直線方程式

數學公式卡 >>第一冊

直線方程式

1. 兩點關係

設P x y 、( , )_{1 1} Q x y 為坐標平面上相異兩點，則 ( , )_{2 2} (1) PQ= (x x₁− ₂)²+(y₁−y₂)²

(2) PQ 的中點

M

^坐標為⎛_⎜^{x x y1+}₂ ^{2, 1+}₂^y2⎞_⎟

⎝ ⎠。

2. 內分點

設P x y 、₁( , )_{1 1} P x y 、 ( , )2( , )2 2 P x y 為同一直線相異三點，且

P

^為PP 的1 2

內分點，若

PP PP m n

₁ : ₂ = : ，則

x

⁼

nx mx m n

^{1++ 2 ，}

y

⁼

ny my m n

^{1++ 2}

3. 重心

設A x y 、( , )_{1 1} B x y 、( , )_{2 2} C x y ，則△( , )_{3 3}

ABC

^的重心

G

^坐標為

1 2 3, 1 2 3

3 3

x x+ +x y +y +y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠。

4. 平行、垂直之直線

設相異直線

L

₁^、L 的斜率分別為2

m

₁^、

m

2^，則

(1)

L L

₁// ₂ ⇔

m m

₁= ₂ (2)

L L

₁⊥ ₂ ⇔

m m

₁× ₂= − 1

《註》當一直線斜率不存在（即此直線垂直

x

^軸），另一直線斜率為 0（即此直線平行

x

^軸），

則此兩直線亦互相垂直。

5. 直線方程式的求法 (1) 點斜式：

過點( , )x y 且斜率為_{1 1}

m

^{的直線方程式為}

y y m x x

^{− =}1 ( ⁻ 1)^。 (2) 斜截式：

斜率為

m

^且

y

^截距為

b

^{的直線方程式為}

y mx b

= + 。

《註》斜率為

m

^且

x

^截距為

a

^{的直線方程式為}

y m x a

= ( − 。 ) (3) 兩點式：

過相異兩點( , )x y 與_{1 1} ( , )x y 的直線方程式 2 2

若x₁≠ ，直線方程式為x₂ 1 ^{2 1} 1

2 1

( ) y y

y y x x

x x

− = − −

− 。

若x₁= ，直線垂直x₂

x

^{軸，方程式為}x x− = 。 1 0 (4) 截距式：

x a y b

^{x y}

6. 直線斜率

設直線 :L ax by c+ + = 0

(1) 當b ≠0時：直線 L 的斜率為 a

− 。 b

(2) 當b = 時：直線 L 垂直 x 軸，且斜率不存在。 0 7. 點到直線的距離公式

設點P x y ，直線 :

(

1, 1

)

L ax by c+ + = ，則點 P 到直線 L 的距離為0 ax by c¹ ₂ ¹ ₂ d a b

+ +

= + 。

8. 兩平行線間的距離公式

設兩平行線L ax by c₁: + + = 與₁ 0 L ax by c₂: + + = ，則₂ 0 L 、₁ L 的距離為₂ c c¹₂ ²₂ d a b

= −

+ 。 9. 線型函數（函數圖形為一直線）

( )

f x =ax b+ （ a 、 b 為常數）

(1) 當a ≠ 時：0 ^{f x}

( )

^{=ax b+ 稱為一次函數。}

(2) 當a = 時：0 ^{f x}

( )

^{= 稱為常數函數。 b}

10. 二次函數

( )

²

f x =ax bx c+ + （ a 、 b 、 c 為常數，a ≠ ） 0 11. ^{f x}

( )

^{=ax2（ ≠ 0a ）的圖形}

以原點為頂點，y 軸為對稱軸的拋物線。

(1) 當a > 時，圖形開口向上，頂點為最低點， a 的值愈大，圖形開口愈小； a 的值愈小，0 圖形開口愈大。

(2) 當a < 時，圖形開口向下，頂點為最高點，a 的絕對值愈大，圖形開口愈小；a 的絕對0 值愈小，圖形開口愈大。

12. ^{f x}

( ) (

^{=a x h−}

)

^{2+k （ ≠ 0a ）的圖形}

二次函數 ^{f x}

( )

^{=ax2+ + 經配方可得bx c f x}

( ) (

^{=a x h−}

)

^{2+ ，圖形是以k}

( )

^{h k 為頂點，, x h− =0}

為對稱軸的拋物線。

(1) 當a > 時，圖形開口向上，頂點為最低點，且在 x h0 = 時，函數^{f x 有最小值}

( )

^{f h}

( )

^{= 。 k}

(2) 當a < 時，圖形開口向下，頂點為最高點，且在 x h0 = 時，函數^{f x 有最大值}

( )

^{f h}

( )

^{= 。 k}

三角函數

1. 角度的換算

利用π （弧度） 180= ° 1 180

° = π （弧度）

1（弧度） 180 π

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

2. 扇形的弧長與面積

設一扇形的半徑為r ，弧長為 S ，圓心角為θ 弧度，面積為 A，則 (1) S rθ=

(2) 1 ² 1

2 2

A= rθ = rS 3. 同界角

(1) 具有相同始邊與終邊的有向角。

(2) 設θ 與φ 為同界角， n 為整數，則θ φ− = ×n 360° 或θ φ− =2nπ 4. 銳角三角函數

直角 ABC△ 中，∠ = ° C 90 sinA a

= ， cosc A b

= c tanA a

= ， cotb A b

= a secA c

= ， cscb A c

= a 5. 三角恆等關係式

(1) 倒數關係式：

sinθ×cscθ =1，即csc 1 θ sin

= θ cosθ×secθ = ，即1 sec 1

θ cos

= θ tanθ×cotθ = ，即1 cot 1

θ tan

= θ (2) 商數關係式：

tan sin

cos θ θ

= θ ，cot cos sin θ θ

= θ (3) 平方關係式：

2 2

sin θ+cos θ = 1

2 2

1 tan+ θ =sec θ

2 2

1 cot+ θ =csc θ 6. 特別角的三角函數值

函數

角度θ sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ 30 6

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠

1

2 3

2

3

3 3 2 3

3 2

45 4

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

2

2 1 1 2 2

60 3

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2

1

2 3 3

3 2 2 3

3

7. 任意角的三角函數： =r x²+ y² >0 sin y

θ = r cos x

θ = r tan y

θ = （x x ≠ ） 0 cot x

θ = （y y ≠ ） 0 sec r

θ = （x x ≠ ） 0 csc r

θ = （y y ≠ ） 0 8. 象限角的三角函數值

函數

角度θ sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ

0° （ 0） 0 1 0 無意義 1 無意義

90 2

⎛ ⎞π

°⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 0 無意義 0 無意義 1

180° （π ） 0 − 1 0 無意義 − 1 無意義 270 3

2

⎛ π ⎞

°⎜ ⎟⎝ ⎠ − 1 0 無意義 0 無意義 − 1 9. 三角函數的週期

函數 sin x cos x tan x cot x sec x csc x

週期 2π 2π π π 2π 2π

向量

1. 向量的坐標表示

設A x y 、

(

1, 1

)

