 分 式 不 等 式 的 解 法 :
(1)去 分 母(不 等 式 兩 邊 同 時 乘 以 分 母 的 平 方) (2)移 項 通 分(相 除 ⇒相 乘)
Ex26. 解 下 列 各 不 等 式 :(1)
2 3 1
1
2 + −
≥ +
+ x x x
x (2)
3 1 2 1 4 1 1 1
+ −
≥ − + −
− x x x
x 答 :−2<x≤−
3
5或−1<x<1;1<x<2 或 2
5≤x<3 或 x>4
5-4-2-5/8
7、 根 式 不 等 式 :
(1)
{ }
2( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) f x
f x g x g x
f x g x
≥
< ⇔ >
<
(2)
{ }
2( ) 0 ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) ( ) f x f x
f x g x g x
g x
f x g x
>
≥
> ⇔ ≥
<
>
或
Ex27. 解 不 等 式 x+2 <5−x, 答 :
2 29 2≤ <11−
− x
8、指數、對數不等式
(1)對數logax之底數 0< ≠ 且真數a 1 x>0 (2)設a > 時, x1 >y⇔ax >ay
設 0< < 時, x ya 1 > ⇔ax <ay (3)設a > 時, x1 >y⇔ logax>loga y
設 0< < 時, x ya 1 > ⇔ loga x<loga y
Ex28. 不 等 式22x+1+2− +2x1−7 2
(
x+2−x)
+ <9 0(
x∈R)
, 則 2x+2−x值 的 範 圍 為 ?答 : 5
2 2 2 2
x −x
≤ + <
Ex29. 試 解 對 數 不 等 式 log2x
(
x2−5x+6)
< 。 答 :1 0<x< 12或 1<x<2 或 3<x<6 9、三角不等式:在單位圓, y 坐標為sin ,θ x坐標為cosθ
(1)1當θ在第一、二象限時,sin 為正θ 2當θ在第三、四象限時,sin 為負θ
3−1≤sinθ≤1,且sin 在一、四象限為遞增,在二、三象限為遞減θ (2)1當θ在第一、四象限時,cos 為正θ
2當θ在第二、三象限時,cos 為負θ
3−1≤cosθ ≤1,且cos 在三、四象限為遞增,在一、二象限為遞減θ Ex30. 若 0≤x≤2π, 解|sinx|≤
2
1。 答 :0≤x≤
6 π或
6 5π≤x≤
6 7π或
6
11π≤x≤2π
Ex31. 設 m 為 實 數 , 若 二 次 函 數 y=mx2 +10x+m+6的 圖 形 在 直 線 y=2 的 上 方 , 則 m 的 範 圍 為 ? 答:m >−2 + 29
Ex32. 解 x2− 2x− − <1 1 0答 : − −1 3< < x 2
Ex33. 解 不 等 式 x2 −2x−3 > x+1,×∈R, 答 :x>4 或 x<2 但 x≠1 Ex34. 試 求 指 數 不 等 式 4 6x− x− ⋅2 9x > 之 解 。 答 :0 2
3
log 2 x <
Ex35. 設 x>0,x≠1, 則 2 5 log log 2
x 2
x + ≤ 的 解 為 ? 答 :0<x<1 或 2 ≤x≤4
5-4-2-6/8
Ex36. 設 m∈R,方 程 式32x −2(m+1)3x −(m−1)=0有 兩 個 相 異 的 實 根 , 求 m 之 範 圍 ? 答:0<m<1
Ex37. 若 2 π ≤x≤
2 3π
, 則 不 等 式 cos 2x−sinx≤ 的 解 為1 ?答 : 2
π ≤x≤π或 6 7π
≤x≤ 2 3π
Ex38. 設 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0) , 若 f(x)>0 的 解 為 x<−1 或 2
1<x<2, 則 f(3x)<0 的 解 為 ? 答 :− 3 1<x<
6 1 或 x>
3 2
Ex39. 試 解 對 數 不 等 式 1 2 1
2 3
log log log x 1
>
。 答 : 1 2 1 ( )3 < <x 3
Ex40. 設 - 2
π <x< 2
π , 試 解 不 等 式 1
cos sin
x≥ 3 x。 答 : - 2 π <x≤
3 π
Ex41. 解 不 等 式
log log
5 4 41
4 5 20
