漫談數學學與教 新高中數學課程延伸部分 單元二

數學百子櫃系列（三）

漫談數學學與教

新高中數學課程延伸部分 單元二

作 者 黃毅英、張家麟、韓藝詩

教 育 局

課 程 發 展 處 數 學 教 育 組

版權

©2009 本書版權屬香港特別行政區政府教育局所有。本書任何部分之文字及圖 片等，如未獲版權持有人之書面同意，不得用任何方式抄襲、節錄或翻印作商 業用途，亦不得以任何方式透過互聯網發放。

ISBN 978-988-8019-64-9

目 錄

前 言 ... v

作 者 簡 介...vi

1. 緒 論 ... 1

2. 根 式 ... 2

3. 數 學 歸 納 法 ... 4

4. 二 項 式 定 理 ... 7

5. 續 三 角 函 數 ... 10

6. e 的 簡 述 ... 12

7. 極 限 ... 21

8. 求 導 法 ... 24

9. 求 導 法 的 應 用 ... 26

10. 不 定 積 分 法 ... 29

11. 定 積 分 ... 33

12. 行 列 式 ... 37

13. 矩 陣 ... 40

14. 線 性 方 程 組 ... 42

15. 向 量 的 簡 介 ... 45

16. 純 量 積 與 向 量 積 ... 48

17. 向 量 的 應 用 ... 52

參 考 書 目 ... 53

附 錄 一 ： 指 數 函 數

e

^x性 質 的 論 述... 60

附 錄 二 ： 引 入 指 數 與 對 數 函 數 的 另 一 方 法... 64

前 言

為 配 合 香 港 數 學 教 育 的 發 展 ， 並 向 教 師 提 供 更 多 參 考 資 料 ， 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組 於 2007 年 開 始 邀 請 大 學 學 者 及 資 深 老 師 撰 寫 專 文 ， 並 蒐 集 及 整 理 講 座 資 料 ， 輯 錄 成 《 數 學 百 子 櫃 系 列 》。本 書《 漫 談 數 學 學 與 教 ─ 新 高 中 數 學 課 程 延 伸 部 分 單 元 二 》 是 這 個 系 列 的 其 中 一 冊 ， 作 者 黃 毅 英 教 授 、 張 家 麟 博 士 和 韓 藝 詩 女 士 對 中 學 數 學 教 學 素 有 研 究 ， 本 書 除 談 及 高 中 數 學 課 程 的 學 科 知 識 外 ， 對 學 科 教 學 知 識 、 學 習 難 點 等 ， 都 有 精 闢 的 見 解 。 本 書 不 僅 可 供 教 師 參 考 ， 亦 可 作 為 學 生 讀 物 。 作 者 撰 文 期 間 ， 高 中 數 學 課 程 仍 在 修 訂 ， 本 書 內 容 或 與 課 程 最 後 定 稿 偶 有 出 入 ， 祈 請 讀 者 留 意 。 此 外 ， 本 書 只 屬 作 者 個 人 觀 點 ， 並 不 代 表 教 育 局 的 意 見 。

本 系 列 能 夠 出 版 ， 實 在 是 各 方 教 育 工 作 者 共 同 努 力 的 成 果 。 在 此 ， 謹 向 提 供 資 料 、 撰 寫 文 章 的 老 師 、 學 者 ， 以 及 所 有 為 本 書 勞 心 勞 力 的 朋 友 ， 致 以 衷 心 的 感 謝 。

如 有 任 何 意 見 或 建 議 ， 歡 迎 致 函 ：

九 龍 油 麻 地 彌 敦 道 405 號 九 龍 政 府 合 署 4 樓 教 育 局 課 程 發 展 處

總 課 程 發 展 主 任 （ 數 學 ） 收

(傳 真 ： 3426 9265 電 郵 ： ccdoma@edb.gov.hk )

教 育 局 課 程 發 展 處 數 學 教 育 組

作 者 簡 介

黃 毅 英 ， 文 學 學 士 、 哲 學 碩 士 、 教 育 證 書 、 哲 學 博 士 （ 香 港 大 學 ）， 文 科 教 育 碩 士（ 香 港 中 文 大 學 ）， 現 任 香 港 中 文 大 學 課 程 與 教 學 學 系 教 授 。 於 境 內 外 學 報 發 表 學 術 論 文 二 百 餘 篇 。2001 年 獲 香 港 研 究 資 助 局 重 點 專 案 資 助 （Competitive Earmarked Grant）、2005 年 獲 學 院 優 秀 教 學 獎、2006 年 第 三 屆 全 國 教 育 科 學 研 究 優 秀 成 果 獎 三 等 獎、2008 年 獲 香 港 中 文 大 學 研 究 卓 越 獎。編 著 有《 邁 向 大 衆 數 學 的 數 學 教 育 》、《 數 學 教 育 實 地 觀 察 》、《 數 學 教 育 實 地 再 觀 察 》、《 香 港 近 半 世 紀 漫 漫 「 數 教 路 」： 從 新 數 學 談 起 》、《 華 人 如 何 學 數 學 》（ 與 范 良 火、蔡 金 法、李 士 錡 合 編 ）、《 迎 接 新 世 紀：重 新 檢 視 香 港 數 學 教 育 ─ 蕭 文 強 教 授 榮 休 文 集 》、《 香 港 近 半 世 紀 漫 漫 「 小 學 數 教 路 」： 現 代 化 、 本 土 化 、 普 及 化 、 規 範 化 與 專 業 化 》（ 與 鄧 國 俊、霍 秉 坤、黃 家 樂、顏 明 仁 合 寫 ）、《 變 式 教 學 課 程 設 計 原 理 ： 數 學 課 程 改 革 的 可 能 出 路 》（ 與 林 智 中 、 孫 旭 花 合 寫 ）等 。 香 港 數 學 教 育 學 會 創 會 會 長 ， 現 爲 上 海 師 範 大 學 小 學 教 育 研 究 所 客 座 研 究 員、天 津《 數 學 教 育 學 報 》及 韓 國《 數 學 教 育 研 究 學 報 》 編 委 。

張 家 麟 ， 學 數 於 香 港 中 文 大 學 數 學 系 ， 先 後 獲 學 士 、 碩 士 及 博 士 學 位 。 研 究 興 趣 為 非 綫 性 偏 微 分 方 程 。 曾 任 職 中 學 教 師 、 香 港 教 育 學 院 及 香 港 中 文 大 學 數 學 系 導 師，2005 年 獲 中 文 大 學 理 學 院 優 秀 教 學 獎。2006 年 7 月 任 香 港 教 育 學 院 助 理 教 授 至 今，對 數 學 解 難 ， 以 及 幾 何 的 教 與 學 至 感 興 趣 。

