函數與超越不變量

Zeta 函數與超越不變量

于靖

數學研究的對象在一般的感覺裡是比較 抽象的, 雖然它也有很實際的一面。 我自己做 數學, 主要是在研究數論。 數論探討的是數, 在數學裡它是最古老的一支。 但是, 它仍有許 多沒有解決的難題。 我今天的題目是 Zeta 函 數與超越不變量, 就涉及了一些這樣的問題。

我們先從數開始。 所謂的數, 在數學裡 是指自然數、 整數、 有理數, 然後是實數。 所 以, 通常在中學的教科書裡, 畫有一個數線, 先描上原點O, 然後向右等距畫出所有自然數 的點, 向左對稱地點出負整數點。 再以等分點 對應有理數。 最後所有的實數點就會填滿整 條數線。

我們用 N 代表所有自然數集合, Z 代 表所有整數的集合, Q 代表所有有理數的集 合, R 代表所有實數集合。 其包含關係如下:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

數論裡面的難題往往可以很簡潔地描 述。一個例子是所謂的費瑪 (Pierre de Fer- mat, 1601-1665) 問題。 方程式

Xⁿ+ Yⁿ= Zⁿ, XY Z 6= 0, n > 2 沒有整數解。 這個問題經過三個半世紀, 終於 在 1994年被 Princeton 大學的 A. Wiles 教

授證明出來。 這個問題的解決, 被認為是本世 紀在數學 (至少是純數學) 裡面最大的進展。

數論的特質之一就是你可以寫下很多這 樣看起來很簡單, 中學生都可以了解的問題, 解答起來卻是非常困難。 對數論有興趣的人, 往住會花很多的時間, 總其一生的精力, 試圖 去證明或解決這樣的問題。

實數裡有一個很特別的數,

π = 3.14159265358979323846264338 · · ·。

它不是有理數, 甚至不是任何整係數方程式 的根, 這種數叫做超越數。 π 在小學數學裡 就開始教了, 但是它其實是一個不容易的觀 念。 我們說 π 是一個不變量, 不論你畫那一 個圓, 圓周長和直徑的比例是不變的, 這個比 例就是 π。 如果你實際去算的話, 就會一直 不斷地寫下小數點後面的數字來。 然後你就 會發現, 這些數目字其實是非常非常不規則。

小學生碰到 π 的時候, 通常有一個疑惑, 就 是 π 到底是多少。 你如果只寫下有限個位數, 其實並不正確。 正確的方式是要一直寫下去, 小數點右邊不能停下來。 寫得愈多位數就愈 接近真正的 π。 既然這些小數點後面的數目 字出現得雜亂無章, 這樣子的一個數, 你怎麼 去了解它呢?

9

所謂 π 是超越數的意思是說, 它不滿足 任何一個代數方程式:

a0+a1π+· · ·+aⁿπⁿ = 0, 其中 ai 是整數。

這是 Lindemann 在 1882年證明的事。 當時 證明了這個定理被認為是十九世紀最重要的 數學成就之一。

我們為什麼要去證明 「π 不會是任何 一個整係數代數方程式的根」 這樣的事呢?

假如它滿足了某一個代數方程式, 找到這個 方程式就能夠提供我們有關它的重要的資訊, 要了解它就容易多了。 所以為了要真正了解 這一個很實際的數, 就必須先確定它是否滿 足某代數方程式。 如果一個數滿足某個整係 數代數方程式, 就稱為代數數。 否則就稱之為 超越數。 但是在數學上不能因為你找不到這 樣一個方程式就說它沒有。 因為可能是有而 你還沒找到。 所以唯一能夠說它沒有的方式, 就是你必須去證明。 真正從邏輯上去證明, π 不滿足任何代數方程式。 這是很困難的事, 是 數學家經歷了兩百年才證明出來的一件事情。