x x
+ ≤
。 答 : 1 10≤ ≤x 10
Ex42. 設 m≥0,n≥0,m+n=2, 求 3m+3n 的 範 圍 ﹖ 。 答 :6≤3m+3n≤10 Ex43. ∀x∈R,log(x2+x+a)之 值 恆 正 , 求 a 的 範 圍 ﹖ 。 答 :a> 5
4 Ex44. 滿 足 1
(
3)
3
1 log log x 0
− ≤ < 的 整 數 有 幾 個 ? 答 :24 Ex45. 試 求 函 數 f(x)=log3(x2-6x+12)的 最 小 值 。 答 :1
Ex46. 試 解 指 數 不 等 式 (5-x2)x2- +4x 3>1答 : -2<x<1 或 2<x< 5 Ex47. 已 知 x>0, 解 xx x>(x x)x 答 :x> 9
4或 0<x<1 Ex48. 若 a>1, x R∀ ∈ , 有 3 22 1
log log 4
a 1 a
x ax x+ +x ≤
+ + , 求 a 的 範 圍 ﹖ 答 :1<a<2 3 Ex49. 若 0<x< π , 解 不 等 式sin cos3x>sin3xcosx。 答 :0<x<
4 π 或
2
π <x< 3 4
π
Ex50. 0≤x< 2
π , 試 解log2
(
tanx+secx)
≤log2 3答 :0≤x≤6 π
Ex51. 若 0≤θ<2π,x 之 二 次 方 程 式 x2-(2 2 sin2θ)x+2cos2θ=0 有 實 根,求θ的 範 圍 ﹖ 答 :
6
π ≤θ≤5 6
π 或 7 6
π ≤θ≤11 6
π
Ex52. 設 n∈N, 若 1<log2n1000<1+ 1
n, 則 n=?答 :9
Ex53. 試 繪 出 不 等 式 logx y+ 1-x2 >logx y+ y之 圖 形 , 並 求 其 區 域 面 積 答 : 8 π + 1
2 Ex54. 設 x∈R, 試 求 y=3(4x+4-x)-10(2x+2-x)之 最 小 值 答 :−14
5-4-3-7/8
4-3 線 性 規 劃
一 、 不 等 式 的 區 域 圖 形
1、二元一次不等式之幾何意義:
設 L:ax+by+c=0表 平 面 上 一 直 線 , 而 a>0, 則 (1)ax+by+c<表 L 左 方 但 不 包 含 L 之 半 平 面 (2)ax+by+c>0 表 L 右 方 但 不 包 含 L 之 半 平 面 (3)ax+by+c≤0 表 L 左 半 平 面 與 L 之 聯 集 (4)ax+by+c≥0 表 L 右 半 平 面 與 L 之 聯 集 2、同側與反側:
設 點 A x y
(
1, 1)
, B x y(
2, 2)
, 直 線 L: ax+by+c=0, 則 有 下 列 之 關 係 : (1)A,B 在 L 之 同 側⇔(
ax1+by1+c)(
ax2+by2+c)
> 0(2)A,B 在 L 之 反 側⇔
(
ax1+by1+c)(
ax2+by2 +c)
< 0Ex55. 設 A(−2,3)、B(4,0)、C(−2,−2), 試 以 x,y 的 不 等 式 組 , 來 表 示∆ABC 區 域 。 答 :x+2y−4≤0,x+2≥0,x−3y−4≤0
Ex56. 求x≥y,x−1≤2, 所 圍 成 區 域 面 積 。 答:10
Ex57. 設 A(−1,5),B(2,3)在 x−3y+k=0 之 異 側 , 求 k 的 範 圍 。 答 :7<k<16
Ex58. 不 等 式
≤ +
<
<
<
<
7 6 0
5 0
y x
y x
所 圍 成 區 域 內 , 有 幾 個 格 子 點 。 答 :17
二、線性規劃的解法原理(在可行的條件下,求最佳) 1、 解 題 原 則
(1)根 據 題 意 , 列 出 不 等 式 組 (2)作 出 可 行 解 區 域 的 圖 形
(3)找 出 目 標 函 數 f(x,y), 並 作 目 標 函 數 f x y( , )= 的 圖 形k
(4)在 f x y( , )= 的 圖 形 與 可 行 解 區 域 圖 形 有 相 交 的 條 件 下 , 求k k 極 值 (5)k 極 值 通 常 出 現 在 各 頂 點
2、 等 值 線 之 圖 形 :
滿 足 f(x,y)=k之 一 切(x,y)點 在 平 面 上 可 劃 出 一 個 圖 形 , 此 圖 稱 為 f(x,y)=k之 等 值 線 圖(通 常 固 定 斜 率 或 過 定 點) 3、 若 頂 點 非 題 意 所 要 求 之 整 數 , 取 其 附 近 的 格 子 點 驗 算 。
