常均曲率曲面
梁惠禎
考慮 R3 中之曲面 S, 過 S 上某點之所有曲線中, 有兩曲線分別具最大及最小之之曲率 κ1、κ2, 稱其平均值 (κ1+ κ2)/2 為 S 在該點之均曲率。 若 S 上所有點都具有相同之均曲率, 則稱 S 為常均曲率曲面; 球面是廣為人知的例子。 常均曲率曲面緣起於等周界問題。 本文將分 別探討無邊界及有邊界之曲面。 有邊界之曲面又分兩類討論: 給定邊界曲線者、 給定邊界與支 撐面接觸角之毛細曲面。
球面上的點另具重要性質: κ1 = κ2。一般曲面 S 上具此性質的點稱為 umbilical point (臍點)。 若 S 的每一點都為 umbilical point, 則稱 S 為 umbilical。 第 3 節中將論及常均曲 率曲面與 umbilical 曲面之可能關聯。
一、 緣起
手執切面為圓的吸管, 置其一端 Γ1 入肥皂溶液後抽出, 有一平坦之肥皂膜附著於 Γ1, 為 一圓盤。 於吸管另一端 Γ2 灌入空氣, 則圓盤變形為附著於 Γ1 之肥皂泡。 以一手指底於 Γ2 內 部, 使空氣無從逃逸, 則此肥皂泡成形為 spherical cap。 稍事擾動肥皂泡使之變形但仍附著於 Γ1, 且擾動過程中一手指始終底於 Γ2 內部, 則停止擾動後, 肥皂泡復為 spherical cap。
肥皂泡可視為分隔兩均勻介質之界面。 在無重力狀態, 界面之能量與面積成正比, 而肥皂 泡取得最小能量。 上述肥皂泡的建構, 另受制於兩個因素: 肥皂泡之邊界固定為 Γ1, 且肥皂泡 與吸管所包夾的空氣量為固定。 在這兩個限制下擾動曲面, 肥皂泡取得面積的極小值。 因此肥皂 泡是下述變分問題的解, 其解為 spherical cap:
問題1: 給定常數 V 及平面 P 上之圓 Γ。 通過 Γ 且與 P 包夾體積 V 的所有曲面中, 何者面 積最小?
在前述實驗, 如果持續灌空氣入吸管, 肥皂泡終將脫離吸管, 成為完整球面。 此時, 肥皂泡 滿足的限制僅剩一個, 在體積限制下要取得面積之最小值。 換言之, 球面是下述古典等周界問題
本文原稿刊載於 2017.02.16 中央研究院電子週報第 597 期, 業經擴充修改。
的解:
問題2: 體積固定的所有封閉曲面中, 何者面積最小 ?
將面積視為曲面之函數, 考慮體積維持恆定之曲面微小變動, 則面積函數針對這些變動之 臨界點為常均曲率曲面。 換一觀點來看, 考慮分隔兩介質之界面 S, 忽略 S 的厚度, 界面 S 承 受之內外壓力差 Pe− Pi 與曲面張力 γ 成正比, 而 S 之形狀由 Laplace equation 決定:
Pe− Pi = 2Hβ,
其中 H 為 S 之均曲率, β 是介質所決定之常數; 當壓力恆定, S 之均曲率為常數。 肥皂膜、 肥 皂泡及毛細曲面皆屬此型界面。 因此, 我們把上述二問題分別轉化如下:
問題1.1: 給定常數 H 及封閉曲線 Γ, 通過 Γ 且均曲率為常數 H 之曲面是否存在? 是否不只 一個?
問題2.1: 封閉的常均曲率曲面一定是球面嗎?