一個有理數如果以十進位數展開, 寫出 的數目字就會相當規則。 也許某位數以後都 是 0, 也就是只有有限的位數。 不然的話, 它 所出現的數目字就會是循環的, 也就是說往 小數點右方繼續展開下去會有週期的現象。 π 是一個超越數, 就表示在它的小數展開裡, 數 目字出現得相當複雜、 相當不規則。 一個基 本的問題是: 我們如何掌握或描述一個數的

「複雜程度」。 這個問題到今天還沒有完全解 決。 我們仍然沒有一個滿意的方法, 把所有的 數按複雜程度去分類。 像 π 這個數, 它不滿

足任何代數方程式, 你只能一步一步的去接 近它, 近似它。 這其實已經不是容易的事了。

1950 年代電腦剛誕生在 Princeton 時, 數 學家就用電腦來計算 π, 可以近似到小數點 之後兩仟位。 現在用最新的超級電腦, 可以算 到幾十億位。 從兩仟位到幾十億位, 這中間不 只是電腦硬體的進步, 計算方法更有大幅的 改進。 計算方法的改進就是數學, 也就是說你 必須找到更好的數學方法去作數值近似。 從 古希臘、 祖沖之、 牛頓到現代, 數學家仍持續 不斷的在找尋更好的數學方法去近似 π。

從 π 再回到最基本的數: 整數。 在整數 中間作除法, 就引進了有理數。 令 Q 是所有 的有理數所成的集合, 在這集合裡就可以做 加、 減、 乘、 除四則運算。 這樣的一個結構, 我們叫做體。 所有實數 R 也構成一個體, 比 Q 更大的體。 複數 C 又構成一個更大的體。

為了要深入探討像 Q 這樣一個體, 數 學家引進了特別的工具來輔助研究。 Zeta函 數就是這樣的一種工具

ζ(s) =

X

∞ n=1

1

n^s, Re(s) > 1.

這是上世紀中 Riemann 所寫下的 Rie- mann Zeta 函數, 是一個無窮級數。 其中 s 表示一個複數變數, 在複數平面上跑, 原先的 數線是複數平面上的 x-軸, y-軸表示虛數軸, 其上的點對應所謂的純虛數。 這個 Zeta 函數 級數裡的每一項是 ¹

n^s 的形式, n 是正整數。

引進這種特殊的函數, 似乎是很唐突的 事, 不知從何處冒出來, 但是這一步對於整 個數學的發展卻是相當關鍵的。 在 Riemann

之前, 已經有很多跡象出現。 早他一百年, Euler 就發現了以下的公式, 對於偶數 m

ζ(m) =

X

∞ n=0

1

n^m = −(2π√

−1)^m 2m! Bm. 把偶數 m 代進 s, 就是 Zeta 函數在 m 的 取值, 左邊的 B_m 是一個有理數的數列, 稱 為 Bernoulli 數, 它們可以很容易的從指數 函數 e^z 的冪級數展開算出來:

z e^z − 1 =

X

∞ m=0

Bm

z^m m!.

B0 = 1, B1 = −1/2, B² = 1/6, B3 = 0, B4 = 1/30, B5 = 0, . . .

Euler發現的這個公式到底有什麼意思 呢? 首先, 這個式子是出人意之外的, Zeta 函數和超越不變量 π 分別出現在等式的兩 邊。 π 原來是從圓周長來的, 因而表示圓和 Zeta 函數是有關聯的, 也表示指數函數和 Zeta 函數是有關聯的。 π 在數學裡之所以非 常重要, 就是因為它會在許多令人意外的關 鍵場合很漂亮地出現。 Euler這個式子背後其 實隱藏著許多豐富的現象。

由 Euler 的公式我們知道 ζ(2) 是 π² 乘上一個特別的有理數, ζ(4) 是 π⁴ 乘上一 特別的有理數, 等等。 因此我們完全清楚了 ζ(2), ζ(4), . . ., 因為 π 是超越數, 這些函數 值當然也是超越數。

如果令變數 s 趨近於 1, ζ(s) 的值會趨 近無窮大, 但是只要複數 s 的實部大於 1, 級 數和都會收斂, 除了 2, 4, 6, . . . 等偶數點的 取值, 當然也可以讓 Zeta 函數在 3, 5, 7, . . . 等大於 1 的奇數上取值, 可是這就發生問題

