矩陣與馬可夫鏈

矩陣與馬可夫鏈

石厚高

馬可夫鏈對中學生來說是一個不太好接受的觀念, 現行的高三下課本理科數學只有一個例 題, 講來講去學生是一頭霧水的多, 能夠徹底明白的實在是少而又少。 教這一節之前若能對樹形 圖稍作介紹, 效果會好得多。 樹形圖的概念學生很容易接受, 它是直觀也是經驗, 有人說數學不 是經驗科學, 無疑的是說較為深奧的數學理論; 至於平面幾何的初步發展或正整數的加法與減 法, 都是與經驗無法脫離關係的。 現行高中課本未曾強調樹形圖實在遺憾。 它沒有甚麼理論, 用 例題說明易學易用, 教起來輕鬆學來容易。

一系列有限的連續發生事件可以用樹形圖來表示, 從圖形中又可以求出各種事件發生的機 率。 妙的是列出圖形時是由上而下而在求機率時卻由下而上, 找到合於條件的事件, 把它們一系 列乘起再加起來就成了。

甲乙二人功力相當, 某項競技規定第一個連贏二次或共贏三次者為勝, 求甲乙獲勝之機率。

解: 作樹形圖

...

. ...

開始

... ...

甲

... ...

乙

甲 乙

乙 甲

... . ...

. ... ...

乙 甲

乙 甲

. ... . ...

... . ...

甲 乙

乙 甲

... ...

... ...

甲 乙

乙 甲

結束時共有十種可能結果

甲勝: 甲甲, 甲乙甲甲, 甲乙甲乙甲, 乙甲甲, 乙甲乙甲甲 乙勝: 乙乙, 乙甲乙乙, 乙甲乙甲乙, 甲乙乙, 甲乙甲乙乙

甲獲勝之機率為

¹ ₄

+

₁₆ ¹

+

₃₂ ¹

+

¹ ₈

+

₃₂ ¹

=

¹ ₂

乙獲勝之機率為

¹ ₄

+

₁₆ ¹

+

₃₂ ¹

+

¹ ₈

+

₃₂ ¹

=

¹ ₂

1

最多只能到第五局, 沒有馬可夫鏈, 也沒有推移矩陣。 是個很單純的機率問題。 馬可夫鏈是 機率論裡的典型又重要的問題, 有些問題的機率不是一成不變的, 端賴前一次試驗的結果。 看看 下面的例子, 用來說明馬可夫鏈就很容易理解。

設一袋中有 8 個藍球 4 個綠色球, 某君手持一藍色球, 他自袋中任取一球, 把手裡藍色球放 入袋中, 重複這個試驗, 並記錄每次試驗後手持球的顏色。

某君手持藍色球時, 袋中共有12個球, 其中8個為藍色球, 自袋中任取一球, 是藍色色球之 機率為

²

3

, 是綠色球之機率為

¹ ₃

; 若某君手持綠色球, 而袋中共有 12 個球, 其中 9 個為藍色球, 自袋中任取一球, 是藍色球之機率為

³ ₄

, 是綠色球之機率為

¹ ₄

。

每次交換就是一個試驗, 結果呢? 只有某君手持藍色球或綠色球二種情況, 如下樹形圖:

藍

. . . .. .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . . ... ...

2

3

^{.......................}...

1 3

藍

. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . . ... . . ...

2

3

^...........

. . .. .. .. .. .. .. .

1 3

藍 綠

綠

. . ...

. . .. .. .. .. .. .. .

1 4

. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . . ... . ...