B x y 為坐標平面上兩點，則

(

2, 2

) (

^{2 1, 2 1}

)

AB= x −x y −y ， 又 ^{AB =}

(

^x2−x1

) (

^{2+ y2−y1}

)

²

2. 方向角

設向量 p 的方向角為φ ，則 cos , sin

p ⎛ p φ p φ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠ 3. 向量加減的坐標表示

設 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{、 b =}

(

^{b b1, 2}

)

^，則

(1) ^{a + b =}

(

^{a b a b1+ 1, 2+ 2}

)

(2) ^{a − b =}

(

^{a b a b1− 1, 2− 2}

)

4. 向量與實數積的坐標表示

設向量 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{， r 為實數，則r a =}

(

^{ra ra1, 2}

)

^。

5. 平行向量

設 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{、 b =}

(

^{b b1, 2}

)

^{，若 //a b ，則}

1 2

1 2

a a

b = b （其中b b ≠ ）或_{1 2} 0 a b_{1 2} =a b_{2 1}。

《註》設 a 、 b 為二非零向量，若 //a b ，則存在一個實數 r ，使得 a =r b 。 6. 向量內積的定義

設二非零向量 a 與 b 的夾角為θ ，則 cos

a b⋅ = a b θ

當 a 、 b 有一向量為零向量時， a b⋅ 定義為 0 。 7. 向量內積的坐標表示

設二向量 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{、 b =}

(

^{b b1, 2}

)

^，則

1 1 2 2

a b⋅ =a b a b+ 8. 向量的夾角

設二向量 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{、 b =}

(

^{b b1, 2}

)

^{的夾角為θ ，則}

1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

cos a b a b a b a a b b a b

θ = ⋅ = +

+ +

9. 向量垂直

設向量 ^{a =}

(

^{a a1, 2}

)

^{、 b =}

(

^{b b1, 2}

)

^{，若 a ⊥ b ，則a b a b1 1+ 2 2 = 0}

《註》設 a 、 b 為二非零向量，則 a ⊥ b ⇔ a b⋅ = 0

指數與對數及其運算

1. 正整數的指數律

a 、 b 為實數，

m

、 n 為正整數，則

(1)a^m×aⁿ =a^{m n+} (2)

( )

^{am n =am n× (3)}

^{( )}

^{ab n = × a bn n}

2. 零指數與負整數指數

設 a 為實數，且a ≠ ，0

m

、 n 為正整數，則 (1)a = (2)⁰ 1 n 1

a n

a

− = (3)a^m_n a^{m n}

a

= −

3. 分數指數

設a > ， n 為正整數，0

m

^{為整數，則}

(1)a¹ⁿ = ⁿa (2)^{amn =}

( )

^{na m =n ma}

4. 對數的定義

設a > 且0 a ≠ ，1 b > ，則 0 logab x= ⇔ a^x = b 5. 對數運算性質

設 a 、 b 、 c 為異於1的正實數， M 、 N 、 d 均為正實數， r 、 s 為實數且r ≠ ，則 0 (1) log 1 0_a = ； log_aa = 1

(2) logaMN =logaM+logaN (3) log_a M log_aM log_aN

N = −

(4) log_aM^r =rlog_aM ；logarM 1logaM

= r (5) log_aa^r = ；r a^logaM =M

(6) （換底公式）：log log log^b

a

b

M M

= a (7) log_a 1 log_aM

M = −

(8)

(

^logab

)(

^{logba = （即}

)

^{1 loga} _log¹

b

b= a） (9) log r s log

a a

M s M

= r

(10)

(

^logab

)(

^logbc

)(

^logcd

)

^=logad

6. 對數函數圖形： = logy _ax （ > 0a 且 ≠ 1a ， > 0x ）

(1) 圖形恆過定點

( )

1,0 ，且在 y 軸的右方。

(2) 當a > 時， f 為嚴格增函數；當 01 < < 時， f 為嚴格減函數。 a 1 (3) y=log_ax的圖形與 log₁

a

y= x的圖形對稱於 x 軸。

(4) y=log_ax的圖形與y a= 的圖形對稱於直線 y x^x = 。

7. 對數不等關係 設x 、₁ x 為正實數 ₂

(1) 當a > 時：1 log_ax₁<log_ax₂ ⇔ x₁< x₂ (2) 當 0< < 時：a 1 log_ax1<log_ax2 ⇔ x₁> x₂ 8. 首數與尾數

log x n= （首數） α+ （尾數）（其中 n 為整數，0≤ < ） α 1 (1) 若真數x > 且 x 的整數部分為1

m

位數時，則首數

n m

= − 。 1

(2) 若真數x < （即 01 < < ）且 x 在小數點後第x 1

m

^{位以前均為 0，而第}

m

^{位開始出現不為 0}

的數字，則首數

n

= −

m

。

數學公式卡 >>第二冊

數列與級數

1. ∑ 的運算性質 (1)

1

m

n

c mc

=

∑

= ^。 (2)

1 1

m m

n n

n ca c an

= =

∑

=

∑

^。

(3)

( )

1 1 1

m m m

n n n n

n a b n a n b

= = =

± = ±

∑ ∑ ∑

^。

2. 等差

等差數列

數列 a 滿足 _n

2 1 3 2 n n1

a a a a− = − = = −a a₋ = = （公差） d (1) a_n = + −a1

(

n 1

)

d

(2) an ⁼am^{+ −}

( n m d )

(3) a a^{n m}

d n m

^{= −− （ n≠ ）}

m

等差中項 設 A為 a 、 b 的等差中項，則

2 A= a b+

（ A為 a 、 b 的算術平均數）

等差級數 2 1

(

1

) (

1

)

2 2

n n n n

S = ⎡⎣ a + −n d⎤⎦= a a+ 3. 等比

等比數列

數列 a 滿足 _n

2 3

1 2 1

n n

a a a r

a = a = =a₋ = = （公比）

(1) a_n = ×a r₁ ⁿ⁻¹ (2) a_n =a_m×r^n−m

等比中項 設 G 為 a 、 b 的等比中項，則 G= ± ab

（ ab 為 a 、 b 的幾何平均數）

等比級數

(1) 當公比r = 時：1 S_n = × n a₁ (2) 當公比r ≠ 時： 1

( ) ( )

