整數

(1)

整數

【整數的運算性質】

設a,b,cZ(即^a^,^b^,^c為任意整數)，則具有下列性質：

1. 封閉性：â^^b^,â^^b^,â^^b仍為整數

2. 交換律：abba→加法；abba→乘法

3. 結合律：⁽â^^b⁾^^c^â^⁽^b^^c⁾→加法；(ab)ca(bc)→乘法 4. 分配律：â^⁽^b^^c⁾^â^^b^â^^c

5. 加法單位元素：0，因a00aa；乘法單位元素：1，因a11aa

※整數的離散性：^a^,^b^^Z ，若a b，則 ^a^{ b} ^¹，即任兩相異整數的差必



1

【除法原理】

對於任意兩個正整數^a,^b，則必定存在唯一的一組整數q,r _，使得：

其中，a 稱為被除數，b 為除數，q_為商，r 為餘數，即：被除數 = 除數 × 商 + 餘數

【整數的大小關係】設^a^,^b^,^c^^Z，則：

1. 三一律：â^^b^,â^^b^,â^^b三式中恰有一式會成立 2. 遞移律：若a 且b bc，則a



c

3. 加法消去律：abacbc

4. 乘法消去律：

 

















bc ac b a c

則若

,0 ,0

【因數&倍數】

1. 設^a^,^b^^Z^且^a^⁰，若存在一個整數c使得bac，則稱a是b的因數，或者稱b是a的倍數，

以符號「^{a |}^b」表示，讀做「a整除b」

2. 因數與倍數的性質：設^a^,^b^,^c^^Z，則下列性質成立

（1）若^{a |}^b，則^{a |}^bc

（2）若^{a |}^b且^{b |}^a，則a b或ab

（3）若^{a |}^b且^{b |}^c，則^{a |}^c

（4）若^{a |}^b且^{a |}^c，則^a^|^mb^^nc(其中^m^,ⁿ^^Z)

例1：設n ，且N ⁿ^|⁽⁷ⁿ^¹⁷⁾，求n的值答：1 或 17

例2：設^a^,^b^,^c為整數，且a 0，若^{a |}^b且^{a |}^c，試證對於任意整數m, 恆有n a|(mbnc)。

【質數&質因數】

1. 設^p^^N^, ^p^¹，若 p_{的正因數只有 1 與} p_本身，則 p_{為質數；否則為合數} 2. 我們規定：1 不是質數也不是合數。最小的質數是 2

3. 設^a^,^b^^N ，若a |b且a是質數，則稱a為b的質因數

r bq

a  ，其中0rb

(2)

※質數判別方式：設^p^^N^, ^p^¹，若 p_沒有 p的質因數，則 p_必為質數 4. 設a ，則N a可表示為相異質因數的乘積，形式如下：a p1ⁿ¹p2ⁿ² p_kⁿ^k

(質因數分解)，其中p₁, p₂,,pk為相異質因數，n₁,n₂,,nk都是正整數。而當1 p1 p2  pk

時，上述表示法叫標準分解式

※承 4，a的所有正因數個數為⁽n1¹⁾⁽n2 ¹⁾⁽n_k ¹⁾ 例1：試判斷 191 是否為質數。

例2：試判斷下列哪些數是質數：109，257，237，323 答：109,257

【最大公因數&最小公倍數】great common divisor & least common multiple

1. 設â₁,â₂,,âk ^Z，則a₁,a₂,,ak的共同因數叫做公因數，公因數中最大的正整數，叫做最大公因數，用符號 ⁽a1^,a2^,^,ak⁾ 或 ^gcd(a1^,a2^,^,ak⁾ 表示

2. 設â₁,â₂,,âk ^Z，則â₁^,â₂^,_^,â_k的共同倍數叫做公倍數，公倍數中最小的正整數，叫做最小公倍數，用符號 ^[a1^,a2^,^,ak^] 或 lcm⁽a1^,a2^,^,ak⁾ 表示

3. 互質：設^a^,^b^^Z，若(a,b) 1，則稱a與b互質

4. 求最大公因數的方法：羅列法(略)、短除法(略)、質因數分解法、輾轉相除法 5. 求最小公倍數的方法：羅列法(略)、短除法(略)、質因數分解法

6. 輾轉相除法原理：

(1) 設^a^,^b^^N ，若abqr,0rb，則(a,b)(b,r) (2) 設^a^,^b^^N ，則ab(a,b)[a,b]

