從祖

從祖 恆 原理談起

柳柏濂

一. 避開無限性 — 祖

恆原 理

略知一點中國數學史的人都知道, 中國 古代數學的一大貢獻是祖^日恆原理。

祖^日恆(公元五到六世紀), 中國齊梁時代 數學家祖沖之 (公元 429-500年) 的兒子。 父 子兩代數學家, 父親以推算圓周率享譽世界, 而兒子, 又以“開立圓術” (由球體積求直徑的 方法) 中的祖^日恆原理而名留青史。

祖^日恆 原理曰:“緣冪勢既同, 則積不容 異”, 意即兩同高的立體, 如果在等高處的截 面積相同, 則體積亦相等, 如下圖

(i) S

S

V

V

圖 1. 對任意 i, S_i⁽¹⁾ = S_i⁽²⁾⇒ V1 = V2

此乃西方稱謂的卡瓦列利

(Cavalieri)

原 理。 意 大 利 人 卡 瓦 列 利

(Bonaventura Cavalieri)(1598-1647)

1635

,

在此以前的一千一百多年

,

一書中明確提出了這一原理, 並用於準確地 計算球的體積。

祖^日恆原理的一個直觀的表達是: 用一疊 相同面值的硬幣, 拼齊豎直放在桌面上得立 方體 V1(圖 2), 然後, 把這疊硬幣向一個方向 挪動, 得立方體 V₂(圖 3)

V₁ 圖 2

V₂ 圖 3

注意到祖^日恆原理, 斜圓柱V2的體積與直 圓柱V₁的體積相等。

我們無從考證祖^日恆如何得出這一原理。

「綴術」 已失傳, 僅從唐朝李淳風的 「九章算

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術注」 中得知: 祖^日恆 原理敘述前, 有一句 話“失疊棋成之積”, 意思是, 體積可看作無限 小平面疊加而成, 此乃無限小分析的思想是 也。

用現代的數學語言演繹, 即兩個立方體 V₁, V₂ (下面, 不妨把立方體與它的體積用同 一字母表之): V1 和 V2 在等高處的截面積分 別是 S_i⁽¹⁾ 和 S_i⁽²⁾, i = 1, 2, . . . , k, . . .,

S_i⁽¹⁾ = S_i⁽²⁾

考察由面積為 S_i⁽¹⁾(S_i⁽²⁾)(i = 1, 2, . . ., k, . . .) 的面為底, “小”高度為 ∆xi 的柱體

則

^P

i=1

S_i⁽¹⁾∆xi =

^P

i=1

S_i⁽²⁾∆xi

故 lim

k→∞

P

S_i⁽¹⁾∆xi= lim

k→∞

P

S_i⁽²⁾∆xi, 便得 V₁ = V2。

祖^日恆原理不涉及面積的個數問題, 因而 避開了無限性的干擾。 當我們承認了連續公 理及用一些微積分的知識, 祖^日恆原理可以被 證明為定理。

若把高為 h 的立方體 V₁, V₂ 的截面積 分別表達為變量 (高) z 的函數 S₁(z), S2(z) , 祖^日恆原理的現代化表述為: 對任何 z, 0 ≤ z ≤ h 若 S1(z) = S2(z) 則

V₁ =

Z

S₁(z)dz =

Z

S₂(z)dz = V₂

二. 減少一維 — 祖

恆 面積原 理

把祖^日恆 原理從空間體積轉向平面的面 積, 我們考察平面上的祖^日恆原理。

做為祖^日恆原理的直接類比, 可以有:

(2.1) 夾在兩平行直線間的兩個平面被 平行這兩條直線的任意一條直線所截, 如果 截得的兩條線段的長度總相等, 那麼, 這兩個 平面圖形的面積也相等。

然而, 我們可以把這一原理再放寬一些。

容易知道, 下面的原理也是正確的。 並且是上 述原理 (2.1) 的推廣。

(2.2) 夾在兩平行直線間的兩個平面圖 形被平行這兩條直線的任意一條直線所截, 如果截得的兩條線段的長度之比粧為一個常 數, 那麼, 這兩個平面圖形的面積之比等於這 個常數。

