單元三：等差級數 課文：等差級數

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單元三：等差級數 課文 A：等差級數

回顧一下，數列就是將一串數依序排成一列，

例如小芳紀錄這禮拜星期一到星期日的早餐錢(單位:元)依序為：

55 , 45 , 50 , 60 , 65 , 55 , 75，這就是一個數列。

級數

如果小芳想計算這星期總共花了多少早餐錢，

計算方式就是將每一天所花的早餐錢都加起來：

55 + 45 + 50 + 60 + 65 + 55 + 75 這就是一種級數。

而級數的首項、末項、項數其實就跟數列一樣的。以這個級數來說，

第1項(首項) 𝑎₁ 就是 55 、第2項 𝑎₂就是 45、...、第7項 𝑎₇(也是這個 級數的末項)就是 75 ，而項數𝑛 = 7。

55 + 45 + 50 + 60 + 65 + 55 + 75 = 405，405 就是這個級數的和。

簡單來說，將數列的每一項用“ + ”連接，就稱為級數。

2

等差級數

再舉一個例子，古代的落地鐘為了方便提醒時間，

在 1 點的時候會敲 1 下鐘聲、2 點的時候會敲 2 下鐘聲、3 點的時候 會敲 3 下鐘聲，以此類推到 12 點。

從 1 點到 12 點將每小時敲的鐘聲數紀錄如下：

1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

仔細觀察，「1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12」，相鄰兩項差都是 1 ， 這是一個等差數列。

想計算從 1 點到 12 點總共敲了幾聲：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 就是一個等差級數。

而這個等差級數的首項𝑎₁ = 1、第12項𝑎₁₂(剛好是這個級數的末 項)= 12、項數n = 12、公差d = 1。

簡單來說，將等差數列的每一項用“ + ”連接，就稱為等差級數。

由這個例子來說，從 1 點到 12 點總共敲了幾聲直接計算就好了：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78 ， 總共 78 聲。78 就是等差級數的和。

3

這個等差級數的項數很少，所以要計算等差級數的和非常容易，直接 計算就可以了，但是如果當一個等差級數的項數非常多時怎麼辦呢？

高斯的故事

傳說數學家高斯在 10 歲時，老師在數學課上出了一道題目：

1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 =?

給學生計算，老師想趁學生做題時可以休息一下，

但不到幾秒鐘，高斯就舉手說出答案是 5050 ， 讓老師吃了一驚。高斯是用什麼方法算出來的呢？

仔細看一下，高斯老師所出的題目：「1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 =?」，

這其實就是在求等差級數的和，但是有非常多項，有 100 項，

這如果慢慢算的話就會非常的辛苦，讓我們來看一下高斯的做法吧！

高斯先將級數按照順序排列，1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100 = 再將級數排序整個反過來排，100 + 99 + 98 + ⋯ + 3 + 2 + 1 = 只是順序反過來而已，所以這兩級數和會是一樣的，假設它等於 S。

然後將它們相加：

1 + 2 + 3 + ⋯ +98 +99 +100 = S +) 100 + 99 +98 + ⋯ + 3 + 2 + 1 = S 101 +101 +101 + ⋯ +101 +101 +101 = 2S

4

上下對應相加會發現：

1 加上 100 等於 101 、 2 加上 99 等於 101 、 3 加上 98 等於 101 、…、

98 加上 3 等於 101 、 99 加上 4 等於 101 、 100 加上 1 等於 101，

都是 101 。

也就是會有 100 組的 101 ， 100 × 101 ， 而這是兩組相同等差級數相加的 ，

所以等差級數的和就是 ^100×101

2 = 5050 。

讓我們利用高斯的想法來計算看看「1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19」

這個等差級數。

所以

𝑆 = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 +) 𝑆 = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1

2𝑆 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20

發現每一對都是 20 ，都跟首項加末項的值一樣，總共會有 7 對：

2𝑆 = (1 + 19) × 7，所以這個等差級數的和 𝑆 =^(1+19)×7₂ = 70 。 高斯的作法可以推廣到任意的等差級數，我們也將這個結果化為求等 差級數和的公式！

+3 +3 +3 +3 +3 +3

-3 -3 -3

-3 -3 -3

5

有一個 𝑛 項的等差級數：𝑎₁+ 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1 + 𝑎_𝑛 其和為 S_n， 所以可以列式成：