韓 藝 詩 ， 香 港 科 技 大 學 獲 得 理 學 士（ 數 學 ）和 哲 學 碩 士（ 數 學 ）學 位 ， 香 港 浸 會 大 學 取 得 學 位 教 師 教 育 文 憑 ， 現 於 香 港 中 文 大 學 修 讀 教 育 碩 士 課 程。曾 於 香 港 教 育 學 院 擔 任 專 任 導 師，亦 曾 於 中 學 任 教 數 學 。

1. 緒論

單 元 二 的 內 容 ， 像 以 往 純 粹 數 學 科 的 課 題 一 樣 ， 是 互 相 交 織 的 。 以 純 粹 數 學 科 的

AM

≥

GM

為 例 ， 它 就 有 多 個 流 行 的 證 明¹， 各 具 特 色 、 動 用 了 不 同 的 數 學 工 具 。 除 了 這 種 一 題 多 解 外 ， 不 少 數 學 題 是 橫 跨 數 個 課 題 的 、 綜 合 性 的 ， 例 如 用 數 學 歸 納 法 證 明 微 積 分 的 一 些 性 質 。 故 此 ， 若 在 教 授 數 學 歸 納 法 時 ， 嘗 試 把 所 有 涉 及 數 學 歸 納 法 的 題 型 均 作 演 練 其 實 是 不 切 實 際 的 。 因 此 ， 我 們 提 出 一 種 「 第 一 次 接 觸 — 從 新 檢 視

（first acquaintance – re-visit）」的 教 學 方 式 ， 就 是 先 把 課 題 的 基 本 技 巧 用 比 較 快 的 速 度 教 好，讓 學 生 掌 握 鎚 呀、鋸 呀 等 工 具 ， 然 後 再 將 工 具 合 起 來 去 製 造 箱 呀 、 櫃 呀 等 等 。 當 然 中 間 可 以 有 「 兩 條 腿 走 路 」 的 考 慮 ， 由 於 第 二 階 段 的 學 習 （ 不 同 技 巧 的 綜 合 運 用 ） 是 需 要 不 少 時 間 的 ， 往 往 要 一 兩 個 月 ， 要 達 到 這 個 理 想 （ 不 是 補 課 ！ ） 就 要 在 較 早 期 完 成 第 一 階 段 的 「 修 煉 」。其 中 的 要 點 是 上 面 談 到 的。在 第 一 階 段 修 練 中，只 牽 涉 到 基 本 功 ， 讓 學 生 穩 穩 妥 妥 地 掌 握 相 關 技 巧 就 夠 了 。 學 生 在 第 二 階 段 才 有 足 夠 時 間 把 基 本 功 轉 化 成 解 決 問 題 的 能 力 。

1 Wong, N. Y. (1993). A-Level Pure Maths Volume I., chapter 3: inequality ( pp. 72

－98). Hong Kong: Macmillan.

2. 根式

課 程 中 注 釋 提 出 可 以 在 教 極 限 及 求 導 法 時 才 引 入 根 式 分 母 的 有 理 化 。 這 明 顯 是 由 於 根 式 分 母 的 有 理 化 於 求 極 限 及 求 導 法 是 有 巧 妙 的 作 用 （ 如 求lim( +1− −1)

∞

→

x x

x 之 類 ）。 把 之 放

入 極 限 及 求 導 的 處 境（context）使 到 學 習 更 有 實 質（ 學 生 常 常 問「 學 來 有 什 麼 用 」往 往 就 是 因 為 抽 空 來 教 ）。但 與 此 同 時 ， 根 式 之 有 理 化 本 身 也 有 自 足 的 意 義 ， 就 是 透 過 共 軛 的 方 法 ， 讓 根 式 之 四 則 形 成 一 個 完 整 的 體 系，即

2 3

1

− 本 來 看 似 並 非 根 式 的 線 性 組 合 ， 但 搖 身 一 變 成 為 3+ 2， 又 變 回 根 式 的 線

性 組 合 了。換 言 之，K= + ∈

⎩⎨

⎧

∑

= r r

n

r

a

r

p

r

a p

a

: ,

0 1 Q

⎭⎬

⎫是 一 個 域 ，

其 中 Q 為 有 理 數 集 。 有 關 域 的 精 確 定 義 ， 可 在 標 準 的 抽 象 代 數 教 科 書 中 找 到 。 粗 略 而 言 ， K 作 為 R 中 的 一 個 域 ， 意 指 實 數 的「 加 」和「 乘 」的 運 算 法 則 均 在 K 中 成 立 且 封 閉，0 和 1 在 K 中，並 對 K 中 的 任 意 元 素，其 加 法 逆 元 也 在 K 中，對 K 中 的 非 零 元 素 ， 其 乘 法 逆 元 也 在 K 中 。

此 外，共 軛 當 然 是(

a

+

b

)(

a

−

b

)=

a

² −

b

²的 巧 妙 應 用，向 下 又 延 續 到 微 積 分 （ 前 述 ） 及 複 數((

a

+

bi

)÷(

c

+

di

))， 學 生 了 解 箇 中 來 龍 去 脈 ， 到 數 學 內 容 就 較 易 融 會 貫 通 。

相 關 網 站 ：

1. 雙 重 平 方 根

http://www.math.ccu.edu.tw/chinese/95sutdy/PDF/03_root.pdf 2. 根 式 的 意 義

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_08_4_01/index.html 3. 根 式 撲 克 牌

http://residence.educities.edu.tw/sanchiang/a10.htm

3. 數學歸納法

數 學 歸 納 法 是 大 家 熟 知 之 課 題 ， 其 難 教 之 處 並 不 只 含 有 很 多 變 招 （ 所 謂 第 二 原 理 ， 甚 或 華 羅 庚 所 說 的 「 趬 趬 板 歸 納 法²」 等 ， 而 是 它 有 著 極 廣 泛 的 應 用 ， 包 括 在 代 數 、 三 角 、 幾 何 、 微 積 分 等 各 個 領 域 。 不 過 追 本 究 源 ， 其 實 我 們 只 需 要 第 一 次 接 觸 時 讓 學 生 整 整 齊 齊 的 運 用 數 學 歸 納 法 原 理 就 好 了 。 學 生 在 證 明 （ 尤 其 是 代 數 題 ） 時 出 現 的 技 術 性 困 難 往 往 在 於 不 太 熟 習 「 走 動 指 數 」（running index）的 意 義 和 應 用 （「 走 動 指 標 」 與 數 學 歸 納 法 不 是 一 而 二 、 二 而 一 的 事 情 嗎 ？ ） 例 如

2 3

3 3

2 ) 1 ... (

2

1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

= + +

+

n n

n

，

n 每 增 加 1， 左 邊 只 加 一 項 ， 但

對 於

n n n n

2

n

... 1 3 1 2 1 1 1 2 ... 1 4 1 3 1 2

1 1 + +

+ + + +

= +

− +

− +

− ，n 每 增

加 1， 左 邊 是 加 了 兩 項 ， 右 邊 則 只 增 加 一 項 ！

此 外 ， 不 少 數 學 教 育 家 更 關 注 是 數 學 歸 納 法 的 意 識

（mathematically inductive way of thinking）。 透 過 一 些 例 子 ， 如 1 1 1 1) 1 (1 ...

