ABC的面積=1 2(a2b1−a1b 假設 A=(0,0)，B=(2,2)，C=(2,0) ⃗a a1=2，a2=2 ⃗b b1=2，b2=0

(24) 向量的應用

我們首先要討論向量的應用:求三角形的面積，請看下圖:

△ABC 的面積是 1

2BD × AC

假設我們已知 AB 、 AC 以及 ∠ BAC ＝ θ

我們就可以求出 BD ，因為

BD AB=sin θ

∴BD=AB sin θ

因此，△ABC 的面積是 1

2(AB× A C)sinθ

問題是 sin θ 如何可知道?

如果我們使用向量來表示三角形，三角形就會像下圖:

△OAB 的面積是 |a⃗|∨⃗b∨sin θ

要求得 sin θ ，可以用下圖:

在上圖，OC 是 x 軸， ^{∠ AOC}＝ α ，∠ BOC ＝ β

∴∠ AOB=α−β=θ

我們再從A 和 B 作垂直於 OC 的垂直線，如下圖:

⃗a =( a₁, a₂¿

⃗b=( b₁, b₂¿

¿a∨¿⃗

¿a∨¿=⃗ a₂

¿ sin α=AD

¿

¿⃗a∨¿

¿⃗a∨¿=a₁

¿ cosα=OD

¿

¿⃗b∨¿

¿⃗b∨¿=b₂

¿ sin β=BE

¿

¿⃗b∨¿

¿⃗b∨¿=b₁

¿ cos β=OE

¿

我們可以利用三角加減公式: sin θ=sin(α−β )=sin α cos β−cos α sin β

¿a∨¿⃗ b∨¿⃗

∴sin θ=a₂b₁−a₁b₂

¿

根據以上的公式，我們可以知道如果△ABC 如下圖:

則△ABC 的面積是

1

2|⃗a|

|

|

2|⃗a|

|

|

|⃗a|

|

|

1

2(a₂b₁−a₁b₂)

(1)假設 A=(1,2)，B=(4,6)，C=(6,5)

⃗a=⃗AB=(4−1, 6−2)=(3, 4 )=

(

)

⃗b=⃗AC=(6−1,5−2)=(5, 3)=

(

)

∴△ ABC的面積=1

2(a₂b₁−a₁b₂)=1

2(4 × 5−3 ×3)=1

2(20−9)=11 2

(2)假設 A=(0,0)，B=(2,2)，C=(2,0)

⃗a=(2−0, 2−0)=(2, 2) a₁=2，a₂=2

⃗b=(2−0, 0−0)=(2, 0 )b₁=2，b2=0

∴△ ABC的面積=1

2(a₂b₁−a₁b₂)=1

2(2× 2−2 ×0)=1

2× 4=2 這個三角形如下圖:

大家可以很容易地證明△ABC 的面積是

1

2BC × AC =1

2×2 ×2=2

所以我們用向量的算法是正確的 (3)請看下圖:

⃗a=(2−0, 2−0)=(2, 2) a₁=2，a₂=2

⃗b=(1−0, 0−0)=(1, 0) b₁=1，b2=0

△ABC 的面積是

1

2(a₂b₁−a₁b₂)=1

2(2 ×1−2× 0)=1 (4)請看下圖:

⃗a=(1−0, 1−0 )=(1, 1)a₁=1，a₂=1

⃗b=(2−0, 0−0)=(2, 0 )b₁=2，b2=0

△ABC 的面積是

1

2(a₂b₁−a₁b₂)=1

2(1 ×2−1× 0)=1