𝑆_𝑛 = 𝑎₁ + 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛−2+ 𝑎_𝑛−1+ 𝑎_𝑛 ， 再將整個級數反過來排序，和也會一樣：

S_n = 𝑎_𝑛+ 𝑎_𝑛−1+ 𝑎_𝑛−2 + ⋯ + 𝑎₃+ 𝑎₂+ 𝑎₁ 然後將它們相加：

𝑆_𝑛 = 𝑎₁ + 𝑎₂ + 𝑎₃ + ⋯ + 𝑎_n−2+ 𝑎_𝑛−1 + 𝑎_𝑛 +) 𝑆_𝑛 = 𝑎_𝑛 + 𝑎_𝑛−1 + 𝑎_𝑛−2 + ⋯ + 𝑎₃+ 𝑎₂ + 𝑎₁

因為是等差級數，所以這個級數有對稱性的感覺，所以

𝑎₁+ 𝑎_𝑛 = 𝑎₂+ 𝑎_𝑛−2+ 𝑎₃ + 𝑎_𝑛−3 = 𝑎₄+ 𝑎_n−4 = 𝑎₅+ 𝑎_𝑛−5 = ⋯

因此，每一對相加都會與 (𝑎₁+ 𝑎_𝑛) 相等：

S_n = 𝑎₁ + 𝑎₂ + 𝑎₃ + ⋯ + 𝑎_n−2 + 𝑎_𝑛−1 + 𝑎_𝑛 +) S_n = 𝑎_𝑛 + 𝑎_𝑛−1 + 𝑎_𝑛−2 + ⋯ + 𝑎₃ + 𝑎₂ + 𝑎₁

2S_n = 𝑎₁+ 𝑎_𝑛+𝑎₁+ 𝑎_𝑛+𝑎₁ + 𝑎_𝑛+ ⋯ +𝑎₁ + 𝑎_𝑛+𝑎₁+ 𝑎_𝑛+𝑎₁+ 𝑎_𝑛 總共會有 𝑛 對的 (𝑎₁ + 𝑎_𝑛)：2𝑆_𝑛 = (𝑎₁+ 𝑎_𝑛) × 𝑛

所以這個等差級數的和 𝑆_𝑛 = ^{(𝑎1+𝑎𝑛)×𝑛}

2 ，這就是等差級數和的公式！

n 項等差級數和 首項

末項

(也是第n項) 項數

𝑆

𝑎

𝑛

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我們來作以下 5 個等差級數相關的例題。

Ex1.等差級數 18 + 21 + ⋯ + 78 共有 21 項，求此等差級數的和。

◎解題思維與解答：

從求等差級數和的公式𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛，

要利用這個公式需要知道首項 𝑎₁ = 18 、末項 𝑎_n = 78、

項數 𝑛 = 21，而目前這些都知道了，

所以 𝑆₂₁ =^(18+78)×21₂

= 96

⁴⁸



48 21 48 96 1008



7

Ex2.等差級數 (−2) + 2 + 6 + ⋯ + 90 ，求此等差級數的和。

◎解題思維與解答：

從求等差級數和的公式 𝑆_𝑛 = ^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛，

要利用這個公式需要知道首項𝑎₁、末項 𝑎_n 、項數 𝑛 。 而目前知道首項 𝑎₁ = −2，末項 𝑎_n = 90 ，

所以需要先想辦法求出項數 𝑛 。 利用 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 來求，

將首項 𝑎₁ = −2、末項 𝑎_n = 90 、公差 𝑑 = 4 代入，得到 90 = (−2) + (𝑛 − 1) × (4)

⇒ 90 = −2 + 4𝑛 − 4

⇒ 90 = −6 + 4𝑛

⇒ 90 + 6 = 4𝑛

⇒ 96 = 4𝑛

⇒ 𝑛 = 24

所以項數 n = 24 ，首項 𝑎₁ = −2、末項 𝑎_𝑛 = 90 代入等差級數和的公式：𝑆_n = ^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛 ，

所以 𝑆₂₄ =[90+(−2)]×24

2 = 88

⁴⁴

2



44 24 176 88 1056



8

Ex3.一等差級數的首項 63 ，末項 −93 ，和 −600，求其項數和公差。

◎解題思維與解答：

目前知道首項 𝑎₁ = 63 ，假設有 𝑛 項，末項就是 𝑎_𝑛 = −93 ， 和為 𝑆_𝑛 = −600 ，代入等差級數和公式「𝑆_𝑛 = ^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛」

