曲面幾何與廣義相對論 ∗
王慕道
1. 前言
在這個演講中我要談談兩個關於三維空間 R3中曲面的古典定理, 以及它們在 Minkowski 時空空間 R3,1 中的推廣。這些推廣與廣義相對論中一些基本的問題緊密相關, 例如: 重力能量 (gravitational energy) 以及宇宙審查 (cosmic censorship)。 所以我們討論它們不僅是對上 面的數學感興趣, 更是因為它們與物理的關連。
本文中我們假設所有的 2 維曲面都和球面有相同拓樸型態 (也就是二者之間有一個可逆的 連續映射)。
2. 回顧 R
3與 R
3,1中的曲面幾何
考慮一個經由 X : Σ ֒→ R3嵌入 R3的曲面 Σ, X = (X1, X2, X3) 代表嵌入 (embed- ding) 的座標函數。 令 ua, a = 1, 2 代表 Σ 上的局部座標系統, 所以每個 Xi, i = 1, 2, 3 都 看成在局部定義的 ua 的函數。 由此導出此嵌入的度量或其第一基本形式 (first fundamental form) 如下:
σab =
3
X
i=1
∂Xi
∂ua
∂Xi
∂ub
這是曲面上正定的對稱 2-張量, 這個度量決定了曲面所有的內在幾何。
以 S2 為例
取 u1 = θ, u2 = φ, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π, X1(θ, φ) = sin θ sin φ, X2(θ, φ) = sin θ cos φ, X3(θ, φ) = cos θ, 則 σ11= 1, σ12 = σ21 = 0, σ22= sin2θ.
所以是正定的對稱 2-張量。
對於 R3 裡的曲面 Σ, 最重要的外在幾何量是均曲率 H, 它與面積的變動有關。 假設 Σ 是一個閉嵌入曲面, |Σ| = R
Σdµ 代表它的面積, 如果沿著這個曲面的向外法線方向, 以 s (s
∗本文為作者在 2013 數學年會大會演講 Surface Geometry and General Relativity 的講稿中譯。
是 Σ 上的函數) 為速度將 Σ 變形, 面積的變化是 Z
Σ
sH dµ
這裡 dµ 是 Σ 上的度量導出的面積元素。 H = 0 對應到最小曲面, H =常數對應到均曲率曲 面 (CMC), 這是面積泛函的臨界點。
對於嵌入 R3,1 Minkowski 時空中的曲面 X : Σ ֒→ R3,1, X = (X0, X1, X2, X3) 由 此導出的度量為
−∂X0
∂ua
∂X0
∂ub +
3
X
i=1
∂Xi
∂ua
∂Xi
∂ub 當上面的度量為正定時, 我們稱 Σ 為類空間 (spacelike) 曲面。
另外還有均曲率向量場 ~H, 這是一個法向量場, 量度曲面變形時面積的變化。 明確地說, 對 於任意法變分場 ~V (normal variational field), 均曲率向量場滿足第一變分公式 (first vari- ational formula)
δV~|Σ| = − Z
Σ
< ~H, ~V > dµ.
δV~|Σ| 代表曲面沿著方向 ~V 的面積變化, 而 dµ 是 Σ 上的度量導出的面積元素。
在相對論中, 光在虛空中行進, 從時空中的曲面發射出來的光束可以發散也可以匯聚。 在 廣義時空中存在所謂的囚陷曲面 (trapped surface), 所有發出的光束都會收斂, 顯示在這個曲 面附近有很強的重力場。 Penrose 奇異點定理 [10, 18, 23] 主張囚陷曲面的存在可引致未來時 空奇異點的形成。
所以科學家們希望可以用均曲率向量場得到好的重力能量的測量。 事實上, 有數個已知的 想法, 如 Hawking 能量, Brown-York 能量 [5] 以及 Liu-Yau [13], Wang-Yau [24] 能量, 都是以均曲率向量來定義的準局部能量 (quasilocal energy)。
3. 等度量的曲面嵌入
讓我們先回顧 R3 的 Weyl 等度量嵌入問題: 在 2 維球面 Σ 上給定一個正定的對稱 2-張 量 σab, 是否存在一個嵌入 X : Σ → R3 使其導出的度量P3
i=1
∂Xi
∂ua
∂Xi
∂ub 和 σab 一樣? 這裡有 三個未知的座標函數 X1, X2, X3, 是 u1, u2 的函數, 還有對應於 σab 分量的三個方程。
"
σ11σ12
σ21σ22
#
注意 σ12 = σ21。
σ11 =P3 i=1
∂Xi
∂u1
∂Xi
∂u1
σ12 = σ21 =P3 i=1
∂Xi
∂u1
∂Xi
∂u2
σ22 =P3 i=1
∂Xi
∂u2
∂Xi
∂u2
當 σab 的高斯曲率為正時, 這是一個非線性橢圓偏微分方程組, 由 Nirenberg [17] 和 Pogorelov [21] 解決。 解集合在剛體運動的對稱之下不變, 也就是曲面在 R3 中經旋轉、 反射 或平移, 其解集合不變。 將此方程線性化, 對於變量 δXi 其線性化的方程為
3
X
i=1
∂δXi
∂ua
∂Xi
∂ub +
3
X
i=1
∂Xi
∂ua
∂δXi
∂ub = 0.
