平行四邊形並不是一個線對稱圖形，若以平行四邊形 ABCD 的兩對邊中點連線段為對稱軸，則對稱的圖形為另一平行四邊形 A`B`C`D`，圖形並沒有完全重疊，如圖 3.3-5 所示；若以平行四邊形的對角線為對稱軸，則平行四邊形 ABCD 對稱的圖形為平行四邊形 AB`CD`，圖形並沒有完全重疊，如圖 3.3-6 所示；若以平行四邊形的對角線為對稱軸，則平行四邊形 ABCD 對稱的圖形為平行四邊形 A`BC`D，圖形並沒有完全重疊，如圖 3.3-7 所示。在平行四邊形上找不到對稱軸，可以延著對稱軸對折後，圖形會完全重疊，故平行四邊形不是一個線對稱圖形。

D'

C'

B'

A' P Q

D A

B C

B'

A'

C'

D' Q

P D

B C

A

圖 3.3-5：以平行四邊形兩對邊的中點連線段 為對稱軸之對稱圖形

B'

D'

D

B C

A

圖 3.3-6：以平行四邊形的對角線 為對稱軸之對稱圖形

C'

A'

D A

C B

(63)

線對稱圖形之判斷要領

1. 先畫出線對稱圖形之對稱軸。

在圖上找出可能對稱的兩點，做兩點連線的垂直平分線，若圖為線對稱圖形，則此線就是對稱軸。

2. 檢查圖形上的每一點在對稱軸之兩側等距離位置是否都有對稱點，若有，則此圖形是線對稱圖形。

( 若圖形可以拿起來對折，可以沿著對稱軸對折，檢查圖形是否會完全重疊，若完全重疊，則是線對稱圖形。)

(64)

例題 3.3-1

如圖 3.3-8，△ABC 是等腰三角形，＝，△ABC 是線對稱圖形嗎？如果是，畫出其對稱軸，並指出 B 點的對稱點為何？

圖 3.3-8

想法：(1) 若一個圖形是線對稱圖形，則沿著對稱軸對折，圖形會完全重疊 (2) 點在對稱軸的對側與對稱軸等距離的點稱為此點的對稱點

圖 3.3-8(a) 解：

敘述理由

(1) 假設 L 為BAC 的角平分線，

如圖 3.3-8(a)，則 L⊥ 且

＝

(2) 在△ABD 與△ACD 中，

＝

B＝C

＝

(3) △ABD △ACD

(4) △ABC 為線對稱圖形，

且 L 為其對稱軸

已知△ABC 是等腰三角形，＝＆等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊

如圖 3.3-8(a)所示由(1) ＝

已知△ABC 是等腰三角形，＝

已知＝

由(2) ＆根據 S.A.S.三角形全等定理由(3) ＆ △ABC 沿著 L 對折，圖形會完全重疊

(65)

例題 3.3-2

判別下列各圖形是否為線對稱圖形，並畫出其所有的對稱軸。

(A) (B) (C) (D)

圖 3.3-9(a) 圖 3.3-9(b) 圖 3.3-9(c) 圖 3.3-9(d) 想法：若一個圖形是線對稱圖形，則沿著對稱軸對折，圖形會完全重疊

圖 3.3-9(a-1) 圖 3.3-9(c-1) 圖 3.3-9(d-1) 解：

敘述理由

(1) 選項(A)為線對稱圖形，如圖 3.3-9(a-1)

， L1、L2、L3、L4、L5為其對稱軸 (2) 選項(B)不是線對稱圖形

(3) 選項(C)為線對稱圖形，如圖 3.3-9(c-1)

， L1、L2為其對稱軸

(4) 選項(D)為線對稱圖形，如圖 3.3-9(d-1)

， L1、L2為其對稱軸

圖 3.3-9(a-1)中，分別沿著 L1、L2、 L3、L4、L5對折，圖形完全重疊無對稱軸

圖 3.3-9(c-1)中，分別沿著 L1、L2

對折，圖形完全重疊

圖 3.3-9(d-1)中，分別沿著 L1、L2

對折，圖形完全重疊

(66)

定義 3.3-2 點對稱圖形

若有一點 O(不一定在圖上)，使圖形上的每一點在與 O 點連線的對側上的等距離的位置都有一點與之對稱，則叫此圖為對稱 O 點之點對稱圖形或稱簡為點對稱圖形，叫 O 點為對稱圖形的「對稱中心」。

若一個圖形是點對稱圖形，則以對稱中心為旋轉中心，旋轉 180 度後，會與原來圖形重合。

C'

B'