−600 = [63 + (−93)]𝑛 2

⇒

15

 

 

2

n  

⇒ 𝑛 = (−600) ÷ (−15) = 40

有首項 𝑎₁ = 63 、項數 𝑛 = 40、末項𝑎_𝑛 = −93，要求公差 𝑑 ， 可以利用代入「𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑」：

−93 = 63 + (40 − 1)𝑑

⇒ −93 = 63 + 39𝑑

⇒ −93 − 63 = 39𝑑

⇒ −156 = 39𝑑

⇒ 𝑑 = (−156) ÷ 39 = −4

9

Ex4. 一等差級數 3 + (−1) + (−5) + ⋯ ，求

(1)此等差級數前 12 項的和。 (2)此等差級數前 20 項的和。

◎解題思維與解答：

(1) 要求前 12 項的和，也就是 𝑆₁₂ 。 由求等差級數和的公式：𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛，

要利用這個公式需要首項𝑎₁、末項 𝑎_n 、項數 𝑛 。

而目前知道首項 𝑎₁ = 3，項數 𝑛 = 12，所以還需要先求出 𝑎₁₂ =?。

要知道𝑎₁₂，可以利用𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 來求：

𝑎₁₂ = 3 + (12 − 1) × (−4) = 3 + 11 × (−4) = 3 − 44 = −41

代入等差級數和的公式：𝑆_𝑛 =^{(𝑎1+𝑎𝑛)×𝑛}

2

，

所以 𝑆₁₂ = [3+(−41)]×12

2 =(





⁶

2 = −228

6 48 38 18 228



10

(2) 要求前 20 項的和，也就是 𝑆₂₀ 。 由求等差級數和的公式：𝑆_𝑛 =^{(𝑎1+𝑎𝑛)×𝑛}

2 ，

要利用這個公式需要首項𝑎₁、末項 𝑎_n 、項數 𝑛 。

而目前知道首項 𝑎₁ = 3，項數 𝑛 = 20，所以還需要先求出 𝑎₂₀ =?。

要知道𝑎₂₀，可以利用𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 來求：

𝑎₂₀ = 3 + (20 − 1) × (−4) = 3 + 19 × (−4) = 3 − 76 = −73

代入等差級數和的公式：𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛，

所以 𝑆₂₀ =[3+(−73)]×20

2 =(





¹⁰

2 = −700

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如果有了一個等差級數的前幾項，

例如 Ex4：知道一等差級數「 3 + (−1) + (−5) + ⋯ 」，

就可以求前 12 項和 𝑆₁₂、前 20 項和 𝑆₂₀ ，甚至可以求前 𝑛 項和 𝑆_𝑛 。 但是因為給的資訊都沒有末項，所以都要先求出末項，才可以利用

「 𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛 」這個公式求出前 n 項的和。

這裡要提到另外一個求等差級數和的公式，可以省略需要求出末項 這個步驟。

末項是利用「 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 」這個公式求出的，

所以就可以將這個公式代入等差級數和的公式「 𝑆_𝑛 = ^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛 」中：

𝑆_𝑛 = {𝑎₁+ [𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑]} × 𝑛

2 = [2𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑] × 𝑛 2

這樣就只需要知道首項𝑎₁、項數 𝑛 、公差 𝑑 ，不需要知道末項就可以 將前 𝑛 項的和求出來了！

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讓我們利用 Ex4 來練習一下「 𝑆_𝑛 = ^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}₂ 」這個公式，

「 3 + (−1) + (−5) + ⋯ 」，等差級數的首項𝑎₁ = 3 ， 公差 𝑑 = (−1) − 3 = −4，

要求𝑆₁₂，也就是n = 12

𝑆₁₂ =[2 × 3 + (12 − 1) × (−4)] × 12

2 = [6 + 11 × (−4)] × 12 2

= ^(6−44)×12₂ =(





⁶

2

^{= −228}

要求𝑆₂₀，也就是n = 20

𝑆₂₀ =[2 × 3 + (20 − 1) × (−4)] × 20

2 =[6 + 19 × (−4)] × 20 2

= ^(6−76)×20₂ =(





¹⁰

2

^{= −700}

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公式的比較

現在求等差級數的和有兩種公式：

𝑆_𝑛 =^{(𝑎1+𝑎𝑛)×𝑛}

2 、 𝑆_𝑛 = ^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}

2

這兩種公式有不同的使用時機，我們來比較一下！

「𝑆_𝑛 = ^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛」這個公式，主要有 4 種數量關係：

首項 𝑎₁、末項 𝑎_𝑛、項數 𝑛 、級數和 S_n

「 𝑆_𝑛 =^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}₂ 」這個公式，主要有 4 種數量關係：