3) 1 2 (1 2) 1 1 ) ( 1 ( ... 1 3 2

1 2 1

1

− + + =

− + +

− +

− + =

+ ⋅

⋅ +

⋅ +

n n n n n

學 生 就 不 只 會 證 明 由 他 人 得 出 的 式 子 ， 而 是 自 己 生 出 這 些 式 子 來 。

透 過 另 一 些 例 子 ， 學 生 不 只 能 得 出 這 些 結 果 ， 而 且 數 學 歸 納 法 的 證 明 已 包 含 在 結 果 的 生 成 過 程 了 。 常 見 的 例 如 河 內

2 華羅庚（1972）。《數學歸納法》。香港：商務印書館。（頁 15）。又見

Wong,N. Y. (1993). A. Level Pure Mathematics Volume I (Chapter 2:

Mathematical indication: pp. 43－71). Hong Kong: Macmillan.

塔、n 條（ 不 平 行，且 三 線 不 共 點 ）直 線 在 平 面 上 有 多 少 個 點

（ 又 或 分 成 多 少 塊 ）等。大 眾 若 有 興 趣，可 看 Pólya 現 身 說 法 教 授

n 塊 平 面 將 空 間 切 成 多 少 塊

³。

有 些 人 或 會 提 問 ， 究 竟 數 學 歸 納 法 本 身 如 何 得 到 證 明 。 其 實 若 還 記 得 高 等 數 學 就 知 道 數 學 歸 納 法「 無 法 證 明 」（ 當 然 如 果 採 取 von Neumann 定 義 自 然 數 的 寫 法 又 另 當 別 論，那 就 要 參 考 梁 鑑 添 、 陳 麗 珠 博 士 《 初 等 集 合 論 》 卷 II 第 6 章 「 自 然 數 」（ 頁 77－ 90）⁴）。因 為 它 是 自 然 數 的 基 本 性 質（ 皮 亞 諾 第 五 公 設 ）。不 過 就 有 人 提 供 了 關 於 骨 牌 原 理 和 爬 梯 的 兩 個 有 趣 的 「 隱 喻 」：

「 一 個 非 數 學 表 示 是 我 們 考 慮 一 排 磚 使 得 任 何 一 塊 磚 倒 下 是 必 會 撞 跌 下 一 塊 。 然 而 這 只 是 一 種 潛 能 ， 要 真 正 撞 跌 整 排 磚，其 充 分 條 件 為 撞 跌 第 一 塊。否 則 不 可 能 撞 跌 整 排 磚。」

「 另 一 表 示 是 關 於 一 張 梯（ 原 文 註：Dickson, College Algebra, p.100）。『 我 們 必 須 要 一 張 梯 能 從 任 何 一 腳 踏 （

k ） 爬 至 下 一

^th 腳 踏（(

k

+1)^th），然 而 此 將 必 須 置 於 堅 實 之 基 地 使 得 我 們 能 爬 上 此 梯 （

k = 1 或 k = 2）。 』」

⁵

3 George Pólya (1966). “Let us to teach guessing” (video). Washington, D.

C.,Mathematical Association of America.

4 Leung, K.T., & Chen, D.L.C. (1970). Elementary Set Theory (Parts I & II).

Hong Kong: Hong Kong University Press

5 Young, J. W. A. (1908). On mathematical induction. American Mathematical Monthly, 15, 145－153.

建 議 課 堂 活 動 ： 跳 棋

活 動 目 標 ： 學 生 透 過 遊 戲 歸 納 出 棋 子 的 數 目 與 棋 子 移 動 次 數 目 間 的 關 係 。 若 設

n 為 黑 ／ 白 色 棋 子 數

目，

T

n為 棋 子 移 動 的 最 少 次 數，則

T

n = n(n + 2) 。 活 動 內 容 ： 棋 子 只 可 利 用 空 格 位 置 向 前 移 動，使 得 黑 色 和

白 色 棋 子 的 位 置 互 換 。

• • { { → { { • •

相 關 網 站 ：

數 學 歸 納 法 簡 介

(a) http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_10_4_06/

(b) http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/8023.pdf

(c) http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/804.pdf

(d) http://www.vtsh.tc.edu.tw/~jck/project/mi.htm

(e) http://staff.ccss.edu.hk/jckleung/jiao_xue/mathindu/index.html

4. 二項式定理

一 些 學 生 或 會 覺 得 二 項 式 定 理 不 只 乏 味 而 且 難 明 。 乏 味 的 其 中 一 個 原 因 是 不 了 解 其 用 途 ， 除 了(1+

x)

ⁿ在 迫 近 的 用 處 外 ， 其 他 用 途 尚 包 括 古 代 中 國 解 方 程 的 想 法 （ 即 透 過 完 全 平 方、完 全 立 方 等 ）。就 算 不 談 完 全 平 方、立 方 等 構 思，略 談 楊 輝 （ 賈 憲 ） 三 角 的 故 事⁶（ 從 楊 輝 三 角 說 起 ） 亦 應 能 加 添 一 點 趣 味 。 此 外 ， 由 學 生 熟 知 的(

a

+

b

)² =

a

² +2

ab

+

b

²出 發 ， 計 算

)3

(

a

+

b

⁼

a

³+3

a

²

b

+3

ab

² +

b

³， 以 至(

a

+

b

)⁴及(

a

+

b

)⁵， 從 而 列 出 楊 輝 三 角 ， 讓 學 生 觀 察 當

n 為 正 整 數 時 ，

(

a

+

b

)ⁿ與(

a

+

b

)ⁿ⁺¹展 式 中 ， 各 項 係 數 是 如 何 關 聯 着 的 ， 即

C

_rⁿ+

C

_rⁿ₋₁ =

C

_rⁿ⁺¹， 是 一 個 好 的 切 入 點 。

楊 輝 三 角

至 於 難 明 ， 依 法 操 作 並 不 困 難 ， 不 過 一 般 學 生 感 到 數 學 歸 納 法 證 明 二 項 式 定 理 不 只「 又 長 又 累 贅 」，且 在 日 後 其 他 課