A' O

A

B C

B₁ C₁

A₁

O C

B A

圖 3.3-10 點對稱圖形圖 3.3-11 點對稱圖形

常見之點對點稱圖形有：正方形、長方形、平行四邊形、正六邊形、圓形，…等。

正方形 O

長方形 O

平行四邊形 O

正六邊形 O

圓形 O

圖 3.3-12

(67)

點對稱圖形之判斷要領

1. 先畫出點對稱圖形之對稱中心。

在圖上找出可能對稱的兩點，做兩點連線的中點，若圖形為點對稱圖形，則此點就是對稱中心。

2. 檢查圖形上的每一點，在點與對稱中心連線之對側等距離位置是否都有對稱點，若有，則此圖形是點對稱圖形。

(68)

習題 3.3

習題 3.3-1

下列各圖形中，哪些是線對稱圖形？

(A)

圖 3.3-13(a)

(B)

圖 3.3-13(b)

(C)

圖 3.3-13(c)

(D)

圖 3.3-13(d)

(E)

圖 3.3-13(e)

(F)

圖 3.3-13(f)

(G)

圖 3.3-13(g)

(H)

圖 3.3-13(h)

(I) (J) (K) (L)

圖 3.3-13(i) 圖 3.3-13(j) 圖 3.3-13(k) 圖 3.3-13(l)

(69)

習題 3.3-2

下列各圖形哪一個的對稱軸超過一條？

(A) (B) (C) (D)

圖 3.3-14(a) 圖 3.3-14(b) 圖 3.3-14(c) 圖 3.3-14(d)

習題 3.3-3

畫出下列圖形的所有對稱軸：

圖 3.3-15(a) 圖 3.3-15(b) 圖 3.3-15(c) 圖 3.3-15(d)

習題 3.3-4

直角三角形都是線對稱圖形嗎？哪一種直角三角形是線對稱圖形？

(70)

習題 3.3-5

如圖 3.3-16，將一張長方形色紙對摺後，剪出一個字母，則展開後的圖形為下列何者？

圖 3.3-16

(A) (B)

(C) (D)

(71)

本章重點

本章介紹直線與直線關係的兩個重要性質：垂直與平行。

1. 線段的垂直線性質。

2. 線段的垂直平分線性質。

3. 線上一點與線外一點的垂直線性質。

4. 定義線與線相交形成的各種角的名詞：內角、外角、同位角、內錯角、

外錯角、同側內角、同側外角等。

5. 平行線的相關性質：

(1) 同時垂直一直線的兩線平行。

(2) 平行線必同時垂直同一直線。

(3) 兩平行線間的距離處處相等。

(4) 平行線的內錯角性質。

(5) 平行線的外錯角性質。

(6) 平行線的同位角性質。

(7) 平行線的同側內角性質。

6. 線對稱圖形與點對稱圖形。

(72)

進階思考題

1. 已知：如圖 3.1，L1 ∥ L2， ∥ 。證明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°。

圖 3.1 2. 如圖 3.2，L1∥L2，求：

(1)∠1＝度。 (2)∠2＝度。 (3)∠3＝度。

圖 3.2

3. 如圖 3.3，L1∥L2，則∠1＝度。

(73)

4. 如圖 3.4，L1∥L2，若 ⊥ ，則∠BCD＝度。

圖 3.4

5. 如圖 3.5，L1∥L2，∠1＝（3x－25）°，∠2＝（4x－13）°，則 x＝。

圖 3.5

6. 如圖 3.6，L∥M，求 y＝度。

圖 3.6

(74)

7. 如圖 3.7，L∥M，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠ADC＝度。

圖 3.7

8. 如圖 3.8，已知 L1∥L2，M 和 N 都是 L1和 L2的截線，且∠1＝（8x＋6）°，

∠2＝（2x＋19）°，則：

(1) x＝。 (2)∠3＝度。

圖 3.8

9. 如圖 3.9，L1∥L2，△ABC 為正三角形，∠1＝80°，則 x＝度，y＝度。

(75)

10. 如圖 3.10，L1∥L2，∠BAC＝18°，∠ABC＝20°，則 x＝度。

圖 3.10

11. 如圖 3.11，L1∥L2，∠ABC＝95°，∠1＝28°，∠CDE＝67°，則 x＝度，

y＝度。

圖 3.11

12. 如圖 3.12， ∥ ，則 x＝，y＝，∠BEC＝度。

圖 3.12

(76)

13. 如圖 3.13，L1∥L2∥L3，則 x＝度。

圖 3.13

14. 如圖 3.14，L1∥L2，則∠1＝度。

圖 3.14

15. 如圖 3.15， ∥ ，E、F 分別在與 上，求∠1。

圖 3.15

(77)