首項 𝑎₁、公差 𝑑、項數 𝑛 、級數和 S_n

仔細看一下，最大的差別就是一個是跟末項 𝑎_𝑛 有關的公式；另一個 是一個是跟公差 𝑑 有關的公式。

所以知道首項 𝑎₁、末項 𝑎_𝑛、項數 𝑛 ，求級數和 S_n， 就可以使用「𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛」；

而知道首項 𝑎₁、公差 𝑑、項數 𝑛 ，求級數和 S_n， 則是可以使用「 𝑆_𝑛 =^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}

2 」。

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Ex5.一等差級數 3 + 4 + 5 + ⋯ 前 𝑛 項和為 75 ，求 𝑛 =？

◎解題思維與解答：

從此等差級數「3 + 4 + 5 + ⋯」可以得知首項 𝑎₁ = 3、

公差 𝑑 = 4 − 3 = 1 ，而且前 𝑛 項和 𝑆_𝑛 = 75 ，要求項數 𝑛 =？

題目沒有很明顯的提到末項𝑎_𝑛 ，所以不會選擇「𝑆_𝑛 = ^{(𝑎1+𝑎𝑛)×𝑛}

2 」這

個公式，會選擇另外一個公式「 𝑆_𝑛 =^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}

2 」。

知道首項 𝑎₁ = 3、公差 𝑑 = 1 、前 𝑛 項和 𝑆_𝑛 = 75 ，要求出項數 𝑛 ， 將這些代入「 𝑆_𝑛 =^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}₂ 」： 75 =[2×3+(𝑛−1)×1]×𝑛

2

這式子看起來很複雜，沒關係，我們慢慢整理！

75 = [2 × 3 + (𝑛 − 1) × 1] × 𝑛 2

⇒ 75 =^{(6+𝑛−1)×𝑛}₂

⇒ 75 =^{(𝑛+5)×𝑛}₂

⇒ 75 × 2 = (𝑛 + 5) × 𝑛

⇒ 150 = 𝑛² + 5𝑛 ⇒ 𝑛²+ 5𝑛 − 150 = 0

利用十字交乘法：前面 𝑛²拆成𝑛 × 𝑛、後面 −150拆成15 × (−10)，

造出中間+5𝑛

⇒ (𝑛 + 15)(𝑛 − 10) = 0 ⇒ 𝑛 = 10 𝑜𝑟 − 15 (−15不合，因為項數不會是負的)

𝑛 + 15

𝑛 − 10

+15𝑛 − 10𝑛 = +5𝑛

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閱讀重點提問

1. 根據上面的課文，請用自己的話解釋「等差級數」並舉例，再找 出這個例子當中的首項、末項、公差、項數、級數和。

2. 請利用高斯計算「1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100 =？」的方法，計算 32 + 38 + 44 + 50 + 56 + 62 + 68 =？

