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106 學年度指定科目考試數學乙非選擇題參考答案
數學乙的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠 清楚表達推理過程，答題時應將推理或解題過程說明清楚，且得到正確答案，方 可得到滿分。如果計算錯誤，則酌給部分分數。如果只有答案對，但觀念錯誤，
或 過程不合理，則無法得到分數。
數學科非選擇題的解法通常不只一種，在此提供多數考生可能採用的解法 以供各界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法，請參見本中心將於 8 月 15 日出刊的《選才電子報》。
106 學年度指定科目考試數學乙考科非選擇題各大題的參考答案說明如 下：
第一題 題 目 ：
一 、 某 縣 縣 政 府 每 週 五 對 全 縣 居 民 發 放 甲 、 乙 兩 種 彩 券 ， 每 位 居 民 均 可 憑 身 分 證 免 費 選 擇 領 取 甲 券 一 張 或 乙 券 一 張 。 根 據 長 期 統 計 ， 上 週 選 擇 甲 券 的 民 眾 會 有 8 5 %在 本 週 維 持 選 擇 甲 券 、 1 5% 改 選 乙 券 ； 而 選 擇 乙 券 的 民 眾 會 有 3 5 %在 本 週 改 選 甲 券 、 6 5% 維 持 乙 券 。 所 謂 穩 定 狀 態 ， 係 指 領 取 甲 券 及 乙 券 的 民 眾 比 例 在 每 週 均 保 持 不 變 。 ( 1) 試 寫 出 描 述 上 述 現 象 的 轉 移 矩 陣 。 （ 5 分 ）
( 2) 試 問 領 取 甲 券 和 乙 券 民 眾 各 占 全 縣 居 民 百 分 比 多 少 時 ， 會 形 成 穩 定 狀 態 ？ （ 8 分 ）
第(1)小題
設上週分別有x%和 %y 比率的縣民選擇甲券和乙券。則
本週選擇甲券的比率 本週選擇乙券的比率
0.85 0.35 0.15 0.65
x y
x y
= +
= +
因此，轉移矩陣為 0.85 0.35 0.15 0.65
註：若寫成下列矩陣，則需要有正確算式。
(1) 例如： 0.85 0.15 0.35 0.65
，要有
[ ]
0.85 0.150.35 0.65
x y
的型式。
(2) 例如： 0.65 0.15 0.35 0.85
，要有 0.65 0.15 0.35 0.85
乙
甲 的型式。
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第(2)小題 解法一
設領甲券民眾所占的比例為 x ，則領乙券的比例為1 x−
∴ 0.85 0.35
0.15 0.65 1 1
x x
x x
− = −
或 0.85x+0.35(1−x)=x 或 0.15x+0.65(1−x)= −1 x
⇒ 0.5x=0.35
∴x=0.7
可知領甲券所占的百分比例為 70%，而領乙券的是 30%
解法二
設領甲券民眾所占的比例為 x ，領乙券的比例為y，則 1
x+ =y
由穩定狀態條件得知 0.85 0.35 0.15 0.65
x x
y y
=
或 x=0.85x+0.35y 或 y=0.15x+0.65y 解得
7
x=10，即 70% ， 3
y=10，即 30%
可知領甲券所占的百分比例為 70%，而領乙券的是 30%
3
解法三
設領甲券民眾人數為 x ，領乙券人數為y，則 0.85 0.35
0.15 0.65
x x
y y
=
或 x=0.85x+0.35y， 或 y=0.15x+0.65y 解得
: 7 : 3
x y= ，或 7
x=3y，或 3 y=7x
因此，領取甲券占全縣居民 70% ，領取乙券占全縣居民 30%
4 第二題
題 目 ：
二 、 袋 中 有 紅 色 代 幣 4 枚 、 綠 色 代 幣 9 枚 、 以 及 藍 色 代 幣 若 干 枚 。 每 一 枚 紅 色 、 綠 色 、 藍 色 代 幣 分 別 可 兌 換 5 0 元 、 2 0 元 及 1 0 元 。 現 從 袋 中 取 出 代 幣 ， 每 一 枚 代 幣 被 取 出 的 機 率 均 等 。 設 隨 機 變 數 X 代 表 取 出 1 枚 代 幣 可 兌 換 的 金 額 （ 單 位 ： 元 ）； 隨 機 變 數 Y 代 表 一 次 取 出 2 枚 代 幣 可 兌 換 的 金 額 （ 單 位 ： 元 ）。 已 知 X 的 期 望 值 為 2 0 。
( 1) 試 問 藍 色 代 幣 有 多 少 枚 ？ （ 5 分 ）
( 2) 試 問Y≤50的 機 率 P Y( ≤5 )0 為 何 ？ （ 8 分 ） 第(1)小題
解法一
藍色代幣有 x 枚。因為期望值為 20，所以
4 9
( ) 50 20 10 20
4 9 4 9 4 9
E X x
x x x
= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
+ + + + + +
或 200 180 10+ + x=20(13+x) 解得 x=12
解法二
設全部代幣有 x 枚。因為期望值為 20，所以
4 9 13
( ) 50 20 x 10 20
E X x x x
= ⋅ + ⋅ + − ⋅ =
解得x=25，所以藍色代幣有 25 13 12− = 枚 第(2)小題
解法一
因為Y ≤50情況是「抽到的兩枚只能兩綠、兩藍、一綠一藍」， 即
9 12 9 12
2 2 1 1
25 2
9 8 12 11 2 9 12 ( 50)
25 24
C C C C
P Y C
+ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
≤ = =
⋅ 故得 ( 50) 7 0.7
P Y ≤ =10=
5
解法二
因為Y ≤50情況是「抽到的兩枚代幣只能是綠色或藍色」
21 2 25 2
21 20 ( 50)
25 24 P Y C
C
≤ = = ×
× 故得 ( 50) 7 0.7
P Y ≤ =10= 解法三
因為Y ≤50情況是「抽到的兩枚代幣不能有紅色」
又
4 4 9 4 12
2 1 1 1 1
25 2
( 50) C C C C C
P Y C
+ × + ×
> =
或
4 4 21
2 1 1
25 2
C C C
C + ×
故得 ( 50) 1 ( 50) 7 0.7 P Y ≤ = −P Y > =10 =