6 華羅庚（1964）。《從楊輝三角談起》。北京：人民敎育出版社。

梁宗巨（1992）。《數學歷史典故》（第 16 章：賈憲三角—頁 392－407）。

沈陽：遼寧教育 出版社。

題 均 沒 用 處（ 考 試 又 通 常 不 會 要 求 考 生 證 明 ）。其 實 二 項 式 定 理 的 證 明 除 了 數 學 歸 納 法 外 ， 還 可 以 有 較 直 觀 的 利 用 組 合 想 法 去 證 明 （ 其 實 又 是 一 而 二 ， 二 而 一 ）。 就 是 若

3 2 L 1 3 2 1 3 2

1第一個 第二個 第n個

n

a b a b a b

b

a

) ( )( ) ( )

( + = + + +

要「 生 出 」

a

^r

b

^n−r來（ 學 生 首 先 要 認 識 到 若

a 的 冪 是 r， b 的 的

冪 必 須 是

n

− ）。 相 等 於 從 n個 不 同 的 括 號 （ 以 次 序 區 分 ） 中

r

選 取

r 個 來 提 供 a ， 其 餘 的 n

− 個 提 供 b ， 故 此 其 方 法 總 數 是

r

n

C 。 這 樣 ， 便 可 推 導 出 二 項 展 式 ：

r

(*) )

(

a

+

b

ⁿ =

C

₀ⁿ

a

ⁿ

b

⁰ +

C

₁ⁿ

a

^n-1

b

+

C

₂ⁿ

a

^n-2

b

² +L+

C

_rⁿ

a

^n-r

b

^r +L+

C

_nⁿ

a

⁰

b

ⁿ 因 數 學 歸 納 法 本 身 也 可 以 進 一 步 淨 化 數 學 歸 納 法 思 維。若 學 生 覺 得

P

(

n

)⇒

P

(

n

+1)難 明 ， 可 先 讓 他 們 看 看

P

(3)⇒

P

(4)，

( )

3^{3 3}

2 3 2 2 3 1 3 3 0

3

C a C a b C ab C b

b

a

+ = + + +

× (

a

+

b

)

= 3^{3 3}

2 2 3 2 3 3 1 4 3

0

a C a b C a b C ab

C

+ + +

+

C

₀³

a

³

b

+

C

₁³

a

²

b

²+

C

₂³

ab

³+

C

₃³

b

⁴

= 3^{3 4}

3 4 3 2 2 4 2 3 4 1 4 3

0

a C a b C a b C ab C b

C

+ + + +

（由於

C

_rⁿ+

C

_rⁿ₋₁=

C

_rⁿ⁺¹）

= 4^{4 4}

3 4 3 2 2 4 2 3 4 1 4 4

0

a C a b C a b C ab C b

C

+ + + +

（由於

C

₀³=

C

₀⁴=1,

C

₃³=

C

₄⁴=1）

「 以 簡 御 繁 」 本 身 是 變 有 意 義 的 數 學 思 維 方 式⁷。

二 項 式 展 開 還 有 一 個 有 趣 的 應 用 ， 就 是 求 擲 數 枚 骰 子 擲 出 指 定 點 數 總 和 的 概 率 。 例 如 擲 3 枚 骰 子 ， 求 點 數 總 和 為 10

7 黃毅英（1990）。解題與數學教育。《數學傳播》54 期，71－81。後載黃毅英

（編）（1997）。《邁向大眾數學的數學教育》（頁 59－82）。台北：九章出版

社。

的 形 成 方 法 ， 用 類 似 原 理 ， 總 數 等 於(x + x² + ……+ x⁶)³中

x

¹⁰ 之 係 數 ， 上 式 即

...) 36 ...

3 1 ...)(

3 1 ) (

1 (

) 1

( 3 6 7

3 3 6

3 = − + + + + +

−

−

x x x x

x x x

x

¹⁰之 係 數 為(1)(36) + (– 3)(3) = 27。

此 外 ， 在 表 達(∗ 時 ， 引 入 求 和 記 號 ： )

r r n n r n r

n

C a b

b

a

^-

0

∑

) (

=

= +

，

既 可 讓 表 達 式 變 得 清 晰 簡 潔 ， 亦 可 令 學 生 掌 握 應 用 求 和 記 號 的 方 法 與 技 巧 ， 可 謂 一 舉 兩 得 。

相 關 網 站 ： 1. 有 趣 問 題

http://163.21.42.19/mathpath/%B2%C4%A4K%AF%B8/8.htm 2. 二 項 式 與π

http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d232/23211.pdf 3. 多 項 式

http://homepage.ntu.edu.tw/~p94922001/Downloads/Polynomials Coefficient.pdf

4. 楊 輝 三 角

(a) http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d271/27110.pdf (b) http://kss.hkcampus.net/~kss-wsf/theory.htm#triangle (c) http://www.chiculture.net/0803/html/c65/0803c65.html

5. 續三角函數

眾 所 周 知，正 弦 與 餘 弦 是 基 本 的 三 角 函 數，在 某 意 義 上 ， 這 兩 個 三 角 函 數 就 「 夠 」 了 ， 即 其 他 三 角 函 數 均 可 用 此 兩 函 數 表 示 （ 當 然 ， 理 論 上 ， 只 要 一 個 正 弦 就 夠 了 ， 但 不 保 證 線 性 ）。故 此，我 們 可 以 看 到「 以 正 弦 及 餘

弦 表 示

θ θ θ

tan

sin cos 」 一 類 的 題 目 。 在 另 一

方 面 ， 直 角 三 角 形 共 有 三 邊 ， 取 其 二 邊 成 三 角 比 ， 故 有 6 種 可 能 性 ， 這 就 生 成 6 個 三 角 比 。 當 然 這 些 函 數 亦 有 歷 史 的 根 源⁸。 右 圖 是 相 關 公 式 常 見 的 「 巧 記 法 」。