二 、 先看問題 2.1
1853 年 J. H. Jellet 證明球面是唯一的 star-shaped 常均曲率曲面。 1900 年 H. Lieber- mann 證明卵形的常均曲率曲面必為球面。 半個世紀後, H. Hopf 賦與常均曲率曲面一 holo- morphic differential 2-form, 於 1951 年證明:
定理1: genus 為 0 的封閉常均曲率曲面必為球面。
1956 至 1962 年間, A. D. Alexandrov 證明:
定理2: 嵌入的 (embedded) 封閉常均曲率曲面必為球面。
Alexandrov 的證明, 結合曲面對平面的反射及橢圓方程的 maximum principle, 至今 仍是微分幾何及偏微分方程領域之重要技巧。 1984 年 J. L. Barbosa 及 M. do Carmo 證明:
定理3: 穩定的封閉常均曲率曲面必為球面。
直至八零年代, 球面是唯一為人所知的封閉常均曲率曲面。 1986 年, H. C. Wente [8] 證明某個常均曲率 immersed 環面的存在性, 石破天驚, 激起了後續尋找封閉常均曲率曲面之風潮, 至今未衰。 而 Wente 發展的技巧, 建立起常均曲率曲面與可積系統之關聯, 常均曲 率環面因之而能被深入探討。
1991∼1992 年, N. Kapouleas [3, 4] 對任意 genus 構造出封閉的 immersed 常均曲 率曲面。 Kapouleas 黏合球面及 Delaunay 旋轉曲面1, 其關鍵是要在黏合處做擾動使其平 滑2; 此構造方法迄今仍廣被採用。 近日, 另有學派結合 loop groups 與可積系統的理論, 發 展出 DPM method 以構造常均曲率曲面。 諸多網站以電腦繪圖展示相關的豐碩成果, 譬如 http://www.gang.umass.edu。
三 、 回到問題1.1
在問題1.1, 給定常數 H 及封閉曲線 Γ, 要尋找曲面 M = X(B1) 滿足下述事項, 其中 X : B1 → R3, X = X(u, v), B1 為 R2 中之單位圓:
∆X = 2H(Xu× Xv) on B1,
|Xu|2− |Xv|2= hXu, Xvi = 0 on B1, X : ∂B1 → Γ a homeomorphism.
J. Douglas 及 T. Rado 處理了 H = 0 的情況, Douglas 並因此而於 1936 年獲頒費爾茲獎。
五零年代, E. Heinz 開始探討 H 6= 0 的情況, 至七零年代, 多位數學家考慮變分問題的解, 而 於 H 夠小時, 尋獲曲面 M = X(B1): 在 H = 0 時, 以 Dirichlet integral
D(X) = 1 2
Z
B1
|∇X|2dudv 取代面積 A(X) =R
B1|Xu× Xv|dudv (因為 A(X) ≤ D(X)), 在 H 6= 0 時, 考慮 DH(X) = D(X) + 2H
3 Z
B1
hXu× Xv, Xidudv,
並考慮由定義於 B1 且通過 Γ 之 immersions 所組成之族群 C(Γ); 與 C(Γ) 之成員相較, 曲面 M = X(B1) 最小化 DH(X)。 DH(X) 的第二項中, 1
3 R
B1hXu × Xv, Xidudv 是曲 面 X(u, v) 相對於原點的 algebraic volume, 而 2H 可視為為 Lagrange multiplier (但未 給定 C(Γ) 成員之體積值)。 M = X(B1) 藉由變分學之 direct method 尋獲, 是 DH(X) 之 minimizing sequence 收斂所至之極限; 此中關鍵是要利用 C(Γ) 的緊緻性及 DH(X) 之 lower semicontinuity 證明 minimizing sequence 收斂。
八零年代, H. Brezis, J. M. Coron 及 M. Struwe 處理 C(Γ) 在 mountain pass level 的緊緻性, 確認了問題 1.1 的解若存在必定不唯一: 若 DH(X) 在 C(Γ) 能被 X 最小化, 則
11838 年 C. E. Delaunay 發現一族常均曲率旋轉體, 包括圓柱面、 懸垂面、 unduloid、 nodoid。
2在黏合處, 黏合曲面不平滑。 但分析 Jacobi 算子的 kernel, 並利用 Leray-Schauder fixed-point 定理, 可將原黏合曲面微擾動, 得到平滑的常均曲率曲面。