顯然, δX1 = Σ3j=1aijXj, aij = −aji 是對應於旋轉的解。
但當我們試著將曲面經映射等度量嵌入 R3,1時, 立即面臨方程是 「不足決定」 系統 (under- determined system) 的問題, 有四個未知座標函數卻只有三個方程, 要得到任何形式的解的 唯一性, 必須加上至少一個條件, 我們將加上從考量廣義相對論中準局部能量, 自然而來的一個 條件。
在牛頓重力學中 ∆Φ = 4πρ, 其中 Φ 是位勢 (potential), 而 ρ 是質量密度, 總質量可 以由積分 ρ 得到, 即 R
Ωρ 。 但是廣義相對論中的重力有個根本的難題, 它與其它物理理論不同 的是, 沒有質量或能量密度。 想當然耳的將質量密度積分得到質量, 這個式子對廣義相對論的重 力而言沒有意義。 另一方面, 由散度定理(divergence theorem), 牛頓重力中的總質量等於邊 界曲面 ∂Ω 上的流量積分。 因此推想在類空間的域 Ω 上的重力或能量可以經由邊界 ∂Ω, 這個 二維的曲面上的積分來估算。 1982 年 Penrose [20] 將廣義相對論中未解決的主要問題列表, 第一個問題就是, 為廣義時空中的曲面 Σ = ∂Ω 恰當地定義出準局部的能量 — 動量 (質量) (quasi-local energy-momentum(mass))。
Einstein-Hilbert 作用的 Hamilton-Jacobi 分析暗示了下面的作法 (Brown-York [5], Hawking-Horowitz [11]): 對於廣義時空 N 中的 Σ 找一個基地狀態(ground state), 即最 能與 Σ 在 N 中的幾何 「匹配」 將 Σ 嵌入 R3,1 的等度量嵌入。 這個嵌入在 R3,1 中的像稱為 參考曲面, 目的在於希望能經由等度量嵌入來操控內具的幾何, 從物理曲面及參考曲面兩種外 在幾何的差異, 判讀出 「重力能量」。
Wang-Yau [24] 的作法是考慮廣義時空 N 中的2 維類空間閉曲面 Σ 上的幾何數據, 這 些數據包括其上由 N 上度量導出的度量 σab 以及均曲率向量 ~H, 針對每一個將 Σ 等度量嵌 入 R3,1 所導出的 σab 定義其準局部能量。 這個定義滿足重要的正質量及剛性的性質, 並且與 一般為人接受的其它觀念一致。
至於準局部質量, 我們知道在特殊相對論中, 能量取決於觀測者, 而質量則是所有觀測到
的能量的最小值。 類比於此, 在定義準局部質量時, 我們對所有等度量嵌入所得的準局部能量取 其最小。 這個 Euler-Lagrange 方程就是 「最佳嵌入方程 (optimal embedding equation)」, 這是一個對時間座標的四階偏微分方程, 再加上等度量嵌入的方程, 最後我們得到四個方程, 四 個未知的偏微分方程組。
4. 晚近的應用
我們在這一節討論廣義相對論中守恆量的應用。 Penrose 列出來的問題中, 第二個問題是:
為準局部角動量下一個恰當的定義。 在特殊相對論中, 守恆量是由 Killing 場導出 (Killing 場 是黎曼流形或擬黎曼流形上, 保持度量的向量場, 以德國數學家 Wilhelm Killing(1847-1923) 命名), 這些場對應於 R3,1中的連續對稱 (等度量)。 舉例來說, 旋轉 Killing 場 X1 ∂∂x2−X2 ∂∂x1
定出對 X3 軸的角動量。 但是, 在廣義時空中沒有連續對稱也沒有 Killing 場。
對於物理時空中的曲面 Σ, Chen-Wang-Yau [6] 的想法是藉助 Σ 嵌入 R3,1 的最佳等 度量嵌入將 R3,1 上的 Killing 場帶回 Σ 上, 所有守恆量如能量, 線性動量, 角動量和重心都 可以如此定義, 更重要的是探討了這些守恆量的動力以及愛因斯坦方程的關係。