1 1 1 1

1 1

n n

n

a r a r

S r r

− −

= =

− −

1 1

1 ^{n n} 1

n a ra ra a

S r r

− −

= =

− −

4. 無窮等比級數求和

1 2 1

1

k n

k

ar a ar ar ar

∞ − −

=

= + + + + +

∑

^。

1

<

r ¹

1 1

k k

ar a

r

∞ −

=

= −

∑

^{為收斂級數}

1

r ≥ ¹

1 k k

∞ ar

−

∑

= ^{為發散級數}

式的運算

1. 多項式

(1) 多項式

( )

n 1 n¹ 1 0

n n

f x =a x +a x₋ ⁻ + +a x a+ ， 當a ≠ 時：_n 0 ^{deg f x}

( )

^{= ，領導係數為n a 。 n}

(2) 常數多項式a ：₀ ⁰

0

0 0 a a

⎧ ≠

⎨ =

⎩

零次多項式（ ）

零多項式（ ） 。 2. 多項式除法原理

設 ^{f x 、}

( )

g x 為二多項式，且

( )

g x ≠ ，則恰存在二多項式

( )

^{0 q x 及}

( )

^{r x 滿足}

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x =g x q x r x× + ，其中^{r x = 或}

( )

^{0 degr x}

( )

^{<degg x}

( )

^。

3. 綜合除法演算方法

(

^{a xn n+a xn−1 n−1+ +a x a1 + 0}

)

^{÷ −}

⁽

^{x b}

⁾

a n a_n−1 a_n−2 … a ₁ a ₀ b +) b c× _n−₁ b c× n−2 … b c× ₁ b c× 0

1 n

n

c a

− cn−2 cn−3 … c ₀ r ……餘式

商式^{q x 的各項係數}

( )

4. 餘式定理

(1) 多項式 ^{f x 除以 x a}

( )

^{− 的餘式為 f a 。}

( )

(2) a ≠ ，多項式0 f x 除以 ax b

( )

− 的餘式為f b a

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠。 5. 因式定理

設a ≠ ， ax b0 − 為多項式 f x 的因式 ⇔

( )

f b 0

⎛ ⎞ =a

⎜ ⎟⎝ ⎠ 。 6. 整係數一次因式檢驗法

設 ^{f x}

( )

^{=a xn n+a xn−1 n−1+ +a x a1} + 為一個整係數多項式，若整係數一次式 ax b⁰ − 為 ^{f x 的因}

( )

式，且 a 、 b 互質，則 a 為a 的因數且 b 為_n a 的因數。 0

7. 因式分解常用公式 (1) ^{a b2− =2}

(

^{a b a b+}

)(

⁻

)

(2) ^{a2+2ab b+ 2 = +}

(

^{a b}

)

²

(3) ^{a2−2ab b+ 2 = −}

(

^{a b}

)

²

(4) ^{a b3+ = +3}

(

^{a b a}

) (

^{2−ab b+ 2}

)

(5) ^{a b3− = −3}

(

^{a b a}

) (

^{2+ab b+ 2}

)

(6) ^{a3+3a b2 +3ab b2+ = +3}

(

^{a b}

)

³

(7) ^{a3−3a b2 +3ab b2− =3}

(

^{a b−}

)

³

8. 根式的運算法則

設 a 、b 為實數且b ≠ ，0

m

、n 為大於1的正整數（當 n 為偶數時，必須限制 a 、b 為正數），

則

(1) ⁿa=^{mn m}a (2) ^{m n} a =^mna (3) ⁿa×ⁿb= ⁿab (4) ⁿa ⁿb ⁿ_na ⁿ a

b b

÷ = = 9. 雙重根式之化簡

設 A、 B 為正數且 B 為無理數，若 2

A± B = x± y（其中x y> > ） 0 則 x y A+ = 且 xy B= 。

方程式

1. 方程式求解

(1) 方程式ax bx c²+ + = （ a 、 b 、 c 為實數且0 a ≠ ）的公式解為 0

2 4

2 b b ac

x a

− ± −

= 。

(2) 二次方程式根的判別：

關於方程式ax bx c²+ + = （ a 、 b 、 c 為實數且0 a ≠ ） 0 判別式b²−4ac> 0 方程式有相異二實數根 判別式b²−4ac= 0 方程式有相等二實數根 判別式b²−4ac< 0 方程式無實數解

2. 二次方程式根與係數關係

設α 、 β 為二次方程式ax bx c²+ + = 的二根，則 0 b

α β+ = − ，a c αβ = 。 a

3. 二階行列式 a b ad bc c d = − 。 4. 二元一次方程組的解

對二元一次方程組 ^{1 1 1}

2 2 2

a x b y c a x b y c

+ =

⎧⎨ + =

⎩ ，設L 為直線₁ a x b y c₁ + ₁ = ，₁ L 為直線₂ a x b y c₂ + ₂ = ， ₂

令 ^{1 1}

2 2

a b

Δ = a b ， ^{1 1}

2 2

x

c b

Δ = c b ， ^{1 1}

2 2

y

a c a c Δ = 。

0 Δ ≠

恰有一組解 x Δ= x

Δ ，y Δ^y

= Δ

相容方程組

L 與1 L 相交於一點 2 x y 0

Δ = Δ = Δ = 無限多組解 相依方程組

L 與1 L 重合為一直線 ₂ 0

Δ = ，但Δ 、_x Δ 不全為 0 無解 y 矛盾方程組 L 與1 L 互相平行 2

5. 三階行列式

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

= + + − − − 。

6. 行列式基本性質

(1) 在一行列式中，將行的元素與列的元素互換，行列式值不變。

(2) 在一行列式中，將兩行（列）的元素對調，行列式值變號。

(3) 在一行列式中，任一行（列）的元素可提出同一數。

(4) 在一行列式中，若兩行（列）的元素相同或成比例，則行列式值為0。

(5) 在一行列式中，若某一行（列）的元素可分成兩行（列）元素的和，則此行列式可分解 成兩個行列式的和。

(6) 在一行列式中，將任一行（列）元素的 k 倍加到另一行（列）的對應元素上，行列式值 不變。

《註》在一行列式中，若有一行（列）的元素均為0時，此行列式值為 0。

7. 三元一次方程組的解（克拉瑪公式）

對三元一次方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

，

設

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c a b c a b c

Δ = ，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c d b c d b c

Δ = ，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

y

a d c a d c a d c

Δ = ，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

z

a b d a b d a b d

Δ = 。

當Δ ≠ 時：方程組之解為0 x Δ= ^x

Δ ，y Δ^y

= Δ ，z Δ= ^z Δ 。

不等式及其應用

1. 絕對值不等式

設 x 為實數， a 為一正數，則 (1) x a< ⇔ − < < 。 a x a (2) x a> ⇔ x a> 或 x< − 。 a 2. 一元二次不等式的解法