了, 不僅 Euler 不知道 ζ(3), ζ(5), . . ., 直 到今天我們仍然幾乎什麼都不知道。 唯一知 道的事是 1978 年法國數學家 R. Apery 證 明出 ζ(3) 不是有理數。 連 ζ(5) 是不是有理 數都還不知道。

Apery 能夠證明 ζ(3) 不是有理數是因 為他得到另一個算式

ζ(3) =

X

∞ n=1

1 n³ = 5

2

X

∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n³





2n n





等式中間的級數及右邊的級數各給了一個方 式去近似 ζ(3), 所不同的是以右邊的級數 去近似速度上會快很多。 能夠多快的去逼近 一個實數是一個關鍵, 涉及了一個基本現象:

如果能寫下一個數列“不太慢”的去近似一個 數而不碰到那個數, 那個數就必然不是有理 數。 原來用來定義 ζ(m) 的級數, 缺點就 是收斂的太慢, 取近似值時速度也太慢。 當 初 Euler 研究他的公式就是先去作數值計算 ζ(2), ζ(4), . . ., 他發現級數走得太慢, 因此 想找出更好的線索。 經過幾年努力他猜到了 公式, 然後又經過十餘年才證明出他的公式。

對於一個我們有興趣的數, 像 π, 很重要 的問題是能找到多快的方法去近似它。 前面 談過近幾十年來 π 的近似值計算, 所以能算 出幾十億位除了電腦進步外, 就是因為數學 家還一直在努力找更好更快的方法去近似 π。

這裡所涉及的深奧數學, 不只關係到一個數 是否是有理數, 也關係到一個數是否是超越 數。 早在上世紀 Liouville 就已發現, 如果我 們能夠足夠快的去近似一個數而不碰到那個 數, 則那個數就應該是超越數。 問題是這兒所

謂速度足夠快到底要多快, 須要精確的研究。

速度是跟用以近似的有理數的分母以及誤差 相關。 這個問題經過百年研究到 1956 年倫敦 大學的 Roth 才完全解決。 他的工作隨後就 獲得了國際數學會的 Fields 獎。

如同自然界的許多現象, 數學現象往往 也可以推得很廣, 可以有很多的變化, 並以很 多不的形式呈現。 與上述求近似值類似的一 個現象是去考慮空間。 數與空間都是數學裡 研究的基本對象。 中央研究院已故周煒良院 士有一個很有名的定理, 是說在複數射影空 間裡, 解析子空間一定也是代數子空間。 代數 子空間就好比是代數數, 是可以由一組多項 式來描述的。 解析子空間就像是實數, 放在射 影空間中受到了限制, 就必須是代數子空間。

根據陳省身院士的說法, 周院士的這個定理, 當初部分的靈感就是來自 「有理數逼近實數 時, 如果速度受限, 能被逼近的數就必須是代 數數這個事實」。 陳院士與周院士年輕時曾經 一起在德國做研究, 知曉這個周定理與數論 中有理數近似代數數的關聯典故。 兩年前陳 院士在美國數學會紀念周院士的文章裡, 還 特別寫出了這個故事。

再回到 Zeta 函數。 我們可以把 Rie- mann Zeta 函數看成定義在複數平面上的解 析函數。 原本的定義級數只有在 s 的實部大 於 1 才收斂, 但是藉著所謂解析延拓, 我們可 以讓它生長在整個複數平面上。 然後, 這個函 數就會有一種對稱性, 並滿足一個函數方程 式。

Λ(s) = π^−s/2Γ(s/2)ζ(s), Λ(s) = Λ(1 − s).