例 1：求最大公因數或最小公倍數答：(1)6(2)4(3)1008(4)3360(5)6 和 2940

（1）(126,480) （2）(84,120,160) （3）[126,48] （4）[84,120,160]

（5）求²²³⁵和²³⁷²的最大公因數與最小公倍數

例 2：用輾轉相除法求(945,219)以及(384,5724) 答：3，12

有理數與實數

【定義】有理數、無理數及其相關性質 1. 有理數：所有可表示為

n

m的數就稱有理數，其中m,n且n0

所有有理數所成的集合記做^Q，即







  

 ︱m,n 且n 0 n

Q m

※有理數，其實可說是整數、有限小數、循環小數。

(3)

2. 無理數：所有不可表示為 n

m的數就稱無理數，其中m,n且n0

※將一數化為小數時，不循環的無限小數就是無理數。

3. 有理數的稠密性：任意兩個相異有理數之間至少有一個有理數，即若

b c a Q c b

a Q b

a,  ，  ，則  ，使   ；換句話說，任意兩個不相等的有理數之間，存在著無限多個有理數。

4. 若â,^b,^c,^d,ê^Q，^c為無理數，則â^b ^c ^dê ^c â^d,^b ê

例1：下列何者不為有理數？(A)1.32 (B)1.32 (C) 4

11 (D)



(E)3 答：______

例2：下列何者不為無理數？(A) 110(B) 121(C) 130(D) 240 答：______

【實數的大小關係】設^a^,^b^,^c^^R，則：

5. 三一律：â^^b^,â^^b^,â^^b三式中恰有一式會成立 6. 遞移律：若â 且^b ^b^^c，則a



c

7. 加法消去律：abacbc

8. 乘法消去律：

 

















bc ac b a c

則若

,0 ,0

【實數的絕對值及其運算性質】

1. 絕對值：數線上，實數a與原點的距離記做 ^a ，稱為a的絕對值；且

時當

時；

當 0 , 0

,    

a a a a a

a

2. 實數â與^b的距離，記為 â^^b ，而 â^{ b} ^  bâ ^ba âa ^bb







 ，當

，當

3. 設^a^,^b^^R，則：

(1) â ^⁰ ； â² ^ â ； â²^ â²

(2) â ^ ^b ^ â^^b ^ â ^^b ；若 â^^b ^ â ^ ^b ^âb ^⁰

(3) ^ab ^ ^a ^b ；

) 0 ( 

 b b a b a

【區間】

註一：^a,^b稱為區間的「端點」。

註二：符號「^」讀

做「無限大」，它不是一個實數，只是一個表示大於任意名稱記號集合表示法圖形

開區間 ^a,^b x|axb

閉區間



a,b



x|a xb

半開區間

(半開半閉區間) ⁽^a^,^b^] x|a xb

) ,

[a b ^x^|^a^ ^x^^b

無限區間 a, x|xa

) ,

[a  x|xa

,b ^x^|^x^^b

] ,

( b ^x^| ^x^^b

 , 



x| x



R

(4)

實數的符號。

例1：求下列各集合：答：(-10,10】 (-1,5) ,2 (1) (10,5)1,10 (2) (10,5)1,10 (3) ,3



2,10

【絕對值不等式的解】

設a為正數，則絕對值不等式的解集合為：

(1) ^x ^â^ ^â ^^x ^â ； ^x ^â^^â^^x^â

(2) ^x ^â^ ^x^ â^或^x^ ^â ； ^x ^â^^x^â^或^x^^â 例 1：絕對值不等式的例子

(1) ^x ^² (2) ^x^² ^³ (3) ^x ^³ (4) ^x^¹^⁴

答：(1)2x2(2)1 x5(3)^x ^{ x}³^, ^^³(4)^x ^³^,^x ^ ^⁵

例 2：a,b 均為實數,且 b>0,若滿足不等式|ax b | 1之 x 的範圍為  1 x 3,試求 a 與 b

平面上任意兩點的「距離」

設P₁(x₁,y₁，) P₂(x₂,y₂)為坐標平面上兩點，則：

2 2 1 2 2 1 2

1P (x x ) (y y )