3. 下圖為快遞公司堆疊的快遞箱子，請根據圖形的規律，利用等差 級數的想法計算總共有多少個箱子。

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4. 請寫出求等差級數和的兩種公式，並比較這兩種公式。

5. 根據上面的課文，利用等差級數和的公式來解的題目可以分成哪 幾類？

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․隨堂練習：

1. 等差級數 20 + 24 + ⋯ + 80 共有 11 項，求此等差級數的和。

2. 等差級數 (−15) + (−5) + 5 + ⋯ + 85 ，求此等差級數的和。

3. 一等差級數的首項 38 ，末項 −13 ，和 275，求其項數和公差。

4. 一等差級數 90 + 88 + 86 + ⋯ ，求此等差級數前 21 項的和。

5. 一等差級數 (−3) + (−1) + 1 + 3 + ⋯ 前 𝑛 項和為 135 ，求 𝑛 =？

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還是不太懂，

等差級數求和的公式說明 請看下面影片

https://youtu.be/jmXGDi-1bOA

還是不太懂，

等差級數求和 第二個公式的說明

請看下面影片

https://youtu.be/rLN4fJcX--s

還是不太懂~例 1~2，

請看下面影片

https://youtu.be/1uXoTQVwO_M

還是不太懂~例 3~4，

請看下面影片

https://youtu.be/88frtEk4PZ4

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單元三：等差級數 課文 B：等差級數的應用

學完等差數列與級數後，生活當中有一些規律跟等差數列與級數有關，

那麼就可以利用等差數列與級數的概念去進行解題。

在解決應用問題的時候，首先要先理解題目的意思，找出想要求的目 標及題目所提供的條件，再根據條件對應相關的元素：𝑎₁、𝑎_𝑛、𝑑、

𝑛、𝑆_𝑛，列出關係方程式，最後進行解方程式解出所求。

我們來看以下 4 個例題。

Ex1.請計算 1 到 100 之間，所有能被 3 整除的數字和。

◎解題思維與解答：

依照題意列出來最小是 3 × 1 = 3、再來是 3 × 2 = 6、3 × 3 = 9、

3 × 4 = 12 、…、直到 3 × 33 = 99，寫成數列為：3,6,9,12, … ,99。

仔細觀察一下這個數列，就會發現它是一個等差數列。

它的首項 𝑎₁ = 3、末項是 99，總共有 33 個，所以項數 𝑛 = 33 。 有了首項、末項、項數、公差，代入求級數和的公式

𝑆_𝑛 =^{(𝑎1+𝑎𝑛)×𝑛}

2 」，得到𝑆_𝑛 = ^(3+99)×33

2 =

51



51 33 153 153 1683



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Ex2.瑞穗國中的育樂館第一排有 28 個座位，

之後每一排比前一排多 2 個座位，已知最後一排共有 76 個座位，則 (1)育樂館的座位共有多少排? (2)又共有多少個座位?

◎解題思維與解答：

我們將第一排的 28 個座位當作首項，即𝑎₁ = 28；

最後一排的 76 個座位當作末項，

第一個問題是想問這個育樂館有幾排，其實就是在問項數 𝑛。利用

「𝑎_n = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑」，可得 76 = 28 + (𝑛 − 1) × 2

⇒ 76 = 28 + 2𝑛 − 2

⇒ 50 = 2𝑛

⇒ 𝑛 = 25

所以育樂館總共有 25 排座位。

第二個問題要求育樂館總共的座位數，

其實就是在求等差級數和 𝑆_𝑛。

有首項、末項、公差、項數，代入求級數和公式𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛，

得到 𝑆_𝑛 = ^(28+76)×25

2 =

52



所以育樂館總共有 1300 個座位。

52 25 260 104 1300



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Ex3.一架轟炸機在高空中投擲炸彈，第一秒鐘炸彈落下 4.9 公尺，

之後速度越來越快，每秒鐘落下的距離增加 9.8 公尺 (即第二秒落下 14.7 公尺、第三秒落下 24.5 公尺)，

若炸彈落下 40 秒後觸地爆炸，請問：

(1)炸彈第 40 秒落下的垂直距離為何？

(2)轟炸機開始投擲炸彈時，離地面的高度為何？

◎解題思維與解答：

先理解一下題意，炸彈從高空落下，第一秒落下 4.9 公尺，

之後越來越快，每秒落下的距離增加 9.8 公尺，

也就是說第二秒落下 4.9 + 9.8 = 14.7 公尺，

第三秒落下 14.7 + 9.8 = 24.5 公尺，

第四秒落下 24.5 + 9.8 = 34.3 公尺，…，

一直到第四十秒，然後就觸地爆炸了。

我們畫個簡圖來解釋一下。

把這些數字寫成一數列：

4.9 , 14.7 , 24.5 , 34.3 , …

那麼首項就是第一秒的 4.9，公差就是 9.8 。 第一題要求的就是第 40 項 𝑎₄₀ ，

第一秒 4.9 公 第二秒 14.7 公

第三秒 24.5 公

第四秒 34.3 公

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可以利用「 𝑎_𝑛 = 𝑎₁+ (𝑛 − 1)𝑑 」求出來：