在 C(Γ) 中必定存在另一不穩定的解; 譬如, 若 Γ 是圓, 通過 Γ 的常均曲率曲面至少有圓盤 (H = 0) 及一大一小兩個 spherical caps (H 6= 0)。 事實上, 即使 Γ 是圓時, 對問題 1.1 的 解, 我們所知仍甚少。 但有兩個確認的事實:
1. 通過圓的緊緻 umbilical 曲面必為圓盤或 spherical caps。
2. 通過圓的緊緻旋轉曲面必為圓盤或 spherical caps。
另外, Kapouleas [3] 於 1991 年證明存在通過圓而不具旋轉對稱之緊緻常均曲率曲面; 此曲 面有自相交 (self-intersections), genus 大於 1, 坐落於邊界平面所決定的某半空間。 迄今未 有該曲面之電腦繪圖, 此與封閉常均曲率曲面電腦繪圖量之豐沛景況大相逕庭。 衡諸這些事實, 對照前述三定裡, 我們做以下三猜測:
猜測1: 通過圓的 immersed 常均曲率曲面, 若 genus 為 0, 必為 umbilical。
猜測2: 通過圓的常均曲率曲面, 若為嵌入的, 必是 umbilical。
猜測3: 通過圓的常均曲率曲面, 若為穩定, 必是 umbilical。
四 、 將問題1.1考慮的曲面限制為平面區域上的函數圖形
改述問題如下:
問題1.2: 給定常數 H 及空間中之封閉曲線 Γ, 是否存在函數圖形通過 Γ 且均曲率為 H ? 此問題中之 Γ 必為某平面曲線上之函數圖形, 因此可重新陳述問題如下:
問題1.3: 給定常數 H, 定義域 Ω ⊂ R2, ϕ : ∂Ω → R, 尋找平滑函數 u 使得 div ∇u
p1 + |∇u|2 = 2H on Ω (1)
u= ϕ along ∂Ω (2)
其中 ∇ 及 div 分別為 R2 中之梯度及 divergence 算子。 (2)
用 divergence theorem 積分 (1), 得到此問題有解之必要條件: |H| = |∂Ω|
2|Ω|, 其中 |∂Ω| 及
|Ω| 分別為 ∂Ω 的長度及 Ω 的面積。 當 Ω 為半徑 r 的圓, 此必要條件是 |H| ≤ 1/r。 事實上, R. Finn [2] 於 1965 年證明:
定理4: 若 H 6= 0 且 Ω 包含半徑 1/|H| 的圓, 此問題的解必為半球。
R. Finn [2] 同時證明了下述結果:
定理5: 當 H = 0, 問題 1.3 對任意連續邊界值 ϕ 都有解之充要條件是 Ω 為凸。
對一般 H, J. Serrin [7] 於 1969 年證明:
定理6: 設 Ω 為有界凸域。 問題 1.3 對任意連續邊界值 ϕ 都有解之充要條件是平面曲線 ∂Ω 之曲率 κ ≥ 2H。
在偏微分方程領域, 問題 1.3 因其邊界條件 (2) 而被歸類為 Dirichlet problem。 因 (1) 為擬線性 (quasilinear) 二階橢圓方程, 通常運用 Leray-Schauder theory 求解: 先假設解 u 存在, 估計 |u| 及 |∇u|, 若兩者皆存在與 u 無關的上界, 則解存在。
五 、 毛細曲面
無重力狀態下, 將水平切面為 Ω 的試管鉛直插入溶液槽, 溶液因毛細作用而附著於試管壁 上升, 形成毛細曲面 S, 具常均曲率, 與試管壁相交於一曲線, 沿此曲線 S 與管壁之交角恆常 不變。 因此, 有別於 (2), 我們考慮如下之邊界條件
D ∇u
p1 + |∇u|2, vE
= cos γ along ∂Ω, (3) 其中 ν 是 ∂Ω 指向 Ω 內部之單位法向量。 設 (1)-(3) 有解 u, 則在試管 Ω × R 內, 溶液於 (x, y) ∈ Ω 點升起的高度是 z = u(x, y), 而由 (3) 知 u 的函數圖形與管壁 ∂Ω × R 之交角 恆為 γ。
處理 (1)-(3) 解的存在性, 端賴 E. de Giorgi 及其同儕發展出的 BV theory。 對子區域 Ω∗ ⊂ Ω, 邊界 ∂Ω∗ = ΓS Σ∗, 其中 Σ∗ ⊂ ∂Ω = σ, Γ ⊂ Ω, 考慮函數
Φ(Ω∗; γ) := |Γ| − |Σ∗| cos γ + |Σ| cos γ|Ω∗|
|Ω|,
其中 |Γ|, |Σ∗| 分別為 Γ 及 Σ∗ 的長度, |Ω|, |Ω∗| 分別為 Ω 及 Ω∗ 的面積。 用 divergence theorem 積分 (1), 得到解存在之必要條件 Φ(Ω∗; γ) > 0。 而要得到