P    

例1：設^A⁽^¹^,²^),^B⁽³^,^⁴^),^C⁽⁵^,^²⁾，求ABC的三邊長。此三角形是何種三角形？

答：AB ² ¹³^,BC ² ²^,AC ² ¹³,是等腰三角形

平面上任意兩點所成線段的「中點」

1.設P1⁽x1^,y1，⁾ P2⁽x2^,y2⁾為坐標平面上兩點，則P₁P₂ 的中點坐標為 ) , 2

(x¹2x² y¹ y² 2. 設^A⁽^x1^,^y1^，⁾ ^B⁽^x2^,^y2^，⁾ ^C⁽^x3^,^y3⁾^為^△ ^ABC的三個頂點，則△ ABC的重心為：

3 ) 3 ,

(x¹x² x³ y¹y²y³

例1：若平行四邊形 ABCD 的頂點為 A(5,-4)、B(4,1)、C(-3,2)、D(x,y)，求 D 的坐標答：(-2,-3)

(5)

例2：^△ ÂBC之三頂點為Â⁽¹^,²，⁾ ^B⁽¹^,⁰，⁾ ^C⁽²^,¹⁾，^M為ÂB中點，為ÂC之長，^G為△ ÂBC

之重心，

則：(1) M 為多少？(2) 為多少？(3) G 為多少？答：(1) (0,1) (2) 2 (3) (2/3,1)

平面上兩相異點的「分點坐標」

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)， P 點在^AB上且^AP^:^PB^^m^:ⁿ，則 ( ¹ ², ¹ ²) n m

my ny n m

mx P nx



例1：已知平面上^A⁽²^,¹^),^B⁽⁸^,⁴⁾兩點， P 點在直線 AB 上，且^PA^:^PB ^¹^:²，求

P ^點座標。

例2：設 ABC 為平面上共線的三點且 C 介於 A、B 之間，已知 A(-3,5)，B(4,-2)且3AC  4BC，

C 點坐標 答：(1,1)

平面坐標系之直線方程式

【點斜式】

1.經過點⁽x0^,y0⁾且斜率為m的直線方程式為yy₀  m(xx₀) 2.經過點⁽x0^,y0⁾且斜率「不存在」的直線方程式為x x0(為鉛垂線) 3.經過點⁽x0^,y0⁾且斜率為「0」的直線方程式為y  y0(為水平線)

例1：求經過點(5,3)且斜率為-4 的直線方程式。答：4x+y-23=0

例2：已知三角形之三頂點為^A⁽³^,³^),^B⁽^⁵^,¹^),^C⁽¹^,^⁷⁾，則BC之中垂線方程式為？答：3x-4y- 6=0

【兩點式】

經過(x₁,y₁)與(x₂,y₂)兩點的直線方程式為 ⁽ 1⁾ 2

1 2 1

1 x x

x x

y y y

y 



 

 ，其中x₁  x₂

(6)

※若x1  x2，則直線方程式為x  x1(為鉛垂線)

例1：求經過點(2,3)與(1,-4)的直線方程式。答：7x-y-11=0

例2：已知三角形之三頂點為^A⁽³^,³^),^B⁽^⁵^,¹^),^C⁽¹^,^⁷⁾，求BC之中線方程式答：6x-5y- 3=0

【斜截式】

1.x截距：一直線與x軸相交時，其交點的x坐標叫做直線的x截距 y 截距：一直線與 y 軸相交時，其交點的 y 坐標叫做直線的 y 截距 2.斜率為m且 y 截距為b的直線方程式為^y^^mx^^b

斜率為m且x截距為a的直線方程式為^y ^ ^m⁽^x^^a⁾ 斜率不存在且x截距為a的直線方程式為x



a_{(是鉛垂線)}

例1：求斜率為－1 且 y 截距是－3 的直線方程式。 　　　　　　　　答：x+y+3=0

例2：求直線³^x^{ y}⁴ ^¹² ^⁰的x截距與 y 截距以及與坐標軸所圍之三角形面積

答：6 平方單位

【截距式】

1.x截距為a且 y 截距為b的直線方程式為  1 b y a

x ，其中^a^⁰^,^b^⁰ 2.x截距不存在且 y 截距為b的直線方程式為^y ^^b(是水平線)