設 a 、 b 、 c 為實數且a > 。 0

判別式 二次不等式的解 y ax bx c= ²+ + 圖形（a > ） 0

2 4 0

b − ac>

設α 、 β 為ax bx c²+ + = 之二根，且0 α β< ，則

(1) ax bx c²+ + > 之解： 0 x α< 或 x β>

(2) ax bx c²+ + ≥ 之解： 0 x α≤ 或 x β≥

(3) ax bx c²+ + < 之解： 0 x

α< < β

(4) ax bx c²+ + ≤ 之解： 0 x

α≤ ≤ β

2 4 0

b − ac=

設ax bx c a x α²+ + =

(

−

)

²，則 (1) ax bx c²+ + > 之解： 0

不等於α 的所有實數 (2) ax bx c²+ + ≥ 之解： 0

所有實數

(3) ax bx c²+ + < 之解： 0 無解

(4) ax bx c²+ + ≤ 之解： 0 x α=

2 4 0

b − ac<

(1) ax bx c²+ + > 之解： 0 所有實數

(2) ax bx c²+ + ≥ 之解： 0 所有實數

(3) ax bx c²+ + < 之解： 0 無解

(4) ax bx c²+ + ≤ 之解： 0 無解

《註》設 a 、 b 、 c 為實數，則不等式ax bx c²+ + > 恆成立的條件為0 a > 且0 b²−4ac< ；又0 不等式ax bx c²+ + ≥ 恆成立的條件為0 a > 且0 b²−4ac≤ 。 0

3. 算幾不等式

設a ，₁ a ，…，₂ a 均為正數，則 _n

1 2

n n 1 2

n

a a a a a a n

+ + + ≥ 。

上式等號成立的條件為a a₁= ₂ = = 。 a_n 4. 柯西不等式

設a ，₁ a ，…，₂ a 及_n b ，₁ b ，…，₂ b 為 2n 個實數，則 _n

(

^{a12+a22+ +an2}

)(

^{b12+b22+ +bn2}

)

^≥

⁽

^{a b a b1 1+ 2 2+ +a bn n}

⁾

^2。

上式等號成立的條件為a a₁= ₂ = =a_n = ，或0 b b₁= = = = ，或存在一實數 t ，使得₂ b_n 0

k k

b =a t（其中k =1，2，…， n ）。

5. 二元一次不等式圖形

設直線L ax by c： + + =0且a > ，則 0

(1) ax by c+ + > 的圖形為直線 L 的右側半平面。 0

(2) ax by c+ + ≥ 的圖形為直線 L 的右側半平面及直線 L 。 0 (3) ax by c+ + < 的圖形為直線 L 的左側半平面。 0

(4) ax by c+ + ≤ 的圖形為直線 L 的左側半平面及直線 L 。 0 6. 同側與異側

設直線L ax by c： + + =0及^{A x y 、}

(

^{1, 1}

)

B x y 兩點，則

(

^{2, 2}

)

(1) A、 B 在 L 的異側 ⇔

(

ax by c ax by c¹+ ¹+

)(

²+ ²+ <

)

⁰

(2) A、 B 在 L 的同側 ⇔

(

ax by c ax by c¹+ ¹+

)(

²+ ²+ >

)

⁰

7. 線性規劃

(1) 線性規劃所探討的是「在二元一次聯立不等式的條件下，求得一個一次函數的最大值或 最小值」，這組二元一次聯立不等式稱為限制條件，而待求最大值或最小值的函數稱為 目標函數。

(2) 線性規劃問題中，滿足限制條件（即一組聯立不等式）的解稱為此問題的可行解，又可 行解所成的區域，稱為可行解區域。在可行解區域內，使目標函數 f x y 有最大值（或

( )

^,

最小值）的這種點

( )

x y ，稱為此問題的最佳解。 ^,

數學公式卡 >>第三冊

排列組合

1. 相異物的直線排列

由 n 件不同的事物中，任選

m

件（

m n

≤ ）的排列數為

! ( 1) ( 2) ( 1) ( )!

nm n

P

⁼

n m

= × − × − × × − +

n n n n m

− 。

《註》(1)

P n n n

ⁿ_n= = × − × × × ! ( 1) 2 1 (2) Pⁿ_m= ×

n P

ⁿ_m⁻−¹₁= − + ×(

n m

1)

P

ⁿ_m−₁

2. 不盡相異物的直線排列

(1) 設 n 件事物中有

m

件相同，其餘均不同，則此 n 件事物全取排列的排列數為 !

!

m

n ^。 (2) 設 n 件事物中，共有 k 類，第一類有

m

₁^{件，第二類有}

m

2^{件，…，第 k 類有}

m

k ^件（此時

1 2 k

n=

m m

+ + +

m

），則此 n 件事物全取排成一列的排列數為

1 2

!

! ! _k!

m m

^× n^{× ×}

m

^。

3. 重複排列

自 n 類不同的事物中，任選

m

件的重複排列數為n 。 ^m 4. 環狀排列

從 n 個不同的事件中，任取

m

^個（

m n

≤ ）作環狀排列，其排列數為 1 ! ( )!

nm

P n

m m n m

^{= × − 。}

《註》 n 個不同事物全取的環狀排列數為 (n − 。 1)!

5. 組合

自 n 件相異的事物中，任選

m

^{件（ 0}≤ ≤ ）為一組的組合數為

m

n

! ( 1) ( 1)

! !( )! ( 1) 2 1

n nm

m P

n n n n m

C

=

m

=

m n m

= × − × × − +

m m

− × − × × × 。

《註》(1) C = ；ⁿ_n 1 C = ₀ⁿ 1 (2) Cⁿ_m×

m P

!= ⁿ_m 6. 重複組合

從 n 類不同的事物中（設每類皆不少於

m

^{個），每次取}

m

個為一組，若各組中每類事物可以 重複選取，則 n 中取

m

^{的重複組合數為 1 ( 1)!}

!( 1)!

n n m

m m n

m

H

⁼

C

^{+ − =}

m n

^{+ −}− 。

若限制每一類事物至少取一個（此時

m n

≥ ），則重複組合數為 ¹ ( 1)!

