或差為定值的軌跡, 形成橢圓和雙曲線,(見圖 一)
圖一
或者把兩個焦點重疊起來, 退化成圓和直 線,(見圖二) 再利用這些線組都是垂直相交的 原理, 得到拋物線作為橢圓的垂直軌跡 (Or- thogonal Trajectory)(見圖三)。 希臘古典 幾何的重要成果之一, 就是阿波龍 (Apollo-
nius) 有系統的研究這些曲線。 而榮耀歸於真 圖二
1
圖三
被阿拉伯人留傳了下來。 截錐曲線這個家族 還有一些近親, 比方把焦點增加成三個, 就成 了弧三角形 (見圖四)。
圖四
這樣的曲線十分類似德國工程師 F. Wenkel 設計的輪轉引掣。 還有一些遠親, 比方把和 差換成乘積, 則有卡西尼的卵形線(Ovals of Cassini), 以平面上複數坐標來表示, 這些線 普遍可以表示成 |zn− 1| = C。(見圖五)
n = 3
n = 5 圖五
卵形線個個風流蘊藉, 玲瓏有致。 其中翹楚, 尤為綺麗的是n = 2 時, 特別又稱為白努力 雙扭線(Lemniscate of Bernoulli)(見圖六)
圖六
雙扭線和橢圓, 親上加親的緣故是計算
觀。 最早是意大利的法南諾公爵 Count Fag- nano 在 1718 發現雙紐線積分, 有個倍 角公式 2F (u, k) = F (w, k),ω =
老謀深算的高斯 C. Gauss 也沒有閒著, 他 不著聲色的建立模函數, 奠定了代數幾何超 越論的基礎。
圖七 俱往矣, 可惜這些輝煌的理論, 並不能 用來計算橢圓積分, 最後終得依靠數值方法。
計算的工具, 希望機器要大、 要快。 事實上, 硬體的發展有一定的局限, 只好在設計軟體 的時候, 力求精妙。 有這樣的需求, 古典的 理論才重新被發掘出來。 近來美國人卡森 B.
Carlson 利用倍角公式, 設計了橢圓積分巧
妙的計算方法。 這是古為今用, 最典型的例 子。 我們接下來, 就要借這些算法來描繪曲 面。
球面對每一個方向都對稱, 是最完美的 旋轉面, 當然是常曲率。 但是具有常曲率的旋 轉面不必然是球面。 這種曲面的產生曲線可 用橢圓積分來表示
圖八 Xk(u, v)
= (k cos u cosυ
k, k cos u sinv
k, E(u, k))
把k視為連續改變的參數, 則上式表示球面一 系列的扭變, 彷彿把籃球剖開之後再捲成橄 欖球的過程。(見圖七)
既然是捲的, 自然就有重疊, 因此這些曲
面是浸入而不是嵌入。 接下來, 馬上就會有疑 惑: 如果剖開球面一道口之後, 浸入的球面可 以連續的扭變, 那麼只是鑿了少許幾個洞呢?
伍鴻熙在 1970解答了這個問題: 凡是凸的曲 面, 例如球面, 剔了幾個點之後, 還是剛性的, 不能扭變。
把上述式子裡的產生曲線, 用超三角函
數改寫
Yk(u, v)
= (k cosh u cosυ
k, k cosh u sin υ
k, G(u, k)),
G(u, k) =
Z u
0
√1 − k2sin h2θ dθ
圖八是一系列曲率為 −1 的旋轉面。 當然這 些面都有稜邊, 或奇點。 因為早在 1901 希伯 特 D. Hilbert 就曾經證明任何完備的曲面, 不可能完全浸在三維歐氏空間裡, 還仍有負 的常曲率。 這種把曲面浸入的現象, 基本上是 偏微分方程式, 解的存在性問題。 像上述的各 式曲面 ,不僅能浸入, 還能扭變, 用偏微方的 行話來說, 就是解不是唯一, 那是常曲率的特 殊情況。 一般曲面來說, 即使是局部解, 也很 難找, 尤其是當曲率正負變號的時候。 林長壽 1983 的博士論文, 精闢的解答這個問題, 同
時也打開了一片新天地, 陸陸續續才有中村, 天野等人的後來發展。 不論如何, 這些解要寫 出來一定非常複雜, 絕不像上述的曲面, 可以 用雖然不簡單, 但是很清爽的橢圓函數表示 出來。
參考資料
1. C. Siegal: Topics in complex function theory.
2. F. Klein: Development of Mathematics in the 19th century.
3. B. Carlson: Numer Math. 33, 1- 16(1979).
4. 伍鴻熙:Ann. of Math., 95, 1-20 (1970).
5. 林長壽:J. Diff Geometry, 21, 213-230 (1985).