3.x截距為a且 y 截距不存在的直線方程式為x



a(是鉛垂線)

例1：求x截距為-2 且 y 截距為-4 的直線方程式。　　　　　　答：2x+y+4=0

【一般式】

※ 設直線L：axbyc0(a²b² 0)，則：

(1)平行 L 之直線方程式可設為^ax^^by^^k ^⁰⁽^k ^^c⁾ (2)垂直 L 之直線方程式可設為^bx^^ay^^k ^⁰⁽^k ^^c⁾

例1：試判斷兩直線³^x^⁴^y ^¹⁶^,³^x^⁴^y ^¹是否平行或垂直。

例2：已知^L^:³^x^{ y}^⁷^⁰，若 (1)L₁//L且L₁過點(2,3)，則L₁的方程式為？ (2) )

3 , 2

2 (

2 L且L過點

L  ，則L₂的方程式為？　　　　　　　答：

(7)

(1)3x+y-9=0 (2)x-3y+7=0

平面坐標系之直線斜率、平行 & 垂直直線

【直線的斜率】

斜率：直線在直角坐標平面上傾斜的程度，可看成^垂直距離_水平距離 (1) 設A(x1,y1，) B(x2,y2，) x1  x2，則此兩點決定的斜率為

1 2

1 2 2 1

2 1

x x

y y x x

y y



 



(2) 若直線 L 的斜角為^⁽^ ^ ⁹⁰^⁾，則直線L 的斜率為tan (3)若直線^L：^ax^^by^^c^⁰^,^b^⁰^,則直線 L 的斜率為

b m a

※ 一直線的斜率不會因為所選取的兩點不同或順序不同而改變

例1：若一直線通過(2,a)與(1



a,3)，且斜率為 2，求a之值答：-5

例2：ABC中，^A⁽³^,²^),^B⁽⁶^,⁶^),^C⁽⁴^,⁸⁾，又D為BC 之中點，試求AD的斜率答：5/2

【斜率的大小】

(1)m0：水平線，如L₁ (2)m不存在：鉛直線，如L₂

(3)m0：當直線由左往右上升時，其斜率為正，如L3

(4)m0：當直線由左往右下降時，其斜率為負，如L₄

例1：如右圖，已知L1,L2,L3,L4的斜率分別為m₁,m₂,m₃,m₄，則m₁,m₂,m₃,m₄的大小為？

Y

L4 L3

L2

X L1

L1

L2

L3

L4

X Y

(8)

【平行直線定理】

設兩相異直線L1與L2的斜率分別是m1與m2，則L1//L2  m1 m2

※可將此兩相異平行線視為「傾斜程度」一樣，因此斜率也一樣

※若^A^,^B^,^C三點共線mAB  mAC mBC

例1：設Â⁽²^,²^),^B⁽â^,⁴^),^C⁽⁶^,¹⁾，若AB //BC，求a值答：-6 例2：設Â⁽⁶^,⁶^),^B⁽⁴^,⁷^),^C⁽^k^,⁸⁾三點共線，求k 值答：2

【垂直直線定理】

設兩相異直線L₁與L₂的斜率分別是m₁與m₂，則L₁ L₂ m₁m₂ 1 例1：設^P⁽¹^,^²^),^Q⁽^³^,⁴^),^R⁽⁵^,^^k^),^S⁽^k ^¹^,³⁾，求下列k 值

（1）當^{PQ //}^RS時（2）當^PQ^^RS時答：6/5，-17

複數與複數平面

【複數的概念】

1. 虛數單位︰  1i

2. 若^a^,^b^^R，則形如 a 稱為複數，其中bi a稱為實部，b 稱為虛部。若^a^⁰^,^b^⁰，則bi 稱為純 虛數

3. ( 1)² i² 1，( 1)³ i³ (1)( 1)i，( 1)⁴ i⁴ (i²)(i²)1

4. 複數的相等：設â^,^b^,^c^,^d^^R，若â^^bi^^c^^di^â^^c^,^b^^d

例1：試將下列各數以虛數單位來表示 (1） 3 （2） 4 （3）

25

 9

例2：試化簡計算下列各式（1）i³ （2）i⁴ （3）i⁵ （4）i⁶ (5) i⁴^k (6) i⁴^k^¹ (7) i⁴^k^²

例3：試計算下列各式：(1) 4 9 (2)

9 4



(9)

例4：設â^,^b^^R且⁽â^²⁾^³ⁱ ^³^⁽^b^¹⁾ⁱ，求â^,^b^^?