雖 然 我 們 可 以 用 弧 長 引 入 弧 度 法 ， 配 合 微 積 分 就 有 多 一 重 意 義。

sin x

（ 及 其 他 三 角 函 數 ）的 求 導 全 靠

sin 1

lim

0

=

→

x

x

x 。而

此 式 之 成 立 ，

x 必 須 以 為 弧 度

⁹。

⎩ ⎨

⎧

=

±

±

=

±

B A B A B

A

B A B A B

A

sin sin cos cos ) cos(

sin cos cos sin ) ( sin

m

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

+

−

−

=

−

−

−

− +

+

=

− + +

=

) cos(

) cos(

sin sin 2

(*) )

cos(

) cos(

cos cos 2

) sin(

) sin(

cos sin 2

B A B

A B

A

B A B

A B

A

B A B

A B

A

8 梁 宗 巨（1992）。《數學歷 史典故》 （ 第 5 章：三角 學－頁 103－

122）。沈陽：遼寧教育出版社。

9 Siu, M. K. (1985). Radian or degrees? – do I have a choice? Mathematics Bulletin, 10, 8－9.

r

r 1c

sin

csc sec

cot tan

cos

1

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎧

−

− +

=

−

−

= + +

−

= +

−

−

= + +

sin 2 sin 2

2 cos cos

cos 2 cos 2

2 cos cos

sin 2 cos 2

2 sin sin

cos 2 sin 2

2 sin sin

B A B B A

A

B A B B A

A

B A B B A

A

B A B B A

A

三 組 公 式 當 然 是 互 相 關 聯 ， 由 第 一 組 就 容 易 推 出 其 他 兩 組 。 又 是 「 用 」 的 問 題 ， 這 些 公 式 自 然 在 微 積 分 中 有 用 ， 例 如 應 用 （* ） 代 以

A

=

B

=

x

，

得 出

x C

x dx

x

xdx = + = + +

∫ ^cos

²

₂ ¹ ∫ ^{(cos 2 1 ) 1} ₄ ^{sin 2} ₂

。 不 過 這 三 組 公 式 也 表 現 了 一 種 數 學 思 維 ， 就 是 對 於 某 些 函 數 ， 與

k(x + y) = kx + ky 和

dx dy dx y dx dx x

d ( + ) = +

等 不 同 ， 沒 有 可 加 性

（

f ( x + y ) ≠ f ( x ) + f ( y )

）。其 實 先 前 已 遇 過 了，如( a + b )² ≠ a² +

b

²、

a

+

b

≠

a

+

b

但 又 要 把 它 「 拆 開 」。 第 一 組 的 作 用 就 是 把

sin( A + B )

一 類 式 子 拆 開 來 。 此 外 ， 三 組 公 式 實 質 上 是 在 不 同 的 形 式（form）間 轉 來 轉 去。其 他 公 式（ 如

sin 2 A

，

cos 2 A

等 ） 都 可 以 有 這 種 理 解 。

相 關 網 站 ： 三 角 函 數

http://webcai.math.fcu.edu.tw/course/trig.htm

6. e的簡述

e、指 數 函 數（ exponential function）和 自 然 對 數（natural logarithm）

e （ Euler number） 對 中 學 生 而 言 ， 是 一 個 既 神 秘 ， 又 奇 妙

的 實 數 。 它 之 所 以 神 秘 源 於 它 的 定 義 ； 它 之 所 以 奇 妙 ， 來 自 以 它 為 底 （base） 所 定 義 的 指 數 函 數 ， 以 及 它 相 應 的 逆 函 數

（inverse function） 自 然 對 數 在 物 理 世 界 中 的 種 種 應 用 。

e 的 引 入

可 以 透 過 複 利 的 計 算 公 式 來 引 入

e：

nt

n P r

S

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= 1

此 處

P 是 本 金， S 是 本 利 和，n 是 期 數，而 r 及 t 則 分 別 代

表 利 率 和 時 期 。 眾 所 周 知 ， 當

n 增 加 時 ， S 將 會 變 大 。 有 趣

的 問 題 是 ： 當

n 無 窮 地 遞 增 時 ， S 將 會 如 何 變 化 ？ 為 使 討 論

更 清 晰 明 確 ， 取

r = t = P = 1

， 則 問 題 轉 變 為 討 論 極 限

n

n

n

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

→

1 1 lim

是 否 存 在 。 答 案 是 肯 定 的 ， 它 的 值 就 是

e

=2.718281828L。 要 證 明 極 限 的 存 在 性 ， 我 們 可 確 立 ：

（i） 序 列（ sequence）

n

n

n

T

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= 1

1 是 嚴 格 單 調 上 升（strictly

monotonic increasing）的，即 ¹

1 1 1 1 1

+

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + ^{n n} n

n ，n 為

自 然 數 ；

（ ii）

T 是 有 界 的，事 實 上，

_n 2≤

T

_n是 明 顯 的。容 易 由 幾 何 級 數 的 估 值 證 明 對 所 有 自 然 數

n ， T

_n ≤3成 立。應 用 實 數 序 列 的 單 調 收 斂 定 理 （monotone convergence theorem）： 單 調 上 升 /下 降 的 實 數 序 列 收 斂