( )!( 1)!

n m

m n m n

m

H

^{− =}

C

^{−− =}

m n n

^{− − − 。}

7. 二項式定理

對於任意正整數 n

( )

0

n n n n r r

r r

x y C x y⁻

=

+ =

∑

1 2 2

0n n 1n n 2n n n n r r n n

r n

C x C x y C x y^{− −} C x y⁻ C y

= + + + + + +

《註》

(

^{x y+}

)

ⁿ展開式中，依 x 的降冪排列，第r + 項為1 C x y^{n n r r}_r ⁻ ，又稱為一般項，而C 稱ⁿ_r 為二項係數。

8. 組合數基本公式

(1) Cⁿ_m=Cⁿ_{n m−} （ 0≤ ≤ ）

m

n

(2) Cⁿ_m=Cⁿ_m⁻¹+Cⁿ_m⁻₋¹₁（1^{≤ ≤ − ）}

m

ⁿ 1

《註》 a 、 b 為不大於 n 的自然數，則Cⁿ_a=Cⁿ_b ⇔ a b= 或 a b n+ = 。 (3) C₀ⁿ+C₁ⁿ+C₂ⁿ+ +Cⁿ_n= 2ⁿ

(4) n 為奇數時：C₁ⁿ+C₃ⁿ+C₅ⁿ+ +Cⁿ_n=C₀ⁿ+C₂ⁿ+C₄ⁿ+ +Cⁿ_n−1=2ⁿ⁻¹ (5) n 為偶數時：C₁ⁿ+C₃ⁿ+C₅ⁿ+ +Cⁿ_n−1=C₀ⁿ+C₂ⁿ+C₄ⁿ+ +Cⁿ_n=2ⁿ⁻¹

機率

1. 集合的運算

(1) 聯集：^{A B∪ =}

{

^{x x A∈ 或x B∈}

}

^。

(2) 交集：^{A B∩ =}

{

^{x x A∈ 且x B∈}

}

^。

(3) 差集：^{A B− =}

{

^{x x A∈ 但x B∉}

}

^。

(4) 宇集：在研究集合的問題中，若每一個集合都是某一固定集合的子集，則這個固定集 合稱為宇集，通常以U 表示。

(5) 補集：集合 A的補集，以 A′ 表示，即^{A′ =}

{

^{x x U∈ 但x A∉}

}

^。

2. 古典機率的定義

設一隨機試驗的樣本空間S （ S ≠ ∅ ）中，每一個樣本點出現的機會均等，而 A S⊂ 為一事 件，則事件 A發生機率為^{P A}

( ) ( )

^{= n An S}

( )

^。

3. 機率的性質 (1) ^{P ∅ = 。}

( )

⁰

(2) P S = （ S ≠ ∅ ）。

( )

¹

(3) A S⊂ ，則^{0≤P A}

( )

^{≤ 。 1}

(4) 餘事件的機率： A S⊂ ，則^{P A}

( )

^{′ = −1 P A}

( )

^。

(5) 機率的加法性： A、 B 為 S 中的二互斥事件，則^{P A B}

(

^∪

)

^{=P A P B}

( ) ( )

^{+ 。}

(6) 機率的單調性： A S⊂ 且 B S⊂ ，若 A B⊂ ，則^{P A}

( )

^{≤P B}

( )

^。

4. 條件機率

設 A、 B 為樣本空間 S 中的二事件，且P B > ，則在事件 B 發生的情況下，事件 A發生的

( )

⁰

條件機率為^{P A B}

( )

^{= P A B}

⁽

_{P B}

_{( )}

^∩

⁾

^{，顯然P A B}

( )

^{= n A B}

⁽

_{n B}

_{( )}

^∩

⁾

^。

5. 獨立事件

設 A、 B 為樣本空間 S 中的任二事件，若^{P A B}

(

^∩

)

^{=P A P B}

( ) ( )

^× ，則稱 A、 B 為獨立事件，

否則稱為相依事件。

6. 數學期望值

設一隨機試驗的樣本空間為 S ，

{

A A1, , ,2 A 為樣本空間 S 的一個分割，且事件_n

}

A 發生的機_i 率為p （_i i = 、2、…、 n ），若事件1 A 發生可得數值_i

m

_i（i = 、2、…、 n ）的報酬，則1

1 1 2 2 n n

E p m p m

= × + × + +

p m

× 稱為此隨機試驗的數學期望值，簡稱期望值。

統計

1. 抽樣調查的方法 (1) 簡單隨機抽樣 (2) 系統抽樣 (3) 分層隨機抽樣 (4) 部落抽樣

2. 算術平均數、加權平均數 (1) 算術平均數：

設一群數值為x 、₁ x 、…、₂ x ，則其算術平均數 X 定義為_n ^{1 2 1}

n n i i

x x x x

X n ⁼n

+ + +

= =

∑

。 (2) 加權平均數：

設w 、₁ w 、…、₂ w 分別為一群數值_n x 、₁ x 、…、₂ x 的權數，則這一群數值的加權平均_n

數W 定義為 ^{1 1 2 2 1}

1 2

1 n n n i i i

n

n i

i

w x w x w x w x

W w w w w

=

=

+ + +

= =

+ + +

∑

∑

^。

3. 中位數

將一群數值由小而大排列如下：x₁≤x₂≤ ≤ x_n

當n=2k+ 為奇數時：中位數定義為1 Me x= _k+1（排在正中間的數值）

當n=2k為偶數時：中位數定義為 ¹ 2

k k

x x

Me= + ⁺ （排在正中間兩個數值的算術平均）

4. 眾數

一群數值資料中，出現次數最多的數值稱為眾數，通常用 Mo 來表示。

5. 百分等級

當某個資料數值，在整體資料中有 %k 的資料數值小於它，而且有

(

^100−k

)

^{%的資料數值大}

於或等於它，我們稱這個資料數值的百分等級為 k ，記作 PR k= 。

6. 四分位距

設一群數值由小而大排列如下：x₁≤x₂≤ ≤ ，其中x_n n=2k或 2k + ，則 1 第 1 四分位數Q 為₁ x 、…、₁ x 的中位數 _k

第 3 四分位數Q 為₃ xn k− +1、…、x 的中位數 _n

而Q 與₃ Q 的差稱為四分位距，以 IQR 來表示，亦即₁ IQR Q Q= ₃− 。 ₁ 7. 標準差

(1) 母群體的變異數與標準差：

設 母 群 體 資 料 為 x 、₁ x 、 … 、₂ x ， 其 算 術 平 均 數 為 μ ， 則 母 群 體 的 變 異 數 為_N

( )

²

2

1

1 ^N

i i

N x

σ μ

=

=

∑

− ^，其中μ= _N¹

∑

_i^N₌₁^xi。

而母群體的標準差為

( )

^{2 2 2}

1 1

1 ^N 1 ^N

i i

i i

x x

N N

σ μ μ

= =

⎛ ⎞

=

∑

− = ⎜⎝

∑

⎟⎠− ^。 (2) 樣本的變異數與標準差：

設 一 組 樣 本 資 料 為 x 、₁ x 、 … 、₂ x ， 其 算 術 平 均 數 為 X ， 則 樣 本 的 變 異 數 為_n

( )

²

2

1

1 1

n i i

S x X

n =

= −

−

∑

^{，其中X = 1}_n

∑

_iⁿ₌₁ ^xi。

而樣本的標準差為^S= _n¹₋₁

∑

_i=ⁿ₁

(

^{x Xi−}

)