愛因斯坦方程是時空中 Lorentzian 度量 gµν, µ, ν = 0, 1, 2, 3 的二階偏微分方程組。 最 簡單的真空愛因斯坦方程為 Rµν = 0, µ, ν = 0, 1, 2, 3 其中 Rµν 為 gµν 的 Ricci 張量。
愛因斯坦方程可以寫成雙曲偏微分方程組的初始值問題。 給定初始值 (M, g(0), k(0)) 其 中 M 為流形, g(0) 代表其上導出的度量, k(0) 表第二基本型(second fundamental form), 對於每一個愛因斯坦方程的解 (M, g(t), k(t)) 我們賦予守恆量 e(t), pi(t), Ji(t) 和 Ci(t) 分別對應能量, 線性動量, 角動量和重心。 [6] 中證明在愛因斯坦演化方程的非線性脈絡之下, 下 式成立
e(∂tCi(t)) = pi 以及
∂tJi(t) = 0
第一式是熟悉的古典公式 m ˙x = p 的相對論版本, 就我們所知這是第一次證明出它與愛 因斯坦方程一致。
5. Minkowski 不等式和 Penrose 不等式
在下半部的講演中我要討論和 Brendle, Hung 合作的 [3, 4]中的二個不等式: 古典微分 幾何的 Minkowski 不等式以及廣義相對論中的 Penrose 不等式。
令 Σ 為嵌入 R3 中的閉曲面。 前面提到 R
ΣH dµ 對應面積在單位速度 (s = 1) 之下的
改變, 對於 R3 中的曲面 Minkowski 不等式 [16] 敘述如下:
對於R3 中的閉凸曲面 Σ, Z
Σ
H dµ≥p16π|Σ|,
|Σ| 代表 Σ 的面積。 這個定理在高維也成立, 而且由 Huisken, Guan-Li [9] 推廣到均凸, 星 形的超曲面。 對於 R3 中以 R 為半徑的 2-維球面, 上式左手邊為
Z
H dµ= d
dR(4πR2) = 8πR.
另一方面, 上式右手邊為 √
16π · 4πR2 = 8πR。 此時不等式是等式, 若且唯若 Σ 是圓球面, 不論半徑為何。
現在考慮時空中的類空間2 維曲面, 我們曾定義均曲率向量場 ~H 如下:
δV~|Σ| = − Z
Σ
< ~H, ~V > dµ.
就如前面提到的, 在廣義相對論的脈絡下, 人們感興趣的是量度從 Σ 上射出的光線發散的 程度。 我們可以取 Σ 上的兩個零法向量場 (null normal vector field) L 及 L 即 < L, L >=
0, < L, L >= 0, < L, L >= −2。 我們稱 −R
Σ < ~H, L > dµ 及 −R
Σ < ~H, L > dµ 為 2-維曲面 Σ 在廣義時空中的零展開 (null expansion)。
舉例來說, 對於曲面 Σ ⊂ R3 ⊂ R3,1, 若 ν 為 Σ 指向外部的單位法向量, 可以取 L =
∂
∂t + ν (向外), L = ∂t∂ − ν (向內), 在這個情況一個 (向外) 展開為正, 另一 (向內) 則為負。
對於彎曲時空中的囚陷曲面, 兩種展開都是負的。
Penrose 在他原先關於宇宙審查 (亦即時空的每一個奇異點都隱身在黑洞之後, 因此看不 到) 的論文中提出下面的猜想:
猜想 1 (Penrose [19]). 對於一個 R3,1 中 「過去零凸的」 閉嵌入類空間 2-維曲面 Σ, 經過正 規化使得 < ∂t∂, L >= −1, 則
Z
Σ
< ~H, L > dµ ≥p16π|Σ| (∗)
在此 「過去零凸的」 是指 Σ 的過去光錐(past null cone, or past light cone) 可以沿著 −L 的 方向平滑地延伸到無窮遠。 而在 Minkowski 時空中的光錐為 {(t, x, y, z)|−t2+x2+y2+z2 = 0}.