作為一個應用, 可以用祖^日恆面積原理推 導橢圓面積公式。

考察在直角座標系中, 橢圓 ^x_a²2+^y_b2² = 1 (a > b > 0) 和圓 x²+ y² = a² 。記此橢圓 和圓面積分別是 S橢, S圓。

y Q P θ

O M x

P

Q

圖 4

做任一垂直於 X 軸的直線 x = a cos θ 交 X 軸於 M, 交橢圓於 P, P^′, 交大圓於 Q, Q^′ , 則 P, P^′, Q, Q^′ 的座標分別是

(a cos θ, b sin θ), (a cos θ, −b sin θ) (a cos θ, a sin θ), (a cos θ, −b sin θ)。

故

|P M|

|QM| = |P P^′|

|QQ^′| = b a 。 由原理(2.2)

S橢

S圓

= b a 便得 S橢 = _a^b · πa² = πab

三. 往下再走一步 — 天下大 亂?

由體積到面積, 從三維到二維, 步步類 比, 引來學子躍躍欲試, 在一次講座之餘, 一 個聽者問道: “我試做一維祖^日恆原理, 可為何 結果令人迷惘?”

他順手畫出兩條平行直線 l₁, l₂ 及夾在 l₁, l₂ 間的兩條不相等長的線段 a, b (a >

b, 這裡也把線段記號和長度用同一個字母表 示), 用任一條與 l₁ (也與l2) 平行的直線 l 去 截 a, b(如圖 5), 顯然, 其截面的長 (或面積) 相等 (均為 0)。

l₁

a b

l l₂ 圖 5

按一維祖^日恆原理, 便得 a = b, 矛盾!

乍看起來, 這的確是一個“危險”的推理, 按此辦理, 豈不是可以證明: 世間任兩條線段 長均相等嗎? 天下必然大亂了!

且慢, 稍為氣定神閑, 必可看出荒謬所 在。

事實上, 圖 5 的“所作所為”亦是祖^日恆面 積原理的特款。 易見, 線段 a 的面積是 0, 線 段 b 的面積也是 0, 兩者面積確是相等, 又何 謬之有呢?

如果要考察長度, 就必然要觸及到另一 個問題: 設 l₁, l₂ 的距離為 h, 用與 l₂距離為 i 的直線 l_i (0 ≤ i ≤ h) 截a,b所得的“截面 積”分別記為S_i^(a), S_i^(b) (實質上, 應是 a,b 上 的“小”長度), 我們面臨要回答的問題是: 當 S_i^(a) = S_i^(b) = 0, 0 ≤ i ≤ h ( i 取遍 [0, h]

中的實數),

X

0≤i≤h

S_i^(a) =

^X

1≤i≤h

S_i^(b) (3.1) 成立嗎?

圖 5 的例子告訴我們:(3.1) 式是不一定 能成立的。

這位學子雖被無限性引入岐路, 他卻向 我們提出一個有趣的問題: 無限多個長度為 0 的集, 合起來有多長?

四. 無限多段長為零的線合起 來 有多長?

“0”這個東西, 在數學上是再簡單不過 了。 可是, 一旦把它放到無限數學中去, 有時 連大數學家也受不了。 十七世紀, 牛頓創立 微積分的初期, 由於沒有嚴謹的分析理論基 礎, 無窮小被英國大主教貝克萊譏為“逝去的 鬼魂” — 一會非零一會又是零, 牛頓也無言 以對。

要回答本節的問題, 必須弄清長度這個 最基本的概念。 正因為它“基本”, 因而要用公 理的語言來描述。 為更直觀起見, 在本文中, 我們僅以數直線 (數軸) 上的集來討論問題。