解存在之充分條件, 觀察: 當 Φ(Ω∗; γ) 之最小值發生時, Γ 是半徑 |Ω|
|Σ|cos γ 的圓弧, 在 Σ 的 平滑點與 Σ 之交角為 γ, 而在 Σ 的凹角與 Σ 之交角 ≥ γ。 針對此型讓 Φ(Ω∗; γ) 最小值發生 的子區域 Ω∗, 七零年代 Giusti 及 Finn 證得:
定理7: (1)-(3) 解存在之充要條件是此型子區域 Ω∗ 都滿足Φ(Ω∗; γ) > 0。
在一般 Ω, 此型子區域 Ω∗ 為數有限, 甚或不存在。 若 Ω∗ 不存在, 上述充要條件成立, 因 此解存在; 而若 Ω∗ 有數個, 則一一計算其 Φ 值。 P. Concus 及 Finn 循此策略證得:
定理8: 若 ∂Ω 包含某突出的角, 角弧度 2α, α + γ < π/2, 則 (1)-(3) 無解。
廣義來說, 與某支撐面交角恆定的常均曲率曲面都被稱為毛細曲面, 而稱該交角為接觸角 (contact angle)。 考慮兩個平面包夾的楔形區域,
McCuan [5] 及 Park [6] 分別於 1997 及 2005 年證明 定理9: 楔形區域內, 嵌入之環形毛細曲面必為球面的一部分。
我們可考慮下述三問題;
問題 A: 楔形區域或半空間內, 是否存在緊緻、 immersed 且不是部分球面的的毛細曲面?
問題 B: 楔形區域或半空間內, 是否存在緊緻、 嵌入且 genus≥ 1 的毛細曲面?
問題 C: 楔形區域或半空間內, 穩定之毛細曲面是否必為部分球面?
相關於問題 A, Wente [9] 於 1995 年建構了楔形區域內非緊緻的毛細曲面。 關於問題 B, 在 接觸角 ≤ π/2 的情況, McCuan [5] 於 1997 年證明問題所述之毛細曲面不存在。 關於問題 C, 在接觸角 ≥ π/2 且毛細面邊界為嵌入曲線的情況, J. Choe 及 M. Koiso [1] 於 2016 年 證明穩定之毛細面必為球的一部分。 三個問題都尚待更完整的解答。
參考資料
1. J. Choe and M. Koiso, Stable capillary hypersurfaces in a wedge, Pacific J. Math., 280:
1, 2016.
2. R. Finn, Remarks relevant to minimal surfaces and to surfaces of prescribed mean
curvature, J. Anal. Math., 14, 139-160, 1965.
3. N. Kapouleas, Compact constant mean curvature surfaces in Euclidean three-space, J.
Diff. Geom., 33, 683-715, 1991.
4. N. Kapouleas, Constant mean curvature surfaces constructed by fusing Wente tori, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 89, 5695-5698, 1992.
5. J. McCuan, Symmetry via spherical reflection and spanning drops in a wedge, Pacific J. Math., 180:2, 1997.
6. S. Park, Every ring type spanner in a wedge is spherical, Math. Ann., 332:3, 2005 7. J. Serrin, The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic equations with many inde-
pendent variables, Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A, 264, 413-496, 1969
8. H. C. Wente, Counterexample to a conjecture of H. Hopf, Pacific J. Math., 121:1, 193-243, 1986
9. H. C. Wente, The capillary problem for an infinite trough, Calc. Var. PDEs, 3:2, 155-192, 1995
—本文作者任職中央研究院數學研究所—