這裡對稱性是說函數 Λ(s) 在 s 與 1-s 的取 值完全一樣。 在實數 s = 1/2 作垂線, 把複 數平面分為兩半, 則 Λ(s) 在左右兩個半平面 是完全對稱的。 回到 Zeta 函數, 這個對稱性 告訴了我們 Zeta 函數在負整數點的取值。 在 負偶數, Zeta 函數值是 0; 在負奇數 Zeta 函 數的取值是把 Euler 公式中 π 的乘冪扔掉 後所剩下的有理數。

由於 Zeta 函數很對稱, 它的零根也應 是對稱的。 這個對稱性就產生了一個數學上 最重要的問題, Riemann猜想: Zeta 函數 所有的零根, 除了負偶數外, 都正好落在實部 等於 1/2 的 x-軸垂直線上。 這個 Riemann 猜想可以導出很多有用的結果, 從有關質數 的分佈到理論計算機科學上的重要結果。 很 多數學家甚至認為, 繼 Fermat 問題解決之 後, Riemann 猜想是廿一世紀數學研究致力 的最大目標。

Riemann Zeta 函數既然是很重要而牽 連甚廣的函數, 與它性質相近的函數當然也 是很有意思的。 於是數學家考慮廣義的 Zeta 函數, 這些函數都生長在複數平面上, 都有對 稱性而滿足適當的函數方程式。 對每一個這 種 Zeta 函數也都可以作 Riemann 猜想, 而 它們在整數點的取值也應該都是很微妙的不 變量。 雖然對任何一個這種 Zeta 函數我們 並沒有更多知識, 但是考慮這些函數仍然可 以發揮很大的作用。 Wiles 解決 Fermat 問 題時就用到廣義的 Zeta 函數。

解決 Fermat 問題, 要用反證法: 假 定有解, 然後找出矛盾。 首先假定有非零整數 a, b, c 使

a^l+ b^l = c^l

其中 l 是固定奇質數。 依 Frey 的建議, 再考 慮方程式

y² = x(x − a^l)(x + b^l)

對任何與 abc 互質的質數 p, 考慮二元同餘 方程式

y² = x(x − a^l)(x + b^l)(mod p) 解出同餘解的個數為 p − ap。 然後從數列 {a^p}^p依一定方式擴充到一個數列{aⁿ}^∞n=1, 再作函數

S^abc(s) =

X

∞ n=1

an

n^s

這個 Zeta 函數也有一種對稱性, 它滿足函數 方程式:

Λ(s) =

√N 2π

!

s

Γ(s)Sabc(s), Λ(s) = ±Λ(2 − s),

其中 N 是一個與 a, b, c 有關的正整數。 從 這個 Sabc(s), 根據 Ribet 的理論, 可以跳到 另一個 Zeta 函數, 滿足同型的函數方程式。

但是 N 可以降下來, 一直到降到 2 為止。 然 後從這種複變函數理論裡, 可以導出滿足上 述方程式的這種 Zeta 函數只有零函數。 因 此這種函數不可能存在。 因而, 一開始始作俑 者的 Fermat 方程式整數解 a, b, c 必定原來 就是不能存在的!

Zeta 函數 ζabc(s) 在這兒是作為一個相 當複雜的工具。 有點像在中學幾何裡面畫輔 助線, 要走很遠的路, 寫很長的論文, 證明很 多細節, 最後才導出矛盾。

我個人特別有興趣的是另外一種 Zeta 函數, 來自所謂的有限體。 體是一個集合, 對 裡面的元素你可以做加、 減、 乘、 除。 這個集 合可以只有有限個元素, 就叫做有限體。 一個 有限體的元素個數一定是一個質數 p 的乘冪 q。 這個時候, 這個體就是所謂的特徵 p 的體, 裡面任何一個元素把它自己加了 p 次以後就 變成零了。 也就是說, 在它的世界裡面你是走 不遠的, 你走了 p 步就一定走回原點。 這樣 的一個世界雖然怪, 其實是有用的。 在現代理 論計算機科學裡面, 很多地方就是可以用到 有限體, 例如涉及網路安全的密碼學。

一個有限體只是一個有限的集合, 看起 來很簡單。 我們把這個體的元素來做係數, 然 後再加上一個變元 t。 這樣以加、 減、 乘 運算得到集合稱為多項式環 A = F_q[t]。

裡面的元素就是多項式, 係數在有限體裡:

P

_n

i=0c_itⁱ, i ∈ Fq。 這樣子寫多項式的時候, 可以把它看成像整數的十進位展開, 係數就 是一種 digits。 這些多項式運算起來就像原 來的整數, 雖然走了 p 步就一定走回原點。 在 原來的數的世界裡面, 當然沒有這樣的性質。

可是另外一方面, 它的加乘等很多性質是跟 整數很像的。 所以這些多項式其實是一種不 同世界裡的整數。

從整數做除法可以得到分數。 從多項式 做除法也可以得到有理式, 或叫它有理函數。

這些有理函數所成集合可以做加減乘除, 因 此構成一個體, 就是所謂的函數體 K = Fq(t), 相當於原來的有理數體。 我們把有理 數體放到實數體裡填充成一條數線, 在這裡 也可以把函數體放入一條函數線。 當然這裡

的線已經不是通常的直線。 它的點對應的是 一種冪級數, 以 ¹_t 為變元的冪級數。 寫成 cntⁿ+· · ·+c⁰+c⁻1

t +c⁻2

t² +· · · , cⁱ ∈ F^q。 它的左半邊為多項式, i 走到某個 n 為止, 右 半邊的級數, i 從 −1, −2, −3, −4, . . ., 可以 一直走下去。 這個無窮係數序列 ci, 就像一 個實數的無窮多個 digits。 所有這些冪級數 構成一個體 F_q((¹_t))。

在六十年前, 美國 Carlitz 引進了下面 的 zeta 函數, 對正整數 m:

ζc(m) =

^X

a∈A a monic

1

a^m ∈ F^q((1 t)) 如同作 Riemann Zeta 函數, 把多項式當成 整數, 然後把它倒過來取它的乘冪。 原來祇取 正整數做, 現在就取那些首項係數是1的多項 式來做級數的項。 整個無窮級數加起來之後, 它的極限值仍然會在體 F_q((¹_t)) 裡。

這些值 ζ_C(m) 是很有意思的。 Carlitz 發現了以下的現象: 當 m 是 q − 1 的倍數的 時候, 可以得到一個公式, 很像 Euler 原來 對 Riemann Zeta 函數所得到的公式

ζC(m) = π

^e

^mB

^e

m

Γ_m+1

其中 Γ_m是多項式的階乘, 定義是先定 D0 = 1, Di = (t^qi− t^qi−1) · · · (t^qi − t) 若 i ≥ 1, 然後寫下 m 的 q 進位展開

^P

^∞_i=0miqⁱ, 再定 Γm+1 =

^Q

^∞_i=0D^m_i ⁱ。 Bernoulli-Carlitz數 B

e

m 是有理函數的序列, 它的定義是從 Tay- lor 展開式得來:

z exp_c(z) =

X

∞ n=0

B

e

n

zⁿ Γn+1

其中exp_c(z)是 Carlitz 指數函數exp_c(z) =

P

∞ i=0z^qi

Di。 這個 Carlitz 指數函數也是一種 週期函數,π 就是它的基本的期, 是一個像圓

e

周率乘上 2√

−1 那樣的不變量。

公式裡有一個 π、 有理函數

_e

B

^e

m、 以及 階乘多項式 Γm+1。 在原來 Euler 的公式裡 面, m 必須是偶數, 因為整數裡面只有兩種 符號 (sign):+1,−1。 在有限體 F^q 的世界裡 面卻有 q − 1 種符號, 有限體裡每一個非零 元素都對應一個符號。 公式要成立 m 就必須 是符號個數的倍數。 所以在 Euler 的公式裡 m 是2的倍數, 而在 Carlitz 的公式裡 m 是 q − 1 的倍數。