3 4

綠 藍

從這個圖可以知道 第一次試驗

出現藍色球之機率為

² ₃

出現綠色球之機率為

¹ ₃

第二次試驗

出現藍色球之機率為

² ₃

×

² 3

+

¹ ₃

×

³ 4

=

²⁵ ₃₆

出現綠色球之機率為

² ₃

×

¹ 3

+

¹ ₃

×

¹ 4

=

¹¹ ₃₆

這種試驗可以繼續下去, 而且每次交換都呈現同型結果。

設經過 n 次試驗後, 出現藍色球之機率為 S

n

, 出現綠色球之機率為 T

n

, 則經過 n + 1 次 試驗後,

出現藍色球之機率為 S

n+1

=

² ₃

S

n

+

³ ₄

T

n

出現綠色球之機率為 T

n+1

=

¹ ₃

S

n

+

¹ ₄

T

n

使用矩陣可以表示得更為簡捷

"

S

n+1

T

n+1

#

=

" 2

3

S

n

+

³ ₄

T

n 1

3

S

n

+

¹ ₄

T

n

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# "

S

n

T

n

#

從第n次試驗結果可以求出第 n + 1 次試驗的結果, 每次都要用到矩陣 A =

" 2 3

3 4 1 3

1 4

#

所 以把它叫作推移矩陣, 一般而言都是方陣, 各行之和均為1, 各元皆不為負, 具有這種性質的矩 陣叫作馬可夫矩陣, 在 [看]它的時候要揚棄傳統的習慣: 第一列第一行之元為

² ₃

, 第一列第二行 之元為

³

4

, 第二列第一行之元為

¹ ₃

, · · · 要從另一角度來 [看]

從

到

藍 綠

藍

綠 2 3

3 4 1 3

1 4

. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ...

...

.

從出現藍色球至再出現藍色球之機率為

² ₃

從出現藍色球至 出現綠色球之機率為

¹

3

從出現綠色球至 出現藍色球之機率為

³ ₄

· · ·

所以

"

S

3

T

3

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# "

S

2

T

2

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# " 25 36 11 36

#

=

" 299 432 133 432

#

(1) 故得第三次試驗

出現藍色球之機率為

²⁹⁹ ₄₃₂

, 出現綠色球之機率為

¹³³ ₄₃₂

把 (1) 式改寫成下式就更清楚了

"

S

3

T

3

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# "

S

2

T

2

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# " 2 3

3 4 1 3

1 4

# "

S

1

T

1

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# 2 "

S

1

T

1

#

故得

"

S

3

T

3

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# 2 "

S

1

T

1

#

,

"

S

4

T

4

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# 3 "

S

1

T

1

#

· · · 最後結論是

"

S

n

T

n

#

=

" 2 3

3 4 1 3

1 4

# ⁿ −1 "

S

1

T

1

#

最讓學生困惑的是推移矩陣的導出, 為甚麼要這麼規定? 有沒有公式往裡面一代就天下太平了。

想要公式的學生會失望了, 推移矩陣無公式可代, 每一題都要自己導出。 每一題都有自己的推移 矩陣, 電腦科學家一個程式解決一個問題, 數學家一個式子解決所有問題, 所以數學家比電腦科 學家偉大。 這一題的推移矩陣如前述, 下一題的推移矩陣也一樣要從頭作起。

民國七十八年大專聯考數學 (自然組) 試題有下面的一題:

有一人流浪 A、B、C、D 四鎮間, 此四鎮相鄰關係如右圖,

A

D

B

C

假設每日清晨, 此人決定當日夜晚留宿該鎮, 或改而前往相鄰任一鎮之機率皆為

¹ ₃

。 若此人第一夜宿於 A 鎮, 則第三夜亦宿於 A 鎮之機率為 。 而第五夜此人宿於 A 鎮之機率為 ; 宿於 B 鎮

之機率為 。

這題用樹形圖作起來是比較容易, 第一夜住 A 鎮, 第二夜只能住 A、B、D 三鎮, 第一夜住 B 鎮, 第二夜只能住 A、B、C 三鎮, 第一夜住 C 鎮, 第二夜只能住 B、C、D 三鎮, 第一夜住 D 鎮, 第二夜只能住 A、C、D 三鎮, 樹形圖共有五列, 第一、 二、 三、 四、 五列各表第一、 二、 三、

四、 五夜住宿何鎮。 按題意由任一鎮至分支三鎮住宿之機率皆為

¹ ₃

, 由樹形圖很容易可以看出 來,

A

.. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

... .

. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . ... . ...

B

... ..

. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . . ... . ...

.. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

B

.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. ... .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ...

...

.. .. .. .. .. . .. ..

B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ABC

...

.. .. .. .. .. . .. ..

C

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ...

BCD B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ABC C

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ...

.. ...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. ...

C

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ...

BCD D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ACD A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. ...

ABD A

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ...

...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. ...

B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ABC D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ...

ACD A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

ABD D

.. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . ... ...

.

... ..

.. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. ...

D

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ...

.. ...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. ...

D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. ...

ACD C

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

BCD B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ...

ABC C

...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ...

.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . ...

C

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

BCD D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ...

ACD A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. ...

ABD D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ACD A

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ...

.. ...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. ...

B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ...

ABC A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ABD D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. ...

ACD D

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ...

...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. ...

C

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

BCD A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

ABD C

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

BCD A

... .

.. . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . . ... . ...

.. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. ...

B

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ...

.. ...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. .. ...

B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. ...

ABC A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ...

ABD D

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

ACD A

.. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ...

...

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . . ...

B

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . ...

ABC A

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ...

ABD

第 三 列 裡 A 共 有 3 個, 故 得 第 三 夜 宿 於 A 鎮 之 機 率 為

¹ ₃

·

¹ 3

+

¹ ₃

·

¹ 3

+

¹ ₃

·

¹ 3

=

¹ ₃

第 五 列 裡 A 共 有 21 個, 故 得 第 三 夜 宿 於 A 鎮 之 機 率 為 21 個

¹ ₃

·

¹ ₃

·

¹ ₃

·

¹ ₃

即

⁷

27

用 馬 可 夫 鏈 也 可 以 作, 此 人 最 初 某 夜 宿 於 A、B、C、D 四 鎮 之 機 率 為 1、0、0、0, 第 一、 二 夜 宿 於 四 鎮 之 機 率 配 合 有 十 六 種, 即 AA、AB、AC、AD、BA...DA、

DB、DC、DD, 列 表 如 (1)

.

... ..

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

... ..

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

某 天 住 的 鎮

(1) 第 二 天 住 的 鎮

機 率 A B C D

A

¹ 3 1

3

0

¹ 3

B

¹ 3 1 3

1

3

0

C 0

¹ 3 1 3

1 3

D

¹ 3

0

¹ ₃ ¹ ₃

第 二 天 住 的 鎮

(2) 第 三 天 住 的 鎮

機 率 A B C D

A

¹ 3 1

3

0

¹ 3

B

¹ 3 1 3

1

3

0

C 0

¹ 3 1 3

1 3

D

¹ 3

0

¹ ₃ ¹ ₃

把 [某 天 住 的 鎮]改 成 [第 二 天 住 的 鎮]而 [第 二 天 住 的 鎮]改 成 [第 三 天 住 的 鎮]就 成 了 表 (2), 機 率 未 變。 如 果 繼 續: 把 [第 二 天 住 的 鎮]改 成 [第 三 天 住 的 鎮], 而 [第 三 天 住 的 鎮]改 成 [第 四 天 住 的 鎮], 也 是 一 樣 放 諸 四 海 而 皆 準。 矩 陣