【共軛複數及其性質】

1. 若â^,^b^^R，â^{ ,}^bi â^^bi互為共軛複數，zabi，其共軛複數以z表示，即zabiabi

2. 設Z1, Z2為複數，則：

(1)Z1Z2 Z1Z2 (2)Z1Z2 Z1Z2 (3)Z1Z2  Z1Z2 4) ^, 2 ⁰ 2

1 2

1  Z 

Z Z Z Z

【複數的四則運算】

設^a^,^b^,^c^,^d^^R，則

(1)加法︰⁽â^^bi⁾^⁽^c^^di⁾^⁽â^^c⁾^⁽^b^^d⁾ⁱ (2)減法︰⁽â^^bi⁾^⁽^c^^di⁾^⁽â^^c⁾^⁽^b^^d⁾ⁱ (3)乘法︰⁽â^^bi⁾⁽^c^^di⁾^⁽âc^^bd⁾^⁽âd^^bc⁾ⁱ

(4)除法︰ ₍⁽ ₎₍⁾⁽ ₎⁾ ⁽ ⁾2 ⁽ 2 ⁾ ^,   ⁰







 







 



 c di

d c

i ad bc bd ac di c di c

di c bi a di c

bi a

例1：設^z1³²ⁱ^,^z2 ⁵⁷ⁱ，試計算

(1) z1z2(2) z1 z2(3) z₁ z₁(4) z₁ z₁(5) z1z2(6) z₂ z₂ (7)

2 1

z z (8)

2 2

z z

例2：將

i 4 3

1

 化成^a^^bi⁽^a^,^b^^R⁾的形式，並求它的共軛複數

【複數平面---高斯平面】

1. 設â^,^b^^R，複數 â^{ bi}^^點 ⁽â^,^b⁾

2. 橫軸上的點代表全部實數，所以稱實軸；縱軸上的點代表全體的純虛數 bi （除了原點代表實數 0），所以稱虛軸；實數、純虛數以外的複數分布於各象限。

如圖：

【複數的絕對值及其運算性質】

1. 設^z^^a^^bi⁽^a^,^b^^R⁾，則z  a² b² (即z 與原點的距離) 2. 設z,w為任意複數，則：

虛軸

實軸

) 0 , 0 (  





b a

bi a

) 0 , 0 (  





b a

bi a

) 0 , 0 (  





b a

bi a

) 0 , 0 (  





b a

bi a

(10)

(1) ^z ^ ^z (2) ^z ^⁰；若 ^z ^⁰^ ^z^⁰ (3)^z^^z ^ ^z² (4) ^z^^w ^ ^z ^w (5) _w^z ^ _w^z ^,^w^ ⁰ (6) ^zⁿ ^ ^zⁿ 例1：設z34i，試求 ^z ^

例2：已知^z1 ^²^³ⁱ^,^z2 ^^³^ⁱ，試求下列各式之值（1） z1 （2） ^z¹ （3）  z1 （4） z1  z2

【一元二次方程式的公式解】

已知一元二次方程式ax² bxc0(a,b,cR,a0)，則其公式解 a

ac b

x b

2

2 4





例1：解下列方程式（1）x²  x3 50 （2）2x²  x3 60 (3) x² x2 30

【根的性質】

已知一元二次方程式ax² bxc0(a,b,cR,a0)，判別式Db² 4ac

（1）若D0，則有相異實根

（2）若D0，則有相等實根

（3）若D0，則為共軛虛根

（4） * 若D0，則有實根

例1：實係數方程式x²4xk 0，兩跟為共軛虛根，求k 的範圍。

例2：已知方程式2x² 5xk0有實根，求實數k 的範圍？

例3：若1i為方程式x²(4ai)x(b3i)0之一根，求實數a與b。

整數

整數





 



















bc ac b a c

bc ac b a c

則 若

則 若

,0 ,0

有理數與實數





 



















bc ac b a c

bc ac b a c

則 若

則 若

,0 ,0











平面坐標系之直線方程式





平面坐標系之直線斜率、平行 & 垂直直線



複數與複數平面

則若

則若

則若

則若