⇔

_{該 序 列} 為 有 界 序 列 ， 知 極 限

n

n

n

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

→

1 1

lim 存 在 ， 故

e 為 一 有 精

確 意 義 的 數 值 記 號 。 此 外 ， 還 可 以 考 慮 序 列

! 1

! 3 1

! 2 1

! 1 1 1

S

_n = + + + +L

n

，

n 為 自 然 數 ， 並 證 明 ：

n n

n

T

n

S

e

=lim→∞ =lim→∞ ¹⁰。

e 的 重 要 性 質

（1） 1 3

1 lim

2 ⎟ <

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

< →∞

n

n

n

e

（2）

e 是 無 理 數（ irrational number），即 不 能 將 e 寫 成 q p

的 形 式 ， 其 中

p , 為 整 數 ， q q

≠0

（3）

e 是 超 越 數（ transcendental number），即 e 不 是 任 何

一 個 以 有 理 數 為 係 數 的 多 項 式 的 根

應 用 序 列

S 與 e 的 誤 差 估 計 ， 可 為 （ 2） 給 出 一 個 漂 亮 的

_n

10 雖然証明是標準的，卻並不容易，直接比較可知Tn≤Sn，難的一步是利用 二項定理於T_n, n遠大於k，並看出：

1, 1 1

!1 1 1 2 1 1

! 3 1 1 1

! 2 1

! 1 1 1

1 1 1 1

! 1 1 1

1 1

! 1 1 2 1 1

! 3 1 1 1

! 2 1

! 1 1 1 1 1

1

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

×

⎟×

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + +

≥

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

×

⎟×

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− −

×

⎟×

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − +

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + +

= +

= ∑

=

n k n k n n n

n n n n n k n k n n n C n

T ⁿ _i

i n i n

L L

L L

L L

再取n→∞，推出 S_k

e≥ + + + +k =

! 1

! 2 1

! 1

1 1 L 。歸納上述結果，得T_k≤S_k ≤e， 再於上式，應用夾逼定理（squeezing theorem），使k → ∞ 即可得預期結果。

證 明¹¹。（ 3） 的 證 明 較 艱 深 ！ 不 屬 於 一 般 的 中 學 課 題 。 指 數 函 數

e

^x的 定 義 及 性 質

要 講 解 以

e 為 底 又 或 是 以 一 般 正 實 數 為 底 的 指 數 函 數，是

一 個 頗 令 高 中 老 師 頭 痛 的 問 題 。 要 講 解

e ， 首 先 要 定 義

^x

e ，

^x 難 題 立 即 湧 現 ：

（I） 當

r 為 有 理 數 時 ， e 的 意 義 是 熟 知 的 ， 但 當 x 是

^r 無 理 數 時 ， 怎 樣 賦 予

e 一 個 合 理 的 定 義 ？

^x 想 不 通 往 往 要 翻 書 求 救，誰 不 知 在 那 些「 高 等 數

學 」書 中，定 義 以

e 為 底 的 指 數 函 數 e R

^x: →(0,∞) 時 ， 往 往 會 參 照 引 入

e 的 方 法 ， 對 實 數 x 定 義 e

^x 為 ：

（II）

n n

x

n

e x

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=lim→∞ 1 ， 或

（III）

∑ ∑

^∞

=

∞ =

→ =

=

0

0 ! !

lim

k n k k

k n

x

k x k

e x

用 這 些 定 義 來 講 解 ， 恐 怕 有 點 難 度 。 例 如 ， 要 理 解

e 時 ，學

² 生 如 何 去 算

n

n

n

e

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= →∞

1 2

2 lim 或

_∑

^∞

( )

=0 ! 2

k k

k

？ 另 外 ， 這 樣 的 定 義 ， 會 否 與 一 般 考 慮

e （ r 為 有 理 數 ） 時 所 用 的 定 義 一 致 ？

^r

（IV） 即 使 老 師 定 義 了

e ，接 下 來 要 問 的，將 是 如 何 說

^x 服 初 學 者 下 列 有 關 實 數 的 指 數 定 律 仍 然 成 立 ：

11 參閱復旦大學《數學分析》編寫組（1967）。《數學分析．上冊》。香港：商

務印書局。（頁68－69）。

（1）

e

^x

⋅ e

^y

= e

^x+y 及 （2） ^x _x

e

⁻ =

e

1 ， 其 中

x 與 y 為 實 數 。

在 附 錄 一 中，我 們 介 紹 一 種 方 法，在 定 義

e 之 後 以 e

^r（ 其 中

r 為 有 理 數 ） 去 逼 近 e

^x， 從 而 使

e

^x有 意 義 ， 並 由 此 看 出

e

^x 是

x 的 連 續 函 數 以 及 （ 1） 和 （ 2） 成 立 。

自 然 對 數 ln x 的 定 義 及 性 質

定 義 了 以

e 為 底，單 調 連 續 的 指 數 函 數 y

(

x

)=

e

^x :R→(0,∞) 後 ， 由 於 它 是 雙 射 的 ， 下 一 步 ， 便 可 以 考 慮 它 的 逆 函 數 自 然 對 數 函 數 ：

x

=

e

^y ⇔

y

=ln

x

(=log_e

x

)。

與

y

=

e

^x一 樣 ，

y

=ln x:(0,∞)→R 也 是 單 調 上 升 的 連 續 函 數 。

x

y

=ln 的 圖 像

可 驗 證 ， 對 正 實 數

x ， y 及 實 數 α

， 以 下 對 數 定 律 成 立 ：

（1） ln

x

+ln

y

=ln(

xy

)，

（2） ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

y

y x x

ln ln

ln ，

（3）

α

ln

x

=ln

x

^α。

至 此，對 一 般 的 指 數 函 數

y

(

x

)=

a

^x，

x R，

∈

a

>0均 可 以 通 過

a

^x =

e

^xlna來 定 義，顯 然 它 是 連 續 函 數，且 滿 足 一 般 的 指 數 定 律 。

回 應 指 數 函 數

e 的 定 義 中 的 問 題 （II）， 要看 出

^x

n n

x

n

e x

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=lim→∞ 1 ，

x

≠0， 我 們 注 意 到 ：

x x n

n n

n n

n

x n x

n n x

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

∞

→

∞

→

∞

→

1 1 1 lim

1 lim 1

lim

lim ,

1 1 lim ln 1 1

ln

x x x n

x x n

n

e e e

x n

n x

n

=

=

= ^⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

∞

→

∞

→

此 處，我 們 已 應 用 了

e 與

^x ln 的 連 續 性，以 及 將 在 附 錄 一 中 證

x

明 ：

（ ※ ）

x

x

x

e

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= →±∞

1 1 lim

要 想 確 切 理 解（III），並 不 容 易，它 牽 涉 到 一 般 的 無 窮 級 數 理 論 ， 在 此 不 作 論 述 。 但 引 導 學 生 從

e

=

e

¹

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + +

= →+∞ !

1

! 3 1

! 2 1

! 1 1 1

lim

n

n L 出 發 去 討 論 lim ( )

lim !

0

x k S

e x

_n

n n k

k n

x

∞

= →

∞

→

∑

⁼

= 的

意 義，卻 是 一 個 極 具 挑 戰 性 的 探 究 活 動。對 一 給 定 的 實 數

x，

要 高 中 學 生 證 明 ，(i){

S

_n(

x

)}^∞_n=1是 有 界 序 列 ， 並 且(ii)對 足 夠 大 的 正 整 數

N，

{

S

_n(

x

)}_n^∞_≥N是 單 調 上 升 序 列 ， 從 而lim

S

_n(

x

)

n→∞ 存 在 ， 是 一 件 非 常 有 意 義 事 ！

指 數 及 對 數 函 數 的 微 分

特 別 重 要 的 是

y

=ln

x

的 微 分 性 質 。 對

x

>0應 用 對 數 定 律 ，

y

=ln

x

的 連 續 性 及

e 的 定 義 得 ：

)' (ln x

h x h x

h

) ln(

) limln(

0

−

= +

→ （ 導 數 的 定 義 ）

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

→

x

h x h

h 1ln

lim0 （ 對 數 的 性 質 （2））

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= →

x

h h

h 1ln 1

lim0

h x

h

x

h

x

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=1lim→ ln 1

0 （ 對 數 的 性 質 （3））

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ +

= →

h x

h

h x x

1 1 lim 1ln

0 （ 對 數 的 連 續 性 ）

1. 1ln

e x

x

=

= （ 由(※ ，) →±∞

h

x

）

由 逆 函 數 的 性 質

x

=ln(

e

^x)，對 所 有 實 數

x 成 立，應 用 鏈 式

法 則 （chain rule） 得 ：

dx e d e dx

e d dx

dx

^x

x

x ( )

) (

1 )]

1= = [ln( = ，

指 數 函 數

e 的 微 分 公 式 ： 對 所 有 實 數 x，

^x

(*) ^x

e

^x

dx e d

( ) =

.