不應把“無限個長度為零的線段” 僅僅理解為 首尾相接在一起的線段, 我們可以把每一線 段用區間 [a,b]表示。

把直線 l 上有限區間的集記為 P , 在 P 上定義一個非負集合函數, µ(E), EǫP 它 滿足下面三條公理:

(4.1) 正則性: 對 E = [a, b]ǫP, (a ≤ b 則 µ(E) = b − a。

(4.2) 運動不變性: 若 E1, E₂ǫP 且 E₁ = E₂, 則 µ(E1) = µ(E2)。

(4.3) 有限可加性: 若 E1, E₂. . ., En

是 P 中元素, 兩兩不相重疊, 則 µ(∪ⁿ_i=1E_i) =

^P

µ(E) 稱為 E 的長度, 也稱為 Jordan 測度, 這裡簡稱為 J 測度。

上面三條公理“譯”成通俗的語言, 便是 (1) 線段有長;(2) 線段的長度在運動中保持 不變; (3) 有限條線段的總長度是它們各長度 的和。 這顯然是我們日常中所接觸到的長度 概念是一致的。 當然, 這也並非不言而喻的。

愛因斯坦的相對論告訴我們: 在高速運動中, 長度並沒有不變性, 因此, 嚴格來說, 公理 (4.1)–(4.3) 乃是一種數學上的約定。 按照上 述長度 ( J 測度) 的定義, 對於一個點 {a}, 可以看作[a,a], 由 (4.1), 它的長度是

µ({a}) = a − a = 0 。

如果我們把一個區間 [a, b] 去掉一個點 (不妨端點), 則由有限可加性 ((4,3))

µ([a, b]) = µ({a} ∪ (a, b])

= µ({a}) + µ((a, b])

= µ((a, b]) 。 同理可知

µ((a, b]) = µ([a, b)) = µ((a, b))

= µ([a, b]) = b − a

這表明, 一個區間的端點的去留, 並不改變區 間的長度。

容易看出, P 對有限個元素的“並”運算 和兩個元素的“差”運算是封閉的, P 中的元 素, 總可以表示為有限個點和有限多個非零 區間之和。(非零區間指長度非零的區間)

上面多次提到有限, 讓我們試圖觸摸一 下“無限”。

考察一個非零區間 [a, b] 所表示的線 段, 顯然, 它是由點所構成, 用數學語言表達 為 [a, b] = ∪_a≤x≤b{x}, 既然, 每點的長度 µ({x}) = 0, 於是

µ(∪a≤x≤b{x}) =

^X

a≤x≤b

µ({x}) (4.4) 便有 µ([a, b] = 0, 但由正則性 µ([a, b]) = b− a 6= 0, 矛盾!

這一矛盾與上面第三節的謬誤如出一 轍, 它的根源在於在 (4.4) 式中, 用“無限可 加性” 偷換了公理 (4.3) 的“有限可加性”。

因此, 一般來說, J 測度的無限可加性是 不成立的。 無限多個長度為 0的集 {x}, 可以 並成一個長度為定值的集, 這個定值可以是0 或非零。

坦率一句, 用 J 測度這把“尺子”, 我們 不能量度在數直線上無限個點並起來的集的 長度。

五. 換一把尺子—突破有限的 束縛

J 測度的有限可加性公理, 來自於“總 長度等於各分長度之和”這個直觀意念。 那 麼, 如果我們把這個分長度的個數擴充成可 列個—即能與自然數的集一一對應的一列無 限的長度 。 也就是把公理 (4.3) 的有限可加 性擴充為下列的可列可加性。

µ(∪^∞_i=1E_i) =

X

µ(Ei) (5.1) (請區分 (5.1) 式與 (4.4) 的不同)

擴充後的可加概念, 仍然會得到合理的 解釋嗎? 回答是肯定的。 請看線段 (0,1] 由 長度的正則性 ((4.1))

µ((0, 1]) = 1 − 0 = 1 (5.2) 又 (0, 1] = ∪^∞_i=1(_i+1¹ ,¹_i]