^{2 =} _n¹_{− ⎝1}^⎛⎜

∑

_iⁿ₌₁ ^{xi2−nX2⎞⎟}_⎠^。

8. Y aX b= + 線性變換

設一組抽樣數值資料 X 為x 、₁ x 、…、₂ x ，而另一組抽樣數值資料Y 為_n y 、₁ y 、…、₂ y ，_n 其中y ax b_i = _i+ ，i = 、2、…、 n ，又 a 、 b 為實數且1 a ≠ ，以 X 、Y 分別代表資料組 X 、0

Y 的算術平均數，以S 、_x S 分別代表資料組 X 、Y 的樣本標準差，則_y Y aX b= + ，S_y = a S_x。 9. 常態分配 68 95 99.7− − 規則（又稱σ −2σ −3σ 規則）

在任何常態分配當中，大約有

(1) 68% 的數據落在距平均數一個標準差的範圍內。

(2) 95% 的數據落在距平均數兩個標準差的範圍內。

(3) 99.7% 的數據落在距平均數三個標準差的範圍內。

數學公式卡 >>第四冊

三角函數的應用

1. 和差角公式

正弦函數 ^sin

(

^{α β+}

)

^{=sin cosα β+cos sinα β}

( )

sin α β− =sin cosα β−cos sinα β 餘弦函數 ^cos

(

^{α β+}

)

^{=cos cosα β−sin sinα β}

( )

cos α β− =cos cosα β+sin sinα β

正切函數

( )

^{tan tan}

tan 1 tan tan

α β

α β α β

+ = +

−

( )

^{tan tan}

tan 1 tan tan

α β

α β α β

− = − + 2. 二倍角公式

(1) sin 2θ =2sin cosθ θ。

(2) cos2θ =cos²θ−sin²θ =2cos²θ− = −1 1 2sin²θ 。 (3) tan 2 2tan₂

1 tan θ θ

= θ

− 。

3. asinθ+bcosθ 的極值（ a 、 b 均不為 0 ，θ 為任意角度）

2 2 sin cos 2 2

a b a θ b θ a b

− + ≤ + ≤ + 。

4. 三角形面積公式

在 ABC△ 中， 1 sin 1 sin 1 sin 2bc A 2ca B 2ab C

Δ = = = 。

5. 正弦定理 在 ABC△ 中，

sin sin sin 2

a b c R

A= B= C = （其中 R 為 ABC△ 之外接圓半徑），

即a b c： ： =sinA：sinB：sinC。 6. 餘弦定理

在 ABC△ 中，

2 2 2 2 cos

a = + −b c bc A，即cos ^{2 2 2} 2 b c a A bc

= + − 。

2 2 2 2 cos

b = + −c a ca B，即cos ^{2 2 2} 2 c a b B ca

= + − 。

2 2 2 2 cos

c =a b+ − ab C，即cos ^{2 2 2} 2 a b c C ab

= + − 。

7. 海龍公式（Heron 公式）

ABC

△ 中，設^s=1₂

(

^{a b c+ + ，則 ABC}

)

^{△ 的面積}

( )( )( )

s s a s b s c Δ = − − − 。 8. 三角測量

將所欲求解的測量問題作圖，轉化成處理三角形邊與角的問題。

二次曲線

1. 圓的標準式

以C h k 為圓心，半徑是 r 的圓方程式為

( )

^,

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2= 。 r2}

2. 圓的一般式

2 2 0

x +y +dx ey f+ + = (1) 當d²+ −e² 4f > 時： 0

方程式的圖形為一圓，圓心是 , 2 2 d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠，半徑 1 ^{2 2} 4 r= 2 d + −e f 。 (2) 當d²+ −e² 4f = 時： 0

方程式的圖形為一點，即點 , 2 2 d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠。 (3) 當d²+ −e² 4f < 時：方程式沒有圖形。 0 3. 點與圓的位置關係

設點^{P x y ，圓}

(

^{1, 1}

)

^{C x： 2+y2+dx ey f+ + =0，則}

(1) P 在圓 C 的外部 ⇔ x₁²⁺

y dx ey f

₁²⁺ ₁⁺ ₁^{+ > 。} 0 (2) P 在圓 C 上 ⇔

x

₁²+

y dx ey f

₁²+ ₁+ ₁+ = 。 0 (3) P 在圓C 的內部 ⇔

x

₁²⁺

y dx ey f

₁²⁺ ₁⁺ ₁^{+ < 。} 0 4. 圓與直線的位置關係

設圓^C：

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2 =r2，直線L ax by c： + + =0}

又 ah bk c_{2 2} d a b

+ +

= + （圓心

( )

h k 與直線 L 的距離） ^, (1) 當 d r> 時：圓 C 與直線 L 不相交（即相離）。

(2) 當 d r= 時：圓 C 與直線 L 恰有一交點（即相切）。

(3) 當 d r< 時：圓 C 與直線 L 交於相異兩點（即相割）。

5. 過圓上一點（切點）的切線方程式

利用過切點的半徑與切線互相垂直，斜率乘積等於 1− ，求出切線方程式。

6. 過圓外一點的切線方程式（有二解）

設P x y 為圓外一點，則切線可設為

(

^{1, 1}

) L y y m x x

： − =¹

(

− ¹

)

，利用圓心到切線的距離等於半

7. 圓的切線段長

(1) 自點P x y 到圓

(

1, 1

)

^C：

(

^{x h−}

) (

^{2+ −y k}

)

^{2=r2的切線段長為}

(

1

) (

² 1

)

^{2 2}

t= x h− + y k− −r 。

(2) 自點^{P x y 到圓}

(

^{1, 1}

)

^{C x： 2+y2+dx ey f+ + =0的切線段長為}

2 2

1 1 1 1

t= x +y +dx ey+ + 。 f

8. 頂點為原點

( )

0,0 ，焦點在坐標軸上的拋物線

標準式 圖形

2 4

y = cx

2 4

x = cy

9. 頂點為

( )

h k ，對稱軸平行坐標軸的拋物線 ^,

標準式 圖形

(

^{y k−}

)

^{2 =4c x h}

(

⁻

)

(

^{x h−}

)

^{2=4c y k}

(

⁻

)

10. 拋物線的一般式

(1) 對稱軸平行y 軸的拋物線方程式為y Ax= ²+Bx C+ （其中A ≠ ）。 0 (2) 對稱軸平行 x 軸的拋物線方程式為x Ay= ²+By C+ （其中A ≠ ）。 0 11. 中心為原點

( )