Minkowski 不等式給出曲面面積變化率和曲面面積的關係。 Penrose 不等式原來是給出 黑洞質量和黑洞面積的關係。 在特別的 null dust 時空中, 黑洞可為 Minkowski 時空中的一 般曲面, 而黑洞質量可與面積變化率 (或均曲率積分) 聯結, 因此有了上面的不等式。
Gibbons [8] 觀察到若 Σ ⊂ R3 ⊂ R3,1, 且選擇上述的 L, L, 那麼 (*) 就是古典的 Minkowski 不等式。
黎曼幾何中在漸近平坦的情形下有 Penrose 不等式 (Huisken-Ilmanen [12],Bray) 16π(ADMmass) ≥p16π|Σ|
的確, 在漸近零的情形之下, (*) 對應於上式。
Tod [22] 證明 (*) 對於 R3,1 中(一點的) 光錐上的曲面成立。 另外也有些推廣, 見 Mars [14] 和 Mars-Soria [15]。 但是對於 Minkowski 時空中的一般曲面, (*) 仍只是一個猜想。
回到 Minkowski 不等式, 微分幾何學家對於將不等式推廣到其它空間形式 (space form) 的曲面極感興趣。 其中 Gallego 和 Solanes [7] 研究雙曲空間的情形, 證明對於 H3 中的凸曲 面
Z
Σ
H dµ≥ 2|Σ|
在此, H3代表三維常負曲率 −1 的雙曲空間, 其黎曼度量為 dr2+sinh2r(dθ2+sin2θdφ2)。
在 H3 中, 半徑為 r 的測地球其面積為 4π sinh2r , 所以 R
ΣH dµ = drd(4π sinh2r) = 8π sinh r cosh r, 而右手邊則是 2|Σ| = 8π sinh2r。 這是一個漂亮的不等式, 但等號永遠無法 企及。
另一方面, 我們可以將雙曲空間 H3 等度量地嵌入 R3,1 成為 {(t, x, y, z)|t > 0 , −t2+ x2+ y2+ z2 = −1}。 但是對於 H3 中的 2-維曲面, 甚至連R
Σ< ~H, L > dµ 為什麼應該為 正都不清楚, 不過 Penrose 不等式可以為 Σ 預測一個 Minkowski 類型的最佳不等式 (sharp inequality)。
更一般以及高維的不等式見 [3]。 其證明涉及 「反均曲率流 (inverse mean curvature flow)」, 一個新的在靜止真空時空的單調公式 (monotonicity formula), Brendle [2] 的一 個 Heintze-Karcher 類型的不等式, 以及 Beckner [1] 在球面上的最佳 Sobolev 不等式。
這個證明讓我們可以將不等式推廣到更有物理意涵的時空, 並且做出下面的猜測:
猜想 2 ([4]). 對於在 Schwarzschild 時空中的任意類空間過去零凸的2-維曲面 Σ, 下列不等 式成立:
− 1 16π
Z
Σ
< ~H, L > dµ + m ≥ r|Σ|
16π
這裡 m 是 Schwarzschild 時空的總質量。 L 則是經過選取使其對偶零法線 (dual null nor- mal) L 滿足 < L,∂t∂ >= −1, ∂t∂ 是 Killing 場。
Schwarzschild 時空是以德國物理學家及天文學家 Karl Schwarzschild (1873∼1916) 命名的時空。 他在愛因斯坦發表廣義相對論後不久, 發表現在所稱的 Schwarzschild 度量, 這
是愛因斯坦方程的解, 描述在一個球形的質量外部真空狀態 (即電荷、 角動量及宇宙常數均為 零) 下的重力場。 它能用來描述緩慢轉動的天文物體, 例如許多星球包括地球和太陽。
[4] 裡證明了這個猜測在數個重要的情形成立, 但是一般的情形仍有待證明。 總之, R3 的 曲面幾何與時空中 (餘維為2) 的曲面關係密切。 物理的預測啟發了數學上的成果, 另一方面, 數 學的結果又自然地賦予物理新的樣貌。
參 考資料
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24. M.-T. Wang and S.-T. Yau, Quasilocal mass in general relativity, Phys. Rev. Lett., 102, no. 2, no. 021101, 2009.
—本文作者任教美國哥倫比亞大學數學系—