𝑎₄₀ = 4.9 + (40 − 1) × 9.8

= 4.8 + 39 × 9.8

= 4.9 + 382.2

= 387.1

第二個問題是問轟炸機投擲時離地面的高度，

也就是炸彈落下的距離。

炸彈在空中停留了 40 秒，所以求這 40 秒所落下的距離總和 𝑆₄₀。

有首項 𝑎₁ = 4.9 、項數 𝑛 = 40 、末項 𝑎₄₀ = 387.1，

就可以利用「𝑆_𝑛 =^(𝑎1+𝑎₂^𝑛)×𝑛」：

𝑆₄₀ =(4.9+387.1)×40

2 = 392



²⁰

2

^{= 7840}

所以轟炸機離地面 7840 公尺。

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Ex4.有一種樓梯每階的長、寬與增加的高度都相同，

今天要在樓梯的側面貼上正方形磁磚(如圖)，

第一階貼了 4 塊，第二階貼了 8 塊，…依此類推，

貼完 112 塊磁磚後，恰好把樓梯的一側貼滿，

請問這個樓梯共有幾階？

…

◎解題思維與解答：

從題目和圖當中就可以知道，

第一階貼了 4 塊，第二階貼了 8 塊，第三階貼了 12 塊，

每多一階就再多需要 4 塊，

所以每階所需要的磁磚數成一個等差數列：

4 , 8 , 12 , …，

首項 𝑎₁ = 4 、公差 𝑑 = 4。

假設這個樓梯有 𝑛 階，也就是有 𝑛 項。

題目有提到總共貼了 112 塊磁磚，

所以這 𝑛 項和 𝑆_𝑛 = 112 ，想求的就是項數 𝑛。

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有了首項 𝑎₁ = 4 、公差 𝑑 = 4、級數和 𝑆_𝑛 = 112 ， 想求項數 𝑛 ，可以使用「 𝑆_𝑛 = ^{[2𝑎1+(𝑛−1)𝑑]×𝑛}

2 」這個公式：

112 = [2 × 4 + (𝑛 − 1) × 4] × 𝑛 2

這式子看起來很複雜，沒關係，我們慢慢整理！

112 = [2 × 4 + (𝑛 − 1) × 4] × 𝑛 2

⇒ 112 = ^{(8+4𝑛−4)×𝑛}₂

⇒ 112 = ^{(4𝑛+4)×𝑛}₂

⇒ 112 × 2 = (4𝑛 + 4) × 𝑛

⇒ 224 = 4𝑛²+ 4n

⇒ 𝑛²+ n − 56 = 0 利用十字交乘法：

前面 𝑛²拆成𝑛 × 𝑛、後面 −56拆成8 × (−7)，造出中間+𝑛

⇒ (𝑛 + 8)(𝑛 − 7) = 0

⇒ 𝑛 = 7 𝑜𝑟 − 8(−8不合，因為項數不會是負的) 所以這個樓梯共有 7 階。

𝑛 + 8

𝑛 − 7

+8𝑛 − 7𝑛 = +𝑛

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閱讀重點提問

1. 請計算 1 到 100 之間，所有能被 7 整除的數字和。

由題目可以得知，那麼這些數字所成的級數為：

這個級數是否為等差級數？

如果是的話，首項 𝑎₁ = 、公差 𝑑 = 、

項數 𝑛 = 、末項 𝑎_𝑛 = ；所想要求的是 。 可以利用等差級數和公式「 」，求出

2. 光明電影院有 11 排的座位，每一排座位數均比前一排座位數多 2 個，第一排共有 15 個座位，求此電影院的總座位數量。

由題目可以得知，那麼這些數字所成的級數為：

這個級數是否為等差級數？

如果是的話，首項 𝑎₁ = 、公差 𝑑 = 、 項數 𝑛 = ；所想要求的是 。

可以利用等差級數和公式「 」，求出

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․隨堂練習：

1. 請計算 1 到 200 之間，所有能被 6 整除的數字和。

2. 好響音樂廳第一排有 67 個座位，之後每一排比前一排多 3 個座 位，已知最後一排共有 133 個座位，則音樂廳內的座位共有多少 排，又共有多少座位。

3. 一直昇機空拋救災物資，第一秒鐘救災物資落下 4.9 公尺，之後 速度越來越快，每秒鐘落下的距離增加 9.8 公尺(即第二秒落下 14.7 公尺、第三秒落下 24.5 公尺)，若救災物資落下 5 秒後剛好 到達地面，求直昇機離地面的高度。

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4. 大賣場常會將飲料罐排成下圖，來做促銷，在賣場打工的小敏打 算以每層差一罐的方式排 10 層，需用幾罐飲料？

還是不太懂~例 2，

請看下面影片

https://youtu.be/LieFLl3vCU4

還是不太懂~例 3，

請看下面影片

https://youtu.be/bppUV13ADeM

還是不太懂~例 4，

請看下面影片

https://youtu.be/xzlNk4E1oyE