以 一 般 實 數

a

>0為 底 定 義 的 指 數 函 數

a 及 對 數 函 數 的 微 分 便

^x 可 推 得 ：

x a

x a

x

e e a a

a

)' ( ^x)' ( )' (ln )

( = ^ln = ^ln = ，

及

x x a

a a x x

e e

a ln

)' 1 ln (ln )' 1 log (log )'

(log = = = 。

以 上 是 一 個 有 關 指 數 及 對 數 函 數 的 微 分 公 式 推 導 的 可 行 途 徑 。 然 而 ， 要 推 導(*)， 只 要 能 證 明 ：

(**) 1 1

lim0 − =

→

x

e

^x

x

便 可 。 細 心 分 析 ，(**)等 價 於 (*)於

x

=0時 成 立 ：

0 0

0 1 1 |

lim )|

(

→ =

= = ^x − = = ^x _x

x x x

x e e dx

e

d

。

事 實 上 ， 要 確 定(**)⇒ (*)， 只 需 注 意 到 ： . 1 1

lim ) lim

(

0 0

x h x

h x x h x h x

e h e

e e h

e e dx

e

d

= − = − = ⋅ =

→ +

→

此 處 可 看 出(**) 作 為 一 個 基 本 的 極 限 關 係 式 ， 它 的 功 用，便 有 如 sin 1

lim0 =

→

x

x

x 在 推 導 三 角 函 數 的 微 分 公 式 時 所 起 的 作 用 一 樣 ， 有 異 曲 同 工 之 妙 ！ 但 要 直 接 由 定 義 出 發 來 導 出(**) 卻 絕 非 易 事。鼓 勵 學 生 從

y

=

e

^x的 圖 像，動 手 估 算 在

x

=0處 切

線 的 斜 率 ， 又 或 是 直 觀 地 考 慮 ...

! 3

! 1 2

3

2 + +

+ +

=

x x

x

e

^x ， 可 知

− =

x e

^x 1

! ...

3

! 1 2

2 + + +

x x

故 當

x

→0， −1 →1

x e

^x

是 一 個 「 期 望 」 中

的 結 果 。 對 他 們 理 解(**)是 非 常 有 幫 助 的 。

還 須 指 出 ， 以

e 為 底 的 指 數 函 數 y

=

e

^x還 可 被 定 義 為 函 數 )

(x

y

y

= ，它 是 滿 足 微 分 方 程：y ′ = y，且 適 合 初 始 條 件

y

(0)=1 的 唯 一 可 微 函 數

y

=

y

(x)。然 而，這 種 引 入 亦 不 易 為 學 生 所 理 解 。

最 後，指 數 及 對 數 函 數 除 了 以 上 的 引 入 方 法 外，另 一 可 行 的 途 徑 ， 是 在 討 論 了 微 積 分 基 本 定 理 （fundamental theorem of calculus） 後 ， 再 引 入 自 然 對 數 函 數

y

=ln x:(0,∞)→R：

∫

= ^x

dt x

₁ 1

t

ln ，

x

>0，

並 以 其 逆 函 數 來 定 義 指 數 函 數

y

=

e

^x :R→(0,∞)， 其 優 點 是 不 用 以 極 限 來 定 義 冪 函 數 ， 且 容 易 導 出 微 分 及 種 種 特 性 ， 詳 情 可 參 閱 附 錄 二 。

總 的 來 說，引 入 指 數 和 對 數 函 數，附 錄 一 介 紹 的 方 法 雖 然 有 點 繁 複 ， 但 能 緊 扣 學 生 的 經 驗 ， 易 於 為 學 生 所 接 受 。 附 錄 二 所 討 論 的 方 法 則 比 較 抽 象 ， 雖 然 手 法 很 乾 淨 利 落 ， 但 微 積 分 基 本 定 理 是 關 鍵 的 一 步 ， 學 生 並 不 容 易 掌 握 當 中 真 義 ！ 至 於 利 用 無 窮 級 數 作 引 入 ， 則 最 為 困 難 ， 主 要 是 中 學 生 對 無 窮 級 數 的 認 識 不 足 ， 故 不 建 議 採 用 。 當 然 ， 教 師 還 有 很 多 「 變 招 」與「 方 法 」。這 裏 並 沒 有 提 及， 建 議 採 用 與 否， 最 重 要 的 是 看 教 師 能 否 讓 學 生 理 解 當 中 的 數 學 內 涵 ， 並 自 圓 其 說 。

對 於 指 數 函 數

y

=

e

^x及

y

=ln

x

在 複 利 計 算 、 人 口 增 長 及 放 射 衰 變 中 的 應 用 ， 均 是 熟 知 的 標 準 課 題 ， 在 此 不 贅 。

值 得 注 意 的 是 ， 在 應 用 函 數 模 型 ：

y

=

kx

ⁿ或

y

=

ka

^x於 實 際 情 况 時，往 往 需 要 以 實 驗 的 方 法，從 搜 集 得 來 有 關 的

x 及 y 數

據 ， 決 定

k 及 n (前 者 )， 或 k 及 a (後 者 )的 數 值 。 這 都 可 以 通 過

指 數 的 變 換 進 行。前 者，在 兩 方 取 自 然 對 數（ 設：

y

,

x

,

k

>0， 否 則 ， 可 應 用 如 (−

y

)=(−

k

)

x

ⁿ 的 方 式 再 取 對 數 ) ， 得

k x n kx

y

ln( ⁿ) ln ln

ln = = + ， 這 是(ln

x

, ln

y

)平 面 上 以

n 為 斜 率 ， k

ln 為 y 軸 截 距 的 直 線 方 程 ， 由 (

x

,

y

)可 知 (ln

x

, ln

y

)， 再 由 數 據 決 定

n 及

ln 的 數 值 ， 亦 即 n 及 k 的 數 值 。 同 理

k

（ 設 ：

a

,

k

>0 ，

a

≠1）， 在 後 者 兩 方 取 自 然 對 數 ， 得

k

x a ka

y

ln( ^x) (ln ) ln

ln = = + ， 這 是(

x

,ln

y

)平 面 上 以ln 為 斜 率 ，

a k

ln 為 y 軸 截 距 的 直 線 方 程，由( y

x

, )知(

x

,ln

y

)，再 由 數 據 決 定

a

ln 及ln 的 數 值，亦 即 a 及 k 的 數 值。因 為 我 們 對 尋 找 通 過 數

k

據 的 「 最 佳 直 線 」 方 程 ， 所 知 甚 多 ， 故 以 上 的 方 法 ， 對 實 際 的 應 用 ， 甚 具 價 值 。 學 生 熟 習 這 種 確 定 數 學 模 型 中 參 數 的 技 巧 ， 對 日 後 的 發 展 ， 十 分 重 要 。