16. 如圖 3.16，直線 L1∥L2，A、B 在 L1上，C、 D、E 在 L2上，求∠1、∠2。

圖 3.16

17. 如圖 3.17， ∥ ， ∥ ，∠B＝30°，則∠E＝度。

圖 3.17

18. 如圖 3.18， ∥ ， ∥ ，∠B＝42°，則∠E＝度。

圖 3.18

(78)

19. 如圖 3.19， ∥ ， ∥ ，∠E＝80°，則∠B＝度。

圖 3.19

20. 如圖 3.20， ⊥ ， ⊥ ，∠B＝37°，則∠E＝度。

圖 3.20

(79)

歷年基測題目

1. 圖 3.21 中有直線 L 截過兩直線 L1、L2後所形成的八個角。由下列哪一個選項

中的條件可判斷 L1∥L2？

(98-1)

(A) 2+4=180 (B) 3+8=180

(C) 5+6=180 (D) 7+8=180

L

L₁

L₂ 8

7

6

5

4 3

2

1

圖 3.21 解答：(B) 3＋8=180

想法： (1) 平行線同側內角和等於 180 (2) 對頂角相等 解：

敘述理由

(1) 3＋2＝180

(2) 2＝8

(3) 3＋8＝180

平行線同側內角和等於 180

對頂角相等由(1) & (2)

(80)

2. 如圖 3.22，長方形 ABCD 中，以 A 為圓心， 長為半徑畫弧，交於 E 點。

取的中點為 F，過 F 作一直線與平行，且交DE︵

於 G 點。求AGF＝？

(A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150

(98-1)

G

E

F

A B

D C

圖 3.22 解答：(D) 150

想法： (1) 正三角形之三內角相等 (2) S.A.S.三角形全等定理

30

60

30 150

60

H G

E

F

B D

A

C

圖 3.22(a) 解：

敘述理由

(1) 連接 D 點與 G 點，如圖 3.22(a) (2) ＝

(3) ADG＝AGD (4) ＝

(5) AHG＝DHG＝90

兩點可決定一直線同圓的半徑相等

△ADG 為等腰三角形，兩底角相等過平行四邊形一邊中點之平行線交於對邊中點(平行四邊形性質於第六章會再詳細證明)

長方形之每一角為 90，平行線之同位角

(81)

(6) ＝

(7) △AHG  △DHG (8) HGA ＝HGD (9) HDG＝HAG

ADG＝DAG

(10) ADG＝AGD＝DAG (11) ADG＝AGD＝DAG＝60

(12) AGD＝HGA ＋HGD＝60

2HGA＝60

HGA＝30

(13) AGF＋HGA ＝180

AGF＝180－HGA ＝180－ 30＝150

同線段相等

由(3)(4)(5)，SAS 全等三角形定理全等三角形對應角相等

全等三角形對應角相等同角相等HDG＝ADG，

HAG＝DAG 由(2)&(7)

△ADG 中三角相等，故每一角為 60

(三角形內角和 180°性質在第四章會再詳細介紹)

全量=全部分量和由(7)

全量=全部分量和將(11)代入(12)

(82)

3. 如圖 3.23，將四邊形鐵板 ABCD(四個內角均不為直角)平放，沿 畫一直線 L，沿畫一直線 M。甲、乙兩人想用此鐵板，在 M 的另一側畫一直線 L1

與 L 平行，其作法分別如下：(95-1)

L

M D

A

B C

圖 3.23

甲：如圖 3.23(a)，將鐵板翻至 M 的另一側，下移一些並將緊靠在直線 M 上，再沿畫一直線 L1，如圖 3.23(b)。

L

M A C D

B

圖 3.23(a)

M L₁

L

A D C

B

圖 3.23(b)

乙：如圖 3.23(c)，將鐵板轉動到 M 的另一側，下移一些並將緊靠在直線

⎯

目錄

第三章垂直線與平行線

3.1 節垂直線

習題 3.1

3.2 節平行線

1

2

習題 3.2

3.3 節對稱圖形

習題 3.3

本章重點

進階思考題

歷年基測題目

(98-1)

(98-1)

目錄

第三章 垂直線與平行線

3.1 節 垂直線

習題 3.1

3.2 節 平行線

1

2

習題 3.2

3.3 節 對稱圖形

習題 3.3

本章重點

進階思考題

歷年基測題目

(98-1)

(98-1)

第三章垂直線與平行線

3.1 節垂直線

3.2 節平行線

3.3 節對稱圖形