很 有 用, P =















1 3

1

3

0

¹ ₃

1 3

1 3

1

3

0

0

¹ ₃ ¹ ₃ ¹ ₃

1

3

0

¹ ₃ ¹ ₃















[用 了 可 以 再 用], 現 在 來 看 它 有 甚 麼 用。

第 一 夜 此 人 住 A 鎮, 所 以 住 B、C、D 之 機 率 皆 為 0, 故 原 始 狀 態 為 M =















1 0 0 0















第 三 夜 住 各 鎮 之 機 率 為 P

²

M =















1 3

1

3

0

¹ ₃

1 3

1 3

1

3

0

0

¹ ₃ ¹ ₃ ¹ ₃

1

3

0

¹ ₃ ¹ ₃















2 













1 0 0 0















=















1 3 2 9 2 9 2 9















A B C D

第 四 夜 住 各 鎮 之 機 率 為 P

³

M =















1 3

1

3

0

¹ ₃

1 3

1 3

1

3

0

0

¹ ₃ ¹ ₃ ¹ ₃

1

3

0

¹ ₃ ¹ ₃















3 













1 0 0 0















=















7 27

7 27

6 27

7 27















A B C D

第 五 夜 住 各 鎮 之 機 率 為 P

⁴

M =















1 3

1

3

0

¹ ₃

1 3

1 3

1

3

0

0

¹ ₃ ¹ ₃ ¹ ₃

1

3

0

¹ ₃ ¹ ₃















4 













1 0 0 0















=















21 81 20 81 20 81 20 81















A B C D 故 得第 五 夜 住 A 鎮 之 機 率 為

₂₇ ⁷

第 五 夜 住 B 鎮 之 機 率 為

²⁰ ₈₁

許 算 P

²

M 、P

³

M 或 P

⁴

M 時, 當 然 可 以 直 接 計 算 P

²

、P

³

或 P

⁴

再 計 算 各 式 之 值, 也 可 以 用 前 一 次 的 結 果 借 力 使 力 計 算 (P P )M、((P P )P )M 或 (((P P )P )P )M, 運 用 之 妙 存 乎 一 心, 有 些 數 據 用 不 著, 實 在 不 必 算 出 來, 考 生 心 情緊 張 想 必 體 會 不 到 這 一 點。 問 問 大 專 聯 考 考 生, 作 出 來 的 仍 以 使 用 樹 形 圖 的 為 多。

民 國 八 十 一 年 北 市 公 立 高 中 升 大 專 模 擬 考 自 然 組 數 學 科 有 一 題 機 率:

設 A 袋有二個10元硬幣, B 袋有三個5元硬幣, 從 A 袋中任取一個硬幣與 B 袋中任取一 個硬幣互換, 若這樣的互換進行三次求 (1) 求 A 袋中10元硬幣恰為一個之機率是 。(2) 求 A 袋中期望金額 。

先作樹形圖, 第三次互換結果沒有全部列出來。

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . ..

10,10 5,5,5

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . . .. .. ...1 · 1

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . ..

10,5 10,5,5

...

. .. .. .. .. . .. . .. .

.. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . ... . ...

... .

. . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . ... ... . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ..

10,5 10,5,5

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ..

5,5 10,10,5

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ..

10,10 5,5,5

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ..

10,5 10,5,5

.. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ...

1 36

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

10,5 10,5,5

...

.. .. .. .. . .. .. ..

1 18

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

10,5 10,5,5

.. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . ...

2 9

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

10,5 10,5,5

.. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. ...

1 6 1 · 1

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

10,5 10,5,5

.. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ...

1 18

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

10,5 10,5,5

...

.. .. .. .. . .. .. ..

1 9

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

10,5 10,5,5

1 2 ·

1 3

1 2 ·

2 3

1 2 ·

1 3

1 2 ·

2 3

1 2 ·

2 3

2 3

1 2 ·

1 3

1 2 ·

2

3

故 知 互 換三 次 後 A 袋 中 10 元 硬 幣 恰 為 一 個 之 機 率 是 1

36+ 1 18+2

9 +1 6 + 1

18 +1 9 = 23

36

至 於 (2) 求 A 袋 中 期 望 金 額 就 需 要 含 二 個 10 元 幣 與 含 零 個 10 元 幣 之 二 種 機 率, 利 用 前 面 的 樹 形 圖

. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

10,10 5,5,5

.. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . . .. .. . .. .. .. . .. . .. ...1 · 1

. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

10,5 10,5,5

...

.. .. . .. . . .. . .. . ..

.. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. ... ... .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .

10,5 10,5,5

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. ... .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

10,10 5,5,5

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .

10,5 10,5,5

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. ... .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

10,10 5,5,5

1 36

1 18 1

2 · 1 3

1 2 ·

2 3

1 2 ·

1 3

1 2 ·

1 3

故 得 A 袋 含 二 個 10 元 幣 之 機 率 為

₃₆ ¹

+

₁₈ ¹

=

₃₆ ³

故 得 A 袋 含 零 個 10 元 幣 之 機 率 為

^{36 −23−3} ₃₆

=

¹⁰ ₃₆

x 0 1 2 f(x)

¹⁰ ₃₆ ²³ _{36 36} ³

故 得 A 袋 期 望 值 為

10 · 10

36 + 15 ·23

36 + 20 · 3

36 = 505 36

A袋 所 含 硬 幣 有 三 種 情 況 10 10 、 10 5 、 5 5 , 交 換 後 任 一 種 情 況 轉 為 另一 種 之 機 率 共 有 九 種, 他 們 是

機 率 10 10 10 5 5 5 10 10 0

¹ ₆

0

10 5 1

¹ ₂ ² ₃

5 5 0

¹ ₃ ¹ ₃

故 得 推移 矩 陣 P =









0

¹ ₆

0 1

¹ ₂ ² ₃

0

¹ ₃ ¹ ₃









起 始 狀 態 M =









1 0 0









第 一 次 互 換

P M =









0

¹ ₆

0 1

¹ ₂ ² ₃

0

¹ ₃ ¹ ₃

















1 0 0









=









0 1 0









第 一 次 互 換 後A袋 有 二 個 10 元 幣 之 機 率 第 一 次 互 換 後A袋 有 一 個 10 元 幣 之 機 率 第 一 次 互 換 後A袋 有 二 個 5 元 幣 之 機 率 第 二 次 互 換

P

²

M =









0

¹ ₆

0 1

¹ ₂ ² ₃

0

¹ ₃ ¹ ₃









2 







1 0 0









=









1 6 1 2 1 3









第 二 次 互 換 後A袋 有 二 個 10 元 幣 之 機 率 第 二 次 互 換 後A袋 有 一 個 10 元 幣 之 機 率 第 二 次 互 換 後A袋 有 二 個 5 元 幣 之 機 率 第 三 次 互 換

P

³

M =









0

¹ ₆

0 1

¹ ₂ ² ₃

0

¹ ₃ ¹ ₃









3 







1 0 0









=









1 12 23 36 10 36









第 三 次 互 換 後A袋 有 二 個 10 元 幣 之 機 率 第 三 次 互 換 後A袋 有 一 個 10 元 幣 之 機 率 第 三 次 互 換 後A袋 有 二 個 5 元 幣 之 機 率 這 一 題 作 對 的 很 少, 大 多 數 作 對 第 一 小 題, 第 二 小 題 作 對 的 每 班 一、 二 名 罷 了。 能 想 到 馬 可 夫 鏈 的 更 是 少 而 又 少。 馬 可 夫 鏈 是 矩 陣 應 用 之 一, 又 應 用 得這 麼 漂 亮, 數 學 家 真 讓 人 佩 服, 不 過 對 中 學 生 來 說 是 難 了 些。

民 國 八 十 一 年 大 專 聯 考 自 然 組 數 學 科 有 一 題 機 率:

設 A、B 二箱中, A 箱內有兩球, 一黑一白, B 箱內有一白球。 甲乙二人輪流取球, 每次先 由甲自 A 箱內任取一球, 放入 B 箱內, 再由乙自 B 箱內任取一球放入 A 箱, 這樣稱為第一 局。 那麼當第一局結束時, A 箱內兩球為一黑一白之機率為 。 那麼當第三局結束時, A 箱內兩球為一黑一白之機率為 。(請將答案化成最簡分數)

先把樹形圖列出來, 以 • ◦ ◦ 表 A 袋內有一黑球一白球而 B 袋內有一白球; 以 ◦ ◦ • 表 A 袋內有二白球而 B 袋內有一黑球。

• ◦ ◦ 3

4

.. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . ... ...