0,0 ，焦點在坐標軸上的橢圓

標準式 圖形

2 2

2 2 1

x y a +b =

（a b> > 且0

2 2 2

a = + ） b c

長軸長：2a 短軸長： 2b 正焦弦長：2b²

a

2 2

2 2 1

x y b + a =

（a b> > 且0

2 2 2

a = + ） b c

長軸長： 2a 短軸長： 2b 正焦弦長：2b²

a

12. 中心為

( )

h k ，長、短軸平行坐標軸的橢圓 ^,

標準式 圖形

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

a b

− −

+ =

（a b> > 且0

2 2 2

a = + ） b c

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

b a

− −

+ =

（a b> > 且0

2 2 2

a = + ） b c

13. 中心為原點

( )

0,0 ，焦點在坐標軸上的雙曲線

標準式 圖形

2 2

2 2 1

x y a −b =

（c² =a b²+ ） ²

貫軸長： 2a 共軛軸長： 2b 正焦弦長：2b² a 漸近線：

1 0

L bx ay： − =

2 0

L bx ay： + =

2 2

2 2 1

y x a −b =

（c² =a b²+ ） ²

貫軸長： 2a 共軛軸長： 2b 正焦弦長：2b² a 漸近線：

1 0

L ax by： − =

2 0

L ax by： + =

14. 中心為

( )

h k ，貫軸、共軛軸平行坐標軸的雙曲線 ^,

標準式 圖形

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

a b

− −

− =

（c² =a²+ ） b²

( ) (

²

)

²

2 2 1

y k x h

a b

− −

− =

（c² =a²+ ） b²

微積分及其應用

1. 無窮數列的極限

設 a 為一無窮數列，α 為一實數，當 n 趨向無限大時，_n a 趨近於α，則稱數列n a 收斂於α，n

或稱數列 a 的極限為α ，記作_n

lim

n an α

→∞ = 。

2. 數列極限的運算性質

設 a 、_n b 為收斂數列，且n

lim

n an α

→∞ = ，

lim

n bn β

→∞ = ， k 為一常數，則 (1)

^lim

^{n→∞kan =k}

( ) ^lim

^{n→∞an =kα。}

(2)

lim

n

(

a bn n

) lim

n an

lim

n b α βn

→∞ + = →∞ + →∞ = + 。 (3)

lim

n

(

a bn n

) lim

n an

lim

n b α βn

→∞ − = →∞ − →∞ = − 。 (4)

lim

n

(

a bn n

) lim

n an

lim

n b αβn

→∞ × = →∞ × →∞ = 。

(5)

lim lim

ⁿ

lim

^{n n}

n n n n

a a

b b

α β

→∞

→∞

→∞

= = （其中β ≠ 且0 b ≠ 對所有很大的 n 值都成立）。 n 0

3. 分式型數列的極限

設 ^{f n 、}

( )

g n 為 n 的多項式，則

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

deg deg

lim deg deg

deg deg

n

f n g n

f n f n g n f n g n

g n f n g n

→∞

⎧ <

=⎪⎪⎨ =

⎪ >

⎪⎩

，當

與 領導係數的比值，當

不存在，當 4. 夾擠定理

設 a 、_n b 、_n c 為三個無窮數列，且從某一項起恆有_n a_n≤ ≤ ，若b_n c_n

lim

n an

lim

n cn α

→∞ = →∞ = （其

中α 為實數），則 b 亦為收斂數列，且_n

lim

n b αn

→∞ = 。

5. 函數的極限

設 a、α 為實數，若函數 f x ，當 x 趨近於 a 時（由 a 的左、右兩邊趨近，且 x a

( )

≠ ），函數 ^{f x}

( )

的值會趨近於某一個固定的值α ，則稱「當 x 趨近於 a 時，函數 f x 的極限為α 」，記作

( ) lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{= 。 α}

6. 函數的左、右極限

(1) 設函數 f x ，當 x 從 a 的右邊趨近於 a （ x a

( )

≠ ）時，函數 f x 的值會趨近於定值α ，

( )

則稱α 為 f x 於 a 的右極限，記作

( )

_{x a}

lim

→+ ^{f x}

( )

= 。 ^α

(2) 設函數 f x ，當 x 從 a 的左邊趨近於 a （ x a

( )

≠ ）時，函數 f x 的值會趨近於定值 β ，

( )

則稱 β 為 f x 於 a 的左極限，記作

( ) lim

_{x a−} f x

( )

β

→ = 。

《註》設函數 ^{f x 在 x a}

( )

= 的鄰近區域有定義，則

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{= ⇔ α} _{x a}

lim

→ + ^{f x}

( )

=_{x a}

lim

→− ^{f x}

( )

= 。 ^α 7. 函數極限的運算性質

設函數 ^{f x 、}

( )

^{g x 在 x a}

( )

= 的極限分別為α 、 β ，即

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{= ，α}

lim

_{x a→} ^{g x}

( )

^{= ，又 k 為一β}

常數，則

(1)

^lim

^{x a→ kf x}

( )

^=k

( ^lim

^{x a→ f x}

( ) )

^{=kα 。}

(2)

lim

_{x a→} ⎡⎣f x

( ) ( )

+g x ⎤⎦=

lim

_{x a→} f x

( )

+

lim

_{x a→} g x

( )

= +α β。 (3)

lim

_{x a→} ^⎡_⎣^{f x}

( ) ( )

^{−g x ⎤}_⎦⁼

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

⁻

lim

_{x a→} ^{g x}

( )

^{= −α β。}

(4)

lim

_{x a→} ^⎡_⎣^{f x g x}

( ) ( )

^{× ⎤}_⎦⁼

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^×

lim

_{x a→} ^{g x}

( )

^=αβ。

(5)

( )

( ) ( )

( ) lim

^{x a}

lim lim

^{x a}_{x a}

f x f x

g x g x α β

→

→

→

= = （β ≠ ）。 0 8. 多項式函數極限的性質

設 ^{f x 、}

( )

g x 為二實係數多項式函數， a 為實數，則

( )

(1)

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{= f a}

( )

^。

(2) 當^{g a ≠ 時，}

( )

⁰

( )

( ) ( )

lim

_{x a→ g x}^{f x =} _{g a}^{f a}

( )

^。

9. 函數的連續

函數 f x 滿足下列三個條件：

( )

(1) ^{f x 在 x a}

( )

^{= 有定義（即 f a 存在）。}

( )

(2)

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^存在。

(3)

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{= f a}

( )

^。

則稱函數 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 連續。}

當函數 f x 在定義域中的每一個點都連續，則稱函數

( )

f x 為連續函數。

( )

《註》函數 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 連續，則}

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{存在。反之，}

lim

_{x a→} ^{f x}

( )

^{存在，函數 f x 在 x a}

( )

^{= 未}

必連續。

10. 導數的定義

設函數 ^{f x 在 x a}

( )