相 關 網 站 ：

e 的 簡 述

http://episte.math.ntu.edu.tw/entries/en_e/index.html

7. 極限

極 限 的 引 入 通 常 有 三 個 方 向，

lim f ( x )

x→±∞ 、

lim f ( x )

x→a 和 _n

n

a

∞

lim

→ 。 由 於 學 生 大 部 份 曾 接 觸 的 函 數 均 是 連 續，故 此 除 非 引 用 很「 怪 誕 」的 函 數（ 如

x x

y 1

= sin

之 類 ），否 則

lim f ( x )

x→a 均 是

f (a )

。故 此

用

lim f ( x )

x→a 引 入 極 限 比 較 突 兀 。 先 以

lim f ( x )

x→∞ 引 入 極 限 的 概 念 。 再 轉 到

lim f ( x )

x→a ， 然 後 再 引 進 連 續 的 定 義 可 能 比 較 自 然 。 我 們 可 以 利 用 「 最 終 趨 勢 」（eventually tendency）的 觀 念 指 出 若

l x

x

f =

∞

→

( )

lim

，

f (x )

，當

x

足 夠 大 時，會「 縮 進 」

l

的 左 近（ 隣 域 ），

而 這 些 不 受 前 面 的 數 值 影 響（ 若 以

a

_n而 言，那 怕 你 改 動 前 1000 個

a

_n， 也 不 會 影 響 其 極 限 ）。

1 2 3 4 5 6 7 8 x y

l

： a_{n n} 2 1− 1

=

：改動前面數值不會影響極限

至 於

x

、

sgn(x )

等 之 引 入，自 然 是 要 利 用 非 連 續 函 數 的「 非 常 例 子 」 建 構 連 續 的 概 念 。 雖 然 在 數 量 上 ， 非 連 續 函 數 比 連 續 函 數 多 得 多 ， 但 對 於 學 生 而 言 ， 曾 經 接 觸 到 的 非 連 續 函 數 可 以 說 是 絕 無 僅 有。故 此 引 入

x

、

sgn(x )

等 可 能 會 有 人 工 化 之 嫌 。 我 們 也 許 轉 一 個 彎 ， 先 看 看 如 果 是 非 連 續 會 出 現 甚 麼 情 況 ， 可 以 是 「 有 洞 」（ 所 謂 「 可 取 代 的 不 連 續 」 －replaceable discontinuity ：

lim f ( x ) lim f ( x )

a x a

x→ ⁺

=

→⁻ 但 不 等 於

f

(a) ）；「 落 差 」

（jump：

lim f ( x )

a

x→⁺ 、

lim f ( x )

a

x→ ⁻ 均 存 在 但

lim f ( x ) lim f ( x )

a x a

x→⁺

≠

→⁻ ） 或

不 斷 振 盪（ 所 謂「 實 質 不 連 續 」─ essential discontinuity：

lim f ( x )

a x→ ⁺

或

lim f ( x )

a

x→ ⁻ 不 存 在 ）。 當 然 我 們 不 必 介 紹 這 些 名 稱 的 分 類 法 ， 但 從 這 個 入 手 點 再 引 進

x

、

sgn(x )

等 可 能 更 合 理 一 點 。

(i)

= ⎩ ⎨ ⎧ +

4 ) 1

( x

x

f 1

1

=

≠ x x

當 當

(ii)

⎩ ⎨ ⎧

= − 2 ) 2 (x

f 1

1

<

≥ x x

當 當

(iii)

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= x x

f 1

sin 0 ) (

0 0

≠

= x x

當 當

老 師 的 其 中 一 個 疑 惑 是 我 們 不 介 紹 極 限 的 嚴 格 定 義 怎 樣

可 以 推 導 出 各 種 性 質 ？ 馮 振 業 與 黃 毅 英¹²便 提 出，先 以 直 觀 意 念 （ 配 以 圖 像 ） 得 出 一 些 基 本 性 質 的 想 法 如 下 ：

設

k ,

,

l m

∈R， 且

f x l

a

x =

→ ( )

lim 、

g x m

a

x =

→ ( )

lim 均 存 在 ， 其 中

a R 或

∈

±∞

=

a

則

（a）

k k

a

x =

lim→ ；

（b） lim

kf

(

x

)

x→a 存 在 ， 且 為

kl ；

（c） lim[

f

(

x

)

g

(

x

)]

a

x ±

→ 存 在 ， 且 為

l

± ；

m

（d） lim

f

(

x

)

g

(

x

)

a

x ⋅

→ 存 在 ， 且 為

lm ；

（e） ( ) ) lim (

x g

x f

x→a 存 在，且 為

m

l

，其 中

m

≠0；

（f） 若

l

= 並 在 a 鄰 近 有

m f

(

x

)≤

h

(

x

)≤

g

(

x

)， 則

h x l

a

x =

→ ( )

lim

（「 三 文 治 原 理 」）；

（g） 對 於 正 有 理 數 a ， 1 0 lim =

∞

→ a

x

x

。

之 後 便 可 按 照 這 些 基 本 性 質 ， 作 出 其 他 推 導 的 運 算 。 相 關 網 站 ：

極 限 簡 介

(a) http://www.edp.ust.hk/previous/math/history/5/5_6/5_6_3.htm

(b) http://math.ntut.edu.tw/file/upload/chap1.pdf

(c) http://webcai.math.fcu.edu.tw/calculus/calculus_html/2-2/Limit.htm

(d) http://ind.ntou.edu.tw/~metex/ch2.pdf

12 馮振業、黃毅英（1997）。極限的故事。《課程論壇》7 期，102－105。

直觀意念

嚴格定義

基本性質

後隨運算