• ◦ ◦ 3

4

. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . . ... . ...

• ◦ ◦ 3

4

1 4

.. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ... ...

• ◦ ◦

...

.. .. .. .. .. .. .. .

◦ ◦ •

1 4

.

...

. .. .. . .. .. .. .. .

◦ ◦ • 1

2

1 2

.. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. ... ...

◦ ◦ •

.. ...

.. .. .. .. .. .. .. .

• ◦ ◦

1 4

...

◦ ◦ • 1

2

. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . ... ...

3 4

1 4

• ◦ ◦_. ◦ ◦ •

. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ... .. ...

• ◦ ◦

.. ...

.. .. .. .. .. .. .. .

◦ ◦ •

1 2

...

. .. .. .. .. .. .. ..

1 2

1 2

.. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ... ...

• ◦ ◦

...

.. .. .. .. .. .. .. .

◦ ◦ •



3 4

 ³

3

4· 1 4 ·1

2

1 4 ·1

2 · 3 4

1 4· 1

2 · 1 2

故 得第 一 局 結 束 時, A 箱 內 兩 球 為 一 黑 一 白 之 機 率 為

³ ₄

。 第 三 局 結 束 時, A 箱 內 兩 球 為 一 黑 一 白 之 機 率 為



3 4

 ³

+ 3 4· 1

4· 1 2 +1

4 · 1 2· 3

4+ 1 4· 1

2 ·1

2 = 27 + 6 + 6 + 4 64 = 43

64

用馬 可 夫 鏈 來 解 要 列 出 A 袋 由 一 黑 球 一 白 球 轉 成 一 黑 球 一 白 球、 一 黑 球 一 白 球 轉 成 二 白 球、 二 白 球 轉 成 一 黑 球 一 白 球 以 及 二 白 球 轉 成 二 白 球 共 四 種 情 況 的 機 率, 它 們 的 值 是

機 率 黑白 白 白 黑白

³

4

1 2

白 白

¹ ₄ ¹ ₂

故 得 推移 矩 陣 P =

" 3 4

1 2 1 4

1 2

#

原 始 狀 態 M =

"

1 0

#

A袋 內 有 一 黑 球 一 白 球 之 機 率 A袋 內 有 二 白 球 之 機 率

第 一 局 結 束 時 P M =

" 3 4

1 2 1 4

1 2

# "

1 0

#

=

" 3 4 1 4

#

A袋 內 有 一 黑 球 一 白 球 之 機 率 A袋 內 有 二 白 球 之 機 率

第 二 局 結 束 時 P

²

M =

" 3 4

1 2 1 4

1 2

# ² "

1 0

#

=

" 11 16 5 16

#

A袋 內 有 一 黑 球 一 白 球 之 機 率 A袋 內 有 二 白 球 之 機 率

第 三 局 結 束 時 P

³

M =

" 3 4

1 2 1 4

1 2

# ³ "

1 0

#

=

" 43 64 21 64

#

A袋 內 有 一 黑 球 一 白 球 之 機 率 A袋 內 有 二 白 球 之 機 率

結 果 與 利 用 樹 形 圖 所 作 相 同。

八 十 一 年 七 月 一 日 大 專 聯 考 首 日 考 了 自 然 組 數 學, 有 人 以 為 北 部 地 區 考 生 佔 了 “十 分”的 便 宜, 兩 個 填 空 各 5 分。 其 實 不 然。 難 題 還 是 難 題, 並 不 因 為 模 擬 測驗 考 過, 就 會 一 定 得 分。 今 年 我 給 兩 班 學 生 講 了 模 擬 測 驗 這 題, 再 要 他 們 作 聯 考 這 題, 每 班 不 過 二、 三 人 會 作 而 已。 他 們 都 是 表 現 傑 出 的 學 生, 講 與 不 講 都 一 樣 會 作。 我 很 喜 歡 馬 可 夫 鏈, 不 過 中 學 仍 以 不 授 為 宜。

—本文作者任教於建國中學—