= 及鄰近區域都有意義，若極限

lim

_{x a→} ^{f x}

( ) ( )

_{x a}⁻₋ ^{f a 存在，則稱函數 f x 在}

( )

x a= 的導數存在，並稱此極限值為 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 的導數，記作 f a′}

( )

^，即

( ) lim

_{x a} ^{f x}

( ) ( )

^{f a}

f a ^→ x a

′ = −

− 。

《註》若函數 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 的導數 f a′}

( )

^{存在，則稱 f x 在 x a}

( )

⁼ 可微分，否則稱為不可微分。

《註》函數 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 的導數 f a′}

( )

⁼

lim

_{x a→} ^{f x}

( ) ( )

_{x a}⁻₋ ^{f a ，若令 x a h}− = ，則 x a h= + 。當 x→a 時，意指h → ，因此函數0 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 的導數亦可表示為}

( ) ( ) ( )

lim

_h 0 ^{f a h f a}

f a ^→ h

′ = + − 。

11. 微分公式（設 ^{f x 、}

( )

g x 為可微分函數）

( )

(1) 若 ^{f x}

( )

= （ c 為常數），則^{c f x′}

( )

^{= 。 0}

(2) 若 ^{f x}

( )

= （ n 為有理數），則^{xn f x′}

( )

^=nxn−1。

(3) 若^{h x}

( )

^{=kf x}

( )

^{（ k 為常數），則h x′}

( )

^{=kf x′}

( )

^。

(4) 若^{h x}

( )

^{= f x}

( ) ( )

^{+g x ，則h x′}

( )

^{= f x′}

( )

^{+g x′}

( )

^。

(5) 若^{h x}

( )

^{= f x}

( ) ( )

^{−g x ，則h x′}

( )

^{= f x′}

( )

^{−g x′}

( )

^。

(6) 若^{h x}

( )

^{= f x g x}

( ) ( )

^{，則h x′}

( )

^{= f x g x′}

( ) ( ) ( ) ( )

^{+ f x g x′ 。}

(7) 若

( ) ( ) ( )

h x f x

= g x ，則

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

²

f x g x f x g x

h x g x

′ + ′

′ =

⎡ ⎤

⎣ ⎦

（^{g x ≠ ）。}

( )

⁰

12. 連鎖規則（設 ^{f x 、}

( )

g x 為可微分函數）

( )

若^{h x}

( )

^{= f g x}

( ( ) )

^{，則h x′}

( )

^{= f g x g x′}

( ( ) )

^′

( )

^。

《註》設 f x 為可微分函數， n 為有理數，若

( )

^{h x}

( )

_{= ⎣}^{⎡f x}

( )

^⎤_{⎦ ，則}^{n h x′}

( )

^{=n f x⎡}_⎣

( )

^⎤_⎦^{n−1× f x′}

( )

^。

13. 導數的正負與函數的遞增、遞減關係

設 ^{f x 為區間}

( ) [ ]

a b 上的多項式函數，對於任意^{, x∈}

( )

^{a b, ：}

(2) 若 ^{f x′}

( )

^{< 恆成立，則0 f x 在}

( ) [ ]

a b 上為嚴格遞減函數。 ^, 14. 利用第二階導函數判斷函數圖形的凹向

設 ^{f x 為區間}

( ) ( )

a b 上的多項式函數，對於任意^{, x∈}

( )

^{a b, ：}

(1) 若 ^{f x′′}

( )

^{< 恆成立，則0 f x 在區間}

( ) ( )

a b 的圖形凹口向下。 ^, (2) 若 ^{f x′′}

( )

^{> 恆成立，則0 f x 在區間}

( ) ( )

a b 的圖形凹口向上。 ^,

《註》函數圖形凹向改變的分界點，稱為反曲點。

15. 利用第二階導函數判別極大、極小值 設 f x 為多項式函數且

( )

^{f c′}

( )

^{= ，則 0}

(1) 當 ^{f c′′}

( )

^{< 時，函數0 f x 有極大值}

( )

^{f c 。}

( )

(2) 當 ^{f c′′}

( )

^{> 時，函數0 f x 有極小值}

( )

^{f c 。}

( )

16. 不定積分

設^{F x 是函數}

( )

f x 的一個反導函數，

( )

C 為任意常數，則^{F x C}

( )

^{+ 稱為函數 f x 的不定積}

( )

分，以符號

∫

^{f x dx}

( )

^{表示，亦即}

∫

f x dx F x C

^{( )}

=

^{( )}

+ ^。 17. 不定積分的公式

(1) 設n ≠ − 的有理數，則1 ¹ 1

n xn

x dx C n

= + +

∫

+ ^{（C 為常數）。}

(2) 設 k 為常數，則

∫

kdx kx C （ C 為常數）。 = + (3) 設 k 為常數，則

∫

kf x dx k f x dx

( )

=

∫ ( )

^。

(4)

∫

^⎡_⎣^{f x}

( ) ( )

^{+g x dx⎤}_⎦ ⁼

∫

^{f x dx}

( )

⁺

∫

^{g x dx 。}

( )

(5)

∫

^⎡_⎣^{f x}

( ) ( )

^{−g x dx⎤}_⎦ ⁼

∫

^{f x dx}

( )

⁻

∫

^{g x dx 。}

( )

18. 定積分的性質

設 ^{f x 、}

( )

g x 為多項式函數， a 、 b 為實數且 a b

( )

< ， k 為任意常數，則 (1)

∫

^a_a^{f x dx =}

( )

^0。

(2)

∫

^b_a^{f x dx}

( )

^{= −}

∫

^a_b^{f x dx}

( )

^。

(3)

∫

^b_a^{kf x dx k}

( )

⁼

∫

^b_a^{f x dx}

( )

^。

(4)

∫

^b_a^{f x dx}

( )

⁼

∫

^c_a^{f x dx}

( )

⁺

∫

^b_c^{f x dx}

( )

^{（其中 a c b< < ）。}

(5)

∫

^b_a^⎡_⎣^{f x}

( ) ( )

^{+g x dx⎤}_⎦ ⁼

∫

^b_a^{f x dx}

( )

⁺

∫

^b_a^{g x dx}

( )

^。

(6)

∫

^b_a^⎡_⎣^{f x}

( ) ( )

^{−g x dx⎤}_⎦ ⁼

∫

^b_a^{f x dx}

( )

⁻

∫

^b_a^{g x dx}

( )

^。

19. 定積分與面積的關係

設 ^{f x 為閉區間}

( ) [ ]

a b 上的多項式函數，定積分^,

∫

^b_a^{f x dx}

( )

^{相當於曲線y f x=}

^{( )}

^{與 x 軸、}

x a= 、 x b= 所圍成的區域中，在 x 軸上方部分的面積減去在 x 軸下方部分的面積。