用可列可加性, µ(∪^∞_i=1( 1

i+ 1,1 i]) =

X

(1 i − 1

i+ 1) = 1 (5.3) (5.2) 和 (5.3) 的結果是一致的。

我們又考察一列點 1,¹₂,₂¹₂, . . . ,₂¹n, . . . 並起來的集合 ∪^∞_n=1{₂¹ⁿ} 按可列可加性, 可 以得到它的長度

µ(∪^∞_n=1{ 1 2ⁿ}) =

X

0 = 0 (5.4)

可以從另一個角度驗證 (5.4) 式的合理性, 因 [0, 1] = (

[

{1 2ⁿ})

^[

[

( 1 2ⁿ, 1

2ⁿ⁻¹)) 即 µ[0, 1] = µ(

[

{ 1

2ⁿ})+µ(

[

( 1 2ⁿ, 1

2ⁿ⁻¹))

= µ(

[

{ 1 2ⁿ}) +

X

1 2ⁿ 應有µ(∪^∞_n=1{₂¹ⁿ}) = 0

在這裡, 如果把上一節 J 測度的有限可 加性 (公理 (4.3)) 換為可列可加性 (5.1), 則 我們得到一個十分重要的新測度 — 勒貝格 (Lebesque) 測度。

設 l 是數直線, S 是 l 上子集所構成的 集合類。 S 中的一列元素之並集仍在 S 內, 任兩個元素的差仍在 S 內, 這時, 若有一個 定義在 S 上的非負函數 m(E), EǫS 滿足:

(1) 正則性: 任意閉區間 [a, b]ǫS, m[a, b] = b−a

(2) 運動不變性: 若 E1, E₂ǫS,E1 和 E₂ 全等, 則 m(E₁) = m(E2)

(3) 可列可加性: 設 E1, E₂, . . . , E_n, . . . 是 S 中一列集合, 兩兩不相重疊, 則

m(∪^∞_n=1E_n) =

X

m(En) 。

這時, 稱集合 m(E) 為勒貝格測度, 簡稱為 L 測度。

細心對照下, J 測度和 L 測度, 除了 前者的有限可加拓廣為後者的可列可加外 — 我們說它“拓廣”, 還因為由可列可加性可以 推導出有限可加性, 前者的定義域 P 僅是有 限個點和有限個區間之和, 而後者的定義域 S 中, 一列元素可以相加, 一列點, 一列區間 都可以屬於 S, 也就是說 m(E) 的定義域 S

包含了 µ(E) 的定義域 P , 並有明顯的擴大 化和複雜化。

L 測度比起 J 測度是一個很大的進步, 一些用 J 測度無從“量度”長度的點集, 可以 換一把新 的尺子 — L 測度把它的長度量出 來。

試看區間 [0,1]中有理數全體構成的集 合 Q₁, [0,1]中無理數全體構成的集合 M1。

Q₁, M₁ 不屬於 P , 它們沒有 J 測度, 但 Q₁, M₁ 在 S 中, 我們可以把它的 L 測 度算出來。

先考察 m(Q₁)。

我們把 Q₁ 排成一列, 以證明 Q₁ 是一 個可列集: 因為 [0,1]中的有理數都是既約真 分數 ^p

q, p, q 是正整數且 p ≤ q, (p, q) = 1。 我們排列 ^p_q , 規則如下: 分母小的在 前, 分母大的在後, 如果分母相同, 則分子小 的在前, 大的在後, 於是, Q₁ 的有理數可排 成 ¹

1,¹₂,¹₃,²₃,¹₄,³₄,¹₅,²₅,³₅,¹₆,⁵₆,¹₇, . . ., 每一 個 ^p

q 總要出現在這一列中且位置完全確定, 於是,Q₁ = {rn} 即 Q1 是可列集。

由可列可加性, 便得 m(Q1) = m(∪^∞_n=1r_n) =

X

m(rn)

=

X

0 = 0

於是

m(M₁) = m([0, 1])−m(Q₁) = 1−0 = 1。

這從另一個側面說明:[0,1]中的無理數雖然也 是無限集, 但它不是可列的。 m(M1) = m([0, 1]) 表明了這樣一個有趣的事實: 一

個集合去掉了可列個點 (被挖掉了無限多 個“洞”!) 它的 L 測度還是沒有改變。

我們看到, 一列點的並所成的集合的 L 測度為 0, 但是, 它的逆不真, 請看下面構造 一個非可列的無限個集的並。

...