Ex59. 在 x≥0,y≥0,4x+y≤4,3x+4y≤12 的 條 件 下 , 求 x+2y 的 最 大 值 。 答:6
Ex60. 某 公 司 生 產 A,B 兩 種 產 品 , 其 每 件 製 作 的 工 資 A 產 品 6 萬 元 ,B 產 品 3 萬 元, 每 件 製 作 的 材 料 費 A 產 品 4 萬 元 ,B 產 品 10 萬 元 , 又 產 品 每 件 利 潤 ,A 產 品 2 萬 元 ,B 產 品 5 萬 元 , 若 總 工 資 不 超 過 60 萬 元 , 材 料 費 不 超 過 120 萬 元 , 則 最 多 獲 利 多 少 萬 元 。 答 :60
Ex61. x、y 滿 足 x≥0,y≥0,3x+2y−12≤0,x+y≥2, 求 下 列 極 值 x +2 y2,
2 1 +
+ x
y , xy 。 答:2,36; 2 ,7 6
1 ;0,6
5-4-3-8/8
Ex62. 某 歌 唱 訓 練 班 根 據 以 往 的 經 驗 得 知 : 每 花 10 萬 元 在 報 章 雜 誌 上 替 歌 手 打 廣 告 可 以 提 升 歌 手 的 形 象 指 數 5 點 , 知 名 度 指 數 10 點 ; 反 之 , 若 是 在 電 台 上 , 同 樣 花 10 萬 元 替 歌 手 打 廣 告 , 則 可 以 提 升 歌 手 的 形 象 指 數 6 點 , 知 名 度 指 數 4點 。 根 據 市 場 調 查 發 現 成 為 名 歌 星 的 形 象 指 數 至 少 160點 , 知 名 度 指 數 亦 至 少 160 點 , 而 且 綜 合 指 數( 形 象 指 數 與 知 名 度 指 數 的 和 )至 少 360 點 。 試 問 : 歌 唱 訓 練 班 要 讓 一 位 新 歌 手( 假 設 其 形 象 指 數 與 知 名 度 指 數 皆 為 0)成 為 名 歌 星 至 少 應 該 花 多 少 廣 告 費 ? 這 些 廣 告 費 報 章 雜 誌 與 電 台 應 各 分 配 多 少 , 效 果 最 好 。[91 乙]答 :290 萬 ; 報 章 雜 誌 140 萬 ; 電 台 150 萬
Ex63.
1
3 2 4
0, 0
x y x y
x y
≤
≤
≥ ≥
-
+ , 求 z=x+y 之 最 小 值 。 答 :0
Ex64.
10
2 10
2 x y
x y x y
≤
≥
≤
+
+
-
, 求 z= -2x+2y 之 最 小 值 。 答 :4
Ex65. 1 3
2 2 4
x y x y
≤ ≤
≤ ≤
- +
- + , 求 3x-y 最 大 值 。 答 :(5,-6), 最 大 值 21
Ex66. 某 汽 車 工 廠 專 門 裝 配 小 客 車 與 小 貨 車 ﹐ 每 輛 車 的 裝 配 過 程 包 括 車 身 組 合 與 噴 漆 兩 道 手 續 , 假 設 該 廠 的 組 合 部 門 不 論 小 客 車 或 小 貨 車 每 日 皆 可 組 50 輛 ﹐而 噴 漆 部 門 若 全 做 小 客 車 每 日 可 漆 60 輛 ﹐ 若 全 做 小 貨 車 每 日 可 漆 40 輛 ﹒ 若 裝 配 一 輛 小 客 車 可 獲 利 4 萬 元 ﹐ 裝 配 一 輛 小 貨 車 可 獲 利 5 萬 元 ﹐ 問 該 廠 應 如 何 規 劃 方 可 獲 得 最 大 利 潤 ﹖ 答 : 客 車 30 輛 ﹐ 貨 車 20 輛 , 最 大 利 潤 220 萬 元 Ex67. 點(x,y)滿 足 x≥0﹐y≥0﹐3x+2y-12≤0﹐x+y-2≥0,(1)求 x-3y 之 最 大 值(2)
求 x2+y2 之 最 小 值 答 :4,2
Ex68. 若 直 線 y=mx+2 與 x + y =1 相 交 , 求 m 的 範 圍 ﹖ 答 :m≥2 或 m≤-2 Ex69. 設 A(-1,2),B(4,3)且 直 線 y=mx-3 與 AB 相 交 , 試 求 m 之 範 圍 為 何 ﹖ 答 :
m ≥ 3
2或 m≤-5
Ex70. 三 直 線 L1﹕x-y+2=0﹐L2﹕2x+3y+9=0﹐L3﹕8x+3y-27=0 圍 成 △ ABC, 若 P(3,a)在 所 圍 三 角 形 ABC 之 內 部 , 試 求 a 的 範 圍 為 何 ﹖ 答 : -5<a
<1
Ex71. 設 y≥|x-1|+|x-2|+|x-3|, 試 求 3y-2x 之 最 小 值 為 何 ﹖ 答 :2