就像圓周率 π,π 也應是所謂的超越數。

e

也就是說, 它不會滿足任何一個多項方程式:

a0+ a0π + · · · + a

e

ⁿπ

^e

ⁿ = 0

方程式的係數 a_i 是在多項式環 A 裡。 因為 這裡的 A, 就扮演了原來的整數集合的角色。

π 的超越性是 Carlitz 的學生 Wade 證明

e

的。 把π 除以 t

_e

^q− t 的 q − 1 次根就得到一 個 Fq((¹_t)) 裡的超越數。 這裡的超越數表面 上看起來夠奇怪。 但是從另一角度來看, 卻有 更好的性質。

二十年前, 法國數學家 Christol-Cob- ham 發現: 在 Fq((¹_t)) 這個世界裡面, 數的 複雜性可以有比較好的描述。 譬如:

c_ntⁿ+· · ·+c⁰+c−1

t +c−2

t² +· · · , ci ∈ Fq, 它是否滿足代數方程式的充要條件正好是看 係數序列 ci 是不是可以由一個有限 Au- tomata 來辨識。 有限 Automata 其實就是 最簡單的電腦, 只有有限個 state。 前面說過 到今天我們仍然沒有一個滿意的方法, 把通

常的數按複雜程度去分類。 但是對 Fq((¹_t)) 裡的數的複雜程度, 卻可以翻譯成電腦科學 的話去描述。 電腦科學中不同的計算複雜階 層, 從有限 Automata 到 Turing machine 正好可以用來呈現 F_q((¹_t)) 裡的數的複雜程 度。

回到我們研究的問題上。 對於 Carlitz 的這些 zeta 值 ζC(m), 我們想要了解。 這 裡有一個特別有意思的現象, q 可以是任何 質數的乘冪, 最小可以是2。 當 q 是2的時候, q − 1 就是1。 因而 F^q((¹_t)) 的世界是一個沒 有 sign 的世界。 每一個數乘上 −1 都是自 己, −1 等於1。 在這個沒有 sign 的世界, 就 有一個簡單的結論, 任何整數都是 q − 1 的 倍數。 於是 Carlitz 公式清楚的告訴了我們 所有的 ζ_C(m)。 一般情形下 q 不是 2, 當 m 不是 q −1 的倍數的時候, 我們仍然有興趣這 些 zeta 值。 就像原來古典數論裡 Euler 的 問題, 要了解 ζ(3), ζ(5), . . .。

在 1991年, Anderson-Thakur 與我合 作解決了上述的的問題。 對於任意 q 我們都 得到 ζ_C(m) 的完整了解。 這裡 m 只要是正 整數, 即使 m 不是 q−1 的倍數, 我們也能清 楚的知道 ζC(m), 並且證明它是超越數。 不 只是如此, 我們更知道, 在 m 不是 q−1 的倍 數的時候, ζC(m) 和 π

e

^m 之間的比例一定也 是超越數。 這是一個出乎意料之外的進展。 在 Fq((¹_t)) 這個比較怪的世界裡面, Euler的問 題竟然完全解決了。 這是三百年來古典數論 想做而不能夠做到的事情。 很多數學家曾經 問過以下的問題: 當 m 是奇數時, ζ(m) 和 π^m 之間的比例是否是有理數? 因為當 m 是

偶數時 Euler 的公式說 ζ(m) 和 π^m 之間的 比例確是有理數。 我們得到的結果顯示答案 可能是否定的。 不僅 ζ(m) 和 π^m 之間的比 例不應該是有理數, 它甚至不可能是代數數。

當然, 我們的證明是在一個不同的世界, 對不 同種的 zeta 值。 因此邏輯上並沒有回答上面 的問題, 只是給了一點啟示。 也就是說, 合理 的猜想應是: Riemann Zeta 函數在整數點 的取值會產生無窮多個超越不變量。 π 是裡 面最簡單的一個, 其它 ζ(3), ζ(5), . . ., 會得 到一串無窮多個代數上不相關的超越不變量。

有一次在 Princeton, Fields 獎得主 Bombieri 與 Deligne 跟我談起這個 Zeta 函數值的工作。 他們認為: 證明當 m 是奇數 時 ζC(m) 和π

e

^m 之間的比例也是超越數, 是 極漂亮的事。 這兩個值本應該是沒有關係的, 但是在過去, 沒有人能舉出任何道理來說明 它們沒有關係。 我們所做的工作, 讓他們可以 完全相信這個 Riemann Zeta 函數值的問題 有朝一日也可以解決。