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0 1

1 9

2 9

1 3

2 3

7 9

8 9

圖 6. Cantor 集

將閉區間 [0, 1] 三等分, 去掉中間一 個開區間 I₁⁽¹⁾ = (¹₃,²₃), 把剩下的兩個 閉區間 [0,¹₃][²₃,1] 分別再三等分, 再各去 掉中間的開區間 I₁⁽²⁾ = (¹₉,²₉), I₂⁽²⁾ = (⁷₉,⁸₉), 餘下四個閉區間, [0,¹₉] [²₉,³₉] [⁶₉,⁷₉] [⁸₉,1] 又分別把這些閉區間三等分, 再各 去掉其中間的開區間 I₁⁽³⁾ = (₂₇¹ ,₂₇² ), I₂⁽³⁾ = (₂₇⁷,₂₇⁸), I₃⁽³⁾ = (¹⁹₂₇,²⁰₂₇), I₄⁽³⁾ = (²⁵₂₇,²⁶₂₇), 如此繼續, 在第 n 次三等分時 去掉的開區間是 I₁⁽ⁿ⁾= (₃¹ⁿ,₃²n), I₂⁽ⁿ⁾ = (₃⁷ⁿ,₃⁸n), . . . , I₂⁽ⁿ⁾ⁿ−1 = (³ⁿ₃⁻²ⁿ ,³ⁿ₃⁻¹n )。 令 O_c = ∪n,kI_k⁽ⁿ⁾ ,K = [0, 1] − Oc, K 稱 為康托 (Cantor) 集。K 是一個無限集族。 可 以證明,K 不是一個可列集, 而 K 的 L 測度 m(K) = 0。

六. 柳暗花明又一村—從測度 到積分

從祖^日恆 原理開始, 我們用無限多個面 積來刻劃具有有限體積的立方體, 祖^日恆的思 想正是通過截面積的測度, 避開無限性的麻

煩。 然而, 當我們的問題步步深入時, 無限性 是不可避免的, 從有限到無限, 這是數學研究 從初等到高等的重要轉折。 一百多年前, 康托 把“無限”引入了數學, 帶來了整個數學面貌 的更新。 從 J 測度到 L 測度, 正體現了這 種質的飛躍。

L 測度使我們在處理極限運算時暢通無 阻, 由此, 把建立在 J 測度上的黎曼積分 發展為以 L 測度為基礎的勒貝格積分。 由 於函數值的急劇變化而帶來的黎曼積分的不 可積問題, 用 L 測度理論可以得到解決。 例 如,Dirichlet 函數 (在有理數處函數值為 1, 在無理數處函數值為 0 的函數), 在任何區間 [a, b](a < b) 上的振幅都等於 1, 因而, 在黎

曼意義下不可積, 但它卻是勒貝格可積的, 且 積分值為 0(請聯繫 m(Q₁) = 0, m(M1) = 1 想一想)。

測度理論的發展, 勒貝格積分的出現是 二十世紀數學的重大成就之一, 它在“疑無 路”的不可積問題中找到了“又一村”, 從而不 僅發展了泛函分析的新學科, 而且在概率論, 數理統計, 理論物理方面有很多重要的應用。

附記: 本文寫作於作者應邀訪問香港中 文大學數學系期間, 作者對岑嘉評博士, 區國 強博士的盛情接待表示感謝。

—本文作者任教於中國華南師範大學數學 系—