π 來自於圓。π 也來自一種對稱結構。 在

e

數學的術語裡, 對稱結構其實是有一個群在 作用。 例如圓, 你可以讓整數加法群作用, 也 就是說, 圓可以轉整數倍的角度。 因此, 把這 個觀念推廣就可以以所謂的交換代數群來取 代圓的觀念。 從這幾句話, 數學家大概用了百 年的時間去發展。 現代的高等數論的核心就 在這裡。 我們可以想像π 來自於函數體的圓,

_e

是不同世界裡另一種圓。 這種圓上不是整數 在作用, 而是多項式在作用。 從古典的圓推廣 到多項式在作用的對稱結構更是走了一大步, 經過 Carlitz 引進 Carlitz 模到 Drinfield

在三十多年前所發展出的 Drinfield 模理論。

這一大步對於數論以及算術幾何有很大的影 響, 因此 Drinfield 也是 Fields 獎得主。

要去證明 π 或 π 是超越數, 對稱結構

e

扮演相當關鍵的角色。 所謂指數函數, 就是用 來參數化圓或 Carlitz 模的函數, 它們可以把 整數或多項式的非線性作用轉化為線性作用。

指數函數總是週期函數, 2π√

−1 或 π 就是

^e

它們的基本週期。 我們能證明 π 或π 是超越

e

數, 也就是因為它們是有理對稱結構的週期。

為什麼能證明當 m 是奇數時 ζC(m) 和 π

e

^m

之間的比例也是超越數, 則是因為它們是不 同的有理對稱結構的週期。 這裡的一個靈感 來自 Hilbert 第七問題。

在 1900 年的時候, 德國領導數學家 Hilbert 在世界數學大會上曾經給了一個演 講, 列出了二十三個二十世紀的主要數學問 題。 其中第七問題是說: 如果 a 6= 0, 1 與 b 都是代數數, 而 b 不是有理數, a^b 是否是 超越數? 這個當時被認為極困難的問題, 在 1934年的時候就被俄國 Gelfond 證明了。 他 發現: 任何兩個代數數的對數, 如果他們的比 例不是有理數, 就必須是超越數。 這些比例不 可能是非有理的代數數。 譬如說, 它不可能是

√2,√

3, . . ., 不可能滿足任何代數方程式而 不是有理數。 它祇能滿足一次的方程式, 或者 任何代數方程式都不滿足。 在 30 年代很多人

就猜想這個基本的現象可以推廣到不只是兩 個對數, 而是任意有限個代數數的對數。 從這 個猜想可以導出很多的重要結果。 因此 1966 年 Baker 解決它之後就得到 Fields 獎。

這個有關代數數對數的重要基本現象, 即使走到有限體上函數體的不同世界仍然存 在。那就是我的發現。 佈於函數體的對稱結構 Drinfield 模有它的指數函數, 也有它的對數 函數, 包括高維的對數向量。 週期則可以看 成廣義的代數數對數。 這中間, 雖然表面上看 起來是完全不同的世界, 但是追根究底到了 關鍵的地方, 是有異曲同工之妙。 Anderson- Thakur 證明了 ζC(m) 是某種 m 維 Drin- field 模上代數向量的對數。 當 m 是奇數 時,ζ_C(m) 和 π

e

^m 之間的比例不是有理函數, 所以根據我的定理它是超越數。 在古典數的 世界裡, 我們猜想 Riemann Zeta 函數值 ζ(m) 和 π^m 也是某種對稱結構的代數向量 的對數, 這種對稱結構稱為 Motives。 可是因 為瞭解不夠, 目前無法證明任何事。

一旦走進函數體的世界, 就可以做相當 多事情。 我只能舉出其中一小部份。 在函數體 的世界, 不只是可以從直線的有理函數體出 發, 其實還可以從任意曲線的函數體出發。 所 以我們可以有一整套全新的現象衍生出來。

—本文作者為中央研究院數學所研究員—